Liste 12

(1)

Exercice 1:

On considère dans l'équation: (E) : (i-1)z²-2i(d+1)z+(1+i)(d²+1)=0 ou z est l'inconnue complexe et d est un paramètre complexe.

1) résoudre dans l'équation (E) .

2) dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé ( , , )O i j ; on note A, M' et M'' les points d'affixes respectives 1-i, z'=d-i et z''=1-id;

avec d 1.

a) vérifier que z''=-iz'+2.

b) montrer que M'' est l'image de M' par une transformation du plan que l'on caractérisera.

c) en déduire la nature du triangle AM'M''.

3) étant donné un point d'affixe d; construire géométriquement M' et M''.

4) on suppose dans cette question que d=eⁱ^ avec [0, ]. Déterminer et construire l'ensemble des points M' lorsque  décrit [0, ]; en déduire l'ensemble des points M'' et le construire.

Exercice 2:

soit P un plan rapporté à un repère orthonormé direct (O,i,j) ; soit f l’application de C* dans c qui a z associe f(z)=

z z z

2² 1

'  ; soit

l’application F de P\{O}dans P qui a tout point M(z) associe le point M’(z’)

1/ déterminer et construire les ensembles E1={M(z) ;f(z) réel} ; E2={M(z) ; f(z) imaginaire pur} ; E3={M(z) ; (2 )

) 6 )

arg( ( _ 

i z

z

f }

2/ montrer que F a deux points invariant A et B

3/ déterminer l’image par F du cercle  de centre O et de rayon 1 4/ a/ soit M’ de P distinct de A et B montrer que M’ a deux antécédents M1 et M2 tels que : (M’ milieu de [M1 M2] ; OM¹OM² 1 et

) 2 ( ) 0 , ( ) ,

(iOM^ ¹  jOM^ ²   )

b/ déduire M2 à partir de M1 dans le cas ou M1. c/ retrouver alors le résultat du 3^ème question.

Exercice 3:

1) résoudre dans l'équation z²-(2-i)eⁱ^z+2(1+i)e²ⁱ^=0 avec

]- , [.

2) le plan P est rapporté à un repère orthonormé ( , , )O i j .

soit _i _i

1 1

f : P P

M ( z ) M '( z ) tel que z ie z^ 2( 1 i )e^



  

(2)

a) pour

2

   ; caractériser f.

b) pour

2

   ; montrer que f est une rotation dont on précisera l'angle.

2) soit g= fo S avec S est la symétrie orthogonale d'axe ( O,i ). a) montrer que g est une isométrie du plan.

b) Soit M un point d'affise z et soit z' l'affixe du point M'=g(M).

Justifier que : z'ie zⁱ^ 2( 1 i )e ⁱ^.

c) soit A et B les points d'affixes respectives 1-i et -2i.

déterminer la valeur de  pour laquelle g(A)=A; en déduire g(B).

Exercice 4:

le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé ( O,OA,OB ). A tout point M d'affixe z 8{1,i}; on associe le point M1=

( A, ) 6

r _ (M) et M2=

( B, ) 3

r _ (M). on note z1 l'affixe de M1 et z2 l'affixe de M2. 1) a) exprimer z1 et z2 en fonction de z.

b) en déduire que pour tout z \{1,i} on a; ²

1

z i z i

z i iz 1

  

  . 2) a) déduire que pour tout point M distinct de A et B on a:

1 2

( AM ,BM ) ( AM ,BM )[ 2 ] 2

 

  .

b) déterminer l'ensemble des points M du plan pour que les droites (AM1) et (BM2) soient parallèles.

c) déterminer l'affixe z du point M pour lequel M2=t_AB(M1).

3) montrer que M2 est l'image de M1 par une rotation que l'on caractérisera.

Exercice 5:

soit l'équation (E): z²-2(m+2i)z+2m²+4im-4=0; m est un paramètre complexe.

1) a) résoudre dans l'équation (E).

b) déterminer m pour que 2i soit solution de (E); préciser alors l'autre solution.

2) dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct

( , , )O i j , on considère les point M, M₁ et M₂ d'affixes respectives: m, z1=(1+i)m+2i et z2=(1-i)m+2i .

a) exprimer z₂ à l'aide de z₁.

(3)

b) en déduire que M2 est l'image de M1 par une rotation dont on précisera le centre I et l'angle  .

c) soit m * et J le milieu de [M1M2]. Montrer que J est l'image de M par une translation que l'on précisera et que (IJ) et (M₁M₂) sont perpendiculaires.

3) on suppose que m= (1+i)eⁱ^,  [0, ].

a) déterminer et construire l'ensemble  des points M1 lorsque  décrit [0, ].

b) en déduire l'ensemble  ' des points M₂. Exercice 6:

soit ]0, [ 2

 .

1) écrire 1-e²ⁱ^sous forme exponentielle; en déduire l'écriture exponentielle de ¹_2i

1 e ^ .

2) Soit l'équation (E): z²-2 e²ⁱ^(cos  )z+e²ⁱ^=0.

a) vérifier que 1 est une solution de (E).

b) en déduire l'autre solution.

3) dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé ( , , )O i j , on considère les points A(1) et M₁(e²ⁱ^); soit f l'application de P dans P qui à tout pont M(z) associe le point M'(z) tel que z'=e²ⁱ^ z+1.

a) déterminer la nature et les éléments caractéristiques de f (on notera I le centre).

b) Déterminer l'ensemble des points I lorsque  varie dans ]0, 2

 [.

c) Montrer que les points A, I et M1 sont alignés; en déduire que M1

est l'image de I par une homothétie de centre A dont on déterminera le rapport.

Problème1:

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct ( , , )O i j . I) résoudre dans l'équation : z²-( 2 +i)z+i  2=0.

II) On considère les points A d'affixe  2 et B d'affixe i. soit C le point tel que OACB est un rectangle. On note I le milieu de [OA], J le milieu de [BC] et K le milieu de [AI].

1) a) placer ces points sur une figure.

b) déterminer les affixes de C, I, J et K.

(4)

2) soit f l'application de P dans P qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' tel que z' i ² z ² i

2 2

    . Montrer que f admet un seul point invariant w dont on déterminera l'affixe.

3) a) déterminer l'image par f des points A, B et C.

b) Mw , montrer que f(M)=M'  ( wM ,wM ' ) [ 2 ] 2

 

  .

4) a) déduire une mesure de l'angle ( wwB,wA ), en déduire que les points A, B et w sont alignés.

b) montrer que les points C, I et w sont alignés.

c) en déduire une construction de w; placer w sur la figure.

5) a) déduire du 3) que w appartient aux cercles  1 et  2 de diamètres respectifs [BC] et [AI]. Représenter les cercles  1 et  2.

b) démontrer que Jw et JKsont colinéaires.

c) déterminer f(O). déduire que la droite (Ow) est tangente commune aux cercles  1 et  2.

III) 1) soit r la rotation de centre w et d'angle 2

 ; déterminer la forme complexe de r.

2) soit l'application h=for.

a) déterminer la forme complexe de h.

b) déduire la nature et les éléments caractéristiques de h.

3) déduire que f est la composée de deux applications que l'on précisera.

Problème 2:

le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O,i, j) ; on désigne par A et K les points d’affixes respectives 1 et 1+i et par I et J les points d’affixes respectives i et –i

1/ on désigne par  le cercle de centre O et de rayon 1 ; on considère sur ce cercle un point N distinct de I et J ; on note t une mesure de l’angle

) , (iON

a/ quelle est la nature du triangle INJ ?

b/ montrer que pour tout réel t /2 + k, kZ ; le nombre complexe e i

e i

it it



est imaginaire pur

dans la suite on désigne par =(A,1)

2/ soit r la rotation de centre O et d’angle /2 a/ tracer  et son image ’ par r

(5)

b/ soit M’=r(M), exprimer z’ l’affixe de M’ en fonction de z l’affixe de M

c/ déterminer l’antécédent H de K par r

3/ dans cette question, M est un point quelconque du cercle  distinct de H et K.

on note  une mesure de l’angle (i,AM). Soit M₁=tAO(M), on désigne par z, z1 et z’ les affixes respectives de M, M1 et M’

a/ montrer que z1=z-1 ; en déduire z=1_e^i

b/ montrer que

e i e i i i z

i z

i i



 

 



) 1 (

) 1 ( '

c/ en déduire que M, K et M’ sont alignés

d/ donner alors une construction de M’ connaissant M.

Problème3:

I) soit un réel ]0, [.

1) résoudre dans l'équation (E): z²-(3+e²ⁱ^)z+2(1+e²ⁱ^)=0.

2) Soit dans l'équation (E'):

z³-(4+e²ⁱ^)z²+(5+3 e²ⁱ^)z-2(1+e²ⁱ^)=0.

a) vérifier que 1 est une solution de (E').

b) résoudre alors l'équation (E').

II) dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct

( , , )O i j , on considère les points A d'affixe 1, B d'affixe 2 et M d'affixe z=1+e²ⁱ^; ]0, [.

1) écrire z sous forme exponentielle.

2) a) montrer que M appartient au cercle (A,1). b) déterminer l'ensemble E={M,  décrit ]0, [}.

3)soit M'(z') l'image de M par la rotation de centre O et d'angle (-2 );

montrer que z'=z, puis que M'  . 4) dans toute la suite on choisit  =

3

 . On appelle r la rotation de

centre O et d'angle ² 3



 et A' l'image de A par r.

a) déterminer l'image  ' de  par r.

b) placer sur une figure: A, B, M,  et  ' puis M' l'image de M par r.

c) montrer que le triangle AMO est équilatéral.

d) soit le point N symétrique de M par rapport à A; montrer que M' est le milieu de [A'N].

Problème 4:

(6)

le plan P est rapporté à un repère orthonormé ( , , )O i j on note A, B, C et D les points d'affixes respectives i, -2i, ¹i et ^{3 3} ¹i

2 2 2 .

I) soit l'équation (E): 2z³-(3 3 -3i)z²+(3-3 3 i)z-6 3 +2i=0.

1) montrer que (E) admet deux solutions imaginaires purs notées z1 et z2 avec |z1|<|z2|.

2) Résoudre alors l'équation (E); soit z₃ la troisième solution.

3) a) écrire sous forme exponentielle le nombre complexe Z= ² ³

1 3

z z



 . b) en déduire la nature du triangle de sommets les images des

solutions de (E).

II) pour z i, on désigne par M le point d'affixe z et M' le point d'affixe z' définie par z'=^2z ⁱ

iz 1



 . 1) a) interpréter géométriquement |z'|.

b) pour z'0; montrer que arg(z') ( MA,MC ) [ 2 ] 2

 

  .

2) déterminer et construire alors les ensembles : E={M(z); |z'|=2} et F={M(z); z'IR+}.

III) soit l'application f de P\{A} dans P\{B}; qui à tout point M(z) associe le point M'(z') tel que z'=^2z ⁱ

iz 1



 . 1) montrer que f est bijective et déterminer f^-1. 2) Montrer que (z'+2i)(z-i)=1.

3) On note z-i=reⁱ^; déterminer la forme exponentielle de z'+2i.

4) Soit  le cercle de centre A et de rayon 1. montrer que si M alors M'=f(M) appartient à un cercle  ' dont on donnera le centre et le rayon.

5) Soit T le point d'affixe ² ( 1 ² )i

2   2 ; calculer l'affixe de AT et en déduire que T .

Déterminer une mesure de l'angle ( i,AT ).

En déduire une construction de l'image T' de T par f.

Problème 5:

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct ( , , )O i j . I) on considère dans l'équation (E): z³-2z²-iz+3-i=0.

(7)

1) a) montrer que (E) admet une solution réelle que l'on précisera.

b) résoudre alors dans l'équation (E).

2)soient A, B, C et D les points d'affixes respectives a)=-1, b=1-i, c=2+i et d=2i.

a) montrer que ABCD est un carré.

b) déterminer l'affixe du point G centre du carré ABCD.

II)

1) soit r1 la rotation de centre A et transformant B en D.

a) on désigne par M le point d'affixe z et par M' le point d'affixe z' image de M par r1 ; en utilisant une méthode géométrique, déterminer l'ensemble  ={M; |z'-2i|=2}.

b) Soit K(3+2i); on pose C'=r₁(C) et K'=r₁(K). sans déterminer les coordonnées des points C' et K', montrer que les points D, C' et K' sont alignés.

2) a) déterminer la forme complexe associé à r1.

b) soit M le point d'affixe z= 2eⁱ^;  ]0, [ et M' le point d'affixe z' image de M par r1. déterminer l'ensemble des points M' lorsque  décrit ]0, [.

c) Déterminer la forme exponentielle de z'.

d) Soit N le point d'affixe Z=z'+1-i; déterminer les ensembles suivants:

E={N(Z); ]0, [} .

III) soit l'application f de P dans P qui à tout point M(z) associe le point M'(z') tel que z' ¹( 1 i )z ¹

2 2

   .

1) montrer que f possède un seul point invariant que l'on précisera.

2) On suppose que MO et MG et les vecteurs MM ' et OM sont orthogonaux.

a) montrer qu'il existe kIR* tel que z'-z=kiz.

b) Vérifier que z ¹ ^{1 i( 2k} ^{1 )} 2 2[ 1 i( 2k 1 )]

 

    .

c) En déduire que M appartient à un cercle  dont on précisera le centre et le rayon.

3) a) déterminer la forme complexe associé à r2. b) déterminer la forme complexe associé à fofor2.

c) Déduire que fofor2 est une homothétie dont on précisera le centre.

(8)

Problème 6:

I)

1) soit m un nombre complexe; on pose P(m)=-4m²-4(1-4i)m+15+8i.

montrer que P(m)=(2im+i+4)².

2) on considère dans l'équation d'inconnue z : (E): z²-(2m+5i)z+2m²+(1+i)m-2(5+i)=0.

a) résoudre dans l'équation (E) .

b) calculer m pour qu'il soit solution de (E).

II) le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct

( , , )O i j .

soient les applications S de P dans P qui à tout point M(m) associe Q(Z) tel que Z=(1+i)m+2+3i et S' de P dans P qui à tout point M(m) associe Q'(Z') tel que Z'=(1-i)m-2+2i.

1) a) montrer que S admet un seul point invariant K dont on précisera l'affixe..

b) soit M  K; montrer que S(M)=M₁ KQ 2KM et ( KM ,KQ ) [ 2 ]

4

 

  

2) a) déterminer la forme complexe de S’ o S .

b) déduire que S’ o S est est une homothétie dont précisera le rapport et le centre J.

3) soit l'application f de P dans P qui à Q(Z) associe Q'(Z').

a) exprimer Z' en fonction de Z.

b) déduire que f est une rotation de centre ( ^{1 9i}) 2

  et d'angle 2



 . 4) soit I le milieu du segment [QQ'].

a) déterminer l'affixe du point I en fonction de m.

b) en déduire que l'application t de P dans P qui à M associe I est une translation dont on précisera le vecteur.

5) a) montrer que si Q alors les droites (I) et (QQ') sont perpendiculaires.

b) on donne un point M du plan, déduire de ce qui précède une

méthode pour construire simplement les points Q, Q' tels que S(M)=Q et S'(M)=Q'.

c) on donne un point Q du plan, déduire de ce qui précède une méthode pour construire simplement les points Q' et M tel que S(M)=Q et S'(M)=Q'.