NUMERO°: ... Examen de mécanique rationnelle 1

Faculté des Sciences Appliquées Mécanique Rationnelle 2

Année académique 2006-2007 2e année de bachelier

NOM, PRENOM : ...

NUMERO°: ... Examen de mécanique rationnelle 1

^ère

session 15/06/2007 (8h-12h)

Répondre sur le questionnaire et ne dégrafer que les brouillons

e

d R F dt =

∑

e,

A G A A

d M mv v m

dt = × + avec MA =MB+AB R× ou MA=mAG v× A+IA.ω

( )

2 1

. avec . . .

2 2

A

h h A A

mv

d T F v T mv AG I

dt =

∑

= +

ω

× +

ω ω

1

et avec .

p j h

i j i h

i i j i h i

d T T

L T V Q Q F

dt q q q q

φ ϕ

λ

=

∂ ∂

∂ ∂

= − − = + =

∂_& ∂

∑

∂

∑

∂

Question 1 : (4 points + bonus : 1 point)

Considérons un système plan composé de deux solides S1

(tige) et S2 (disque).

La tige homogène OA (S1) de longueur 2L et de masse m1

tourne autour de la rotule O (liaison pivot). L’angle entre la tige et la vertical est donnée : α.

Le disque (S2) de rayon R et de masse m2 est lié à la tige en A par une rotule. La distance entre le centre du disque et la rotule A vaut d.

A O

G2

Cm

Déterminer le nombre de degrés de liberté du système.

2 solides en 2D =>2*3 coordonnées = 6 coordonnées Tige : fixée en O par une rotule (2 réaction de liaison) ; = 2

Disque : Point A lié à la tige par une rotule (2 réaction de liaison) = 2 Ö 2 ddl.

Déterminer la vitesse angulaire des deux solides.

1/ 0

2 / 0

1 lié à la tige, centré en O. => 1

2 lié au disque, centré en A => 1 1

R R tige z

R R disque z z

R R

ω ω α

ω ω α β

 = =



= = +



&

&

Déterminer le Lagrangien du système

( ) ( )

( ) ( ) ( ( ) )

( ) ( )

1 1 1

1 1

2 1 2 1 1

2

2 2 2 2 2

1 2 2

2

2

2 2 ( 1) ( 2)

1 2 4 4

2 3

2 1 1

2 cos 1 sin 1

2 1 1 sin 1 2 cos 1

1 . .

2 2

x G y

x y

G A y y x y

G

S S t O t

m L m d L Ld

Tige

OA L v L

OG L d d

v v AG L d d L d

T T T I m v

α β α

α

α

β β

ω α α β α β β α α β β

ω ω

+ + +

= => =

= + +

=> = + × = + + = − + + + +

 

 

 

= + =  +

 

 

 ^&  ^{& & & &}

&

& & &

& & & & &

14243

( )

( )

( )

( ) ( ( ) ( ) ) _{( )}

( )

( )

2

2 2

1 2 cos

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

1 2 2

1 2

2 2

2 2 2

1 2 2

2

1 . .

2

4 4 cos

1 2 1

2 3 2 2 2

cos 2 cos cos

2 1

3 2 2 2 2

d G d

m R

disque

I

m d L Ld

m L m R

T

V m gL m g L d

m L m m R

L m L d

α β βα α β

ω ω

α β α β α β α

α α β

α α α β

α

+ +

 

 

 

 + 

 

 

 

 

+ + + +

=> = + + +

= − − + +

  

= +  + +

  

& & & &

123 14243

& &

& & & &

&

& &

& ^

(

α β+

)

²+m Ld22 cosβ α β α

(

+

)

+

⁽

m1+2m gL2

⁾

cosα+m gd2 cos

⁽

α β+

⁾

 & & & & &

Déterminer la (les) équations de mouvement par le théorème de Lagrange.

( ) ( )

( ) ^{( )}

1

2 2

2 2

1 2

2 2 2 2 2

2 1 2 2

* sans contraintes => *

: 4 4 2 cos 2 cos 2 sin

3 2

2 sin 2 sin

p j

i j i

i i j i i i

d L L d L L

Q Q

dt q q q dt q q

m L m R

m L m d m Ld m Ld m Ld

m Ld m m gL m gd

λ φ

α α α β βα β α β βαβ

β α β β α

=

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− = + − =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

   

+ + + + + + + −

   

   

− + + + +

&

∑

&

&& && &

&& && && && &

& &

&

( )

( )

( ) ( )

( )

2 2

2 2 2

1 2

2 2 2 2 2 2

1 2 2

2

2 2

2 2 2 2

sin

4 4 2 cos 2 cos 4 sin 2 sin

3 2

2 sin sin

: 2 cos 2 sin 2 sin

2

C

m L m L m Ld m R m d m Ld m Ld m Ld

C m m gL m gd

m d m R m Ld m Ld m Ld

α β

β α β α β βαβ ββ

α α β

β α β βα βαβ β α

+ =

    

+ + + + + + − −

    

 

=>     

= − + − +

 

+ + + − +

 

 

&& & &

&& && &

&& &

&& && &

(

&

) ^{( )}

( ) ^{( )}

( ) ^{( )}

2

2

2 2 2

2 2 2 2

2 1 2

2 2 2 2 1 2

sin 0

2 cos 2 sin sin 0

2 (1) (2) :

4 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin

3

m gd

m d m R m Ld m Ld m gd

L m m m Ld m Ld m Ld C m m gL

β α α β

α β βα βα α β

β α ββ β α β α

+ + + =

 

=>  +  + + + + + =

 

=> −

  + +  + − + = − +

   

 

 

& &

&&

&& && &

&& &

&& &

Par les théorèmes généraux, déterminer les deux équations qui nous donneraient les équations de mouvement. Préciser le système choisi, les termes (détaillés), les paramètres en jeu, l’axe de projection… (0,5 bonus)

( ) ( ) ( )

1 2

1 1 1 1 1

1 1 2 1 2

1 2

1 2

2 / 0

1

2 2

1 1 2 2

1 1 ; 1 ; 1 ; 1 1

1 ; 1 1

2 1 1 et 2

2 cos 1 sin 1 2 1 1

; 2 équa

O O x O y G x G x A A x A y

tige z R R disque z z

x G G y A G

x y G A y y

G G

F X Y F m g F m g F X Y

OA L v dOG v v v

dt

OG L d d v v AG L d

R m v R m v

ω α ω ω α β

β β ω α α β

= + = = = +

= = = +

= => = = =

= + + => = + × = + +

= =

&

& &

&

& &

( )

2 2 2

1 2

1 2

2 2

, ( 2) 2 2 2

, 1 1 2 2

tions contenant , , , , , , , , , , 2 équations de mouvement

+ avec . où . . 1 . 1

avec

z z

A e A S A Adisque A d A A d A d z G d z

S AG m g

O

e O S S

m m L d R g C

d M m R v M I m AG v I I I m d

dt

d M m C OG m g OG m g dt

α α β β

ω ω ω ω

×

+

=

• = × = + × = = +

• = = + × + ×

&

&

123

2

( 1) ( 2)

2 2 2

( 1) ( 2) ( 2)

1

1

. _z 1 et ou

Gz disque z

O O S O S O z

O S O tige O O S G disque O S A disque

I

M M M M

M I I M M OG R M M OA R

ω

ω α

= + =

= = & = + × = + ×

14243

Déterminer les réactions en O. (0,5 bonus)

( ) ( ( ) )

( ) ( )

( ) ( ( ) ) ^{( )}

1 1 1

1

1

1

( 1) ( 2) 1 2 2

( 1 2) 1/ 0 ( 1 2)

2 1

2

2 1 2 1 2

1 2

1 sin 1 2 cos 1

1 : sin 2 cos

1 : 2

S S y x y

e S S R R e S S

S S R

x O

y

R R R m L m d m L d

d R d R

F R F

dt dt

m d d cos m L m L d X m m g

m L m

α α β β α α β β

ω

α β β α β ββ α α α β β α

α

+ +

+

 

 

• = + =  + − + + + + 

= => + × =

− + − + − − + + = + +

=>

+

& &

& & & &

&& & & &

&& & & & & &

&&

( ( ) ( ) ) ( )

( ) ( ) ^{( ) ( )}

( ) ( ) ( )

2

2 2

2 2 1 2 1 2

2

1 2 2 2

cos sin sin

sin cos 2

2 cos sin

O

O

O

L d d m d Y

X m d m d m m L m m g

Y m m L m d m d

α α β β α β ββ α β βα

β α β β α β α

α β α β β α β



 + + − + − + =



 = − + − + − + − +

=> 

 = + + + − +



&& & & &

&& && & & &

&& &

&& & &

&& &

&& && &

( )

( )

( )

( )^{( )}

( ) ( )

1 2

2

2 2

1 2

2 2

2

1 2

2 2

( 1) ( 2)

[ 2 cos 2 cos

2 1 . sin sin ]1

3 1

2

1 1 ; 1 ; 1 ; 1 1

.

G d

z z

z

O O x O y G x G x A A x A y

O O S O S O tige G disque

m L d L d

m L I

d m d

Tige m R

F X Y F m g F m g F X Y

M M M I M OG R

α α β β β

α ω β α β β

α β

ω

+ + +

= + +

+

= + = = = +

  

  

  

= + = + + ×

  

  

  



&

& &

& & &

&

&

14243

123 14243

( ) ( ) ( ( ) ) ^{( ) ( )} ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2

1 2

2 2

2 2

1 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

1 2 2

2

=

2 2 cos 2 cos sin sin 1

3 2

2 4 2 cos 2 cos cos sin 1

3 2

2

3 2

disque

z

z

m L m R m L d L d d m d

m L m R

m L m Ld m Ld d m d

m L m R

m d

α α β α α β β β β α β β

α α β α βα β β α β β α β

α









 

 

= + + + + + + + + 

 

 

 

= + + + + + + + + +

 

 

= + +



& & &

& & & & &

& & &

& & & & & &

&

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

2 2

1 2 2

2 2

2 2

2

2 2 2

2

2 2 cos 1

2 .

3 1 1

2 cos 2 1

4 2 cos 2 cos 1

ou .

A d A z

z

z z

z

O O tige A disque

m L L d

m L I m AG v

Tige m R m d

m d L

m L m Ld m Ld

M I M OA R

α α β β

α ω

α β β α

α β α β α β βα

ω

+ +

+ × =

 

 +  +

 

 

+

  

   + + + + + 

  

 



 

 

 

= + + ×

 

 

 



&

& &

&

&

&

&

& &

& & & &

14243

123 14243

( )

^{2 2}

( ) ( ( ) )

1 2 2

2 2 2

2 2 cos 2 2 cos 1

3 2

disque

O z

m L m R

M α m d α β m Ld βα m L Lα d α β β

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

= + +  + + + + + 

& &

& & & & &

( ) ( ) ( )

( ) ( ^{( )} )

2 2 2

,

2 2

1 2 2 2

2 2 2 2

2 2 1 2

4 sin 2 sin

2 1

2 4 2 cos 2 cos

3 2

2 sin 2 sin sin 2 sin sin

4 3

O e O

m Ld m Ld

d M m dt

m L m R

m L m Ld m d m Ld

m Ld m Ld C m gL m g L d

m L

βαβ ββ

α α βα α β β α β

βαβ β α β β α α α β

− −

• =

 

=> + + + +  + + +

 

− − + = + + + +

=> +

& &

&

&& &&

&& && && && &&

& & &

& &

1444444442444444443

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

2 2

2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 2 2

, ( 2) 2 2 2

sin 2 1

4 2 cos 2 cos 4 sin 2 sin

2

2 sin sin

+ = sin 1 2 sin

z

A e A S A z

S m d L

m L m Ld m R m d m Ld m Ld m Ld

C m m gL m gd

d M m R v d m g m Ld

dt α β β α

β α β α β βαβ ββ

α α β

α β β α β

 

= − + 

    

+ + + + + − −

    

    

 

= − + − +

• = × − + − +

&

& &

&& & &

&& && &

&

& &

123

( )

( )

2 2 2

2 2 2 2

2 2

2

2 2

1

. 1 2 cos 1

2 2 sin 2

z

Adisque A d A z z

M I m AG v m R m d m Ld

m R m d m Ld

α

ω α β βα

α β βαβ

 

= + × = +  + +

 

 

=> +  + −

 

&

& &

&& &

&& & +m Ld22 cosβα&&+m Ld22 sinβ α β

(

&+ &

) ^{( )}

( ) ^{( )}

2

2

2 2

2

2 2 2 2

sin

2 cos 2 sin sin

2

d m g

m R m d m Ld m Ld d m g

α α β

α β βα βα α β

= − +

 

=>  +  + + + = − +

 

&

&&

&& && &

( ) ( )

( )

1 1 1

1 2

1 1

1 2

2 1 1

, ( 1) 1 1 1

0 car //

1

2

1 2

1 1

2 3 2 1

1

+ avec 2 1 1 1

12

2 sin 2 cos 2 sin

12

2 sin

3

y A

e A S A A G z x y

S m L

O O

m L

m L

d M m R v M M AG R L m L

dt

m L

m L C m gL L Y L X

m L C m gL

α

α α

α α α α

α α

= −

−

• = × = + × = + − ×

 

 

 

=> −  = + − +

 

 

 

=> − = + −

&

& &

123 144424443

&&

1442443

&&

( ( ( ) ( ) ) )

( ) ( ) ^{( )}

( )

( )

( )

( ) ( )

1 2

1 2

2 2 1 2

2 1

1 1 2

sin 2

1 2 2

2 cos 2 cos sin

2 sin sin

2 sin 2 sin

3

2 2 cos 2 sin sin cos cos

L m m g

L m L m L d d

L m d m d cos m m g

m L C m gL L m m g

m m L L m Ld

α

α α α α β β α β ββ

α α β β α β ββ

α α α

α α α β α β α

− +

+ + + − +

+ − + − + − +

=> − = + − +

− + − + +

&& & &

&& && && &

&& & &

&& &

&&

144444424444443

&&

&& &&

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ^{( )} ( ) ^{( )}

( )

2 cos sin

2 1

1 2 2 2

1 2

2 cos sin sin

2 2 2 cos 2 cos 2 sin

3

sin 2

m Ld cos

m L m m L L m Ld m Ld

C L m m g

α β β α

β α β β α β α β

α α α α β α β α β β α β

α

− −

 

 

+ + −

 

 

=> − + + + + − + + −

= − +

& &

& 14444244443

14444244443

&& & &

&& && && &

Question 2 : Pendule balistique (4 points)

Dans la masse M d’un pendule, on envoie une balle de fusil (de masse m) qui s’y logera.

Le pendule est attaché à une longueur L à une fixation O.

Son moment d’inertie par rapport à l’axe horizontal passant par O vaut I.

O

L

Déterminer la vitesse de la balle avant le choc en fonction de longueur de la déviation du pendule x.

( )

(1) (2) (2)

0 (1)

0

1 (avant le choc); 2 (au moment du choc); 3 (après le choc) Phase 1 et 2

0 avec 1 1

(1) Phase 2

e balle balle balle pendule balle pendule balle pendule x x

x balle

dR F dR m v m M v v L

dt dt

m v m M L

θ θ

+ +

= => = => = + =

=> = +

&

&

( ) ^{( ) ( ) (} ( ^{) (} ) ^{) ( )}

2 2 2

2 2 3 3 2

2 2 2

0 0 0 2

,

et 3

1 1

Conservation d'énergie avec et

2 2 2 2

2 1 cos

1 0 cos 2

2

Théorème du moment : avec

pendule O balle G

O e O O bal

mv mL

T V T V T I I T

m M gL

mL I m M gL m M gL

mL I

d M m M M

dt

ω ω θ θ

θ θ θ θ θ

+ = + = = = =

+ −

=> + − + = − + => =

+

= =

&

&

& & &

( )

( ) _{( )} ( )

( )

( )

( ) ( ^{( )} ) ^{( )}

( )

( ) ^{( ) ( )}

0

2

(3) (3)

, 2

2

0 2

2 2

0

0 2

1 1 avec 1

sin 1 sin

1 sin cos 1

2

2 1 cos 2 1 cos

le O pendule z z

z

z

I ML

ball

M mLv I v L

d mL I g m M L

m M gL

dt mL I

g m M L g m M L

d d

mL I mL I

g m M L g

mL I L m v

m M

θ θ

θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ

=

+ = + =

 + +

 = − + => = −

 +



+ +

 = − = −

 + +



 +

=> = − = −

 +



=>

+

∫

&

∫

& &

&

&&

&

&

( )

( ) ^{( )} ( ⁽ ) ^{) ( )}

( )

( )

( )

( )

2

(1) (1)

2 2

2 2 2

2 0 2 2 2

2 2 2

2 2

1 cos 1 cos

2 2

avec sin 1 cos 1 1 1 1 1 1

(1)+(2) : 2 1 1

e balle

I ML

balle

g m M L m M g m M L

v L

L mL I m mL I

g m M L

x x x g x

L L mL I L L L

g m M L

m M x

v L

m mL I L

θ θ

θ θ θ

=

−

+ + +

= − => = −

+ +

= => − = − − => = + − − = − −

+ + +

= − −

+

&

Simplifier l’équation dans le cas où le pendule est considéré comme une masse ponctuelle.

( )

( )

2 0

(1) 2

2

Pendule = masse ponctuelle : 2 1 cos (2')

2 1 cos 2 1 1

balle

I ML g

L

m M m M x

v gL gL

m m L

θ θ

θ

= = −

+ +

= − = − −

&

Question 3 : Demi disque (3 points)

Le problème est plan (2-D). Le système est constitué de quatre corps : une bascule ayant la forme d’un demi-disque (de rayon R, de masse M) est posée sur une planche (de longueur L, de masse m, d’épaisseur négligeable) qui est supportée à son tour par deux roulettes (de rayon r, de masse m) donc les centres (C1 et C2) sont fixes. Les mouvements entre le demi-disque et la planche ainsi que le mouvement entre la planche et les roulettes se font sans glisser.

Demi-disque : AG = a (=4

3 R π )

C1 B G

A

C2

θ R

Déterminer la(les) réactions entre le demi-disque et la planche Coordonnées généralisées :

u : détermine la position du centre de masse de la planche (S3) (suivant x) ϕ : détermine la rotation des deux rouleaux (S₁ et S2)

il n’y a pas de glissement entre les rouleaux et la planche donc on peut écrire ϕ en fonction de u.

1 1_z 1 v_{I C}1 r 1_x v_{I P} u1_x u r/

ω = −ϕ& =ω => _∈ = ϕ& = _∈ = & => =ϕ& &

( ) ( ) ^{( ) ( )}

1 2

1 2 3

4

1( 1) 2( 2) ( 3) ( 4)

: 0 ; 0 ; 1

cos 1 sin 1 car sin 1 cos 1

. :

² 1 1 ; ² 1 1 ; 0 ; ² ² 1

2 2 2 2 2

Réactio

i

i i

i G G G x

x y x y

G G i

C S z z C S z z B S G S z

R mv R mv R mv R mu

R M u R a M a JG a R a

M I

mr mru mr mru MR

M M M M Ma

θ θθ θθ θ θ

ω

ϕ ϕ θ

= = = = = =

= + − + = − + −

=

 

= − = − = − = − = = − − 

 

&

& & &

&

& & &

& &

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2

ns : R_C X Y, ,R_C X Y, ,R T N R T N_J , , _I , ,R_I T N,

( )

( ) ( )

2 2

4 e

2 2

4 e

: 1 : sin cos sin cos

: 1 : cos sin cos sin

ou

cos cos sin

2

y

x

S d R F Ma Ma Mg N N M a a g

dt

S d R F T M u R a a M x a a

dt

R a a

T M a u g

R R

θθ θθ θθ θθ

θ θθ θθ θθ θθ

θ θ θ θ

• = => + = − + => = + +



• = => = + − + = − +



  

= − +  + − 

&& & && &

&& && & && &

&& &&

&& &&

Par les théorèmes généraux.

( ) ( )

( )

( ) ^{( )}

( ) ^{( )}

( )( )

4 e,

2 2

:

sin 1 cos 1

² ² 1 cos cos 1 sin 1

2

. ² 1 cos 1

2

sin 1 car 1 1 1

A G A A

x y

A G z z z

A A A z z

G A z A J x x

S d M M v v m dt

AG a a

M M AG R MR Ma M u R a a Ma

M I M AG v MR M u R a

M v v M a u R v v JA u R x

θ θ

θ θ θ θ θθ

ω θ θ θ

θθ θ ω θ

• = × +

= − + −

 

= + × = − −  + + − −

= + × = − + +

× = − + = + × = + =

& & & &

& & &

& & & & & &

( )

( )

( ) ^{( )} ( ^{( )} )

( )( ) ^{( )}

( )

e,

2

2 2 2 2

2

sin 1 1

² ² cos cos cos sin sin cos

2

sin 2sin cos sin sin

2 cos

x

A z z

m a Mg RT

MR Ma M u R a a M u R a a Ma a

Ma Ma M a u R a Mg RT

RT MR M u R a θ

θ θ θ θ θ θ θθ θθ θ

θθ θ θθ θθ θ θ

θ θ









= +



=> − −  + + − − + − + 

   

 

 

 

− − = − + + + 

 

=> = − + +

&& && && & & & &

&& & & & &

&& & &

(

^θ

)

^+Masinθθ&

(

^{u R&+ θ&}

)

^{−Masinθθ&}

(

^{u R&+ θ&}

) ⁽

^sin

⁾

cos cos sin

2

a Mg

R a a

T M a u g

R R

θ

θ θ θ θ

−

  

= − +  + − 

 

 && && 

( ) ( )

( )

( ) ( )

1 1 1 2 3 3 4 4

4

4 e,

2

² ²

. 1 = 1 ; . 0 ; . ² 1

2 2 2

sin 1 cos 1

cos 1 sin 1

:

² ² 1 sin

2

GS C S z z GS GS B S GS G S z

x y

G J S x y

J G J J

J G G z

mr mru MR

M I M M I M I Ma

JG a R a

v v JG u R a a

S d M M v v m dt

M M JG M v MR Ma M a

ω ϕ ω ω θ

θ θ

ω θ θ θθ

θ

 

• = = − − = = = = = − − 

= − + −

= + × = + − +

= × +

 

= + × = − −  −

& &

&

& &

&

&

( ) ( ^{( ) ( )} )

( )

( )

( )

2 2

e,

2 2 2 2

1 cos cos 1

sin 1 avec 1

sin 1

² ² sin 2sin cos

2

zG

z z

G J z J x

J z

I

M R a u M R a

M v v M a x v x

m a Mg

MR Ma M a Ma

θθ θ θ θ

θθ θ

θ θ θ θθ

 − − + −



 × = − =



 =



 

 

 

=> − − − −

 

 

 

& & &

& & &

&& &

14243 ^{−M R a}

(

^{− cosθ}

)

^u&&^{− Masinθθ&u}&

(

^cos

)

^{2 2}

M R a θ θ M

− − &&−

(

R a− cosθ

)

^{asinθθ&2 = −M a}

(

^sinθθ&

) (

^{u&+ Rθ&}

) ^{( )}

( ) ^{( )}

( )

( ) ( )

( )

2 2 2

2 2

2 2 2 2

cos 2 cos 2 cos

2 2

sin

² ² sin cos cos sin sin 0

2

2 cos

zG

zG

G

M R a Ra

I

I Ma MR M Ra

z

a Mg

MR Ma M a M R a M R a u MRa a Mg

I Ma MR M Ra M R

θ θ

θ

θ

θ θ θ θ θθ θ

θ θ

+ −

− − − +

+

 

 

 

 

=> − − − − −  − − − − =

 

 

 

 

=> − − − + − −

&& && &

1442443 14243

14444444444244444444443

&&

(

^acosθ

)

^{u MRa}&&^{− sinθθ&2−}

(

^asinθ

)

^Mg=0

Question 4 : (3 points)

Le moteur électrique a une masse totale M et est

supporté par deux appuis en A et B attachés au disque en rotation. (a et b exprimés en m)

La partie tournante du moteur (autour de l’axe AB) a une masse m (en kg) et un rayon de giration de r_g (exprimé en m). Ce moteur tourne avec une vitesse de 1875 tours par minute dans le sens précisé sur le dessin. Le disque sur lequel le moteur est fixé tourne avec une vitesse constante de 48 tours par minute dans la direction montrée.

Déterminer la composante verticale des forces de réaction sur les appuis A et B.

( )

,

2 2 2

2

2

et constant : 0

1875.2. 375. 48.2. 24.

avec ; ;

1. 60 6 60 15

375. 24.

. . . . .100.

6 15

0

2. 0

0

G

e G g

g

g g g

A B g

A B

z

B B g

d M m C

dt C

C m r m r

aR aR mr

dR R R Mg

dt

a Mg R aR mr R

ω

π π π π

ω ω

π π π

ω

ω

 Ω = = +



 = ΓΩ × Ω = = = =



 = =



=> = − + Ω



 = = + −



=> − − + Ω =

=>

2 2 2

2 2 2

. .50

2 2 2

. .50.

2 2 2

g g

B

g g

A

mr m r

Mg Mg

a a

mr m r

Mg Mg

R a a

ω π

ω π

 Ω

= + = +



 = − Ω = −



Question 5 : Systèmes de 2 barres (5 points)

Le système comporte deux barres AB et BC homogènes identiques de masse m et longueur L. La barre BC est reliée par un câble sans masse à une poulie centrée en D (sans inertie) et un disque homogène de masse m et de rayon r. Les barres sont articulées en A et B grâce à des liaisons rotoïdes parfaites.

θ

₁ représente l'angle que fait la direction verticale avec la barre AB.

θ

₂ est l’angle entre les barres AB et BC. Pour définir la longueur du câble, on utilise le paramètre u.

Déterminer l'(les) équation(s) du mouvement (en fonction des paramètres de l’énoncé) par la méthode de votre choix.

( )

( )

( )

1 2

1 1 2

1 2

1 1 2

1 1 1 2

Degré de liberté : ,

sin cos cos

Coordonnée de Lagrange : , ,u, liées par les conditions

cos 2 sin sin

sin cos sin sin 0

2 contraintes :

cos si

u L L

u L L L

u u L L

u u

θ θ

ϕ θ θ θ

θ θ ϕ

ϕ θ θ θ

δ ϕ ϕδϕ θ δθ δθ δθ

δ ϕ

 = + +



= − − +



+ + + + =

=>

−

( )

( )

^{2 1 1 1}

1 1 2 1 2

2 1 1 1

1 1 1 2

2 2 1 1

1 2 1 1 2

2 2 1 1

n cos cos 0

1 cos 1 sin 1 1 cos 1 sin 1

1 ; 1 1 avec

2 1 sin 1 cos 1 1 sin 1 cos

x x y x x y

G y G B y y

y x y y x

L L

v L v v BG L L

ϕδϕ θ δθ δθ δθ

θ θ θ θ

θ ω θ θ θ

θ θ θ θ



+ + + =



 = +  = +

 

= = + × = + +  

= − + = − +

 

 

& & & &

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 1 1 2

2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1

2 2

2 2

1 2 1 2 2 1 2 1

1 1 1

1 1

cos +

2 3 2 4 2 12

1 4 cos

2 3 2 3 2

1 5 2 cos

2 3 2 3 2

cos cos cos

2 2

mL m L mL

T L L

mL m L m

T L

mL m L m

T L

L L

V mg mg L

θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ

 

= +  + + + +  +

 

= + + + +

= + + + +

= − − + +

& & & & & & & & &

& & & & & &

& & & & & & &

(

2

)

1

(

1 2

)

* *

3 cos cos

2 2

: 2 1 1 1 .

i x u u u

L L

V mg mg

Q OC L u F OC C u Q u

r

θ θ θ θ

δτ δ δ δ

  => = − − +

 

 

= − => = = − =

( ) ( )

( ) ( ( ) ) ( ( ) )

1

* 1 2

1 2

1 1 1

1

2 2

2 2 2

1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1

1 2 1 1 1 2 2 1 1 2

2

5 3

2 cos cos sin sin

3 2 3 2 2 2 2

sin 0 sin sin cos cos

2

d T T

dt Q

mL m L m m m L

L L L mg

mgL L L L L

d T dt

θ

λ φ λ φ

θ θ θ

θ

θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ

θ θ λ θ θ θ λ θ θ θ

θ

∂ − ∂ = + ∂ + ∂

∂  ∂ ∂ ∂

 

=> + + + + − + +

+ + = + + + + + +

 ∂  ∂

 −

∂ 

&

&& && && && && & & &

&

( ) ( ) ^{( )}

( )

( ) ( ^{( )} )

( )

2

* 1 2

1 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2

1 1 2 2 1 2

* 1 2

1 2 1 2

2 cos sin sin sin

2 3 2 3 2 2 2 2

0 sin cos

0 0 sin c

u

T Q

m L m L m m m L

L L L mg

L L

d T T C

dt u u Q u u r

θ

λ φ λ φ

θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ

λ θ θ λ θ θ

φ φ

λ λ λ ϕ λ

∂ ∂

= + +

∂ ∂ ∂

=> + + + + − + + + +

= + + + +

∂ ∂

∂ ∂

  − = + + => = − + +

∂  ∂ ∂ ∂

 

&& && && & & & & & &

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

1 2

1 1 2

1 1 2

1 1 1 2

2 1 1 2

os

0 cos sin

sin cos cos

cos 2 sin sin

sin cos cos

cos 2 sin sin

u u

u L L

u L L L

C C

L L

r ru

C C

L L L

r ru

ϕ

λ ϕ λ ϕ

ϕ θ θ θ

ϕ θ θ θ

λ ϕ θ θ θ

λ ϕ θ θ θ





















 = + + −

 = + +

 = − − +





 = = + +

=> 

 = = − − +

