et projectives de Q Minimalité et abyssalité des extensions abéliennes Journal of Algebra

Contents lists available atScienceDirect

Journal of Algebra

www.elsevier.com/locate/jalgebra

Minimalité et abyssalité des extensions abéliennes et projectives de Q

Bruno Deschamps^∗

LaboratoiredeMathématiquesNicolasOresme,CNRSUMR6139,France

i n f o a r t i c l e r és u m é

Historiquedel’article : Reçule28septembre2014 DisponiblesurInternetlexxxx CommuniquéparEva

Bayer-Fluckiger

Keywords:

InverseGaloistheory Shafarevichconjecture Galoiscohomology Projectivegroups

Danscetarticlenousclassifionscomplètementlessous-corps projectifs minimauxde Q^ab.Nous nous intéressons ensuite à l’existence d’extensions abéliennes et projectives de Q qui ne contiennent aucun sous-corps projectif minimal. En marge dece travail nousfaisons le lien entre ces questions etles conjectures de Shafarevich, Fried–Völkleinet Dèbes–

Deschampspourproposerunedescriptionsimpledu groupe deGaloisabsoluducorpsdesrationnels.

© 2015ElsevierInc.Tous droits réservés.

a b s t r a c t

Inthisarticleweclassifyalltheminimalprojectivesubfields ofQ^ab.Wethenfocusontheexistenceofaprojectiveabelian extensionofQwhichcontainsnominimalprojectivesubfield.

Alongside thiswork wemake thelinkbetween these issues andtheconjecturesofShafarevich,Fried–VölkleinandDèbes–

Deschamps, topropose asimple description ofthe absolute Galoisgroupofthefieldofrationalnumbers.

© 2015ElsevierInc.Tous droits réservés.

* Auteur correspondant à : Département de Mathématiques, Université du Maine, Avenue Olivier Messiaen,72085LeManscedex9,France.

Adressee-mail :Bruno.Deschamps@univ-lemans.fr.

http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2015.04.047 0021-8693/© 2015ElsevierInc.Tous droits réservés.

1. Introduction

En 1964, Shafarevich aémis une importante conjecture, à ce jour toujours non dé- montrée,quiprévoitquelegroupedeGaloisabsoludelaclôtureabélienneQ^abdeQest isomorphe au groupeprolibre de rang dénombrableFω (ici ω =ℵ0 désignele cardinal du dénombrable). Il existe une généralisation notable de la conjecture de Shafarevich, due àFriedetVölklein,etquiprévoitquelegroupedeGaloisabsolud’uncorps hilber- tien,projectifetdénombrableestprolibre.Cetteconjectureaétéelle-mêmeétenduepar Dèbes et Deschamps,enune conjecturetrès générale (voir[1]pourledétail).SiShafa- revichafocalisésonattentionsurlecorpsQ^abencequiconcernelalibertédecertaines extensions deQ,nousallonsvoirdanscetextequ’ilest légitimepourcettequestion,de considérer debienpluspetitesextensionsabéliennesdeQ.

Le caractère projectif du corps Q^ab est souvent présenté comme une conséquence de la théorie du corps de classe. Son caractère hilbertien découle d’un théorème de Kuykquiassurequetouteextensionabélienned’uncorpshilbertienestencoreuncorps hilbertien. De ce point de vue, tout sous-corps strict de Q^ab est donc hilbertien et, sous la conjecture de Fried–Völklein, dès qu’un tel corps est projectif, son groupe de GaloisabsoluserévèleêtreprolibreetdevientdoncuncandidatpluspetitqueQ^abàla conjecture deShafarevich.

Sous laconjecturedeShafarevich,onalasuiteexacte

1 F_ω Gal(Q/Q) Z^∗ 1

dont il est mal aisé de tirer une description de Gal(Q/Q) à proprement parler. Par exemple, cettesuite n’estpasscindée : sic’était lecas, Gal(Q/Q) contiendrait desélé- mentsdetorsionnoninvolutifs,cequiestimpossibled’aprèslathéoried’Artin–Schreier.

Si,dans cettesuiteexacte, onest enmesure dechangerlefacteur Z^∗ enquelque chose d’un peu plusproche d’un groupeprojectif, onpeutespérer en dire plussur legroupe Gal(Q/Q). A cet effet, l’étude des sous-corps projectifs minimaux de Q^ab menée dans le §1.1.nous amènedansle§2.3 àmontrerque, sousune formeunpeuoptimiséede la conjecture de Shafarevich(conjecture qui reste beaucoup moins générale que celles de Fried–Völklein etDèbes–Deschamps),onpeutmontrer qu’ilexisteunisomorphismede laforme

Gal(Q/Q)

F_ωZ Z/2

La remarque 11 de ce texte apporte quelques précisions sur la nature des actions considéréesdansces produits.

L’objet principal de cet article est d’explorer la famille des sous-corps projectifs de Q^ab et detenterdelescataloguer.Dansle§2.1nousdécrivonsexplicitementlesexten- sions abéliennesprojectivesminimales (pources deuxpropriétés) deQ. Ils’agitenfait des pluspetitsous-corps totalement imaginairesde Q^ab qui contiennentlaZ-extension

de Q(théorème 6).Dans le§3 nous nous intéressons auxsous-corps projectifsde Q^ab qui ne sont extensions d’aucun sous-corps projectif minimal (que nous appelons corps abyssaux dans ce texte). Nous montrons qu’ilen existe et nous enexplicitons certains (théorème 13), la proposition 14 montrant que l’on peut en trouver qui sont, d’une certainemanière,aussiproches quel’onveutdeQ.

2. Extensionsabéliennesprojectivesminimales

Rappelonspour commencer qu’un corpsK estdit projectif,si songroupede Galois absoluΓ= Gal(K^sep/K) estungroupe(profini)projectif,c’est-à-diresitoutproblèmede plongementfinipourΓ possèdeunesolutionfaible.Ilexisteunesériedecaractérisations de la projectivité d’un corps, que l’on pourra par exemple trouver dans [4]. La plus notable est sans doute celle qui assure que le corps K est projectif si et seulement la dimensioncohomologiquedeΓ est≤1.Onendéduitque,siKestprojectif,alorstoutes sesextensionsalgébriquesL/Klesontaussi.Danscettesituation,lesgroupesdeBrauer desextensions algébriquesL deK vérifient tousBr(L)= 0.Encaractéristique0,cette dernièrepropriété caractériseréciproquementlefaitpour K d’êtreprojectif.

Pource qui est des extensions abéliennes projectives deQ, il est relativement facile de construire des sous-corps projectifs stricts de Q^ab. A cet effet, rappelons le lemme classiquedecohomologiegaloisienne :

Lemme1. (Voir[4, Proposition I.3.3.14].) SiH estun sous-groupe ouvertd’un groupe profini G et que pour un nombre premier p donné on acdp(G)<+∞ alorscdp(G)= cdp(H).

Dansl’isomorphismeusuel

Gal(Q^ab/Q)Z/2×

p=2

Z/(p−1)×Z

lepremierfacteurZ/2 correspondàl’extensionQ(√

−1)/Qquiesttotalementimaginaire.

Ainsi, si l’on considère le sous-corps M_q de Q^ab laissé fixe par le facteur Z/(q−1)Z pour unpremierq= 2,ce corps est alorsluiaussitotalement imaginaire etvérifie, par conséquent,que songroupede Galois absoluest dedimension cohomologique ≤2. On peutdoncappliquerlelemme 1pourtoutpremierpetobtenirfinalementlaprojectivité ducorpsMq.

2.1. Classification

Pourtoutpremierp,onnotera Q(μp^∞) l’extensiongaloisienne engendréeparlesra- cinespⁿ-ièmesdel’unitéquandnvarie. Ilest classiqueque

Gal(Q(μ2^∞)/Q)Z/2×Z2 et Gal(Q(μp^∞)/Q)Z/(p−1)×Zp pourp= 2

Dans cet isomorphisme, pour p = 2, le facteur Z/(p−1) correspond au groupe de Galois de l’extensionQ(ξp)/Qoù ξp désigneune racine primitive p-ième de l’unité.Le facteur Z/2 correspondluiàl’extensionQ(√

−1)/Q.QuantaufacteurZp,ilcorrespond au groupedeGaloisde l’uniqueZp-extensionde Qquenousnoterons Zp dans lasuite de cetexte. Ils’agitd’uneextension totalement réellede Qqui est totalement ramifiée en p. On notera aussi _Z le compositum pour tous les premiers p des corps _Zp, c’est l’unique Z-extension de Q. Le théorème de Kronecker–Weber assure que le corps Q^ab est égal au compositum des corps Q(μp^∞). Chacun de ces derniers étant linéairement disjoints ducompositumdesautres,onretrouve l’isomorphismeusuel

Gal(Q^ab/Q)Z/2×

p=2

Z/(p−1)×Z

annoncé plushaut.

Pourl’étudedessous-corpsprojectifsdeQ^ab commençonsparexploiterlelemme 1: Proposition 2. SoitΩ/Qune extension galoisienne. Si Ωest projectif, alors il est tota- lement imaginaire et siΩ est un sous-corps totalementimaginaire d’indicefini sous Ω alors, Ω estprojectif.

En conséquence de quoi, si Ωest un corps projectif, extension abélienne deQ, et si Gal(Ω/Q)contient un élémentdetorsion d’ordreimpair ouaumoinsdeuxinvolutions, alorsΩ n’est pasuncorps projectifminimal.

Preuve. Puisquel’extension Ω/Qest galoisienne, si Ω n’estpas totalement imaginaire alorsilest totalementréel.Danscesconditions,laconjugaison complexeestélémentde Gal(Q/Ω),groupequi,possédantdelatorsion,nepeutpasalorsêtreprojectif.

Pourmontrer lasuite delaproposition, nousappliquonsle lemme 1 enposant G= Gal(Q/Ω) et H = Gal(Q/Ω). Par hypothèse, cd_p(H) ≤ 1 pour tout premier p, mais comme Ω est supposé totalement imaginaire sa dimension cohomologique est ≤ 2 et donc, en vertu de ce que l’on vient de rappeler, pour tout premier p on a cd_p(G) = cdp(H)≤1.Ceci prouvequeΩ estprojectif.

Supposons maintenant que Ω soit un corps projectif, extension abélienne de Q et considéronsunélémentσ∈Gal(Ω/Q) d’ordreimpairoualorsquiestuneinvolutionqui n’estpaségale àlarestrictionàΩ delaconjugaisoncomplexe.LecorpsΩ= Ω^<σ> est alors unsous-corps strict d’indicefinide Ω, extension galoisiennede Q, qui vérifie que la restriction de la conjugaison complexe à Ω n’est pas triviale. Le corps Ω est donc totalement imaginaireet enappliquantcequi précède,onvoitqueΩ estprojectif. 2

Enappliquantcetteproposition,onvoitquesi P0désigneunensemblefinidenombres premiers impairs alors le sous-corpsM de Q^ab deséléments laissésfixes parle facteur

p∈P0Z/(p−1) de Gal(Q^ab/Q) est projectif.

Onestdoncenmesured’exhiberunesuitestrictementdécroissante(Mn)_n≥1desous- corpsdeQ^abquisonttousprojectifs.Parexemple,onconsidère,pourn≥1,lesous-corps

deQ^abdesélémentslaissésfixesparlefacteur

p≤pnZ/(p−1) (pndésignanticilen-ième nombrepremier).Ilvérifie

Gal(M_n/Q)Z/2×

p>pn

Z/(p−1)×Z

etl’onvoitalorsque,sil’onestmesuredepasseràlalimite,onpourraitsedébarrasser du facteur infini

p=2Z/(p−1) de Gal(Q^ab/Q) et préserver le caractère projectif du corpsainsiobtenu.

Onpeut,eneffet,faireunetelle chose.Lecorpsainsiobtenuestmêmeunsous-corps projectifminimal de Q^ab. Pourdémontrer celaon vautiliser uneimportante propriété de projectivitédes extensions algébriques de Q : considérons une extension algébrique k/Qfiltréepar unefamille(ki/Q)i desous-extensions finies.Pourune place v dek, on note(k_i)_vlecomplétédek_i pourlaplaceinduiteparvsurk_ietl’ondéfinitledegrélocal deken v commeétantlenombresurnaturelsuivant :

nv(k) = ppcm[(ki)v:Qv] Onaalors :

Théorème 3. (Voir [4, Proposition II.3.3.9].) Soit k/Q une extension algébrique et p un nombre premier. On suppose que p = 2 ou que k est totalement imaginaire. On a cd_p(k)≤1sietseulementsipourtouteplace ultramétriquevdek,l’exposantdepdans n_v(k)est infini.

Appliquéaucasdesextensionscyclotomiques,celadonne :

Corollaire4.Soientpunnombrepremieret L/Qune extensionalgébriquetelsque,soit p= 2,soit Lest totalementimaginaire.Si Zp⊂L alorscdp(L)≤1.

Preuve. La preuve de ce corollaire repose sur la parfaite connaissancedes données de ramification dans les extensions cyclotomiques. Rappelons à cet effet le très classique lemme :

Lemme5.Soient m un entier et un premier. On écritm=^ka avec(a,)= 1.Dans l’extension Q(ξm)/Q, l’indice de ramification de est égal à e = ϕ(^k) et son degré résiduelestégalàf =ωa(),l’ordre(multiplicatif)de moduloa.

Pour tout entier n ≥ 1 nous noterons _Zp,n la sous-extension de _Zp qui vérifie Gal(_Zp,n/Q)=Z/pⁿZ.Considéronsalorsuneplace v deL.

Sivrelèvelepremierp,alorsl’extension_Zp/Qétanttotalementramifiéeenponvoit que[(_Zp,n)_v:Qp]=pⁿ etdoncl’exposant depdansledegrélocal n_v(L) estinfini.

Sivrelèvelepremierq=p,alorsqneseramifiantpasdansZp,ledegré[(Zp,n)v:Qq] est égal au degré résiduel de q dans Zp,n. Comme rappelé dans le lemme 5, le degré

résidueldeqdansQ(ξpⁿ⁺¹) estégalàl’ordremultiplicatifωpⁿ⁺¹(q).Puisqueq^ωpn+1(q)≥ pⁿ⁺¹,onvoitquelimnω_pⁿ⁺¹(q)= +∞etcommeω_pⁿ⁺¹(q) divise(p−1)pⁿ,onendéduit quel’exposantdepdansω_pⁿ⁺¹(q) tendvers+∞avecn.PuisqueQ(ξ_pⁿ⁺¹)=Zp,n.Q(ξp), on voit que l’exposant de pdans le degré résiduel deq dans _Zp,n tend aussi vers +∞ avec n. Ainsi, l’exposant de p dans le degré local n_v(L) est infini et l’on peut donc appliquer lethéorème 3pour conclure. 2

On est maintenant en mesure de caractériser les sous-corps projectifs minimaux deQ^ab :

Théorème 6.SoitΩ⊂Q^ab un corps.Lespropositionssuivantes i) Ωest un corpsprojectifminimal,

ii) Ω est égalau compositumdu corps Z et d’un corpsde nombres totalementimagi- naire C,extension 2-cycliquedeQ,

iii) Ωestuncorpstotalementimaginaireetilexisteunentierr≥1 telqueGal(Ω/Q) Z/2^r×Z,

iv) Ωestun corpsminimalpourlesdeuxpropriétéssuivantes :il esttotalementimagi- naire etcontientle corps Z,

sont équivalentes.

Preuve. ii)=⇒iii) LecorpsΩ estcertainementtotalementimaginairepuisqu’ilcontient C qui est totalement imaginaire. Maintenant, puisque Gal(_Z/Q) Z est un groupe projectif,ilserelèvedanslegroupeGal(C.Z/Q) etcommecederniergroupeestabélien, on endéduit queGal(C.Z/Q)Gal(Ω/Z)×Z. Par unargument galoisienclassique, onvoitquelegroupeGal(Ω/Z) estlerelevéd’unsous-groupedeGal(C/Q) etestdonc, parsuite,un2-groupecyclique.

iii) =⇒ ii) Puisque Gal(Ω/Q) Z/2^r×Z, le corps Ω est le compositum de deux extensions galoisiennes linéairement disjointes sur Q, C et L, vérifiant respectivement Gal(C/Q)Z/2^r etGal(L/Q)Z.

Maintenant, le corps Q ne possède qu’une seule Z-extension qui est L = _Z. Par ailleurs, L étant totalement réelle, si C était totalement réelle il en serait demême de Ω ce qui est contraire auxhypothèses.Ainsi, C n’est pastotalement réelle et est donc nécessairement totalementimaginaire,entantqu’extensiongaloisiennedeQ.

ii) =⇒ i) Le corps Ω est certainementtotalement imaginaire, puisqu’ilcontient un corps totalement imaginaire. Lefait queΩ soit projectifest alors uneconséquence im- médiateducorollaire 4. Montronsmaintenantqu’ilest minimal.

Supposons qu’il existe un sous-corps strict L ⊂ Ω qui soit projectif. Puisque par hypothèseilexisteunentierr≥1 telqueGal(Ω/Q)Z/2^r×Z,legroupeH = Gal(Ω/L) est alors un sous-groupe fermé non trivial de Z/2^r×Z. Ilne peutêtre inclusdans le facteur Z/2^r car sinon, H contiendrait l’unique involution deGal(Ω/Q) laquelle est la

restrictiondelaconjugaisoncomplexeàΩ.Danscesconditions,Lseraitinvariantparla conjugaisoncomplexeetalorslegroupeGal(Q/L) contiendraitunélémentdetorsionce quicontrediraitsoncaractèreprojectif.LegroupeH contientdoncunélémentg /∈Z/2^r etcommeZ est sanstorsion, 2^rgest alorsunélément nontrivialdeH∩Z.

Ainsi,H0=H∩Z est unsous-groupe nontrivialdeZet donc H0=

p∈P0

p^npZp

oùP0 désigneun certain ensemblenon vide de nombrespremiers et (np)_p∈P0 une col- lectiond’entiers.Sil’on considèrelecorpsL0 desinvariantsdeΩ parH0,ona

Gal(L0/Q) =Z/2^r×

p∈P0

Z/p^np×

p /∈P0

Zp

et,parailleurs,L₀entantqu’extensiondeLestuncorpsprojectif.Ceciestimpossible, carsi p∈ P0 alorsl’exposant de pdansle degré[L₀:Q] est fini(égalàn_p si p= 2 et 2^r+n₂ sip= 2).Puisqueledegré localdeL₀ enn’importequelleplacedivise[L₀:Q], onendéduitparlethéorème 3quecdp(L0)≥2.

Remarque.UneautremanièredevoirlanonprojectivitéducorpsL0reposesurlabonne connaissancedeBr(Q) :sil’onsupposequeL0 estprojectif,alorssongroupedeBrauer est nul et la suiteexacte d’inflation-restrictionrelative aux groupes de Brauermontre queBr(Q)H²(L₀/Q).

Si p ∈ P0, alors la composante p-primaire de Br(Q) s’identifie à celle du groupe H²(Gal(L₀/Q),L^∗₀). La composante p-primaire de Gal(L₀/Q) est égale à A = Z/p^np (resp.A=Z/2^r×Z/2ⁿ² sip= 2).Ainsi, sil’on poseB =Z/2^r×

q∈P0, q=pZ/q^nq×

q /∈P0Zq(resp.B=

q∈P0, q=2Z/q^nq×

q /∈P0Zqsip= 2)alorsGal(L0/Q)=A×B.

La suite exacte d’inflation-restrictionappliquée aux composantes p-primaires donne la suiteexactesuivante

0 H²(B, L^∗₀^A)_p ^inf H²(A×B, L^∗₀)_p ^res H²(A, L^∗₀)_p

maiscommeB est ungroupeprofinid’ordrepremieràp, onaH²(B,L^∗₀^A)_p= 0.Ainsi, le groupe H²(A×B,L^∗₀)p, c’est-à-dire Br(Q)p, s’injecte dans le groupe H²(A,L^∗₀)p = H²(A,L^∗₀).

Maintenant,Aétantfini,legroupeH²(A,L^∗₀) est d’exposant.Ilest pourtantcélèbre queBr(Q)pcontientunsous-groupedivisiblenontrivial,cequiconduitàuneabsurdité.

i) =⇒ iii) Pour unnombre premier p= 2 donné, on pose p−1 = 2^rpmp avec mp

impairde sorte que l’on peutécrire Gal(Q^ab/Q) Γ0×Γ1×Z où Γ0 et Γ1 sont des sous-groupesfermésvérifiant :

Γ₀Z/2×

p=2

Z/2^rp et Γ₁

p=2

Z/m_p

On considère θ : Gal(Q^ab/Q) −→Gal(Ω/Q) l’épimorphisme de restriction.Pour un nombre premier p = 2 donné l’image par θ du sous-groupe Z/mp de Γ1 est un sous- grouped’ordreimpairdeGal(Ω/Q).Enapplicationdelaproposition 2etpuisqueΩ est supposéminimal,onpeutaffirmerqueθ(Z/mp)= 1.Maintenant,lessous-groupesZ/mp

engendrent topologiquementlegroupeΓ1,onendéduitdoncfinalementqueθ(Γ1)= 1.

Pour un entier n ≥ 1 fixé, l’image par θ du sous-groupe Z/2×

p≤nZ/2^rp est un 2-groupe abélien fini. Ilest nécessairement cyclique car sinon, il contiendrait aumoins deux involutions ce qui contredirait, par la proposition 2, le caractère minimal de Ω.

Ainsi,il existeunentierhn telque θ(Z/2×

p≤n

Z/2^rp)Z/2^hn

La suite des sous-groupes θ(Z/2×

p≤nZ/2^rp) est croissante, de sorte que la suite (h_n)_n≥1est unesuitecroissanted’entiers.

Sicettesuiten’estpasstationnaire,onvoitquelim_−−→nZ/2^hn s’identifieau2-groupede Prüfer,μ2^∞ Q2/Z2,quiestun2-groupeabélien2-divisible.Cegroupeestisomorpheà A=θ(Z/2

pZ/2^rp) etpuisqueZ/2⊕pZ/2^rpestdensedansΓ0,onvoitqueθ(Γ0)=A.

Dans Gal(Ω/Q), A est un pro-2-groupe abélien. Nous allons montrer qu’il est aussi 2-divisible.

Lesgroupesprofinisquel’onconsidèresontderangdénombrable,ilssontdoncmétri- sables et l’onpeut alorsutiliser lecritère séquentielpour caractériserl’adhérence. Soit g∈Aet(g_n)_n≥1unesuited’élémentsdeAquiconvergeversg.Parhypothèse,ilexiste pour toutn≥0,unélément hn∈Atelque 2hn=gn.PuisqueA estcompact, lasuite (hn)n≥1possèdeunevaleurd’adhérenceh∈Aetcettedernièrevérifiealors,parpassage àlalimite,2h=g.Ceci prouvelecaractère2-divisibledeA.

Par ailleurs, unpro-2-groupe nontrivial Gnepeut jamaisêtre 2-divisible. Eneffet, si U désigne unsous-groupe ouvert de G alors[G: U] = 2ⁿ pour uncertain entier n.

Mais alors,pour toutg∈G,il existeh∈Gtelqueg= 2ⁿh∈U.Ainsi,U =G,ce qui implique queGest trivial.

Ainsi, le groupe A = θ(Γ0) est trivial, ce qui est absurde car dans ces conditions θ(Γ0×Γ1×Z)=θ(Z) etdoncΩ estunsous-corpsde Z,quiestuncorpstotalementréel.

Ilexistedoncunentierrtelquelim_−−→nZ/2^hnZ/2^r.Ce sous-groupeétantfini,ilest fermé etl’onpeutdoncconclurequeθ(Γ0)Z/2^r.

Le sous-groupe Z de Gal(Q^ab/Q) s’envoie par θ sur un groupe de la forme

p∈P0Z/p^np×

p /∈P0Zp oùP0 désigneuncertainsous-ensembledenombrespremiers et (n_p)_p∈P0 unecollectiond’entiers.

Si 2 ∈ P/ 0, alors la pro-2-partie de Gal(Ω/Q) est engendrée par Z/2^r et Z2, mais commeelleestabélienneetquel’undesfacteursestdetorsionalorsquel’autreestsans torsion, onendéduitqu’elleest égaleàZ/2^r×Z2, desortequel’on a

Gal(Ω/Q)Z/2^r×

p∈P0

Z/p^np×

p /∈P0

Zp

Si2∈ P0 alorslapro-2-partie deGal(Ω/Q) estengendrée parZ/2^r et Z/2ⁿ² et est doncun2-groupe abélienfiniD. Onaalors

Gal(Ω/Q)D×

p∈P0, p=2

Z/p^np×

p /∈P0

Zp

Si P0 = ∅ alors dans les deux cas, la proposition 2 conduit à une absurdité. Ceci prouvedoncquel’imageparθdufacteurZ est égaleàZ.LegroupeZ est sanstorsion, alorsqueZ/2^rest detorsionetainsi, l’imagedeθ,c’est-à-direlegroupeGal(Ω/Q),est isomorpheàZ/2^r×Z.

iv)=⇒ii) Puisque Ω/Qest totalement imaginaire il existe un élément α ∈ Ω−Q totalement imaginaire (voir le lemme 8 àvenir). Sil’on pose C =Q(α) alors C et Z sont descorps linéairementdisjoints sur Qet C.Z est uncorps totalement imaginaire contenant Z.ParminimalitédeΩ onadoncΩ=C.Z. L’extensionC/Qestabélienne et finieet l’onadoncGal(C/Q)=n

i=1Z/2^ki×GoùGest ungroupeabéliend’ordre impair. Dire que C est totalement imaginaire équivaut ici àdire que la restriction de la conjugaison complexe à Gal(C/Q) est non triviale. Il existe donc un indice i₀ tel quelarestrictiondelaconjugaisoncomplexe aufacteurZ/2^ki0 soitnon triviale.Sil’on considère C/Q lasous-extension de C vérifiantGal(C/Q)=Z/2^ki0 alors le corps C est totalement imaginaire, toutcomme C.Z. Par minimalité de Ω, on en déduit que C=C etleii).

iii) =⇒ iv) Si Ω ⊂ Ω est un corps totalement imaginaire qui contient Z, alors Gal(Ω/Ω) auneintersectionnulle aveclefacteur Z.CommeZ/2^restdetorsionet que Zestsanstorsion,celaimpliquefinalementqueGal(Ω/Ω) estcomplètementinclusdans lefacteurZ/2^r.SiGal(Ω/Ω) n’était pastrivialalorsil contiendraitl’élémentd’ordre2 de Z/2^r, qui est l’unique élément d’ordre2 de Z/2^r×Z. Cet élément correspondantà laconjugaisoncomplexe,onendéduiraitqueΩ esttotalementréel,cequi estcontraire auxhypothèses. 2

Danslapreuveduthéorème 6,lapropriétédeminimalitéest intimementliéeaufait decontenirlecorps Z.Plusgénéralement,ona :

Proposition7. SoitΩ⊂Q un corpscontenantle corps_Z (on ne suppose pasque Ω/Q soit abélienne,pasmême galoisienne apriori).

a)SiΩ/Z estfinie, alorstoutsous-corpsprojectifdeΩ contient Z.

b)Le corpsΩest projectifsi etseulement siΩ esttotalement imaginaire.Enconsé- quence de quoi, si le corps Ω est projectif alors il est extension d’un corps projectif minimalcontenant Z.Lescorpsprojectifsminimauxcontenantlecorps Z sontexacte- mentlesextensions finiestotalementimaginaires minimalesde Z.

Preuve. a) 1/ Cas particulier où Ω/Q est galoisienne. Notons Γ = Gal(Ω/Q) et N = Gal(Ω/Z).PuisqueΓ/N Gal(Z/Q)=Z et quecegroupeestprojectif,onendéduit que Γ NZ. SoitΩ0 ⊂Ω un sous-corps projectifet N0 = Gal(Ω/Ω0). Raisonnons

parl’absurdeetsupposonsqueN0⊂N.Ilexistedonc(t,x)∈NZ avecx= 0 telque (t,x)∈N0.Siϕ∈Aut(N) désigne l’actiondexsurN, onaalorspourtoutn≥1,

(t, x)ⁿ = (tϕ(t)· · ·ϕⁿ⁻¹(t), nx)∈N0

PuisqueN estfini,ilexiste n0> m0telsque

tϕ(t)· · ·ϕⁿ⁰(t) =tϕ(t)· · ·ϕ^m0(t)

et l’on a donc tϕ(t)· · ·ϕ^n0−m0−1(t) =e. Il existe donc n =n0−m0 tel que(t,x)ⁿ = (e,nx)∈N0. Dans le facteur Z deΓ, onpeut écrire< nx > =

p∈P0=∅p^npZp oùP0

désigne un certain ensemble non vide de nombres premiers et (np)p∈P0 une collection d’entiers. Quitte à considérer un sous-groupe de N₀ (ce qui revient à considérer une extension deΩ₀qui restealorsprojective),onpeutsupposerqueN₀=p^npZp⊂Z pour uncertainpremierpetunentiernp arbitrairementgrand.

Sil’on noteΘ:Z−→Aut(N) l’action deZ sur N,alorson aker(Θ)=hZ oùhest unentierquidésignel’ordredeΘ(1) danslegroupefiniAut(N).Commehnedépendni de pniden_p,on peutdonc choisirn_p de sortequeN₀ ⊂ker(Θ).Dans cettesituation, onaNN₀=N×N₀et lediagrammed’extensionssuivant :

Ω

N0×N

N0 N

Ω₀

N

Z

N0

Z

Ω0∩Z

Q

La théorie de Galois assure que Gal(Ω0∩Z/Q) =Z/N0 = Z/p^np×

q=pZq et donc l’exposant depdansledegréde[Ω0:Q] estfini(ilvautexactementnp.opoùop désigne l’exposantdepdanso(N)).Cecirendimpossiblelefaitquecdp(Ω0)≤1 etdoncqueΩ0

soit projectif.

2/Cas général.Ilsedéduitducasparticulierenconsidérantlaclôturegaloisiennede Ω sur Qet en remarquantque cettedernièreest nécessairement dedimensionfiniesur Z carΩ/Z estfinieet Z/Qestgaloisienne.

b) SiΩ esttotalement imaginaire,soncaractère projectifdécoule immédiatementdu corollaire 4. Réciproquement, uncorps projectif, extension algébrique de Q, est néces- sairementtotalementimaginaire,carunplongementréelimpliqueraitparisomorphisme une 2-dimensioncohomologique infinie.

Pourmontrer lasuitedel’énoncé,établissonslelemmesuivant :

Lemme 8. Si L ⊂ Q est un corps totalement imaginaire, alors il existe un corps de nombresK⊂Lquiest totalementimaginaire.

Preuve. Considérons une filtration croissante, Q = L0 ⊂ L1 ⊂ · · · ⊂ L, de L par descorps denombres. Supposonsqu’aucundes corpsLn ne soittotalement imaginaire et,pour n ≥0 fixé,notons _In l’ensemble des plongements de L_n dans R. L’inclusion L_n ⊂ L_n+1 définit, par restriction des plongements, une application naturelle ϕ_n+1 : In+1 −→ In pour tout n. On voit alors que (In,ϕn)n≥0 est un système projectifet quelim_←−−nIn correspondàl’ensembledesplongements réelsducorpsL(quiestvidepar hypothèse).Par hypothèse,l’ensemble_In estnonvideet ilest parailleursfinipuisque Ln/Qest fini.L’argument classiquede compacitéassure alorsque lim_←−−nIn =∅,ce qui constitueuneabsurdité. 2

D’après le lemme 8, il existe un corps de nombres K ⊂ Ω totalement imaginaire.

Lecorps L=K.Z est alors uncorps totalement imaginairede dimensionfiniesur Z. PuisqueL/_Z estfinie,ellepossèdeunnombrefinid’extensionsintermédiairesetdoncil existeuneextensionintermédiaireZ ⊂L0⊂Ltotalementimaginairequisoitminimale.

Le a) dela propositionmontre alors queL0 est uncorps projectif minimal dontΩ est extension.

Lafindelapropositiondécoulealorsdesargumentsdonnésprécédemment. 2 Une applicationimmédiate duthéorème 6 assure que le corps Ω₂ = Q(√

−1)._Z est projectifminimal. Danscettesituation,ona

Gal(Q^ab/Ω₂)

p=2

Z/(p−1) et Gal(Ω₂/Q)Z/2×Z

D’un point de vuegaloisien, le corps Ω₂ est obtenuen ne conservant que lefacteur directZ/2 dufacteurZ/2×

p=2Z/(p−1).Onpeutopérerlamêmechosesurlesautres facteurs :pourunnombrepremierq= 2,onécritq−1= 2^r.m avecmimpairdesorte que l’on dispose de la décomposition Z/(q−1) = Z/2^r×Z/m. On considère alors le sous-corpsΩ_q deQ^abconstituédesélémentsinvariantsparlesous-groupeZ/m×Z/2×

p=qZ/(p−1),desorteque

Gal(Ωq/Q)Z/2^r×Z

LecorpsΩq estalors projectifminimal etest obtenuenneconservantque lefacteur de2-torsiondufacteur directZ/(q−1) dugroupeZ/2×

p=2Z/(p−1).

Décriretouslessous-corpsprojectifsminimauxdeQ^abrevientàdécriretouslescorps de nombres imaginaires purs, extensions 2-cycliques de Q, c’est-à-dire à décrire tous

les épimorphismes continus θ : Γ0 −→ Z/2^r avec r arbitraire, qui ne contienne pas la conjugaison complexedansleurnoyau.

Le groupe Z/2^r étant fini est discret et, comme θ est continu, il est localement constant. On en déduit qu’il existe une famille finie de nombres premiers impairs q1,· · ·,qn telle que

p=2,q1,···,qnZ/2^rp ⊂ker(θ). Ainsi, toutrevient àchercher desépi- morphismes

θ:Z/2×Z/2^rq1× · · · ×Z/2^rqn −→Z/2^r qui necontiennentpasl’involutiondiagonaledansleurnoyau.

Considéronsg,g0,g1,· · ·,gndesgénérateursrespectifsdesgroupesZ/2^r,Z/2 etZ/2^rqi pouri= 1,· · ·,n.Pourchaqueindicei= 0,· · ·,n,ilexisteununiqueai∈ {0,· · ·,2^r−1} telque θ(g_i)=g^ai.Enayantpris soindeposerr_q0 = 1,onvoit alorsqueθ existesi et seulementsionalestrois conditionssuivantes :

(C1) : Pour tout i= 0,· · ·,n,on aai2^rqi ≡0mod(2^r) (assurele caractère morphique deθ).

(C2) : Aumoins undesai est inversiblemodulo2^r (assurelecaractèresurjectifdeθ).

(C3) : a0+a12^rq1−1+· · ·+an2^rqn−1 ≡ 0 mod(2^r) (assure que l’involution diagonale n’estpasdanslenoyau).

Remarque 9.La“grosse”partie dugroupeGal(Q(μ_p∞)/Q)Z/(p−1)×Zp est Zp et l’on pense souvent,à causede cela,que lapartie laplusimportante deGal(Q^ab/Q) Z/2×

p=2Z/(p−1)×Z est Z.C’estpourtant,d’unecertainemanière,l’inverse.

Le groupeZ est de rang1 alors que celuide

p=2Z/(p−1) est infini.Parailleurs, étantdonnéunnombrepremierqetunentiern,lethéorèmedeprogressionarithmétique de Dirichletmontre qu’ilexisteune infinitéde premiersptelquelavaluation q-adique dep−1 soitégale àn.Ainsi,onendéduitque

p=2

Z/(p−1)

q

n

Z/qⁿ

ω

mais commelegroupeZq estunsous-groupe fermé de

nZ/qⁿ,on voitquele groupe Z^ω est unsous-groupe ferméde

p=2Z/(p−1) etilexistedoncuncorpsK telque

Ω2 K ^Z

ω Q^ab

2.2. Une descriptionsimple desgroupesdeGaloisabsolus descorpsdenombres Revenons maintenant à la conjecture de Shafarevich et aux différentes conjectures qui l’impliquent. Commeon l’aannoncé dans l’introductionde ce texte, auregard des

résultatsdu§2,laconjecturedeShafarevichn’estpaslaplusoptimalesouslaconjecture de Fried–Völklein. Par ailleurs, la conjecture de Shafarevich ne permet pasde décrire simplementle groupede Galoisabsolu deQ. Ons’aventure ici àproposer deux autres conjectures :

Z-conjecture.Lesextensionsfinies ettotalementimaginaires ducorps Z possèdentun groupedeGaloisabsolu prolibre.

En utilisant les résultats précédents, on voit que la _Z-conjecture entraine l’énoncé suivant :lessous-corpsprojectifsminimauxdeQ^ab possèdentungroupedeGaloisabsolu prolibre.CeténoncéestuneversiondelaconjecturedeShafarevichminimisantlecorps Q^ab,parexempleenremplacantcedernierparlecorps Z(i).Onl’appeleralaconjecture deShafarevichminimisée.

Conjecture de Shafarevich généralisée. Les sous-corps projectifs de Q^ab possèdent un groupedeGaloisabsolu prolibre.

L’intérêtdela Z-conjectureest quelegroupeZ estungroupeprojectifet qui donc serelèvedanstoutgroupeprofinidontil estlequotient.

Proposition10. SouslaZ-conjecture, siC désigneun corpsdenombresalors a) Si C esttotalementimaginaire, onaGal(Q/C)F_ωZ.

b) SiC n’est totalementimaginaire,on aGal(Q/C)

FωZ Z/2.

Enparticulier,sousla_Z-conjecture, onaGal(Q/Q)

F_ωZ Z/2.

Preuve. SiC n’estpas totalement imaginaire,alors C(i) l’estet commel’élément non trivialdeGal(C(i)/C)=Z/2Zcorrespond àlarestriction delaconjugaison complexe, onendéduitqueGal(Q/C)Gal(Q/C(i))Z/2.OnpeutdoncsupposerqueCesttota- lementimaginaire.Danscesconditions,lecorpsC.Z estuneextensionfinietotalement imaginairede Z et doncGal(Q/C.Z)Fω.Onaalorslasuiteexacte

1 Gal(Q/C.Z)

Gal(Q/C) Gal(C.Z/C)

1

1 Fω Gal(Q/C) Z 1

qui, compte-tenu du caractère projectif du groupe Z, est scindée et assure donc un isomorphismedelaformeGal(Q/C)FωZ. 2

On voit que l’on peut remplacer la Z-conjecture par la conjecture de Shafarevich minimiséedanslaproposition 10àconditiondeneconsidérerpourCquedesextensions abéliennes de Q. En particulier, on voit que la conjecture de Shafarevich minimisée entrainel’existence d’unisomorphismeGal(Q/Q)

F_ωZ Z/2.

La Z-conjecture et la conjecture de Shafarevich généralisée sont en fait contenues danslaconjecturedeFried–Völklein.Eneffet,lescorpsconsidérésdanscesdeuxconjec- tures sontprojectifset dénombrables, leurcaractère hilbertiendécoule duthéorème de KuykpourlaconjecturedeShafarevichgénéraliséeetduthéorèmedeWeissauerpourla Z-conjecture (cedernier théorèmeassurequ’uneextension finieet stricted’uneexten- siongaloisienned’uncorps hilbertienestuncorps hilbertien,voir[3]).Enrésumé,pour ce quiest desdifférentesconjecturesdontonaparlé,onalahiérarchiesuivante :

Dèbes–Deschamps

Fried–Völklein

Shafarevich

généralisée ^Z-conjecture

Shafarevich Shafarevich minimisée

Il existe une suite exacte 1→Fω→Gal(Q/Q)→Z^∗→1

Il existe un isomorphisme Gal(Q/Q)

FωZ Z/2

Gal(Q/C^t)FωZ Gal(Q/C^nt)

FωZ Z/2

(C^t(resp.C^nt)désigne n’importe quel corps de nombres totalement imaginaire (resp. non totalement imaginaire).)

Remarque11.Lathéorieanabélienneassurequedeuxcorpsdenombresontdesgroupes deGaloisabsolusisomorphessietseulementsicescorpssonteux-mêmeisomorphes.De ce pointdevuel’isomorphismeavecleproduitsemi-directFωZ donnédanslapropo- sition 10 peutprêter àconfusion.Enfait,dans l’écriture F_ωZlachoseindéterminée (et àmieuxcomprendre)restel’actiondeZsurFω.UneconséquencedelaZ-conjecture àcesujetestl’existenced’unecorrespondanceinjectiveentrelesclassesd’isomorphismes des corps de nombreset lesclasses d’équivalence des Z-actions de Fω pour larelation d’équivalenceα∼β⇐⇒F_ωαZF_ωβZ.

Considèrons α : Z −→ Aut(F_ω) une action qui, sous la _Z-conjecture, définit un isomorphisme Gal(Q/Q)

FωαZ

Z/2 et notons Q le corps des invariants par le facteur FωαZ (Qest donc une extension quadratique de Q). Certainespropriétés arithmétiquesdeQ,permettentdepréciserplusieurschosessurα:

a) Notons que,puisqueZ est monogèneet quel’action est continue(elle correspond dans Gal(Q/Q) à des conjugaisons), la donnée de l’action est entièrement déterminée

parl’action de 1∈Z surle groupeFω, c’est-à-direparla donnéed’un automorphisme θ∈Aut(Fω).Maintenant,lesélémentsdeAut(Fω) sontentièrementdéterminésparleurs imagessurunebase BdeFω donnée.L’automorphismeθenvoie Bsuruneautrebase.

Lathéoried’Iwasawa permetde préciserune chosesurcettedonnée : l’automorphisme θn’envoieaucunebase B surelle-même.

Pourmontrer cefait, supposonsqu’ilexisteune tellebase _Bet considéronsalorsles orbites des éléments de _B sous l’action de θ. Elles forment une partition de _B et, si {xi}i∈I désigneuneclassedereprésentantsdesorbitesOθ(x),alorsonanécessairement I ≤2.Eneffet,supposonsqu’ilexistetrois indicesi1,i2,i3∈I disctincts.Notonsalors α1,α2,α3 unebasedugroupeprolibrederang3,F3.L’applicationπ:B−→F3définie par

π(x) =α_j pour toutx∈Oθ(x_ij) (j= 1,2,3)

=epour toutx /∈Oθ(xi1)∪Oθ(xi2)∪Oθ(xi3)

définitununiqueépimorphismeπ:Fω−→F3quivérifieque,pourtoutt∈Fω,π(θ(t))= π(t).Ils’ensuit queπserelèveàFωZ toutentierenposant π(Z)=eet doncquele groupeF3 seréalise sur Qce qui est impossible (voir parexemplela remarque 1.6. de [2]surledegrédelibertéd’uncorpsdenombres).

Ainsi, I = {i1,i2} (ou I = {i1}, l’argument qui suit s’adaptant facilement à ce cas). Prenons alors un groupe abélien G de rang ≥ 4. En tant que groupe abélien, il se réalise sur Q et donc il existe un épimorphisme π : F_ω Z −→ G. Posons g1 = π(xi1), g2 = π(xi2) et g3 = π(1) (1 désignant ici le neutre multiplicatif de Z, qui est un générateur topologique du groupeadditif). Puisque pour toutt ∈Fω, on a π(θ(t))=π(1)π(t)π(1)⁻¹ =π(t), onen déduitque pour toutx∈B,π(x)=g1 ou g2. Ainsi, l’imageparπ de FωZ est legroupe < g1,g2,g3 > qui,étantde rang ≤3, ne peutêtreégalàGtoutentier.

b) Six∈ker(α), onaalors α(x)(γ)=xγx⁻¹ =γ pour toutγ∈ F_ω. PuisqueZ est lui-mêmeabélien,onendéduitquexestcentraldansGal(Q/Q) etdoncquex= 0. On vienticidejustifierquel’actionαestfidèle.

c) Une autre propriété deGal(Q/Q) montre quel’action αne possède pas de point fixe : si γ ∈ Fω est un point fixe de α(x) pour un certain x ∈ Z non nul, alors x et γ commutent et donc < x,γ > est un sous-groupe abélien de Gal(Q/Q). Il est alors nécessairement de rang 1 (cf [4, ex.2 §II.3.3.]) et donc, les ordres o(x) et o(γ) sont premiers entreeux. Puisqueo(Z)=

pp^∞ onen déduit,en particulier, queαn’a pas depointfixe.

2.3. Digressions arithmétiques

Onnotep₁,p₂,· · ·lasuitecroissantedesnombrespremiersetl’onfixeunisomorphisme Gal(Q^ab/Q)=Z/2×

n≥2Z/(pn−1)×Z.Pourn≥2,onnoteKnlecorpsdesinvariants deQ^abparlesous-groupeZ/2×n

i=2Z/(pi−1).Onadonc

Gal(Kn/Q) =

i>n

Z/(pi−1)×Z

Lasuite(_Kn)_n≥2aalorslespropriétés suivantes :

P1) (Kn)n≥2 est unesuitestrictementdécroissantedecorpsprojectifs.

P₂) Pourtoutentiern≥2,_Kn/_Kn+1 est finie.

P3) LecorpsZ =

n≥2Knn’estpasprojectifetlesKnsontdesextensionsalgébriques de Z.

Nousallonsvoirtroisconséquencesàce constat.

a) Une conséquencegéométrique.

Lanonprojectivitéducorps_Z équivautàl’existenced’uneextension finie_Z(α)/_Z telle que l’application de norme N : Z(α) −→ Z ne soit pas surjective (cf [4, Pro- position II.3.1.5]). Puisque

n≥2Kn = Z, il existe donc un rang à partir duquel Kn ∩Z(α) = _Z. On peut donc supposer que ce rang est n = 2, de sorte que [Kn(α) : Kn] = [Z(α) : Z] = h pour tout n ≥ 2. Si b = (b1,· · ·,bh) désigne une Z-basede Z(α),alorsbestaussiune Kn-basede Kn(α) pourtoutn.Relativementàb, lanormeN s’exprimecommeunpolynômehomogèneP ∈Z[x₁,· · ·,x_n].Pourdesrai- sonsévidentesl’applicationdenormeNn:Kn(α)−→Kns’exprimedansbparlemême polynôme P. Les corps Kn étantprojectifs, toutesles applications Nn sont surjectives (cf [4,Proposition II.3.1.5]).Siλ∈Z désigne unélément qui n’estpasatteintpar N, alors lavariétéV définieparlepolynômeP−λpossèdedespoints Kn-rationnelspour toutn≥2,maisaucunpoint Z rationnel.

Conséquence. Il existe un corps k, une suite décroissante (Ln)_n≥1 d’extensions algé- briques de k telle que k =

n≥1Ln et Ln/Ln+1 soit finie pour tout n ≥ 1 et une k-variétéV telsque V(L_n)=∅pourtoutn≥1etV(k)=∅.

b) Une conséquencesurlesgroupes profinis.

Sil’on poseΓ= Gal(Q/_Z) et,pour toutn≥2,Γ_n = Gal(Q/_Kn), alorslesgroupes Γn sont des sous-groupes fermés dugroupe Γ etl’hypothèse Z =

n≥2Kn dit que Γ est(topologiquement)engendréparlaréuniondesΓn.LesquotientsΓn+1/Γns’identifie aux groupesGal(_Kn/_Kn+1) et sontdonc finis. Parhypothèse, chaque Γ_n est projectif et Γ nel’estpas.

Conséquence. Il existeun groupe profini Γ non projectifqui estengendré par une suite croissante de sous-groupes distingués fermés projectifs (Γ_n)_n≥1 telle que Γ_n+1/Γ_n soit fini pour toutn.

Traduit en termes de problème de plongement, la questionse ramène àrelever des solutions : on considère un problème de plongement de groupes finis à noyau abélien pourΓ

Γ

π

1 N G

s H 1

Ceproblème induit,parrestriction,surchaquesous-groupe Γn unproblèmedeplonge- mentqui, parprojectivitéde Γn possède une solutionfn.Et l’on cherche une solution f : Γ−→G:

Γ₀

f0

Γ₁

f1

...

Γ

π f?

1 N G _s H 1

Sichaque flêche fn relèvela flêche f_n−1, l’hypothèse

nΓn = Γ, permet alors, par continuité,deconstruirelaflêchef recherchée.Réciproquement,ladonnéed’unesolution f induitl’existencedesolutionsf0,f1,· · ·tellesquefn relèvefn−1pour toutn≥1.On estdoncamenéàétudierleproblèmesuivant :onsedonneunproblèmedeplongement

Γ0 f0

Γ₁

f1

1 N G

s H 1

avec des solutions respectives f₀ et f₁ et l’on se demande s’il existe une solution f₁ : Γ₁−→Gquirelèvef₀?Cettequestionestenfaitunepurequestiondecohomologiedes groupes.Eneffet,onfaitagirΓ0surN vialarestrictiondef1àΓ0:t^x=f1(x⁻¹)tf1(x)