NOM, PRENOM : ........................................................ NUMERO°: ................................................................ Examen de mécanique rationnelle 2ième session 26/08/2010 (9h-12h)

(1)

NOM, PRENOM : ...

NUMERO°: ...

Examen de mécanique rationnelle 2

^ième

session 26/08/2010 (9h-12h)

Répondre sur le questionnaire et ne dégrafer que les brouillons

e

d R F

dt

e,

A G A A

d M mv v m

dt avec MA MB AB R ; MA mAG vA IA.

2 1

. avec . . .

2 2

A

h h A A

mv

dT F v T mv AG I

dt

1

et avec .

p

j h

i j i h

i i j i h i

d T T

L T V Q Q F

dt q q q q

Question 1 : Questions rapides (3 points)

Une masse m glisse sans frottement sur une tige mince homogène OA de masse M et de longueur L qui tourne librement dans un plan vertical autour de son extrémité O.

La masse est reliée à A par un ressort de masse négligeable, de coefficient de rappel k et de longueur libre L-r_O.

Peut-on écrire la vitesse du point P de la manière suivante :

P O

v v OP ?

Justifiez et, dans le cas contraire, donnez une expression de vP. (0.5 points)

A m O

k P

P n’appartient pas au même solide que O donc on ne peut pas appliquer la formule de distribution des vitesses.

1 1

P r

v dOP r r dt

 

Déterminer le terme I_xy du triangle dans le système d’axe centré au sommet (0.5)

b

(2)

Déterminer I_O (O est le centre de la sphère) d’une sphère pleine de masse m et de rayon R sans calculer d’intégrale et sachant que

2 2 x 5

I MR . (1)

x y

o

2 2 2 2 2 2

2

2 2 2 5 2

0 0 0 0

5 3 5

0

2 2

0 0

3 3 par symétrie 2 par symétrie

cos sin 2 cos sin

5

cos 4 1

2 ²

5 3 5 3 5

sin

O

xy

x xy xz xy

R xy

Sphère

I x y z dm x dm y dm z dm z dm I

I I I I

I r r d d dr R d

R R

M R

M r d d

3 0

4 3

R R

dr

Déterminer l’équation de mouvement du système composé d’une barre rigide de longueur l et de masse M tournant dans le plan vertical sans frottement autour de son centre et de deux masses ponctuelles m₁ et m₂ attachées aux extrémités de la barre (1 point)

1 2 2

solide

1 2 1 2

1 2

. 0 0

1 1 1 ² ²

² . . . 0 . 0 .

2 2 2 2 12 4

0 0

sin sin cos cos

2 2 2 2

² ²

cos cos

12 4 2 2

G G

z

m m l

M Ml

T v I

I

l l V l l

V m g m g Q m g m g

m m l

Ml l l

m g m g





(3)

Question 2 : Tige inclinée (5 points)

Une tige homogène AB de masse m et de longueur L se déplace dans le plan vertical fixe en s’appuyant en B contre un mur dépoli (coefficient de frottement f). Son extrémité A est reliée à un ressort de coefficient de rappel k, dont la longueur libre correspond à = 0.

Etablir l’équation différentielle du mouvement

A L

O C

B

2 2

1 1 1 1

. . . .

2 ^Gⁱ 2 ^Gⁱ 2 ^G^AB 2 ^G^AB

T mv I mv I

Un degré de liberté . On travaille avec une coordonnée généralisée donc la coordonnée doit être remplacée dans le Lagrangien avec la relation Lsin .

2

2 2

2 2 2 2

cos

avec cos 1 sin 1 sin 1 cos 1

2 2 2 2

1 1 1

et sin cos

2 4 2 12 6 2 2

1 sin 1 cos 1 et

x y G x y

L L

y y y B

L L L L

OG v

L L L k

T m m T mL V mg C L C L

OB L OB L F

 

  



2

1 1 avec 1

* cos

cos sin cos cos

3 2

B x B y B B y

B

N T T fN

Q L T

mL L

mg kL L L L fN

 



 



2

sin cos

2

1cos sin cos

2 2

à remplacer dans l'équation de mouvement.

1

x x

B

d R F dt

d L

m k L L N

dt

N mL L k L L

N

mL L L



 



(4)

Question 3 : Gyroscope (3 points)

Un gyroscope cylindrique (de rayon r et de masse M) est représenté sur la figure ci-contre. Les deux arceaux circulaires C₁ et C₂ de rayon R, peuvent tourner respectivement autour de l’axe z0 et u. Le cylindre tourne autour de son axe de révolution avec une vitesse angulaire .

1. Initialement le gyroscope est placé en O, que se passe-t-il ? 2. Le gyroscope est ensuite décentré (situé à une distance a du centre

O), déterminer la vitesse de précession du système ?

3. Si on veut supprimer ce mouvement, déterminer la valeur de la masse m_A à fixer en A.

m_e,O C_g

Mg

m_Ag m_e,O

C_g Mg

,0 ,

,

0

1. Pas de moment extérieur donc le gyroscope ne bouge pas.

2. Le couple extérieur à contrer : cos 1 . Le gyroscope va précessionner autour de l'axe z car l'axe du gyroscope va ess

O

e O g

e G u

d M m C

dt

m a Mg

0

2 ,

2

ayer de s'aligner sur le moment extérieur.

Pour contrer ce couple, le couple gyroscopique doit être

1 1 1

2

cos 1 cos 1 2 constant

2

g e O z z z

u u

C m Mr

Mr ag

a Mg

r

 

  



,

3. Il faut supprimer le couple extérieur, donc on ajoute une

masse telle que cos 1 cos 0

équilibre statique Le gyroscope ne précessionne plus.

A e G u A

A

m m a Mg R m g

m aM R

(5)

Question 4 : Vilebrequin (5 points) On étudie le mouvement plan d’un système

bielle/manivelle, constitué d’un vilebrequin (1 = solide de masse m₁ composé d’un cylindre de rayon r et de hauteur h soudé en O à un disque de rayon R), d’une bielle (2, tige de longueur L et de masse m₂), d’un piston (3, tige de longueur L₃ et de masse m₃) et d’un bâti fixe (0). Le mouvement de rotation du vilebrequin est transformé en mouvement rectiligne alternatif du piston par rapport au bâti.

Le vilebrequin est animé à l’aide d’un couple C.

OA=d ; OG=OA/2 ; AB=L ; 10

B z

v z

Déterminer la vitesse angulaire de chacun des solides S₁, S₂ et S₃.

Déterminer l’équation de mouvement de ce système à

l’aide des multiplicateurs de Lagrange. x₀

x₁ x2

z₀

y₀ B

O S₀ A

S₁ S₃

S₂

h S₁

O

C R

r

1 0 0 0

2 2

0

1 2

2

1 ; 1 ; cos 1 sin 1 sin 1 cos 1 avec l'angle

entre et

cos sin 0

sin cos

sin cos cos sin 0

sin 1

2 2

y z y z y z

G B S z

OA a OB z AB a z a L L

AB z

L a

z a L z a L

L L

v v BG z 

1

3 2

2 2 2

2 2

1 1

1

cylindre disque

2

2 2

2 2 2

2 3

2

1

cos 1

1 1

2 2 2 2 2

4 sin 1

2 2 12 2

2sin

y

a b

b

S

S S

b

M r M R d

T M

M z L L z

M z M L

V M gd



 

 

 

2 3

2 2 2 2

2 3

2 2 2

1 1 2 2

1

2cos

1 sin

2 2 2 2 2 6 2

a b

b

M g z L M gz

M M

M r M R d M L M

L M  z  L z

(6)

1 2

2 2 2 2

2 3

2 2 2

1 1 2 2

1

1 2 3

2

1 1

cos sin 0

1 sin

2 2 2 2 2 6 2

sin cos

2 2

: 2

a b

b

a

L a

z a L

M M

M r M R d M L M

L M z L z

d L

M g M g z M gz

M r M

   

2 2

1 1 1 2

2 2

2 2 2 1 2

2

2 3 2 2 2 3 2

cos sin cos

2 2 2

: sin cos sin cos sin

3 2

: sin cos

sin cos

b

b b

R d d

M M g C a a

M L L

M Lz M Lz M g L L

z M M z M L M L M M g

L a

z a L



   

 



(7)

Question 5 : Question de théorie (4 point)

Démontrer la formule de l’énergie cinétique d’un solide indéformable.

2

1 1

2 2 .

1 . 2 . .

2

1 1

. .

2 2

. 1 .

2 2

. . . .

. 1 .

2 2

P A A

A A A

A A

T dmv dm v AP v AP

T dm v v v AP AP AP

T v dm v dm AP dm AP AP

T mv v m AG dm AP AP

a b c b a c AP AP AP AP

T mv v m AG dm AP AP

.

par définition du tenseur

On montre que :

A

i A

I

ijk j k ijk j k kij k j

i

i j i j j i j j i j j i i

I I

AP AP AP AP AP AP AP AP

AP AP AP AP AP AP AP AP AP AP



2

ou, par définition : .

. .

. 1 . .

2 2

Au centre de

A i

I

ij

A A j k k ij i j j k k ij j i j j

i

i i

i

A

A A

I I AP AP AP AP dm AP AP AP AP dm

AP AP AP AP dm dm AP AP

T mv v m AG I



2

2 , 2

2 2 2

, , , ,

,

masse : 1 . .

2 2

Dans les axes principaux :

0 0

1 1

. 0 0

2 2 2 2

0 0

G

G x

G G

G y G x G y G z

G z

T mv I

I p

mv mv

T I q I p I q I r

I r

(8)

BROUILLON

(9)