IIAttendus IUnpeud’histoire. Chapitre6:Logarithme.

(1)

Lycée Paul Rey Denis Augier

Chapitre 6 : Logarithme.

I Un peu d’histoire.

Ce logarithme est appelé népérien, en hommage au mathématicien écossais John Napier qui établit les premières tables logarithmiques (lesquelles ne sont en fait pas des tables de logarithmes népériens). On date en général l’origine des logarithmes népériens en 1647, lorsque Grégoire de Saint-Vincent travaille sur la qua- drature de l’hyperbole et démontre que la fonction ob- tenue vérifie la propriété d’additivité des fonctions logarithmes. Saint-Vincent ne voit cependant pas de lien avec les logarithmes de Napier, et c’est son disciple Alphonse Antoine de Sarasa qui l’expliquera en 1649.

Le logarithme népérien s’est tout d’abord appelé logarithme hyperbolique, en référence à l’aire sous l’hyperbole qu’il représente. L’appellation logarithme naturel apparaît pour la première fois en 1668, dans une note de Nicolaus Mercator sur la série qui porte son nom 13.

Cette série, exploitée par Newton en 167114, permet

de calculer assez simplement les valeurs du logarithme de Grégoire de Saint-Vincent. Le calcul des autres logarithmes apparaît alors bien compliqué et, naturelle- ment, celui de Grégoire de Saint-Vincent devient alors le logarithme le plus naturel.

II Attendus

• Savoir résoudre les équations du type e^X “ket lnX“k.(1-2 page 91)

• Savoir simplifier une expression en utilisant les propriétés algébriques du logarithme et de l’exponentiel.

(14 page 95)

• Savoir résoudre des équations et inéquations en utilisant les propriétés algébriques du logarithme et de l’exponentiel.(10 page 93)

• Savoir étudier une fonction.(9 page 93)

• Savoir primitiver 1 x et u¹

u.

• Savoir utiliser le logarithme pour tous les attendus des chapitres précédent, applicables au fonction faisant intervenir le logarithme.

TES1 2018-2019 1

(2)

III Définition et propriétés algébriques du logarithme né- périen.

A Définition.

La fonction logarithme népérien est la fonction définie surs0,`8rqui à tout réel strictement po- sitif x associe l’unique réel y solution de l’équa- tion :

e^y “x

On note cette solution : y“lnx.

Définition 1

Exercices 29 à 43 page 98-99

B Lien avec l’exponentielle.

Du fait de la définition :

• e^y “xôlnx“y. • @xPs0,`8r,e^ln^x “x. • @xPR,lnpe^xq “x.

Proposition 1

On a les valeurs déduites de celles de l’exponentielle :

• e⁰ “1ôln 1“0. • e¹“eôln e“1. • e^´1“ 1

e ôln1 e “ ´1.

Proposition 2

C Équation et inéquation.

Pour tous réels aetb strictement positifs, on a :

• lna“lnbôa“b. • lnaďlnbôaďb. (vrai aussi poură...) Proposition 3

Démonstration 1. En posant x“lna ety “lna(donc a“e^x et b“e^y), on déduit la proposition précédente des propriétés suivantes :

x“yôe^x“e^y et xďyôe^xďe^y Exercices 73 à 83 page 101

TES1 2018-2019 2

(3)

• Résoudre une équation 1.

• résoudre une inéquation Vidéo 1

D Représentation graphique du logarithme.

On obtient la représentation graphique du logarithme à partir de celle de l’exponentielle par symétrie par rapport à la droite d’équationy“x.

Position relative des deux courbes.

Vidéo 2

E Propriétés algébrique du logarithme.

Soient a et b deux réels strictement positifs (et l’on pose x “ lna et y “ lnb). Soit n un entier naturel. On obtient les propriétés algébriques du logarithme à partir des propriétés algébriques de l’exponentielle :

‚ lnpabq “lna`lnb.

‚ e^xe^y “e^x`y

‚ lna

b “lna´lnb

‚ e^x

e^y “e^x´y

‚ ln1

b “ ´lnb

‚ 1 e^y “e^´y

‚ lnpaⁿq “nlna

‚ pe^xqⁿ“e^nx Proposition 4

Démonstration 2. En posant x“lna ety “lna(donc a“e^x et b“e^y), on déduit la proposition précédente des propriétés suivantes :

e^xe^y “e^x`y loomoôon

On applique ln

ln

´

e^ln^ae^ln^b

¯

“lnpabq “ln` e^x`y˘

“x`y“lna`lnb

e^x

e^y “e^x´y loomoôon

On applique ln

ln ˆe^lna

e^ln^b

˙

“ln

´a b

¯

“ln` e^x´y˘

“x´y“lna´lnb

pe^xqⁿ“e^nx loomoôon

On applique ln

lnpaⁿq “lnpe^naq “nx“nlna

Exercices 67 à 72 page 100.

TES1 2018-2019 3

(4)

Les formules précédentes permettent de simplifier des expressions notamment.

Vidéo 3

IV Fonction logarithme.

Étude complète de la fonction logarithme.

Vidéo 4

A Dérivée.

Pour xą0, on a : ln¹pxq “ 1

x. Donc une primitive de 1

x est lnx.

Proposition 5

Étude de variation.

Vidéo 5

B Tableau de variation.

x ln¹x“ ¹_x

lnpxq

0 `8

` ` `

´8

`8

`8 1

0

e

1

Exercices 44 à 58 page 100.

C Convexité.

La fonction logarithme est concave sur s0,`8r.

Proposition 6

En effet, ln²pxq “ ´1

x² ă0. D’où le résultat.

Utilisation de la concavité du logarithme.

Vidéo 6

TES1 2018-2019 4