Exercice 2 :
A.1. 0,5 point D’après la 1ère loi de Kepler (loi des orbites), dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire de la comète est une ellipse dont le Soleil occupe un des foyers. D’après l’énoncé, le périhélie est le point le plus proche du Soleil et l’aphélie, le point le plus éloigné, d’où le schéma suivant :
A.2. 1,5 point D’après la 2ème loi de Kepler (loi des aires), dans le référentiel héliocentrique, le segment qui relie le Soleil et la comète balaye des aires égales durant des durées égales.
La trajectoire n’étant pas un cercle, cela implique que la vitesse de la comète n’est pas constante.
Ainsi, la comète va le plus vite au périhélie (et le plus lentement à l’aphélie).
Démonstration rigoureuse : Les deux aires hachurées sont égales et balayées durant la même duréet mais la distance LP parcourue autour du périhélie est plus élevée que la distance
LAparcourue autour de l’aphélie.
P P
v L
= t
et vA LA
= t
Or LP LAdonc la vitesse est plus élevée au point P.
A.3. 2 points La 3ème loi de Kepler appliquée à la Terre et à la comète donne :
2 2
3 3
Terre comète Terre comète
T T
a =a =k
Ainsi,
2 3 2 3
2
3 3
Terre comète Terre comète
comète comète
Terre Terre
T a T a
T T
a a
= =
Pour la Terre, TTerre =1 an et aTerre =1 ua (approximation d’une orbite circulaire) Pour la comète, d’après les données, 2acomète =(1,24 5,68) ua+
3 2
3
1,24 5,68
1 2
6,44 années
comète 1 T
+
= =
comète
périhélie aphélie
Soleil
grand axe = 2a
comète
Soleil
LP LA
B.1. 1,5 point La force exercée par la comète sur la sonde SE2 est la force d’interaction gravitationnelle
/ 2
. C. .
C R
G M M u
F = r avec r = +R h
Donc / . . 2.
( )
C C R
G M M u R h F =
+
2.a. 1 point En assimilant le poids à la force d’interaction gravitationnelle :
/
P =FC Rdonc . . . 2.
( )
M MC
M g G u
R h
= + donc . 2.
( )
MC
g G u
R h
= +
2.b. 2 points D’après la 2ème loi de Newton appliquée au système {sonde SE2} dans le référentiel comètocentrique, supposé galiléen, EXT d p .
F M a
= dt =
uuuur ur r
car M= constante.
Donc FuuurC/R =M a.uurR
Soit . 2
. . .
( )
C
R
G M M u M a
R h =
+ donc . 2.
( )
C R
a G M u
R h
= +
3.a. 1,5 point Ainsi, le vecteur accélération de la sonde est centripète, il n’a pas de composante tangentielle. Pour un mouvement circulaire de rayon r, cela implique que la vitesse est constante (mouvement uniforme) et que la valeur de l’accélération est
2 R
a v
= r avec r = +R h.
D’après 2.b., . 2
( )
C
R R
a a G M
R h
= =
+ donc
2
. 2
( )
MC
v G
R h = R h
+ + donc .
( )
G MC
v = R h + 3.b. 1 point
11 13
1 3
6,67 10 1,0 10
0,17 m.s (2,0 20) 10
v
− −
= =
+
3.c. 1,5 point La vitesse étant constante, on peut écrire : v d 2 .r t T
= =
pour un tour complet.
Ainsi 2 .r 2 .(R h)
T v v
= = +
3
2 (20 2,0) 10 5
7,9 10 s T = 0,17+ =
(9,2 jours) valeur obtenue avec la valeur de v non arrondie
r u
r
uuuur FC /R
Rosetta
Comète
R h
sonde
masse MC
masse M
V = ––––––2.Π.r T
2.Π.r T = –––––V
T = ––––––––––––2.Π.r G.MT
r
T = 2.Π ––––––r³ G.MT 3.d. 1,5 point
T² = 4.Π². –––––––r³ G.MT
–––– = ––––– = cste4.Π² G.MT
r³ T²
r3 = ––––––– G.MT.T2 4. Π² 3.e. 1,5 point
r = ( ––––––– )G.MT.T2 1/3 4. Π²
r = ( –––––––––––––––––––––––––)6,67.10-11x5,97.1024x864002 1/3
4. Π² T = 24h = 24x3600 =86400 s
r = 4,22.107 m
r = RT + h
h = r – RT = 4,22.104 – 6371
= 4,22.104 km
= 3,59.104 km → altitude ≈ 36 000 km
Exercice 3 :
1. 1,5 point et 2. 1 point vy=(y[i+1]-y[i])/(t[i+1]-t[i]) v=(vx**2+vy**2)**0.5 Ec=0.5*M*v**2 Epg=-G*Ms*M/r Em = Ec + Epg liste_r.append(r) liste_v.append(v) liste_Ec.append(Ec) liste_Epg.append(Epg) liste_Em.append(Em) i=i+1
t1=t[:-1]
#print(len(t1),len(x),len(y), len(liste_Ec)) plt.plot(t1,liste_Ec,'o',label='Ec')
plt.plot(t1,liste_Epg,'x',label='Epp') plt.plot(t1,liste_Em,'--',label='Em') plt.legend()
plt.show()
3. 1,5 point
Em est constante donc la courbe à cette allure
La vitesse est plus grande au périhélie qu’à l’aphélie donc Ec a cette allure .
Em = Ec + Ep et Em est constante donc Ec et Ep ont des variations apposées → Ep a cette allure
