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Submitted on 1 Jan 1923
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La forme actuelle des principes de quanta
Ch. Salomon, M. Boll
To cite this version:
Ch. Salomon, M. Boll. La forme actuelle des principes de quanta. J. Phys. Radium, 1923, 4 (9), pp.310-323. �10.1051/jphysrad:0192300409031000�. �jpa-00205104�
LA FORME ACTUELLE DES PRINCIPES DE QUANTA
par MM. Ch. SALOMON et M. BOLL
1. La contradiction fondamentale. - La théorie des quanta s’efforce, à
"heure présente, d’élucider la constitution de l’atome, ainsi qu’en témoigne
un nombre considérable de travaux, publiés principalement en Danemark,
en Hollande et en Allemagne.
°
Les difficultés, jusqu’ici insurmontables, que rencontre l’élaboration >
de cette théorie, proviennent, essentiellement et avant tout, du fait suivant : elle introduit (les discontinuités dans les i1arialioJls de (leurs physiques (telles que l’impulsion et l’énergie) que ne savons
d(;finir qu’en les sitl)poset2it continues. Il y a là une contradiction interne dont on n’est pas parvenu à s’affranchir ; tout au plus tire-t-on des rensei-
gnements précieux de cette idée directrice que la théorie des quanta doit,
à la limite, redonner l’électromagnétisme et la mécanique classiques, lorsque les variations des grandeurs caractéristiques sont petites par rapport
à leurs valeurs mêmes (1). ,
Dans un récent mémoire (°~, Niels Bohr s’est proposé d’exposer la
situation actuelle de la théorie,. de préciser les points qui semblent acquis
et d8 prévoir le sens des développements prochains. Nous allons essayer de dégager les grandes lignes de la question, d’après cet important travail et
ceux qui l’ont précédé, en nous réservant d’insister ailleurs sur les points qui ne seront que rapidement indiqués ici.
2. Les mouvements intratomiques et le rayonnement. - Le problème
de l’application des quanta à l’atome se pose sous trois aspects distincts,
que nous cxaminerons successivement :
10 Les mouvements intérieurs à l’édifice atomique, qu’il soit fermé (~)
ou non (§§ 3-11) ;
2° Lc processus du rayonnement (~~ 12-15).
3" Le mca’iisme des échanges d’énergie entre l’atome et le rayonne-
ment (§§ 16-18..
(1) C’est-à-dire lorsque les électrons sont très éloignés du noyau de l’atome; on dit
que leurs mouvements correspondent à « de grands nombres de quanta ».
(2) Zeils. /. l’Iijs., 13 (1923), p. li’7-t65. C’est le prcmier mémoire d’une série où
l’auteur traitera des problèmes qui se posent à propos de la structure de l’atome.
(3) Bohr définit un édifice atomique fermé comme « un système de particules électri-
sées qui, sous l’action de leurs seules forces réciproques, se meuvent de telle façon que leurs distances restent toujours au-dessous de certaines limites » ; ; il faut donc considérer
comme non fermé tout systè ne en relation avec l’extérieur Bchamp électrique ou magné- tique, rayonnement abS)L’bJ oa émis, approche de particules électrisées). >
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:0192300409031000
3. Les états stationnaires. - En opposition avec la théorie électro-
nique classique, la théorie des quanta pose en principc que, parmi toutes
les trajectoires qti"un électron satellite décrire autour du noyau d’un atome, seules certaines d’entre elles sont effectivement décrites (trajec-
toires stationnaires). ])’une iason plus générale, parmi tous les mouve-
nlents intérieurs il un édifice atomique quelconque, il existe certains états de régime permanent, appelés stationnaires et tels que toute modifi- cation du système est un passage complet entre deux de tels états (~).
Pour qu’il y ait régime permanent, il faut, de toute nécessité, que les états stationnaires ne soient pas accompagnés de rayonnement. C’est
l’une des oppositions essentielles entre la théorie des quanta et la théorie classique. Mais ici se place une remarque importante sur laquelle on n’a
pas suffisamlnent insisté dans les publications françaises : même dans l’électromagnétisme classique, l’émission lumineuse ne peut occasionner,
dans le mouvement des particules, qu’une modification petite (‘~~ par rap-
port à celle qui est due aux forces électromagnétiques agissant entre ces particules, que ces forces soient les attractions et répulsions mutuelles
ou qu’elles proviennent des champs magnétiques créés par le mou-
vement.
Il résulte de là qu’on pourra « avec une grande approximation »
étudier ces états stationnaires, en leur appliquant les lois de la mécanique classique ~) et en laissant de côté les forces électromagnétiques corres- pondant à l’émission de radiation.
4. Degrés de liberté et énergie totale d’un état stationnaire. - On
exprimera ces lois. comlne on le fait d’ordinaire en mécanique céleste,
sous la forme des équations canoniques de Hamilton (’). L’ensemble des (1) Pendant ce passage, l’édifice atomique est nécessairement un système non fermé.
(2) Pour fixer les idées par un exemple très simple, l’électron (charge e, masse m) qui
décrit l’orbite la plus petite de l’atome d’hydrogène (vitesse v, fréquence . accélération
1 2 ’v,
y - 2B) possède une énergie
totale ’5
et rayonnerait ii chaque 1:: d’après..-. 3 c y
l’électronique classique. Or la deuxième énergie n’est que le millionième de la première,
la diminution relative, pendant une périocle, du rayon de l’orbite est du même ordre de
grandeur.
(3) Au contraire, ces lois ne sont d’aucune utilité pour décrire les processus du rayon- nement.
(4) On sait que les équations canoniques de Hamilton se déduisent, par une transfor- mation convenable, des équations de Lagrange, dans le cas particulier où les composantes
des forces appliquées sont les dérivées partielles, par rapport aux coordonnées, d’une fonction des coordonnées et du temps lénftrgic potentielle). Dans le cas, plus particulier
encore, où les liaisons sont indépendantes du temps, la fonction W qui figure dans les équations de Hamilton n’est autre que l’énergie totale du système.
particules électrisées (édifice atomique fermé) sera assimilé à un système
de points matériels obéissant, à l’approiimation précédente (§ 3) près, aux
2 équations 1. ,
où s est le nomhre des degrés de liberté, les q» sont les coordonnées géné-
ralisées (distances, angles) et les p, les moments conjugués (impulsions de
.
tralslation, impulsions de rotation) ; qk et sont leurs dérivées par
rapport au représente l’énergie totale du système, calculable
à partir des ql, et des Pk . Dans un système en état stationnaire, l’énergie
est constante, puisqu’il ne rayonne pas. Et, comme nous ne concevrons
pour le moment aucun moyen de passer d’un état stationnaire (niveau E’)
à un autre (niveau ~’’), une différence telle que (E’ - E") n’a, jusqu’à
nouvel ordre (§ 11), aucun sens physique.
5. Systèmes multipériodiques. - Le problème de la détermination des états stationnaires, ainsi considéré dans toute sa généralité, est d’une complexité extrême (’). On s’est donc appliqué à l’étude de certains cas
particuliers, susceptibles d’être abordés par les méthodes d’analyse actuel-
lement connues, dans l’espoir d’obtenir une solution plus ou moins appro-
chée du problème général et, tout au moins, quelques précisions sur sa
solution rigoureuse. ..
On a été ainsi amené à étudier certains systèmes, dits
") qu’on peut définir comme suit (3) : ce sont des systèmes tels que le déplacement dans l’espace de chaque particule (’1) peut être ramené à une série tt-uplement infinie d’oscillations harmoniques ; autrement dit, la
(1) Pour l’atome à deux électrons (hélium), c’est déjà le « problème des trois corps ».
(2) En allemand, mehrfach periodisch (Bohr), expression justifiée ci-dessous. Syno-
nymes : bedingt periodisch (Staude), conditionally periodic Kramers), quasi-périodique (Esclangon L Ces systèmes ont déjà fait l’objet de nombreux travaux mathématiques :
i Staude (188î), Staeckel (1891), Bohl ( 1 JOf), Esclangon i904)j.
Î3j Cette définition a priori est donnée par Bohr (loc. cil.), qui développe ensuite, sous
une forme didactique compacte, les propriétés de ces sy stèmes. En réalité, pour les obtenir, on est parti des systèmes à un seul degré de liberté et on a cherché, en opérant
sur les équations de Hamilton modifiées par Jacobi, des systèmes âe nature aussi générale
que possible et possédant les mêmes propriétés. Cette partie de la question ne peut être éclair- cie qu’au prix d’assez longs développements; nous nous proposons de la reprendre ailleurs.
(’~) Abstraction faite d’une translation possible du système en bloc.
projection, sur une direction quelconque, de l’élongation d’une particule s’exprime, en fonction du temps. par la série de Fourier généralisée (’);
Î == 2: :1.2, .."..., :Ju COS 27t 1 (1J-1 °1 + 22 + ... + + 1:1.1, a ...., .. Jul (2)
"
où tJ-z" ."., sont des nombres entiers et où Wt’ W2,"" ú)r ,..., Wu sont des fréquences dites « fondamentales » (2), dont le nombre au plus (3) égal au nombre s des degrés de liberté, s’appellera le « degré de pério-
dicité o du système (’). Les C et les y représentent respectivement" les amplitudes et les phases des composantes harmoniques (de fréquences
r~~
~ Dans cette expression (2), la sommation doit être étendue à
1
toutes les valeurs des entiers ;j.r.
6. Variables uniformisées. - Les états stationnaires des systèmes 111UI- tipériodiques, - et c’est ce qui en fait l’intérêt - sont caractérisés par un certain nombre de conditions, qui se présentent colnnle une généralisation
des hypothèses primitives de Planck sur les états parfaits d’un oscillateur
harmonique simple. Mais, pour formuler ces conditions, il est nécessaire de
remplacer les variables qk et p, par d’autres, dites « variables uniformi- sées », en relation avec les 2t fréquences fondamentales w,.. Nous n’entre- (1) Les séries telles que (2) permettent de connaître, à chaque instant, la position de
tous les électrons par rapport au noyau. Si on joint ce dernier au centre de gravité des charges négatives, on obtient un vecteur qui, multiplié par la charge totale, définit le
« moment électrique » de l’atome. On voit facilement que, dans un système multipério- clique, les composantes du moment électrique seront elles aussi de la forme (2). La consi- dération du moment électrique est intéressante (§ i2), quand on étudie -- du point de vue
de la théorie électromagnétique classique - les relations entre les mouvements intrato-
miques et le rayonnement, puisque ce moment et ses variations déterminent les champs, électrique. et magnétique, produits par l’atome.
(~) Le mot mullipériodique signifie tout simplement que le système se définit au moyen de plusieurs périodes fondamentales Un tel système n’est d’ailleurs pas périodique (sauf
tÙr
naturellement quand u = 1) ; mais on démontre qu’il est « quasi-périodique », c’est-à-dire
qu’il revient aussi près qu’on veut de sa configuration initiale au bout d’un temps suffi-
samment grand par rapport aux périodes fondamentales.
j3) Si le degré de périodicité zc est inférieur au nombre s des degrés de liberté, le sys- tème est dit (Schwarzschild, Epstein). Il y a intérêt [M. Born et W. Heisen- berg, Zeits . f . Phys., t. 14. ( 19~3 ), p. 44-SJ ] à considérer, en plus de la dégénérescence
« essentielle » (où E ne dépend pas des 1, § 6 ~, une dégénérescence « accidentelle » qui correspond à ce fait que certains J,. ont par hasard des valeurs telles qu’une ou plusieurs fréquences fondamentales sont nulles ; ce cas se présente en particulier lorsqu’il existe
des commensurabilités entre les t’)r. Dans les deux cas de dégénérescence, il y a ze con- ditions 7 ~.
(1) Dans le cas particulier oii ii - t. on a affaire à un système unipériodique. Si cle pins la sr-rie (‘?) n’a qu’un terme, le système unipériodique est harmonique simole (§ 6).
rons pas ici dans le détail de ce changement âe -variables, inspiré de la
. ~ tranforma[ion opérée par Jacobi sur les équations de Hamilton ; il consiste
à
remplacer
les 2 s variables qk et Pk par 2s nouvelles variables*:les u variab1es ’lVr (dites « variables angulaires ») sont fonctions linéaires du temps (i) : ,
les « moments angulaires » Jr restent constants pendant le mouvement;
l’énergie totale l!.tB constante clle-même, ne dépend que des et on a
notalllment. en vertu des secondes équations (1), les u relations :
Quant aux variables supplénlentaires ’1) et I, qui n’existent que si le
système est dégénéré, elles restent également constantes, d’où leur nom de .
o constantes de trajectoire ».
7. Conditions d’état (première règle de
Bohr).’-
Ceci posé, chaque °état stationnaire du système obéit d’état:
h .~= 6,~~ ~ .10-9~ C . G . S . est la constante de Planck ; 11 l’ ~a.,, ..., ..., il,,
soiit u nombres entiers, les llo711bres (le quanta, caractéristiqi-ies de l’état
stationnaire considéré.
Les égalités (~a). qui « quantifient » les états stationnaires, constituent
ce qu’on appelle généralement Bohr (~’~.
8. Édifices atomiques perturbés par un champ extérieur constant. -
Comme précédemment, le système (non fermé) prend des états station- i-iaires. Dans le cas très fréquent (effet Zeeman, effet Stark) où les forces tlues au champ extérieur sont petites par rapport aux forces interparticu- laires, le potentiel des fones appliquées est le produit d’une petite gran-
(1) C’est là précisément que s’introduisent les fréquences fondamentales w,..
’
(2) Pour un système unipériodique m ‘ i 7, la condition (A) exprime que l’intégrale
d’action
prise B
le long d’unepériode )
tÙl est égale à un multiple entier de la constante de Planck.denT’ s (définissant l’intensité du champ par la variable
on F (t) est de la même forme que (2).
Deux cas se présentent, suivant que la grandeur î) ne dépend que des J (perturbatio}i simple) ou qu’elle dépend en outre des variables supplé-
mentaires I séculaire).
10 La perturbation est toujours simple losque S = Il (2) ; on effectue un
nouveau changement de variables (transformation de contact), grâce auquel
le système (qui reste multipériodique) obéit encore conditions d’état
analogues à tA). Lol’sqll’on néglige les puissances de e égales et supérieures
à la deuxième, l’énergie totale 6 d’un ékat stationnaire perturbé est tout simplement égale à l’énergie totale primitive E, augmentée de la valeur moyenne de l’énergie potentielle du système (non perturbé) dans le champ
extérieur.
2° Les perturbations séculaires sont beaucoup plus complexes (3) . Il
est possible, dans certaines conditions, d’imposer i~’ conditions d’état (A) (2c’ ~> it), mais il est essentiel de ne pas perdre de vue qu’on a négligé les
réactions du rayonnement (§ 3), surtout quand on étend l’étude du mouve-
ment à des durées très grandes par rapport aux périodes 1 ’ ,
(Or
9. Édifices atomiques perturbés par un champ extérieur variable. ---
Cette perturbation se présente, par exemple, lorsqu’un atome est frappé
par une radiation ou lorsque deux atomes se rencontrent. Les postulats de
la tlléoric des quanta, relatifs à l’existence et à la permanence des états
stationnaires, affirment qu’après colnme avant le phénoméne, les édifices
atomiques se trouvent dans des états stationnaires.
L’électromagnétisme classique permet-il de déterminer ces états’
stationnaires, au moins en première approximation? Non, pas dans le
cas général. Est, puisque la plupart des phénomènes physiques comportent
des réactions entre édifices ai omiques, nous devons bien préciser la nature
du problème : il s’agit en somme de trouver, pour ces réactions, des lois quantitatives qui rendent compte des résultats statistiques déduits de la
(i) Et par suite aussi, l’énergie S du système (2) Et exceptionnellement pour s > u.
(3) Les variables supplémentaires I effectuent non seulement des oscillations mul-
tipériodiques (dépendant à la fois des fréquences fondamentales w- et du champ extérieur), mais, en outre, elles subissent de lentes variations, qui, au cours du temps, se traduiront
par des déplacements finis. ’
’
théorie cinétique(’) et qui s’appuient sur les postulats cle quanta. C’est une
« cinétique de quanta )), comme dit Bohr. qu il importe de construire.
Mais, en attendatil que ce vaste problème soit résolu, un principe très important, le « principe adiabatique )). est venu reculer les limites d’appli-
cabilité de l’électromagnétisme classique.
10. Principe adi1batique (Ehrenfest). - Ce principe pose que les lois de
l’électromagnétisme classique régissent les systèmes non fermés, avec la
même approximation que les états stationnaires des systèmes fermés, lorsqu’il s’agit d’une perturbation c’esL-à-clire telle que les
champs appliqués se modifient très lentement (") . Si on applique le principe adiabatique aux systèmes 111ulLipél’iodiques et si on admet :
10 que la variation dn champ extérieur est insignifiante pendant des temps qui sont de l’ordre de grandeur des périodes
fondamentales! ;
w,
20 que le mouvement, à chaque instant, diffère infiniment peu de l’état stationnaire déterminé par la valeur actuelle du champ (§ 8);
30 que le système reste 111ullipérindiqlle; et enfin
4° que son degré de périodicité U n’est pas modifiée;
on démontre cette propriété que les grandeurs J, considérées
plus haut (§ 6), restent constantes pendant une telle transformation, d’où
leur nom (Bllrgers, IÉraineis).
11. Différence d’énergie entre deux états stationnaires. - Nous devons
également indiquer que le principe adiabatique permet, accessoireu1ent, de
surmonter une grave difficulté, qui avait longtemps préoccupé les fonda- teurs de IJ, théorie des quanta. Considérons un édifice .atomique quelconque,
il os! clair que. du fail du rayonnement qui est, lié au passage d’un é,at stationnaire iL un autre, il est impossible d’appliquer à ce passage les de la mécanique classique. Or, nous disons que les deux états stationnaires sont respectivement caractérisés par deux niveaux d énergie. Comment
concevoir une différence d’énergie entre deux états (§ 4), s’ils ne peuvent
être reliés par un processus mécanique continu!
~1) Les succès de la théorie cinétique tieiiiieiit il ce qu’elle se borne à étudier des phé-
nomèiies qui correspondent à de « grands nombre de quanta » et pour lesquels la théorie des quanta conduit à une quasi continuité 1).
l2) Le mot « adiabatique », dont l’pmploi s’est généransé dans la physique des quanta, provient d’une assimilation des mouvements rapides à de la « chaleur )) et (les actions exté-
rieures presque constantes à du « la transformation, considérée ici, peut donc être appelée adiabatique (pas de « chaleur )) échangée). Cf. LEON BRiLLOuiN. La théotie des
p. 144, Paris, 1923).
Le principe adiabatique, en nous fournissant un tel processus. aplanit
cette difficulté. Supposons en effet que nous introduisions, dans notre système en état stationnaire, des particules électrisées fictives, animées d’url mouvement lent. Cela revient à soumettl’c l’édifico atolnique à un champ lentement variable et, en vertu du principe adiabatique, le nouveaux système global ainsi constitué I1e cessera pas d’être en état stationnaire.
On conçoit d’autre part que ce nouveau système puisse être choisi de telle sorte que les forces s’exerçant entre les particules y soient très faibles et que, par conséquent, les valeurs des énergies, pour les états stationnaires successifs, soient aussi rapprochées qu’on voudra. Dans ce système fictif, le
passage entre deux niveaux d’énergie sera quasiment continu. Et on pourra
ensuite, en supprimant les particules ajoutées, revenir au système initial,
sans quitter le domaine des états stationnaires.
Il est donc possible, en s’appuyant sur le principe d’Ehrenfest, d’ima- giner une suite de transformations mécaniques assurant le passage, par l’111te1’Illédlall’e d’un système auxiliaire, d’un état stationnaire quelconque du système donné à un autre état stationnaire du même système (’); nous
aurions a revenir sur de tels passages, à propos du processus du rayonne-
ment (§ 14) 1’) ..
,
12. Le processus de rayonnement dans la. théorie classique -- Si
nous considérons un édifice atomique placé dans un champ de rayonne- ment où toutes les fréquences ) sont représentée, la théorie électronique classique admct les quatre propositions ci-après :
1° Tout mouvement intratomiquc est concomitant d’un échange d’énergie avec les ondes électromagnétiques.
2° L’atome énlettra Oll absorbera de l’énergie suivant les différcnces de
phase entre les ondes électromagnétiques et les oscillations électroniques.
3° La fréquence j de l’onde (émise ou absorbée) est celle d’une des composantes harmoniques du moment électrique (3) de l’atome (§ 5, note).
(1) Cette idée ingénieuse et extrêmement féconde avait suggéré à Bohr (191.8), pour le
principe d’Ehrenfest, le nom de « principe de transformabilité mécanique des états sta- tionnaires ».
(’) Ehrenfest s’est proposé (1914) de rechercher. l’étendue du domaine d’extension en
phase qu’il faut attribuer à chaque état stationnaire particulier (défini par les nombres de
quanta n~,,..., nr..., Hu); pour des systèmes multipériodidues non dégénérés (ii - s~,
’
cette étendue est égale à la puissance de la constante h. Il existe toutefois des pro-
priétés qui ne sont pas liées aux problèmes de répartition et on est conduit à attribuer il certains états stationnaires imaginables une valeur nulle pour leur domaine d’extension en
phase.
(3) Synonyme : polarisation électrique.
"
