9. Vibrations mécaniques dans les systèmes continus – Méthodes approchées

9. Vibrations mécaniques dans les systèmes continus – Méthodes approchées

Exercice 49 : Méthode de Rayleigh pour une corde vibrante (A)

Calculer la fréquence fondamentale pour les vibrations d’une corde de longueur 2L, alignée le long de l’axe Ox, en prenant comme déformée modale la fonction

!₁(x)=a₁

(

L²!x²

)

. On notera µ la masse linéique et T la tension de la corde.

Solution :

Il faut s’assurer que la fonction d’essai retenue, vérifie bien les conditions aux limites, notée ici : !₁(x= ±L)=0, ce qui est bien le cas. Il faut alors calculer l’énergie cinétique et l’énergie potentielle totale pour la corde, soit en notant le champ de déplacement transversal pour le mode fondamental w₁(x, t)=!₁(x) f (t), avec :

f(t)=Aexp(j!₁t)!

( )

f!(t) ^2="!12

⁽

^f(t)

⁾

^2!w!12="!12

⁽

^f(t)

⁾

²

⁽

^!1(x)

⁾

^2. D’où les expressions recherchées pour l’énergie cinétique et l’énergie potentielle :

E_C= µ 2 w!₁²

0 L

! dx="!₁²

[

f(t)

]

^2µ₂ ^!12 0 L

! dx, E_P=T 2

!w₁

!x

"

#$ %

&

'

0 L

(

2

dx=T

2

[

f(t)

]

^{2 "}_#^$d_dx^!1%_&^'

0 L

(

2

dx. Le critère de Rayleigh s’écrit alors simplement :

E_C^max=E_P^max!!₁²µ "₁²

0 L

" dx=T

(

d"₁/dx

)

0 L

"

2

dx!!₁=

{

N/D

}

^T/µ.

Il ne reste plus qu’à calculer les deux intégrales, pour obtenir le résultat final :

!₁²

0 L

! dx=a₁^2L₀^!

(

L⁴"2L²x²+x⁴

)

^dx=a12

(

^{L5"(2L5/ 3)+(L5/ 5)}

)

^{=8a12L5/15, et}

d! dx

!

"

# $

%&

0 L

'

2

dx=

(

(2a₁x

)

²

0 L

! dx=4a₁²L³/ 3""₁=

{ (

4a₁²L³/ 3

) (

^8a12L5/15

) }

^{(1/2) T}_µ ^,

!!₁= 5 / 2 L

T

µ =1, 581 L

T

µ , au lieu de : !₁= "

2L T

µ =1, 571 L

T

µ (valeur exacte), ce qui représente une différence par excès de 0,65 %.

Exercice 50 : Méthode de Rayleigh pour une corde vibrante - suite (A)

Calculer la fréquence fondamentale pour les vibrations d’une corde de longueur L, alignée le long de l’axe Ox, en prenant comme déformée modale la fonction

!₁(x)=A₁sin"x

L . On notera µ la masse linéique et T la tension de la corde.

Solution :

Tout comme pour l’exercice précédent, il faut commencer par calculer l’énergie cinétique et l’énergie potentielle. On peut écrire par exemple ici : w(x,t)=!₁(x)f(t), avec : f(t)=cos(!t+"). Soit en notant pour les dérivées partielles :

!w

!x = !

L

"

#$ %

&

'Acos!x

L cos("t+#), !w

!t ="A!sin"x

L sin(!t+#). Soit pour les énergies cinétique et potentielle :

E_P =T 2

!w

!x

"

#$ %

&

'

0 L

(

2

dx=T 2 A² !

L

"

#$ %

&

'

2

cos²("t+#) cos²!x

0 L

L

( dx,

E_C= µ 2 w!²

0 L

! dx=µ

2A²!²sin²(!t+") sin²

0 L

! #x L dx, avec : cos²!x

0 L

L

! dx= sin²!x

0 L

L

! dx= L 2 ^, d’où : E_P^max=T

2A² ! L

!

"

# $

%&

2

cos²!x

0 L

L

' dx=T

2A² ! L

!

"

# $

%&

2 L 2

!

"

# $

%&=TA²!² 4L , et : E_C^max=µ

2A²!² sin²

0 L

! "x

L dx=µ

2A²!²L

2= µA²!²L 4 ^, d’où finalement : E_P^max=E_C^max!TA²!²

4L = µA²"²L

4 !"=!

L T µ ^.

On retrouve le résultat exact pour le mode fondamental de vibration d’une corde. Ce résultat est tout à fait normal, puisque la déformée modale a été choisie exacte. Cette tendance est tout à fait générale. Chaque fois que la déformée modale sera retenue avec son expression analytique exacte, on retrouvera la pulsation théorique pour le mode considéré. Plusieurs exemples de ce type sont proposés dans les exercices qui suivent.

Par ailleurs, chaque fois que la déformée modale (ou plutôt ici ce que l’on appelle, la

fonction d’essai) s’éloigne de la déformée modale théorique exacte, alors l’estimation fournit par la méthode de Rayleigh s’éloigne elle aussi de la valeur attendue, et ce d’autant plus que l’écart est important entre déformée modale exacte et fonction d’essai.

L’exercice précédent était une illustration de cette tendance. La fonction algébrique retenue, !₁(x)=a₁

(

L²!x²

)

, vérifiait bien les deux conditions aux limites, à l’encastrement de la corde aux deux extrémités, mais pour autant la fonction algébrique quadratique (en x²) n’est pas un sinus, d’où l’écart observé dans la valeur numérique obtenue. Au passage, pour la méthode de Rayleigh, ou pour celle de Rayleigh – Ritz aussi, les résultats de l’estimation avec la fonction d’essai admissible (vérifiant bien l’ensemble des conditions aux limites) est toujours surestimée. Ceci vient du fait que l’on opère toujours une troncature dans le développement en série de la solution (avec un seul terme pour la méthode de Rayleigh, et plusieurs avec la méthode de Rayleigh – Ritz), si bien que la pulsation de résonance calculée dans l’approximation est toujours plus grande que sa valeur exacte.

Exercice 51 : Méthode de Rayleigh pour une poutre bi-appuyée en flexion (B) Calculer la pulsation du mode fondamental pour une barre de longueur L « appuyée – appuyée » en mouvement de flexion.

Solution :

Le mode fondamental fait vibrer la poutre en λ/2 (demi-longueur d’onde), voir Figure ci-dessus. Du fait des conditions aux limites, il faut vérifier : !t, w(0,t)=w(L,t), soit en écrivant : w(x,t)=!(x)f(t)!!(0)=!(L). De plus, !(L/ 2)=!_max, représente la déflexion maximale de la poutre. Il est aussi possible de calculer cette grandeur à partir des expressions du moment fléchissant : M =EId²!(x)

dx² , et de celle de l’effort tranchant : Q=EId³!(x)

dx³ =P/ 2. Si l’on intègre en fonction de la variable x trois fois cette dernière expression pour l’effort tranchant, on obtient :

x M M

w(x) P/2 P/2

P L

!(x)= P 2EI

x³ 6 +Cx²

2 +C'x+C". Les conditions aux limites en x=0, à savoir absence de déplacement et absence de moment fléchissant, s’écrivent alors :

!(0)=0!C"=0,

(

d²!/ dx²

)

_x=0^{=0!C=0 !!(x)=}₂^P_EI ^x₆^3+C'x.

Par ailleurs, sachant que la déflexion est maximale au milieu de la poutre, alors la déformation de cisaillement y est nulle, soit en écrivant :

d!/dx

( )

_(x=L/2)^=0!_4EI^{P L}

2

4 +C'=0, soit au final pour la déformée modale :

!(x)= P

12EIx³! PL²

16EIx. Avec cette expression, il est alors possible d’évaluer la déflexion maximale (en x=L/2) :

!(L/ 2)=!_max= PL³

96EI! PL³

32EI =! PL³ 48EI ^{, !}

P

12EI="!_maxL³/ 4, d’où en revenant à l’expression générale de la déformée modale :

!(x)=!!_max !4x³ L³ +3x

L

"

#

$$

%

&

''=!_max ^3xL

2!4x³ L³

"

#

$$

%

&

''. C‘est cette déformée modale qui est alors prise comme fonction d’essai dans la méthode de Rayleigh, pour calculer l’énergie cinétique et l’énergie potentielle :

E_C=1

2 M!²(x)

0 L

! f!²(t)dx= M 2L⁶

f!²(t)!_max² ₀^L!

(

3xL²"4x³

)

^2dx,

!E_C= M

2L⁶

f!²(t)!_max^{2 L}₀^#

(

9x²L⁴"24x⁴L²+16x⁶

)

^dx,

!E_C= M

2L⁶

f!²(t)!_max² 9L⁴L³

3 "24L²L⁵ 5 +16L⁷

7

#

$

%%

&

' ((=M

2 f!²(t)L17 35!_max² .

De même, pour le calcul de l’énergie potentielle, il faut noter une relation du type : P=!k!_max, avec : k=48EI/L³ (raideur en flexion) soit en notant :

E_P=1

2kw_max² =1 2

48EI

L³ f²(t)!_max² . Sachant que : f!²(t)=!²f²(t), on peut alors écrire : E_P^max=E_C^max! M

2 !²L17

35"_max² =1 2

48EI L³ "_max² , soit au final : != 1

L² EI

M 48 35 17

!

"

# $

%&=9, 94 L²

EI

M , au lieu de :

!="² L²

EI

M =9,86 L²

EI

M (valeur exacte).

Exercice 52 : Méthode de Rayleigh pour une poutre bi-appuyée en flexion – suite (A)

Refaire le calcul direct de l’exercice précédent en prenant comme fonction d’essai la déformée modale exacte, connue pour ce cas, à savoir : !₁(x)=A₁sin"x

L ^. Solution :

Il s’agit d’un exercice très simple puisque justement la fonction d’essai est la déformée modale exacte pour la configuration d’une poutre « appuyée – appuyée » en flexion , pour le mode fondamental. On obtient notamment :

E_C^max=!S

2 "²f²(t) #₁²

0 L

! (x)dx=!

2"²f²(t)A₁² sin²$x

0 L

L

! dx,

E_P^max=EI

2 f²(t) d²!₁(x) dx²

!

"

##

$

%

&

&

2

!₁

0 L

' dx=EI

2 f²(t)A₁² "

L

!

"

# $

%&

4

sin²"x

0 L

L

' dx.

Soit, E_C^max=E_P^max!!S"²=EI

(

#/L

)

^4!!=

(

^"/L

)

^{2 EI/!S .}

Il s’agit ici d’une valeur exacte, puisque la fonction d’essai est bien la déformée théorique. Ce calcul est beaucoup plus expéditif que celui de l’exercice précédent, et en plus on obtient donc un résultat exact ici.

Exercice 53 : Méthode de Rayleigh pour une poutre bi-encastrée en flexion (A) Calculer la fréquence fondamentale pour les vibrations d’une poutre bi-encastrée en flexion de longueur L, de module d’Young E et masse volumique ρ, et de moment quadratique moyen I. On suppose que la déformée modale puisse se mettre sous l’une ou l’autre des trois formes suivantes :

(1) !₁(x)=

(

x/L

)

^4!2

(

^x/L

)

³⁺

(

^x/L

)

^{2 ; (2) !}2(x)=

(

x/L

)

^5!3

(

^x/L

)

³⁺²

(

^x/L

)

^{2 ;}

(3) !₃(x)=

(

x/L

)

^6!4

(

^x/L

)

³⁺³

(

^x/L

)

^{2 .}

Solution :

Les trois fonctions d’essai vérifient bien toutes les 4 conditions aux limites en x=0 et en x=+L, à savoir absence de mouvement vertical (soit !(0)=0 ; !(L)=0), et absence de déformation de cisaillement (soit

(

d!/dx

)

_x=0^{=0 ;}

(

^d!/dx

)

_x=L⁼⁰). Pour la

première fonction d’essai, le critère de Rayleigh s’écrit en utilisant la méthode de séparation des variables :

E_C^max=E_P^max!!₁²"S #₁²

0 L

" dx=EI₀^L"

(

d²#₁/dx²

)

^2dx!!1=

^{

^N/D

^}

^{EI/!S ,}

avec : N=₀^L!

(

d²!₁/ dx²

)

^{2dx, et D=L}₀^!!12dx.

Les calculs détaillés de ces intégrales pour les trois fonctions d’essai retenues fournissent les résultats attendus, à savoir :

(1) D=₀^L"

{ (

x/L

)

^4!2

(

^x/L

)

³⁺

(

^x/L

)

²

}

^2dx=#$_%¹₉⁺⁴₇⁺¹₅^!4₈⁺²₇^!4₆^&'₍^L=0, 00158737L, et : N= 1

L⁴₀^L"

{

12

(

x/L

)

^2!12

(

^x/L

)

⁺²

}

^2dx= _L^13#$_%¹⁴⁴₅ ⁺¹⁴⁴₃ ^+4!288₄ ⁺⁴⁸₃ ^!48₂ ^&'₍^=0,8_L^{3 ,}

!₁= 4, 74 L

!

"

# $

%&

2

EI/"S, et de même pour les deux autres fonctions d’essai : (2) D=₀^L"

{ (

x/L

)

^5!3

(

^x/L

)

³⁺²

(

^x/L

)

²

}

^2dx=#$_%11^{1 +9}₇⁺⁴₅^!6₉⁺⁴₈^!12₆^&'₍^L,

!D=0, 00995678 L, et : N= 1

L⁴₀^L"

{

20

(

x/L

)

^3!18

(

^x/L

)

⁺⁴

}

^2dx=_L^13#$_%⁴⁰⁰₇ ⁺³²⁴₃ ^+16+160₄ ^!720₅ ^!144₂ ^&'₍^,

!N=5,1428571

L³ !!₁^' = 4, 76 L

"

#$ %

&

'

2

EI/"S ,

(3) D=^L₀^"

{ (

x/L

)

^6!4

(

^x/L

)

³⁺³

(

^x/L

)

²

}

^2dx=#$_%13^{1 +16}₇ ⁺⁹₅^!₁₀^{8 +6}₉^!24₆ ^&'₍^L,

!D=0, 002930397 L, et : N= 1

L^4L₀^"

{

30

(

x/L

)

^4!24

(

^x/L

)

⁺⁶

}

^2dx= _L^13#$_%⁹⁰⁰₉ ⁺⁵⁷⁶₃ ^+36!1440₆ ⁺³⁶⁰₅ ^!288₂ ^&'₍^,

N=16

L³!!₁^"= 4,83 L

"

#$ %

&

'

2

EI/"S .

On obtient finalement l’inégalité suivante : !₁^">!₁^' >!₁. Ce résultat est bien naturel ici, puisque la fonction d’essai pour le mode fondamental ayant l’exposant algébrique du premier terme le plus faible possible (cas numéro (1) avec une puissance de degré 4) est celle qui doit se rapprocher le plus de la déformée modale théorique. Au passage, pour ce cas là on obtient une valeur de la fréquence de résonance du mode fondamental :

!₁= 4, 74 L

!

"

# $

%&

2

EI/"S, au lieu de la valeur théorique exacte : !₁= 4, 73 L

!

"

# $

%&

2

EI/"S , soit un écart de 1 sur 473, soit à peine 0,2 %. Les deux autres fonctions d’essai fournissent des valeurs toujours situées au-dessus de la pulsation exacte, avec des écarts plus importants : de l’ordre de 0,6 % pour la deuxième fonction d’essai (de degré 5), et environ 2 % pour la troisième fonction d’essai (de degré 6). Ces résultats sont tout à fait raisonnables ici dans le cadre des approximations retenues.

Exercice 54 : Méthode de Rayleigh pour une poutre bi-encastrée en flexion – suite (A)

Avec les mêmes notations que pour l’exercice précédent, Calculer la fréquence fondamentale en utilisant la méthode de Rayleigh pour les vibrations d’une poutre bi- encastrée en flexion, en prenant comme fonction d’essai : !(x)=x²

(

x!L

)

^2.

Solution :

Cette fonction d’essai, qui est symétrique par rapport au centre de la poutre, vérifie bien les 4 conditions aux limites (absence de déplacement vertical et absence de déformation de cisaillement), à la fois en x=0 et en x=L. Les calculs sont ensuite complétement similaires à ceux de l’exercice précédent. Soit en notant :

E_C^max=E_P^max!!₁²"S #²

0 L

" dx=EI^L₀^"

(

d²#/dx²

)

^2dx!!1=

^{

^N/D

^}

^EI/!S,

avec : N=₀^L!

(

d²!/dx²

)

^2dx=₀^L!

(

^6x2"6xL+L2

)

^{2dx=4L5 36#}_$^{% 5 +12+1"18+1}₃^"6&_'^(,

!N="13,8666 L⁵, et : D= !²

0 L

! dx= x⁴

(

x"L

)

⁴

0 L

! dx=₀^L!

(

x⁸"4Lx⁷+2L²x⁶"4L³x⁵+L⁴x⁴

)

^dx,

!D=L⁹ 1

9"1 2+2

7"2 3+1

5

#

$% &

'(="0, 5698 L⁹!!₁= 4, 93

L

#

$% &

'(

2

EI/"S .

On retrouve une valeur par excès d’environ 4 % par rapport à la valeur théorique exacte, à savoir : !₁= 4, 73

L

!

"

# $

%&

2

EI/"S .

Exercice 55 : Méthode de Rayleigh pour une membrane carrée (A)

Calculer la fréquence fondamentale pour les vibrations d’une membrane carrée de côtés a, dans le plan Oxy, en prenant comme déformée modale la fonction

!(x,y)=Asin"x a sin"y

a . On notera ρ la masse surfacique et T la tension de la membrane. Même exercice pour une membrane carrée de côtés 2a x 2a, en prenant comme fonction d’essai : !(x,y)=Acos"x

2acos"y 2a . Solution :

La fonction d’essai est ici confondue avec la déformée modale théorique exacte pour le mode fondamental de vibrations. Il est donc naturel dans cet exemple de retrouver exactement la valeur de la pulsation du mode (1,1), à savoir : !=

(

"/a

)

^{2T/# . Les}

calculs procèdent de la même manière que dans les exercices précédents, en notant : w(x,y,t)=!(x,y)f(t), avec : f(t)=cos(!t+"). On commence par calculer les énergie cinétique et potentielle :

E_P =T 2

!w

!x

"

#$ %

&

'

2

+ !w

!y

"

#$ %

&

' ( 2

)

**

+ , --

S

. dxdy, E_C =!

2

!w

!t

"

#$ %

&

'

2 S

( dxdy, soit en notant :

!w

!x =A !

a

"

#$ %

&

'cos!x

a sin!y

a cos("t+#), !w

!y =A !

a

"

#$ %

&

'sin!x

a cos!y

a cos("t+#), et !w

!t ="A!sin"x a sin"y

a sin(!t+#), d’où : E_P=T

2A² ! a

!

"

# $

%&

2

cos²("t+#) cos²!x

0 a

a

' dx sin²!y

0 a

a

' dy+ sin²!x

0 a

a

' dx cos²!y

0 a

a

' dy

()

*

+, -, E_C =!

2A²"²sin²("t+#) sin²

0 a

! $y

a dy sin²

0 a

! $x a dx.

Soit, en notant : cos²!x

0 a

a

! dx= sin²!x

0 L

a

! dx= cos²!y

0 a

a

! dy= sin²!y

0 L

a

! dy= a 2^, d’où : E_P^max=T

4A² ! a

!

"

# $

%&

2

, et E_C^max=!

8 A²"², d’où finalement : E_P^max=E_C^max!TA²!²

4a² = "A²#²

8 !#=!

a 2T

" ^.

On retrouve donc bien le résultat annoncé. Il s’agit ici d’un calcul exact pour la pulsation de résonance du mode fondamental (1,1).

Pour le cas de la membrane carrée de côtés 2a, la fonction d’essai proposée :

!(x,y)=Acos"x 2acos"y

2a , vérifie bien les 4 conditions aux limites d’encastrement. Il

faut noter par rapport au cas précédent que nous prenons donc ici des fonctions cosinus, au lieu de fonctions sinus dans le calcul précédent, justement pour pouvoir vérifier les conditions aux limites d’encastrement (déplacement transversal nul) sur les 4 côtés. Les calculs procèdent de manière tout à fait similaire à ceux qui précèdent :

E_P=A² !² 4a²

T

2 sin!x 2acos!y

2a

!

"#

$

%&

2

+ cos!x 2asin!y

2a

!

"#

$

%&

' 2

()

*)

+ ,)

S -)

.. dxdy.

Sachant que les intégrales du type : cos² !x

2a

!

"

# $

%&

'a +a

( dx=1

2 1+cos !x a

!

"

# $

%&

)* +

,-

'a .

+a

( dx=1

2 , on obtient finalement pour l’énergie potentielle :

E_P^max= A²!²T 8a²

1 4+1

4

!

"

# $

%&= A²!²T 16a² . De même, l’énergie cinétique s’écrit ici :

E_C^max=A²!²"

2 cos²#x 2a

!

"

# $

%& cos²#y 2a

!

"

# $

%&

S

'' dxdy=1

4A²!²"

2 , soit finalement en écrivant le critère de Rayleigh :

E_C^max=E_P^max!!= "

2a T

# ^.

On retrouve bien le résultat du calcul précédent, à ceci près qu’ici la longueur du côté est double par rapport à celle de l’autre cas, ce qui se retrouve bien dans les deux expressions obtenues, puisque la racine carré de 2 est passée du numérateur au dénominateur dans les deux calculs menés. Une fois encore ici, la fonction d’essai retenue n’est rien d’autre que la déformée théorique, et dans ce cas, il n’est donc pas surprenant de retrouver exactement par la méthode du critère de Rayleigh la valeur théorique exacte pour la pulsation du mode fondamental (1,1) de vibrations de la membrane.

Exercice 56 : Méthode de Rayleigh pour une membrane rectangulaire (A)

Calculer la fréquence fondamentale par la méthode de Rayleigh pour les vibrations d’une membrane rectangulaire de côtés a et b (avec b=a/2) dans le plan Oxy, en prenant comme déformée modale la fonction !(x)=2xy x

(

!a

) (

^2y!a

)

. On notera ρ la masse surfacique et T la tension de la membrane.

Solution :

La fonction d’essai vérifie bien les conditions d’encastrement sur les 4 côtés. En supposant pour le mode fondamental (1,1) une fonction temporelle sous la forme : f(t)=sin!₁₁t, on peut alors calculer les expressions des énergies cinétiques et

potentielles, à savoir en utilisant la méthode de séparation des variables, et en notant pour le champ de déplacement transversal w(x,y,t)=!(x,y)f(t):

E_C =! 2

!w

!t

"

#$ %

&

'

2 S

(( dS=2!"₁₁² cos²("₁₁t) x²(x)a)²dx

0 a

( y²(2y)a)²dy

0 a/2

( ,

!E_C=2!"₁₁²a¹⁰cos²("₁₁t) 1 5"1

2+1 3

#$

%

&

'( 1 40" 1

16+ 1 24

#$

%

&

'(=2!"₁₁²K₁a¹⁰cos²("₁₁t), avec :K₁=0, 0001389.

De même, pour le calcul de l’énergie potentielle :E_P=T 2

!w

!x

"

#$ %

&

'

2

+ !w

!y

"

#$ %

&

' ( 2

)

*

*

+ , -

S -

.. dS,

E_P=Tsin²(!₁₁t) (2x!a)²y²

S

"" (2y!a)²dxdy+ x²(x!a)²

S

"" (4y!a)²dxdy

#$

%

&

'( ,

E_P=Tsin²(!₁₁t) (2x!a)²

0 a

" dx y²(2y!a)²

0 a/2

" dy+ x²(x!a)²

0 a

" dx (4y!a)²

0 a/2

" dy

#$

%

&

'(,

!E_P=Ta⁸sin²(!₁₁t) 4

3"2+1

#

$% &

'( 1 40" 1

16+ 1 24

#

$% &

'(+ 1 5"1

2+1 3

#

$% &

'( 2 3"1+1

2

#

$% &

'( )*

+

,- .,

!E_P =Ta⁸K₂sin²(!₁₁t), avec :K₂=0, 001955. Finalement, on obtient :

E_C^max=E_P^max!!₁₁=(1 /a)

{

K₂/K₁

}

^{T/!=3, 752 (c/a), avec : c= T/!.}

Il faut comparer cette valeur avec celle de la pulsation théorique exacte, à savoir pour ce cas : !₁₁=3, 51 (c/a). La valeur obtenue avec la fonction d’essai est bien entendu ici une nouvelle fois supérieure à la valeur théorique (de près de 7 %). Ce résultat qui n’est pas très bon tient au choix de la fonction d’essai à base de fonctions algébriques qui s’écartent des déformées modales théoriques, cf. exercice précédent pour une membrane carrée. Ce résultat de 3,51 correspond à ! 5 / 2.

Exercice 57 : Méthode de Rayleigh pour une membrane circulaire (A)

Calculer la fréquence fondamentale par la méthode de Rayleigh pour les vibrations d’une membrane circulaire de rayon R, en prenant comme déformée modale la fonction

!(r)=Acos "r 2R

!

"

# $

%&. On notera σ la masse surfacique et T la tension de la membrane.

Solution :

La fonction d’essai vérifie bien la condition d’encastrement sur son pourtour (en r=R).

A priori le champ de déplacement transversal de la membrane pour le mode

fondamental s’écrit : w(r,t)=!(r)f(t)=Acos "r 2R

!

"

# $

%&sin#t. Les expressions pour ce

problème des énergies cinétiques et potentielles se mettent sous les formes classiques : E_C =!

2

!w

!t

"

#$ %

&

'

0 R

(

2

2"rdr ; E_P=T 2

!w

!r

"

#$ %

&

'

0 R

(

2

2"rdr. Le critère de Rayleigh impose : E_C^max=E_P^max, avec :

E_C^max=!

2"² #²

0 R

! 2$rdr ; E_P^max=T

2 d#

dr

"

#$ %

&

'

0 R

!

2

2$rdr,

!!"² cos² #r 2R

"

#$ %

&

( '

)* +

,-

0 R

. rdr=T #²

4R² sin² #r 2R

"

#$ %

&

( '

)* +

,-

0 R

. rdr.

Les deux intégrales : I₁= cos² !r 2R

!

"

# $

%&

'

() *

+,

0 R

- rdr ; I₂= sin² !r

2R

!

"

# $

%&

'

() *

+,

0 R

- rdr, s’intègrent par parties ( ), en ayant noté les identités trigonométriques :

cos² !r 2R

!

"

# $

%&=1

2 1+cos !r R

!

"

# $

%&

'

() *

+, ; sin² !r 2R

!

"

# $

%&=1

2 1-cos !r R

!

"

# $

%&

'

() *

+,,

et en notant : u=r ; dv=cos(!r/R)!du=dr ; v=(R/!)sin(!r/R). On obtient finalement pour le calcul de ces deux intégrales :

I₁=1 2 r dr

0 R

! +1

2 rcos !r R

"

#$ %

&

'

0 R

! dr ; I₂=1

2 r dr

0 R

! (1

2 rcos !r R

"

#$ %

&

'

0 R

! dr,

soit après avoir effectué les calculs finaux : I₁=R²

2 1 2! 2

!²

"

#$ %

&

' ; I₂= R²

2 1 2+ 2

!²

"

#$ %

&

' ("= ! 2R

T

# 1 2+ 2

!²

"

#$ %

&

' 1

2! 2

!²

"

#$ %

&

', soit : !=2, 415

R T

" , au lieu de !=2, 404

R T

" (valeur théorique exacte, cf. premier

zéro de la fonction de Bessel d’ordre 0, cf. Table ), soit une différence de 10 sur 2400 (environ 0,4 %, ce qui est très faible). Cette tendance, avec une valeur approchée assez précise, tient à ce que la fonction de Bessel d’ordre 0 peut-être approximée par une fonction cosinus. Il existe d’ailleurs des développements asymptotiques allant dans ce sens pour des valeurs élevées de l’argument des fonctions de Bessel. La précision de ce résultat n’est donc a priori pas surprenante.

Exercice 58 : Méthode de Rayleigh pour une plaque carrée appuyée sur ses 4 côtés (A)

Calculer la fréquence fondamentale par la méthode de Rayleigh pour les vibrations d’une plaque carrée de côtés a dans le plan Oxy, en prenant comme champ de

u dv=

[ ]

uv

! "!v du

déplacement transversal la fonction : w(x,y,t)=!(x,y)f(t)= Asin"x a sin"y

a

!

"

# $

%&cos#₀t. On notera ρ la masse volumique de la plaque, et D son module de rigidité de flexion.

Solution :

La fonction d’essai n’est rien d’autre que la déformée modale théorique exacte. Elle vérifie sur chacun des 4 côtés que le déplacement transversal soit bien nul, ainsi que sa dérivée seconde (c’est-à-dire le moment fléchissant). Dans ce cas, en principe, nous devons retrouver le résultat théorique exact.. Les calculs sont assez voisins, sur le principe tout du moins de ceux de l’exercice 56, pour une membrane carrée. Toutefois, il faut ici introduire l’opérateur bi-harmonique qui intervient dans le laplacien, cf.

expression de l’énergie potentielle. Il faut donc écrire ici : E_C =1

2!!_Sw!²dS=1

2A²!"₀²

(

sin²"₀t

)

^!S"_#^$sin!_a^xsin!_a^y%_&^'2dxdy,

E_P=1

2D"_S!!wdS=1

2D

(

cos²!₀t

)

^"S$_%^&&#_#x^4!4+#_#y^4!4+2_#x^#24_#y^!2'₍^))dxdy,

en ayant noté le laplacien scalaire en coordonnées planes : != "²

"x²+ "²

"y²

#

$

%%

&

' ((. On peut dès lors terminer les calculs à partir du critère de Rayleigh :

E_C^max=1

2A²!"₀² sin²#x a

!

"

# $

%&

0 a

' dx sin²#x

a

!

"

# $

%&

0 a

' dy=1

8A²!"₀², E_P^max= !⁴

a⁴

!

"

##

$

%

&

&

1

2A²D 2 sin²!x a

!

"

# $

%&

'S sin²!y

a

!

"

# $

%&dxdy+2 cos²!x a

!

"

# $

%&

'S cos²!y

a

!

"

# $

%&dxdy (

)* +

,-, d’où :E_P^max= !⁴

a⁴

!

"

##

$

%

&

&1

2A²D'E_C^max=E_P^max'"₀=2!² a²

D

# ^.

Il s’agit du résultat exact obtenu dans les rappels de cours pour la pulsation du mode fondamental (1,1).

Exercice 59 : Méthode de Rayleigh - Ritz pour une corde vibrante (B)

Calculer la fréquence fondamentale ainsi que celle du deuxième harmonique pour les vibrations d’une corde de longueur 2L, alignée le long de l’axe Ox, en prenant comme déformée modale la fonction !(x,y)=A₁(L²!x²)+A₂x²(L²!x²). On notera µ la masse linéique et T la tension de la corde.

Solution :

Il s’agit de la suite de l’exercice 49 où nous avions calculé la pulsation de résonance par la méthode de Rayleigh. Il faut étendre ce calcul ici au deuxième mode, en vue

d’estimer sa pulsation de résonance, et pour cela, il faut introduire un deuxième terme dans la fonction d’essai, à savoir : !(x)=A₁(L²!x²)+A₂x²(L²!x²). Les calculs procèdent de la manière habituelle en évaluant l’énergie cinétique, puis l’ énergie potentielle le long de la corde. On obtient pour les deux intégrales types (il suffit de calculer ces quantités énergétiques entre 0 et L, par raison de symétrie avec l’intervalle entre 0 et –L) :

!²(x)

0 L

! dx=A₁²₀^L!

(

L⁴"2L²x²+x⁴

)

^dx+2A1A2L₀^!

(

^{x2L4"2L2x4+x6}

)

^dx

+A₂²₀^L"

(

x⁴L⁴!2L²x⁶+x⁸

)

^dx=₁₅^{8 A12L5+}₁₀₅^{16 A1A2L7+}₃₁₅^{8 A22L9,}

d!(x) dx

!

"

# $

%&

0 L

'

2

dx=4

3A₁²L³(4A₁A₂^L₀^'2x²

(

L²(x²

)

^dx+4A22₀^L'x2

(

^L2(2x2

)

^2dx,

=4

3A₁²L³+ 8

15A₁A₂L⁵+ 44

105A₂²L⁷.

L’étape suivante consiste à minimiser la fonctionnelle suivante, en relation avec la méthode de Rayleigh – Ritz (en prenant ici i = 1 ou bien i = 2):

!

!A_i

d!(x) dx

"

#$ %

&

' ("^{2 T}

#

"

#$ %

&

'!²(x) )*

+

,-

0 .

L

/

2

dx 0

1 22

3 4 55=0.

Il s’agit d’un système homogène de deux équations à deux inconnues, s’écrivant : 8

3A₁L³+ 8

15A₂L⁵!k² 16

15A₁L⁵+ 16 105A₂L⁷

"

#$ %

&

'=0 8

15A₁L⁵+ 88

105A₂L⁷!k² 16

105A₁L⁷+ 16 315A₂L⁹

"

#$ %

&

'=0 (

)

**

+

**

,

avec : k=! T/" ^. Soit après factorisation :

1!2 5k²L²

"

#$ %

&

'A₁+L² 1 5! 2

35k²L²

"

#$ %

&

'A₂=0 1!2

7k²L²

"

#$ %

&

'A₁+L² 11 7 ! 2

21k²L²

"

#$ %

&

'A₂=0 (

)

**

+

*

*

.

Le déterminant associé à ce système d’équations homogènes doit être nul, ce qui fournit une équation algébrique du second degré, dont les solutions sont justement la quantité kL, elle même en relation avec le nombre d’onde k et donc in fine avec les deux pulsations de résonance ! des deux premiers modes propres, par la relation :

!=k " /T . On obtient finalement :

1!2 5k²L²

"

#$ %

&

' 11

7 ! 2 21k²L²

"

#$ %

&

' ! 1!2

7k²L²

"

#$ %

&

' 1

5! 2 35k²L²

"

#$ %

&

'=0,

!k⁴L⁴"28k²L²+63=0!k²L²=14± 133, soit les deux racines :

k²L²=2, 46744, et : k²L²=25, 53, au lieu des valeurs exactes pour les deux premiers modes : k²L²=

(

!²/ 4

)

^{=2, 46740, et : k2L2=}

(

^{9!2/ 4}

)

^{=22, 207}. La pulsation de résonance est cette fois-ci très précise pour le mode fondamental (4 sur 246740, soit 0,0016 %), alors que l’estimation du second harmonique est plus grossière. La prise en compte du troisième harmonique, sous la forme :

!(x)=A₁(L²!x²)+A₂x²(L²!x²)+A₃x⁴(L²!x²),

permet d’affiner le second mode (précision de l’ordre du %), mais les calculs détaillés effectués à la main deviennent lourds et fastidieux.

Exercice 60 : Méthode de Rayleigh - Ritz pour une poutre « encastrée – libre » en mouvement longitudinal (A)

Calculer les pulsations de résonance pour les deux premiers modes d’une poutre en mouvement longitudinal à l’aide de la méthode de Rayleigh – Rite, en prenant un champ de déplacement sous la forme : u(x,t)= f₁(t) sin!x

2L

!

"

# $

%&+f₂(t) sin3!x

2L

!

"

# $

%&.

La poutre est modélisée à l’aide de sa longueur L, de sa section S, de sa masse volumique !, et de son module d’Young E.

Solution :

Il faut commencer par calculer l’énergie cinétique puis l’énergie potentielle, à savoir : E_C =1

2!S !u

!t

"

#$ %

&

'

0 L

(

2

dx=1

2!S f!₁ sin!x 2L

"

#$ %

&

'+ f!₂ sin3!x 2L

"

#$ %

&

) '

*+ ,

-.

0 L

(

2

dx,

!E_C=1

4!S

(

f!₁²+f!₂²

)

^{, car : L}₀^'!_"^#sin!_2L^x$_%^&2dx=₀^L'!_"^#sin3_2L^!x$_%^&2dx=1₂^,

et : sin!x 2L

!

"

# $

%& sin3!x 2L

!

"

# $

%&

0 L

' dx=0 (car fonctions orthogonales).

De même : E_P=1

2ES !u

!x

"

#$ %

&

'

0 L

(

2

dx=1

2ES f₁ ! 2L

"

#$ %

&

' sin!x

2L

"

#$ %

&

'+f₂ 3!

2L

"

#$ %

&

' sin3!x

2L

"

#$ %

&

) '

*+ ,

-.

0 L

(

2

dx,

!E_P=1

2 ES

L

"

#$ %

&

' !²

8L² f₁²+9!² 8L² f₂²

"

#

$$

%

&

'',

pour le même type d’arguments sur les intégrales de fonctions orthogonales, et pour leur normalisation : sin!x

2L

!

"

# $

%&

0 L

'

2

dx= sin3!x 2L

!

"

# $

%&

0 L

'

2

dx=1 2.

Il ne reste alors plus qu’à appliquer les équations de Lagrange aux deux fonctions f₁ et f₂, vues comme des coordonnées généralisées de Lagrange. On obtient aisément :