D’EXERCICES D’ANALYSE CONVEXE ET OPTIMISATION

RECUEIL 1

D’EXERCICES D’ANALYSE CONVEXE ET OPTIMISATION

LICENCE MATHEMATIQUES ET APPLICATIONS

Pour les étudiants des semestres S5 et S6

Université Cadi Ayyad Faculté Polydisciplinaire de Safi

SAFI 2020

c ABOUSSOROR ABDELMALEK

Avant-propos

Ce recueil fait partie d’une prochaine série de recueils d’exercices des- tinés aux étudiants de la Licence Mathématiques et Applications en optimi- sation et analyse convexe. L’étudiant est fortement conseillé de bien réviser le cours avant d’entamer ces exercices. En plus, l’étudiant doit avoir les prérequis nécessaires, notamment de topologie, calcul différentiel, algèbre linéaire et bilinéaire.

c Aboussoror Abdelmalek

1 ESPACES AFFINES

Exercice 1.1 SoitA un sous-ensemble non vide Rⁿ. Montrer que 1) aff(affA) =affA.

2)Si A est un sous-espace affine, alors affA=A.

Exercice 1.2 SoientC₁ etC₂ deux sous-ensembles deRⁿ tels queC₁ ⊂C₂. 1) Montrer que affC₁⊂affC₂.

2) On suppose que dim(affC₁) =dim(affC₂). Montrer que affC₁=affC₂. Exercice 1.3 1) Montrer que l’intersection d’une famille de sous-espaces

affines est un sous-espace affine.

2) Montrer que tout sous-espace vectoriel est un sous-espace affine.

Exercice 1.4 SoitA un sous-espace affine de Rⁿ. 1) Montrer que A est fermé.

2) Montrer que si dimA=n, alorsA=Rⁿ.

Exercice 1.5 1) Soient A et B deux sous-ensembles de Rⁿ, avec A fermé etB compact. Montrer que A+B est fermé.

2) SoitC un sous-ensemble de Rⁿ. i) Montrer que affC=affC.

ii) Montrer que C =CaffC

, où CaffC

est la ferméture de C relative à la topologie induite sur affC.

Exercice 1.6 Soient X et Y deux sous-ensembles deRⁿ etR^m, respective- ment. Soit(α, β)∈R². Montrer que

aff(αX+βY) =αaffX+βaffY.

2 Ensembles Convexes

Exercice 2.1 SoitC un sous ensemble convexe non vide deRⁿ.

1) Montrer que si dimC = n, alors riC = intC. On rappelle que la dimension deC est la dimension du sous espace affine engendré parC.

2) Montrer l’équivalence

dimC =n⇐⇒intC 6=∅.

Exercice 2.2 SoitC₁ etC₂ deux sous ensembles convexes deRⁿ, avecC₁ ⊂ C₂. Montrer que si affC₁ =affC₂, alors riC₁⊂riC₂.

Exercice 2.3 Soitα, β∈R+ et C un sous ensemble convexe de Rⁿ. Mon- trer que

αC+βC = (α+β)C.

Exercice 2.4 SoitC un sous ensemble convexe fermé de Rⁿ. Soit x∈C.

1) Montrer que C∞(x) est un cône convexe fermé contenant 0.

2) Montrer que C∞(x) =C∞(x⁰),∀x, x⁰ ∈C.

Exercice 2.5 Soit C un sous ensemble convexe de Rⁿ. Montrer que (intC)^c = (C)^c, où pour un sous ensemble A de Rⁿ, A^c désigne le com- plémentaire deA dans Rⁿ.

Exercice 2.6 Soient C etD deux sous ensembles convexes deRⁿ vérifiant ha, xi ≤ ha, yi ∀x∈C,∀y∈D

oùa∈Rⁿ\ {0}. Montrer qu’il existe un hyperplan affine qui sépare C et D.

Exercice 2.7 Soient C et D deux sous ensembles convexes et disjoints de Rⁿ. Montrer que C etD sont séparés strictement si et seulement si il existe a∈Rⁿ\ {0} tel que

sup

x∈C

ha, xi< inf

y∈Dha, yi.

Exercice 2.8 SoitC un sous ensemble convexe deRⁿet(F_i)i∈I une famille de faces de C. On suppose que \

i∈I

F_i 6= ∅. Montrer que \

i∈I

F_i est une face deC.

Exercice 2.9 SoitC un sous ensemble convexe de Rⁿ et F une face de C.

Montrer que extF ⊂extC, où pour un sous ensemble convexeAdeRⁿ, extA désigne l’ensemble des points extrémaux de A.

Exercice 2.10 Soit C un cône de Rⁿ. Montrer que C^◦ =n

x^∗ ∈Rⁿ/hx^∗, xi ≤0,∀x∈Co

où C^◦ désigne le polaire de C.

Exercice 2.11 Soient C un convexe fermé de Rⁿ et x ∈ C. Montrer que T(C, x)est un cône convexe contenant0, où T(C, x)désigne le cône tangent à C enx.

Exercice 2.12 SoitC un sous ensemble convexe de Rⁿ avec intC6=∅. Soit

¯

x∈intC. Montrer que T(C,x) =¯ Rⁿ.

Exercice 2.13 Soit E un sous espace vectoriel de Rⁿ. Montrer que E^◦ = E^⊥, où E^⊥ désigne l’orthogonal de E.

Exercice 2.14 1) Soit(C_i)i∈I une famille d’ensembles convexe deRⁿ. Mon- trer que \

i∈I

C_i est convexe.

2) Soient C et D deux sous ensembles de Rⁿ. Montrer que i) si C est convexe, alors, pour tout α ∈ R, αC = n

αx, x ∈ Co est convexe,

ii) si C et D sont convexes, alors, C+D =n

x+y/ x ∈ C, y ∈ Do est convexe.

3) SoientCetDdeux sous ensembles deRⁿetR^m, respectivement. Montrer queC×D est convexe si et seulement si C etD sont convexes.

4) SoitA∈R^m×n,C etDdeux sous ensembles deRⁿ etR^m respectivement.

Montrer que les ensembles suivants sont convexes 1) A(C) =n

Ax/ x∈Co , 2) A⁻¹(D) =

n

x∈Rⁿ/ Ax∈D o

, l’image réciproque de D.

Exercice 2.15 SoitC un sous ensemble convexe deRⁿd’intérieur non vide.

1) Soitx∈intC. Montrer qu’il existe un boule ouverteB(x, r) telle que B(x, r)∩intC6=∅.

2) Soity∈B(x, r)∩intC6=∅, etz= 2x−y. Montrer quex∈intC.

3) Conclure.

Exercice 2.16 Soient X etY deux sous ensembles non vides deRⁿ. Mon- trer que

conv(X+Y) =convX+convY.

Exercice 2.17 Soient X etY deux sous ensembles deRⁿ etR^m respective- ment. Montrer que

conv(X×Y) =convX×convY.

Exercice 2.18 Soit C = n

x ∈ Rⁿ/ Ax ≤ bo

, où A ∈ R^m×n et b ∈ R^m. Montrer

C∞= n

x^∗ ∈Rⁿ/ Ax^∗ ≤0 o

.

Exercice 2.19 SoitCun sous ensemble convexe deRⁿavec06∈C. Montrer qu’il existea∈Rⁿ\ {0} tel que

x∈Cinfha, xi>0.

Exercice 2.20 SoitE un sous espace vectoriel de Rⁿ. Soitx∈E. Montrer que

N(E, x) =E^⊥

où E^⊥ est l’orthogonal deE et N(E, x) est le cône normal à E enx.

Exercice 2.21 Soit C=n

x∈Rⁿ/ha_i, xi ≤b_i, i= 1, ..., po où ai ∈Rⁿ et bi ∈R, i= 1, ..., p.

1) Soitx¯∈C. Montrer que T_C(¯x) =n

d∈Rⁿ/ha_i, di ≤0, i∈I(¯x)o où

I(¯x) =n

d∈Rⁿ/ha_i,xi¯ =b_io . 2) Montrer que

N_C(¯x) =n

d∈Rⁿ/ d= X

i∈I(¯x)

α_ia_i, α_i ∈R+

o .

Exercice 2.22 Soient A∈ M_m,n(R) et

C={Ax/ x∈(R+)ⁿ}. 1) Montrer queC est convexe.

2) Montrer queC est fermé.

Exercice 2.23 SoitC un sous ensemble convexe deRⁿ. Montrer queC est convexe.

3 Fonctions Convexes

Exercice 3.1 Soient X un sous ensemble non vide de Rⁿ, et f :X −→ R une fonction avec domf 6=∅. Montrer que

1) Argmin_Xf ⊂-Argmin_Xf, ∀ >0.

2) Argmin_Xf =\

>0

-Argmin_Xf. Exercice 3.2 Soitf :Rⁿ−→R∪ {+∞}.

1) Montrer que domf =p_Rn(epif), où p_Rn la projection sur Rⁿ.

2) Montrer que sif est convexe surRⁿ, alors domf est un convexe deRⁿ. 3) Etablir

f est convexe sur Rⁿ⇐⇒epi_sf est convexe dans Rⁿ⁺¹ où

epi_sf =

(x, t)∈Rⁿ×R/ f(x)< t est l’épigraphe strict de f.

Exercice 3.3 Soit(f_i)i∈I une famille de fonctions, où f_i:Rⁿ→R.

1) Montrer que si les fonctions f_i, i∈I, sont convexes, alors la fonction sup_i∈Ifi est convexe.

2) Montrer que si les fonctions f_i, i ∈ I, sont concaves, alors que la fonctioninfi∈If_i est concave.

Exercice 3.4 SoitX un sous ensemble fermé de Rⁿ. Montrer que X= \

α>0

X+ ¯B(0, α)

où B(0, α)¯ est la boule fermée de centre 0 et de rayon α >0.

Exercice 3.5 Soient f : Rⁿ → R∪ {+∞}, une fonction convexe et a ∈ domf. Montrer que la fonction f⁰(a;.) est positivement homogène sur Rⁿ. Exercice 3.6 Soient I = {1, ..., m}, m ∈ N^∗, m ≥ 2, et fi : Rⁿ → R∪ {+∞}, i∈I, une famille de fonctions convexes. Soit f la fonction définie sur Rⁿ par

f(x) = max

i∈I fi(x).

1) Montrer que domf =Tk

i=1domf_i.

2) Supposons que pour touti∈I, int(domf_i)6=∅, et

\

i∈I

int(domf_i)6=∅.

i) Montrer que int(domf) =T

i∈Iint(domf_i).

ii) Pour x ∈ Rⁿ, on pose I(x) = {i ∈ I/ f(x) = f_i(x)}. Soit x¯ ∈ T

i∈Iint(domf_i). Montrer qu’il existe un voisinage N_¯x de x¯ tel queI(x)⊂I(¯x) pour tout x∈ N_x¯.

Exercice 3.7 SoitC un convexe de Rⁿ et f :C →R une fonction. On dit que la fonction f est quasi-convexe surC si

∀x₁, x₂ ∈C,∀α∈]0,1[, f(αx₁+ (1−α)x₂)≤max{f(x₁), f(x₂)}.

Montrer que la fonctionf est quasiconvexe surC si et seulement si pour tout r∈R, l’ensemble

n

x∈C/ f(x)≤ro est convexe.

Exercice 3.8 Soit f : Rⁿ → R une fonction convexe et ϕ : R → R une fonction croissante. Montrer que ϕ◦f est convexe.

Exercice 3.9 Soitf :Rⁿ→Rune fonction convexe et α∈R. Montrer que l’ensemble

C =n

x∈Rⁿ/ f(x)≤αo est convexe.

Exercice 3.10 Soit f : Rⁿ → R ∪ {+∞} une fonction convexe avec int(domf)6=∅. Soit x¯∈int(domf) et B(¯¯ x, r) telle que B(¯¯ x, r)⊂domf. 1) Pour x ∈ Rⁿ, on définit la fonction g(x) = f(x + ¯x)− f(¯x). Soit

{e₁, ..., en}, la base orthonormée de Rⁿ. Soit α∈ 0,1

tel que α < r.

i) Montrer queg est convexe.

ii) Montrer queg(αei) et g(−αe_i) sont des nombres réels finis.

iii) Soit x=Pn

i=1xiei voisin de 0, tel que

−α

n ≤x_i≤ α

n ∀i∈ {1, ..., n}.

Montrer qu’il existeM >0 tel que

|g(x)| ≤M

n

X

i=1

|x_i|.

2) Montrer que f est continue en x.¯

Exercice 3.11 Soient f : Rⁿ → R une fonction convexe et différentiable, et C un convexe de Rⁿ, tel que riC = C, i.e., C est relativement ouvert.

Soit V le sous espace vectoriel associé à affC. Considérons le problème de minimisation

(P) min

x∈Cf(x).

soitx¯∈C. Montrer quex¯est solution de(P)si et seulement si∇f(¯x)∈V^⊥, où V^⊥ est l’orthogonal de V.

Exercice 3.12 Etudier la convexité de la fonction f pour chacun des cas suivants

1) f(x1, x2) =x²₁+x²₂+ 1, définie sur R². 2) f(x₁, x₂) =−3x²₁+ 4x₁x₂−1, définie sur R².

3) f(x₁, x₂, x₃) =−x²₁−3x²₂−2x²₃−4x₂x₃, définie sur R³.

Exercice 3.13 Soit f : R³ → R, la fonction définie par f(x1, x2, x3) = e^x21+x22+x23. La fonctionf est convexe? justifier.

Exercice 3.14 On considère la fonction quadratique définie sur Rⁿ par f(x) = 1

2hQx, xi+hb, xi où Q∈ R^n×n est symétrique et b∈Rⁿ. Montrer que

1) sif est convexe, alors Qest semi-définie positive, 2) sif est strictement convexe, alorsQ définie positive.

Exercice 3.15 Soit f :Rⁿ→ R une fonction convexe différentiable. Mon- trer que pour toutx∈Rⁿ, on a

∇f(x)

−1

∈ Nepif(x, f(x)).