D YNAMIQUE DES SYSTÈMES MÉCANIQUES : O NDES ET VIBRATIONS

(1)

Introduction La corde vibrante Milieux continus non-dispersifs Conclusion

ENSTA - C ^OURS MS 204

D YNAMIQUE DES SYSTÈMES MÉCANIQUES : O NDES ET VIBRATIONS

Amphi 1

ENSTA – MS 204 – 2014/2015 Dynamique des systèmes mécaniques – Amphi 1

Exemples introductifs

Hypothèses générales et plan du cours

E QUIPE PÉDAGOGIQUE

I Cours : Cyril Touzé

I Petites classes : Olivier Doaré Jean Boisson Arnaud Malher Cyril Touzé

(2)

O BJECTIFS DU COURS

I Introduction de la dimension temps dans l’analyse des systèmes mécaniques décrits par des milieux continus.

les milieux vont vibrer, osciller, sous l’effet de conditions initiales et/ou de forces externes.

I Apparition de nouveaux phénomènes :

I

Propagations d’ondes.

I

Vibrations des systèmes mécaniques, modes propres.

I Objectifs du cours

I

Donner les principaux outils d’analyse.

I

Donner des exemples de milieux continus que l’on pourra analyser:

• En mécanique des solides :

Milieux élastiques, cordes, poutres, plaques.

• En mécanique des fluides :

Acoustique, ondes de surface, ballottement.

ONDES/VIBRATION

I Jet d’un caillou dans l’eau

propagation d’une onde de déformation à la surface.

I Onde : phénomène propagatif.

I A l’échelle de la Terre...

Tsunami du 26 décembre 2004

(3)

ONDES/VIBRATION

I Présence d’obstacles, de limites : réflexions de l’onde incidente, localement la dynamique se complexifie.

I Sommes d’ondes se propageant dans des directions opposées:

onde stationnaire

I On a alors affaire à des vibrations :

ONDES/VIBRATION

I Milieu infini:

• lorsque les conditions aux limites sont "loins".

• lorsque le rapport entre le temps d’observation et le temps de propagation est petit devant 1.

approche locale

Le milieu est modélisé par une EDP.

formalisme des ondes.

cours 1 et 2.

I Lorsque le milieu est fini:

approche globale

Le milieu est modélisé par une EDP assortie de conditions aux limites

formalisme des modes.

cours 3, 4 et 5.

(4)

DISPERSIF / NON-DISPERSIF

I Lorsque le paquet d’onde ne se déforme pas pendant la propagation:

La propagation est non-dispersive.

cours 1

I Lorsque le paquet d’onde se déforme :

La propagation est dispersive.

cours 2

STATIQUE/DYNAMIQUE

I Dimensionnement "statique" d’une structure

On connaît a priori l’amplitude maximale des efforts s’exerçant sur une structure

Dimensionnement statique afin que le déplacement reste inférieur à une valeur donnée

I Modèle équivalent :

I Dimensionnement statique : x < x _max = ^F

^ext

_k

(5)

R ÉPONSE VIBRATOIRE D ’ UN OSCILLATEUR

I Force ≡ Créneau d’amplitude égale à la force critique

R ÉPONSE VIBRATOIRE D ’ UN OSCILLATEUR

I Force ≡ Créneau d’amplitude égale à la force critique

I Résultat :

I Réponse 2× supérieure à la réponse statique!

(6)

I Forçage harmonique :

I Réponse 100× supérieure à la réponse statique!

(7)

M ^ILLENNIUM B ^RIDGE (L ^ONDRES )

Un exemple de forçage harmonique aux conséquences gênantes...

D YNAMIQUE DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

I Milieux continus + cadre général des H.P.P. :

∂ ² w

∂t ² + L(w) = f ext (x, t)

I Milieu infini (chapitre 2)

I

Ondes non-dispersives : milieux élastiques 3D et acoustique.

cours 1

I

Ondes dispersives : poutre en flexion et ondes de surface.

cours 2

I Milieu fini (chapitre 3)

I

Approche modale.

cours 3

I Systèmes discrets (chapitre 4)

I

solutions temporelles : oscillateur 1D et ND.

cours 4

I

Résolution numérique et analyse modale expérimentale.

cours 5

I Effets non-linéaires (chapitre 5) cours 6

(8)

Ondes non-dispersives Ondes dispersives

La corde vibrante

L A CORDE VIBRANTE

I Tension T (x)

I Masse linéique m _l = ρA

I Déplacement vertical d’un élément de corde : ξ(x, t) = w(x, t)e _y

(9)

I Équilibre des forces au 1 ^er ordre : m _l dx ∂ ² w

∂t ² = T (x + dx) ∂w

∂x (x + dx, t) − T (x) ∂w

∂x (x, t).

I dx → 0 :

m _l ∂ ² w

∂t ² = ∂

∂x

T (x) ∂w

∂x

I T = Cte :

m _l ∂ ² w

∂t ² = T ∂ ² w

∂x ²

I L’équation peut se mettre sous la forme :

∂ ² w

∂t ² − c ² ∂ ² w

∂x ² = 0

I avec :

c = r T

m _l .

I Équation locale

(10)

S OLUTION DE D ’A ^LEMBERT (1747)

I En posant α = x + ct et β = x − ct, l’équation d’onde devient,

∂ ² w

∂α∂β = 0

I Solution de la forme :

w(x, t) = F (x + c t)

| {z }

←−

+ G(x − c t)

| {z }

−→

Jean le Rond d’Alembert (1717-1783)

I variable x ± ct : clé de la solution !

R ÉPONSE À UNE CONDITION INITIALE

I Condition initiale : w(x, 0) = w 0 (x) , ^∂w _∂t (x, 0) = 0

I Solution de d’Alembert :

F (x) + G(x) = w ₀ (x) , F ⁰ (x) − G ⁰ (x) = 0

I Solution : w(x, t) = ¹ ₂ w ₀ (x + ct) + ¹ ₂ w ₀ (x − ct)

(11)

O NDE HARMONIQUE

I Solution harmonique :

w(x, t) = a cos[k(x − ct) + φ]

= a cos(kx − ωt + φ) avec c = ω/k

I k ≡ Nombre d’onde

I Longueur d’onde : λ = 2π/k

I ω ≡ Pulsation

I Période : T = 2π/ω

I Fréquence : F = 1/T = ω/2π

I φ ≡ Phase

O NDES RÉELLES , ONDES COMPLEXES

I Onde complexe :

w(x, t) = Ae ^i(kx−ωt) , A ∈ C

I Commodité de calcul : ∂/∂x ik, ∂/∂t −iω

I A ∈ C → |A| ≡ Amplitude , arg(A) ≡ phase

I Solution physique : Re

Ae ^i(kx−ωt)

(12)

R ELATION DE DISPERSION

EDP locale Relation de dispersion

Corde vibrante

∂ ² w

∂t ² − c ² ∂ ² w

∂x ² = 0 ←→ ω ² − c ² k ² = 0

Cas général

∂ ² w

∂t ² + L(w) = 0 ←→ D(k, ω) = 0

N OTION DE DISPERSIVITÉ

I Équation de corde :ω ² − c ² k ² = 0 ^ω _k = cte

La vitesse des ondes est constante → non-dispersif.

I Cas général : D(k, ω) = 0 et ^ω _k = f (k) 6= cte

Si l’on souhaite faire apparaître une solution type

"d’Alembert":

w(x, t) = A exp ik(x − ω k t), La vitesse de propagation qui apparait est dépendante de la longueur d’onde.

→ le milieu est dispersif

(13)

U N EXEMPLE DE MILIEU DISPERSIF , LA CORDE SUR FONDATION ÉLASTIQUE

Polycopié section 2.6 page 26.

∂ ² y

∂t ² − c ² ∂ ² y

∂x ² + by = 0

O BTENTION DE LA RELATION DE DISPERSION

I Solution de la forme : y(x, t) = A exp[i(kx − ωt)]

I Relation de dispersion :

c ² k ² + b − ω ² = 0

I À un nombre d’onde k donné, 2 pulsations différentes : ω _± = ± p

c ² k ² + b

I Vitesse de propagation de l’onde : ω

k = ±

√ c ² k ² + b k

I ω/k dépend du nombre d’onde ⇒ Dispersion

(14)

I NTERPRÉTATION DE LA DISPERSIVITÉ ET NOTION DE VITESSE DE GROUPE

I Superposition de 2 ondes (ω − δω, k − δk) et (ω + δω, k + δk) : w(x, t) = cos [(k + δk)x − (ω + δω)t]

+ cos [(k − δk)x − (ω − δω)t]

= 2 cos(δkx − δωt)

| {z } enveloppe

cos(kx − ωt)

| {z } onde ^{(k, ω)}

I Vitesse de la modulation : ω

k −→ Vitesse de phase

I Vitesse de l’enveloppe : δω

δk ' ∂ω

∂k −→ Vitesse de groupe

I Interprétation de Stokes : propagation non-dispersive.

propagation dispersive

I NTERPRÉTATION DE LA DISPERSIVITÉ ET NOTION DE VITESSE DE GROUPE

I Animations : propagation d’un paquet d’ondes:

propagation non-dispersive.

propagation dispersive.

(15)

V ITESSES DE PHASE ET DE GROUPE POUR LA CORDE TENDUE SUR FONDATION ÉLASTIQUE

c _φ = ω k = c

r

1 + b

c ² k ² c _g = ∂ω

∂k = c ² k

√ c ² k ² + b

C ^{AS GÉNÉRAL} : ω ^ET k PEUVENT ÊTRE COMPLEXES

I Si pour ω ∈ R donné,

Im(k) = 0 Onde propagative Im(k) 6= 0 Onde évanescente

I Si pour k ∈ R donné,

Im(ω) = 0 Mouvement non amorti Im(ω) 6= 0 Mouvement amorti

(16)

Elastodynamique Acoustique

Milieux continus non-dispersifs

É LASTODYNAMIQUE

I Équilibre des efforts dans un solide (MS102) :

∀x ∈ Ω : div σ + f = ρ ∂ ² ξ

∂t ²

I Relation contrainte-déformation pour un solide élastique, isotrope, à température constante :

σ = λ(trε)1 + 2µε,

I Tenseur des déformations : ε = 1

2 t ∇ξ + ∇ξ

(17)

É ^{QUATION DE} N ^AVIER

Équilibre dynamique exprimé uniquement en termes de déplacement :

ρ ∂ ² ξ

∂t ² = (λ + µ)grad (div ξ) + µdiv (grad ξ)

Claude Louis Marie Henri Navier (1785-1836)

P REMIÈRE IDÉE D ’ ^ANALYSE

I Onde harmonique pour le déplacement :

ξ(x, y, z, t) =





ξ _X (x, y, z, t) ξ _Y (x, y, z, t) ξ Z (x, y, z, t)



 =





A exp i(k.x − ω t) B exp i(k.x − ω t) C exp i(k.x − ω t)





I Impossibilité d’obtenir une relation de dispersion

(18)

O NDES LONGITUDINALES

I Soit D la dilatation locale du milieu : D = div(ξ ),

I Divergence de l’équation de Navier : ρ ∂ ² D

∂t ² = (λ + 2µ) ∆ D

I Mise en évidence d’ondes de dilatation (compression/détente) non-dispersives se propageant au sein du milieu élastique.

Célérité de ces ondes :

c L = s

λ + 2µ ρ

O NDES TRANSVERSES

I Soit Ω la rotation locale :

Ω = 1

2 rot(ξ ).

I Rotationnel de l’équation de Navier : ρ ∂ ² Ω

∂t ² = µ ∆ Ω

I Mise en évidence d’ondes transverses non-dispersives se propageant au sein du milieu élastique.

Célérité de ces ondes :

c _L = r µ

ρ

(19)

A PPROXIMATION EN ONDES PLANES

Loin de la source, on peut considérer que l’on a des ondes planes Problème invariant dans le plan perpendiculaire au vecteur d’onde

É ^{QUATION DE} N AVIER POUR UNE ONDE PLANE

I Expression du déplacement dans le cas d’une onde plane de vecteur d’onde k = k e _x :

ξ(x, y, z, t) =





ξ _X (x, t) ξ _Y (x, t) ξ _Z (x, t)





I L’équation de Navier devient : ρ ∂ ² ξ _X

∂t ² = (λ + 2µ) ∂ ² ξ _X

∂x ² , ρ ∂ ² ξ Y

∂t ² = µ ∂ ² ξ Y

∂x ² , ρ ∂ ² ξ _Z

∂t ² = µ ∂ ² ξ _Z

∂x ² .

(20)

O NDES DE COMPRESSION ( ^ONDES P)

ρ ∂ ² ξ X

∂t ² = (λ + 2µ) ∂ ² ξ X

∂x ²

⇒ c ² _L = λ + 2µ ρ

O NDES DE CISAILLEMENT ( ^ONDES S)

ρ ∂ ² ξ _Y

∂t ² = µ ∂ ² ξ _Y

∂x ²

⇒ c ² _T = µ

ρ

(21)

C OMPARAISON DES VITESSES DE PROPAGATION

I Ondes longitudinales : c ² _L = λ + 2µ

ρ = E

ρ

1 2(1 + ν)

I Ondes transverses : c ² _T = µ ρ = E

ρ

1 − ν (1 + ν)(1 − 2ν)

I c % si E % (raideur)

I c & si ρ % (masse)

I Quelques valeurs numériques :

c _L c _T

Acier 5700 m/s 3000 m/s Bois 5000 m/s 2500 m/s Craie 2500 m/s 1200 m/s

A ^PPLICATION : O NDES SISMIQUES

Sismogramme

(22)

L OCALISATION DE L ’ ^ÉPICENTRE

La durée entre les 2 fronts 3 points d’enregistrement...

dépend de la distance

O NDES ACOUSTIQUES

I Ondes de compression longitudinales dans un milieu fluide.

I Pas d’ondes transversales.

I Équations de départ : Équations générales de la mécanique des fluides compressibles,

linéarisées autour d’un état d’équilibre.

I Variables de champ : ρ(x, t), p(x, t), v(x, t)

(23)

O NDES ACOUSTIQUES

I On obtient l’équation des ondes en 3 dimensions:

∂ ² p ˜

∂t ² − c ² ∆˜ p = 0

I Loi d’état pour une transformation adiabatique : c =

r

γ R ₀ T M

I Valeurs typiques, à 20 ^◦ C :

Eau 1500 m/s Air 340 m/s

I Propagation non-dispersive.

Conclusion

(24)

C ^ONCLUSION - A SPECTS IMPORTANTS À RETENIR

I Équation dynamique locale de différents milieux

I Approche en ondes harmoniques : w(x, t) = A exp[i(kx − ωt)]

I Relation de dispersion D(k, ω) = 0

I Vitesse de phase : c _ϕ = ω k

I Vitesse de groupe : c g = ∂ω

∂k

I Milieux non dispersifs : c _ϕ = Cte = c _g

I Milieux dispersifs : c _ϕ = f (k) , c _g = g(k)

I Deux exemples de milieux continus non-dispersifs:

I

Solide élastique isotrope.

I

fluide compressible (ondes acoustiques).

L A PROCHAINE FOIS ...

I Deux exemples de milieux continus dispersifs:

I

Ondes de flexion dans les poutres.

I

ondes de surface.

I Ajout de bords au domaine (conditions aux limites) Réflexions d’ondes

I Systèmes de dimensions finies ondes stationnaires modes

(25)

S UPPORTS DE COURS

Les supports du cours en amphi (transparents) sont accessibles au format pdf à l’adresse suivante:

http://www.ensta-paristech.fr/∼touze/MS204/

D YNAMIQUE DES SYSTÈMES MÉCANIQUES : O NDES ET VIBRATIONS

ENSTA - C OURS MS 204

D YNAMIQUE DES SYSTÈMES MÉCANIQUES : O NDES ET VIBRATIONS

Amphi 1

E QUIPE PÉDAGOGIQUE

I Cours : Cyril Touzé

I Petites classes : Olivier Doaré Jean Boisson Arnaud Malher Cyril Touzé

O BJECTIFS DU COURS

I Introduction de la dimension temps dans l’analyse des systèmes mécaniques décrits par des milieux continus.

les milieux vont vibrer, osciller, sous l’effet de conditions initiales et/ou de forces externes.

I Apparition de nouveaux phénomènes :

Propagations d’ondes.

Vibrations des systèmes mécaniques, modes propres.

I Objectifs du cours

Donner les principaux outils d’analyse.

Donner des exemples de milieux continus que l’on pourra analyser:

• En mécanique des solides :

Milieux élastiques, cordes, poutres, plaques.

• En mécanique des fluides :

Acoustique, ondes de surface, ballottement.

ONDES/VIBRATION

I Jet d’un caillou dans l’eau

propagation d’une onde de déformation à la surface.

I Onde : phénomène propagatif.

I A l’échelle de la Terre...

Tsunami du 26 décembre 2004

ONDES/VIBRATION

I Présence d’obstacles, de limites : réflexions de l’onde incidente, localement la dynamique se complexifie.

I Sommes d’ondes se propageant dans des directions opposées:

onde stationnaire

I On a alors affaire à des vibrations :

ONDES/VIBRATION

I Milieu infini:

• lorsque les conditions aux limites sont "loins".

• lorsque le rapport entre le temps d’observation et le temps de propagation est petit devant 1.

approche locale

Le milieu est modélisé par une EDP.

formalisme des ondes.

cours 1 et 2.

I Lorsque le milieu est fini:

approche globale

Le milieu est modélisé par une EDP assortie de conditions aux limites

formalisme des modes.

cours 3, 4 et 5.

DISPERSIF / NON-DISPERSIF

I Lorsque le paquet d’onde ne se déforme pas pendant la propagation:

La propagation est non-dispersive.

cours 1

I Lorsque le paquet d’onde se déforme :

La propagation est dispersive.

cours 2

STATIQUE/DYNAMIQUE

I Dimensionnement "statique" d’une structure

On connaît a priori l’amplitude maximale des efforts s’exerçant sur une structure

Dimensionnement statique afin que le déplacement reste inférieur à une valeur donnée

I Modèle équivalent :

I Dimensionnement statique : x < x max = F

k

R ÉPONSE VIBRATOIRE D ’ UN OSCILLATEUR

I Force ≡ Créneau d’amplitude égale à la force critique

R ÉPONSE VIBRATOIRE D ’ UN OSCILLATEUR

I Force ≡ Créneau d’amplitude égale à la force critique

I Résultat :

I Réponse 2× supérieure à la réponse statique!

I Forçage harmonique :

I Forçage harmonique :

I Réponse 100× supérieure à la réponse statique!

M ILLENNIUM B RIDGE (L ONDRES )

Un exemple de forçage harmonique aux conséquences gênantes...

D YNAMIQUE DES SYSTÈMES MÉCANIQUES

I Milieux continus + cadre général des H.P.P. :

∂ 2 w

∂t 2 + L(w) = f ext (x, t)

I Milieu infini (chapitre 2)

Ondes non-dispersives : milieux élastiques 3D et acoustique.

cours 1

Ondes dispersives : poutre en flexion et ondes de surface.

cours 2

I Milieu fini (chapitre 3)

Approche modale.

ENSTA - C ^OURS MS 204

I Dimensionnement statique : x < x _max = ^F

_k

M ^ILLENNIUM B ^RIDGE (L ^ONDRES )

∂ ² w

∂t ² + L(w) = f ext (x, t)

I Masse linéique m _l = ρA

I Déplacement vertical d’un élément de corde : ξ(x, t) = w(x, t)e _y

I Équilibre des forces au 1 ^er ordre : m _l dx ∂ ² w

∂t ² = T (x + dx) ∂w

m _l ∂ ² w

∂t ² = ∂

m _l ∂ ² w

∂t ² = T ∂ ² w

∂x ²

∂ ² w

∂t ² − c ² ∂ ² w

∂x ² = 0

m _l .

S OLUTION DE D ’A ^LEMBERT (1747)

∂ ² w

I Condition initiale : w(x, 0) = w 0 (x) , ^∂w _∂t (x, 0) = 0

F (x) + G(x) = w ₀ (x) , F ⁰ (x) − G ⁰ (x) = 0

I Solution : w(x, t) = ¹ ₂ w ₀ (x + ct) + ¹ ₂ w ₀ (x − ct)

w(x, t) = Ae ^i(kx−ωt) , A ∈ C

Ae ^i(kx−ωt)