Nom : ... DS n°6 - Seconde - Février 2017
Devoir Surveillé n°6 Seconde
Vecteurs
Durée 1 heure - Coeff. 5 Noté sur 21 points
L’usage de la calculatrice est autorisé.
Exercice 1. Construction et démonstration 6 points
×
A × B
×
C
On considère un triangle ABC.
1. Construire les points I, J, K et L définis par :
1. a. −→
AI =−−→
AB +−−→
AC ; 1. b. −→
A J =−−→
AB−−−→
AC ;
1. c. −−→
AK =2−−→
AB −−−→
AC ; 1. d. −−→
BL = −2−−→
AC ;
2. En utilisant la relation de Chasles, démontrer que−−→
J K =−−→
AB. 3. Démontrer ensuite que−→
C I =−−→
AB.
4. En déduire que le quadrilatèreC I K Jest un parallélogramme.
Exercice 2. A la recherche du point G (3 ou) 4 points
Soit ABC un triangle quelconque, on note A’ le milieu du segment [BC], B’ le milieu du segment [AC] et C’ le milieu du segment [AB]. Soit M un point du plan tel que :
−−−→ M A+−−−→
MB +−−−→ MC =−→
0
1. Montrer qu’alors :−−−→ AM =2
3
−−→A A′.
2. On admet que l’on a aussi :
−−−→ B M =2
3
−−→BB′ et −−−→ C M =2
3
−−→CC′
En déduire que les trois médianes du triangle sont concourantes en M.
Remarque:si vous avez déjà traité la question(5.)de l’exercice 3, ne pas refaire la preuve.
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Exercice 3. A la recherche du point G, une autre preuve (6 ou) 5 points
On considère un triangle quelconque ABC. On note A’ le milieu du segment [BC], B’ le milieu du segment [AC] et C’ le milieu du segment [AB].
b
A
b
B
b
C
b
A
′b
B
′b
C
′1. On se place dans le repère (A;C;B). Déterminer dans ce repère les coordonnées des points A, B, C , A’, B’ et C’.
2. Placer le point G tel que :−−→
BG =2 3
−−→BB′.
3. Montrer que dans le repère (A;C;B), le point G est de coordonnées µ1
3;1 3
¶ .
4. Démontrer que l’on a aussi :
−−→AG =2 3
−−→A A′ et −−→
CG =2 3
−−→CC′
5. En déduire que les trois médianes du triangle sont concourantes en G.
Remarque:si vous avez déjà traité la question(2.)de l’exercice 2, ne pas refaire la preuve.
Exercice 4. Points alignés dans un repère 6 points
Dans un repère³ O,−→
ı ,−→
´
du plan, on considère les pointsA(2;−2) ,B(6; 1),C(1; 4) etD(−3; 1).
1. Placer les points A, B, C et D dans le repère³ O,−→
ı ,→−
´ .
2. Démontrer que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
3. Placer les points M et N tel que :
−−−→
B M = −2−−→
B A et −−→
AN =3 2
−−→AD
4. Calculer les coordonnées des points M et N.
5. Démontrer que les points M, C et N sont alignés.
[ Fin du devoir \
Bonus
Soit ABC un triangle quelconque. Soit G le centre de gravité du triangle ABC.
On rappelle que−−→
AG =2 3
−−→A A′, avec A’ milieu du segment [BC].
Sans utiliser de repère, démontrer que :
−−→G A+−−→
GB +−−→
GC =→− 0
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