D YNAMIQUE DES SYSTÈMES MÉCANIQUES : O NDES ET VIBRATIONS

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ENSTA - C OURS MS 204

D YNAMIQUE DES SYSTÈMES MÉCANIQUES : O NDES ET VIBRATIONS

Amphi 3

ENSTA – MS 204 – 2014/2015 Dynamique des systèmes mécaniques – cours 3

R APPELS

◮ Milieu fini : analyse globale.

Le problème est constitué d’une EDP assortie de conditions aux limites.

◮ Formalisme des ondes propagatives n’est plus adapté.

◮ méthode :

1. Séparation des variables temps et espace.

2. Résolution du problème spatial concept de mode propre.

◮ Dans ce cours :

◮

Modes propres : cas général

◮

Orthogonalité

◮

Projection modale

◮

Méthode générale de résolution

Modes propres : cas général Orthogonalité Projection modale Conclusion

Définitions Exemples

D ^ÉFINITIONS

◮ Milieu Ω, de frontière ∂Ω.

◮ Soit w(x, t) le déplacement recherché.

∀ x ∈ Ω, ∀ t : ∂ ² w

∂t ² + L(w(x, t)) = 0.

∀ x ∈ ∂Ω, ∀ t : B i (w(x, t)) = 0, i = 1... p.

◮ L : opérateur spatial d’ordre p exprimant les diverses forces.

Exemples :

–Corde de tension uniforme T : L ≡ −c ² _∂x ^∂

²2

. –Poutre en flexion : L ≡ ^EI _ρS _∂x ^∂

⁴₄

.

N OTIONS DE THÉORIE SPECTRALE

◮ Recherche d’une solution à variables séparées :

w(x, t) = q(t)φ(x).

◮ Problème de Sturm-Liouville :

∀ x ∈ Ω, L(φ(x)) = ω ² φ(x)

∀ x ∈ ∂Ω, B i (φ(x)) = 0, i = 1... p.

◮ Problème aux valeurs propres.

◮ Modes propres ⇔ fonctions diagonalisant l’opérateur L.

◮ cadre mathématique : théorie spectrale.

◮ Solution : infinité dénombrable de modes propres {φ 1 , φ 2 , ... } et de pulsations propres {ω 1 , ω 2 , ... }.

(2)

CALCUL DES MODES PROPRES :

EXEMPLES

E XEMPLE 1 : POUTRE EN FLEXION

◮ équation locale (modèle d’Euler-Bernoulli) :

∂ ² w

∂t ² = − EI ρS

∂ ⁴ w

∂x ⁴ .

◮ Description des conditions aux limites :

obtenues comme limites des deux cas suivants :

x=0 x

w(x,t) K

_f

x=0 x

w(x,t) K

_r

P OUTRE EN FLEXION : CONDITIONS AUX LIMITES

◮ Description des conditions aux limites :

x=0 x

w(x,t) K

_f

x=0 x

w(x,t) K

_r

EI ∂

³

w

∂x

³

x=0,t

+K

f

w(0, t) = 0 EI ∂

²

w

∂x

²

x=0,t

+K

r

∂w

∂x

x=0,t

= 0

◮ En faisant tendre les raideurs vers 0 et ∞, on obtient quatre conditions aux limites standards.

P OUTRE EN FLEXION : CONDITIONS AUX LIMITES

◮ encastré :

w(0, t) = ∂w

∂x = 0.

◮ libre :

∂

²

w

∂x

²

= ∂

³

w

∂x

³

= 0.

◮ rotulé :

w(0, t) = ∂

²

w

∂x

²

= 0.

◮ glissant :

∂w

∂x = ∂

³

w

∂x

³

= 0.

appui glissant

rotulé encastré

libre

(a) (b)

(3)

P OUTRE EN FLEXION : MODES PROPRES

◮ Problème de Sturm-Liouville : équation aux valeurs propres :

∂ ⁴ φ

∂x ⁴ = ρS EI ω ² φ.

◮ Solution générale :

φ(x) = a 1 cos(kx) + a 2 sin(kx) + a 3 ch(kx) + a 4 sh(kx),

◮ équation de dispersion :

k ⁴ = ρS EI ω ² .

P OUTRE EN FLEXION : CAS ENCASTRÉ - LIBRE

◮ cas de la poutre encastrée en x = 0, libre en x = L : φ(x = 0) =

∂φ

∂x

x=0

= 0, ∂ ² φ

∂x ²

x=L

= ∂ ³ φ

∂x ³

x=L

= 0.

◮ condition en x = 0 = ⇒ a 3 = −a 1 , et a 4 = −a 2 .

◮ condition en x = L :

(cos kL + chkL) a 1 +(sin kL + shkL) a 2 = 0, (sin kL − shkL) a 1 −(cos kL + chkL) a 2 = 0.

=⇒ cos kL = −1/chkL

P OUTRE EN FLEXION : CAS ENCASTRÉ - ^LIBRE

◮ Résolution graphique et fréquences propres :

0 2 4 6 8 10 12 14 16

−1 0 1

L k

ω n = s EI

ρS k _n ²

◮ Application numérique : Poutre en aluminium, épaisseur 1 cm, longueur 30 cm.

n 1 2 3 4

knL 1.8751 4.6941 7.8547 10.9955

(3π/2 = 4.7124) (5π/2 = 7.8540) (7π/2 = 10.9956)

fn(Hz) 90.7 568.6 1592 3120

P OUTRE EN FLEXION : CAS ENCASTRÉ - ^LIBRE

◮ Déformées modales :

φ

n

(x) = a

1

cos k

n

x − chk

n

x + sin k

n

L − shk

n

L

cos k

n

L + chk

n

L (sin k

n

x − shk

n

x)

0

(4)

P OUTRE EN FLEXION : CAS GLISSANT - ROTULÉ

◮ Pulsations propres et modes propres :

ω

n

= s

EI ρS

(2n + 1)

²

π

²

4 , φ

n

(x) = √ 2

cos k

n

x + cos k

n

L chk

n

L chk

n

x

.

0 0

A PPLICATION : ACCORD DES BARRES DE VIBRAPHONE

◮ barre de vibraphone : poutre libre-libre.

◮ vibration de flexion dispersive : fréquences propres non-harmoniques.

◮ On peut calculer le profil adapté afin que les premières fréquences propres aient un rapport harmonique. Exemple ci-dessous (Henrique et Antunes, 2002).

E ^XEMPLE 2 : MODES DE BALLOTTEMENT

x

y z

H

l

L

E ^XEMPLE 2 : MODES DE BALLOTTEMENT

x

y z

H

l

L

◮ Équation locale : ∆φ = 0.

◮ condition aux limites : –bords immobiles :

∂φ

∂x

x=0

=

^∂φ_∂x

x=L

=

^∂φ_∂y

y=0

=

^∂φ_∂y

y=l

=

^∂φ_∂z

z=0

= 0.

–surface libre : ^∂ _∂t

²

^φ

2

+ g ^∂φ _∂z

z=H = 0.

(5)

E XEMPLE 2 : MODES DE BALLOTTEMENT

◮ Solution à variables séparées :

φ(x, y, z, t) = ψ(x, y, z)e ^iωt = A(x)B(y)C(z)e ^iωt .

◮ L’équation locale montre que : ^A _A

^′′

+ ^B _B

^′′

+ ^C _C

^′′

= 0, soit : A ^′′

A = − B ^′′

B + C ^′′

C

= −α ²

◮ Soit, avec les conditions aux limites en x : A n (x) = a 1 cos nπx L

E XEMPLE 2 : MODES DE BALLOTTEMENT

◮ Idem pour B :

B

^′′

B = α

²

− C

^′′

C = − β

²

◮ Avec les CL en y :

B m (y) = b 1 cos mπy l

◮ Pour C :

C

^′′

C = α

²

+ β

²

= γ

²

◮ La condition au fond en z = 0 impose : C(z) = c chγz

E ^XEMPLE 2 : MODES DE BALLOTTEMENT

◮ la condition de surface libre donne les pulsations propres : ω n,m = q

gγ n,m tanh(γ n,m H) Avec :

γ n,m =

r n ² π ²

L ² + m ² π ² l ² .

◮ Déformées modales :

ψ n,m (x, y, z) = cos nπx

L cos mπy

l chγ n,m z

E ^XEMPLE 2 : MODES DE BALLOTTEMENT

Déformations de la surface libre :

0 1

2 0 0.5

−1 1

−0.5 0 0.5 1

0 1

2 0 0.5

1

−1

−0.5 0 0.5 1

0 0.5

1 1.5

2 0 0.5

1

−1

−0.5 0 0.5 1

0 0.5

1 1.5

2 0 0.5

−1 1 0 1

x y x

y

x y x y

mode (2,1) mode (1,0)

mode (2,2) mode (4,2)

(6)

M ODES PROPRES : CALCUL NUMÉRIQUE

◮ Lorsque le problème de Sturm-Liouville n’est pas soluble analytiquement :

Résolution numérique.

(méthodes des éléments finis, des différences finies, ...)

◮ Exemple 1 : modes propres de la table d’harmonie d’une guitare :

181 Hz 289 Hz 309 Hz 448 Hz 532 Hz 586 Hz

M ODES PROPRES : CALCUL NUMÉRIQUE

◮ Exemple 2 : modes propres d’un moteur Vulcain de fusée Ariane :

M ODES PROPRES : CALCUL NUMÉRIQUE

◮ Exemple 2 : modes propres d’un moteur Vulcain de fusée Ariane :

◮ Exemple 3 : modes propres d’un modèle de cœur humain :

maillage du coeur humain mode 1

mode 2 mode 3

(7)

M ODES PROPRES : MESURE EXPÉRIMENTALE

◮ Fort contenu physique de la notion de mode propre : Ils sont facilement mesurables !

Analyse modale (Amphi 5).

◮ A chaque déformée modale est associée une pulsation propre.

Si l’on excite le système à cette fréquence : Phénomène de résonance.

Seul le mode excité va répondre.

Mesure aisée de la déformée modale.

M ODES PROPRES : MESURE EXPÉRIMENTALE

◮ Exemple 1 : Poutre encastrée-libre, mode 2:

0 0.5 1

−0.04

−0.02 0 0.02 0.04

47 48 49

−0.02

−0.015

−0.01

−0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02

x

t [adim]

displacement w

X1 X2

Numerical simulation, model composed of two NNMs

Experimental measurement (Pai & Lee, JSV, 2003)

E ^XEMPLE 2 : MODES DE BALLOTTEMENT

Illustration expérimentale :

E ^XEMPLE 3 : ^GUITARE

◮ Mesure expérimentale par interférométrie holographique, comparée au calcul numérique :

181 Hz 289 Hz 309 Hz 448 Hz 532 Hz 586 Hz

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E XEMPLE 4 : PLAQUE CIRCULAIRE À BORD LIBRE

◮ Comparaison théorie/expérience, mesure réalisée à l’UME par vibrométrie laser à balayage.

E XEMPLE 5 : A RCHE

◮ Modes propres d’une arche :

R α EI, S ρ

(symétrique) mode 1

(antisymétrique) mode 2

◮ “Mesure” expérimentale sur un pont en construction...

Définitions Orthogonalité Modes normaux

O RTHOGONALITÉ

F ^ORMULATION

◮ Réécriture de la dynamique sous la forme :

∀x ∈ Ω, ∂ ²

∂t ² [M(w(x, t))] + K(w(x, t)) = 0

◮ Exemple : Poutre en flexion, section non-uniforme :

∂

²

∂t

²

[ρS(x)w(x, t)] = −

∂

²

∂x

²

EI(x) ∂

²

w

∂x

²

◮ M : opérateur de masse.

◮ K : opérateur de raideur.

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F ORMULATION

◮ Le problème de Sturm-Liouville se réécrit :

∀ x ∈ Ω, K(φ(x)) = ω ² M(φ(x)),

∀ x ∈ ∂Ω, B i (φ(x)) = 0, i = 1... p.

◮ K et M : opérateurs d’ordre au plus p.

D ÉFINITION D ’ UN PRODUIT SCALAIRE

◮ Soit :

< f |g > = Z

Ω

f gdΩ.

agissant sur l’ensemble des fonctions admissibles.

◮ bilinéaire

◮ symétrique

◮ défini positif

◮ c’est un produit scalaire.

D ^ÉFINITION : OPÉRATEURS AUTO - ^ADJOINT

◮ Les opérateurs K et M sont auto-adjoints ssi :

< f|K(g) > = < K(f)|g >,

< f |M(g) > = < M(f )|g > .

◮ Les opérateurs K et M sont définis positifs ssi :

< f | K(f ) > ≥ 0, et < f | M(f ) > ≥ 0.

< f | K(f ) > = 0 = ⇒ f = 0.

◮ Si K et M sont définis positifs, on peut définir :

< f|g > K = Z

Ω

f K(g)dΩ,

< f|g > M = Z

Ω

f M(g)dΩ.

M ODES PROPRES : ORTHOGONALITÉ

◮ Soient deux fonctions propres φ p et φ q , de valeurs propres ω _p ² et ω _q ² :

K(φ p ) = ω ² _p M(φ p ), K(φ q ) = ω ² _q M(φ q ).

◮ Si le problème est auto-adjoint, il vient : ω _p ² − ω _q ²

Z

Ω

φ q M(φ p )dΩ = 0.

◮ Pour des valeurs propres différentes :

Les fonctions propres φ p et φ q sont orthogonales au sens de l’opérateur de masse M :

< φ p |φ q > M = 0

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M ODES PROPRES : ORTHOGONALITÉ

◮ En reportant dans les équations de départ, il vient : Z

Ω

φ q K(φ p )dΩ = 0

◮ Les fonctions propres φ p et φ q sont orthogonales au sens de l’opérateur de raideur K.

< φ p |φ q > K = 0

M ODES PROPRES : ORTHOGONALITÉ

◮ Quand p = q :

< φ p | φ p > M = m p ,

< φ p | φ p > K = k p ,

◮ On appelle :

–m p la masse modale du mode p.

–k p la raideur modale.

M ODES PROPRES : NORMALISATION

◮ Normalisation des fonctions propres par rapport à M :

∀ p, Z

Ω

φ p M(φ p )dΩ = 1, fixe la valeurs des constantes multiplicatives.

base orthonormée.

modes normaux du système.

◮ Soit finalement :

∀ (p, q), < φ p | φ q > M = δ p,q

< φ p | φ q > K = ω _p ² δ p,q (1) avec ω _p ² = _m ^k

^p_p

.

Expansion modale Problème temporel Méthode générale

E SPACE MODAL

◮ Résultats précédents :

La famille des modes propres forme une base de projection.

◮ Idée générale : projeter l’EDP sur la base des modes normaux du système.

(Le problème est résolu en espace).

◮ Expansion modale : solution cherchée sous la forme : w(x, t) =

+∞

X

p=1

X p (t)φ p (x).

X p (t) : amplitude modale du mode p.

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M ÉTHODE GÉNÉRALE DE RÉSOLUTION

◮ EDP gouvernant la dynamique :

∀x ∈ Ω, ∂ ²

∂t ² [M(w(x, t))] + K(w(x, t)) = p(x, t) avec p(x, t) : efforts extérieurs.

◮ On insère le développement : w(x, t) =

+∞

X

p=1

X p (t)φ p (x).

M ÉTHODE GÉNÉRALE DE RÉSOLUTION

◮ Dans le cas non-normé, il reste :

∀n ≥ 1, m n X ¨ n + k n X n = F n (t) avec F n (t) la force modale :

F n (t) = Z

Ω

p(x, t)φ n (x)dΩ.

◮ On est passé d’une EDP à une infinité d’oscillateurs linéaires découplés.

◮ Il ne reste plus qu’un problème aux valeurs initiales, simple à résoudre.

E ^SPACE P ^HYSIQUE

◮ Inconnue : déplacement w(x, t).

◮ Dynamique : régie par une EDP (équation locale).

+ conditions aux limites + conditions initiales

E ^SPACE M ^ODAL

◮ Inconnues : déplacements modaux (généralisés) : X n (t).

◮ Dynamique : infinité d’oscillateurs linéaires découplés : m 1 X ¨ 1 +k 1 X 1 = F 1 (t)

m 2 X ¨ 2 +k 2 X 2 = F 2 (t) ....

m n X ¨ n +k n X n = F n (t) ....

+ conditions initiales

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M ÉTHODE GÉNÉRALE DE RÉSOLUTION

ESPACE MODAL ESPACE PHYSIQUE

problème : EDP sur w(x,t) + conditions aux limites + conditions initiales

PROJECTION

Forces généralisées :

n

Φ

n

(x)

F (t) = < p(x,t) | >

déplacements généralisés X

_n

Résolution du problème aux valeurs initiales

X (t)

_n

MODALE RECOMBINAISON

w(x,t)= Σ ^{X (t)}

n

Φ

_n

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