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Submitted on 1 Jan 1903
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Sur le coefficient σ de Poisson pour le caoutchouc vulcanis
H. Bouasse
To cite this version:
H. Bouasse. Sur le coefficientσ de Poisson pour le caoutchouc vulcanis. J. Phys. Theor. Appl., 1903, 2 (1), pp.490-498. �10.1051/jphystap:019030020049001�. �jpa-00240785�
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cette valeur dans la relation (I9), celle-ci devient
d’où, par intégration:
et, en portant cette valeur dans (6), il vient E - A~I°" ; c’est la loi de Stefan. Ainsi la loi de Maxwell-Bartoli et la loi de Stefan sont une
conséquence l’une de l’autre, d’après les principes de la thermody- namique. Boltzmann avait déjà signalé ce rapprochement (1).
SUR LE COEFFICIENT 03C3 DE POISSON POUR LE CAOUTCHOUC VULCANISÉ;
Par M. H. BOUASSE.
Il est singulier qu’on ait tant écrit sur une question où tout le
inonde est d’accord et oû il suffit de s’entendre sur quelques défini-
tions : c’est ce que je vais prouver dans cet article.
1. Le coefficient c de Poisson se présente sous deux aspects bien
différents. On s’est demandé si, dans les formules de l’élasticité par- faite des corps isotropes, la réduction des coefficients doit se limiter à deux ou à un seul. Appelons avec Larné (Leçons sur l’élasticite)
a et tt ces deux coefficients ; on a ce = y , Saint-Venant veut
.... A p..
que l’on pose, pour tous les corps isotropes, A== u., c = 0,25;
Wertheim préfère la relation À = 2u., 6 = 0,33 ; Lamé admet seule- ment que ), et u, sont deux constantes positives : si p est très grand
devant ),, c - 0; si j. est très petit devant ),, 7 - 0,50 ; a peut prendre
toutes les valeurs comprises entre ces limites. Comme nous ne savons
pas si le caoutchouc obéit à la théorie classique de l’élasticité, quittons pour le moment ce point de vue.
2. Ou peut encore définir le coefficient de Poisson comme le rap-
port de la diminution de l’unité de longueur, dans la section trans- versale, à l’allungement de l’unité de longueur, dans le sens longi-
-
tudinal, quand la traction s’exerce sur un cylindre suivant la
J. de Ph!ls., 2e série, t. IV, p. 526; 1885.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:019030020049001
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longueur seule. D’après cette définition, il n’est pas absurde a que ? ait une valeur positive quelconque. Gomme il semble bien que, si l’on tire sur un fil, la section doit diminuer, il paraît naturel
d’admettre que a > o : c’est tout ce que nous pouvons dire.
On ne contestera pas la proposition suivante : q2.cand on déflîzil
des para1nètres, il faut ad1neltre comme présomlJtion qu’ils peuvent être constants sans aôsirdiié, car c’est leur seule raison d’être indé- ..
pendamment de toute théorie. Or on sait depuis longtemps, et il est
facile de le démontrer, qu’avec cette définition du coefficient 7 il est absurde de supposer qu’il soit constant pour le caoutchouc, ce qui
nous conduit à rejeter cette définition.
3. Soient V 0’ Lo, Do le volume, la longueur du fil et lalongueur d’une
de ses dimensions transversales (son diamètre, si la section est
circulaire), quand la tension est nulle ; soient V, L, D les mêmes grandeurs quand le fil est tendu par une charge P.
Posons L : Lo = l1, D : A, V : V 0 == P : la deuxième défi- nition donnée ci-dessus s’exprime par la relation
Nous marquons d’un accent le c ainsi défini.
On a évidemment
De la formule (1) on tire:
à ne peut varier qu’entre 1 (état initial) et 0 (étatlimite pour lequel
le filn’aurait plus qu’une dimension) Jk ne peut donc varier qu’entre!
i + 1 L’ ,. A d’ .
et 1 -[- 2013’ L’expérience montrant que il. peut prendre expérimental-
cr .
lement une valeur égale à 7 pour du caoutchouc (gomme et soufre),
il faudrait, pour’ que a’ pÛt J’ester constant, qu’il fût cyaL it
Wertheim comprend si bien que cette conséquence est absurde qu’il se retranche derrière une prétendue analogie avec les gaz :
« On sait que, pour les gaz aussi, la loi de Mariette cesse d’être vraie lorsqu’on les -oumet à de très fortes compressions. , Cela revient à dire que a’ est constant quand il l’est.
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La critique précédente a été faite explicitement pour la première
fois par Thomas (Les 1869) : Villari répond (A. Pogg.
143, p. 305) que Wertheim trouve des,7’ décroissants à mesure
que A augmente : ce qui ne fait que confirmer la critique. Cher-
chons donc s’il n’y aurait pas moyen de déduire des expériences de
Wertheim un lJaramètre a jouant un rôle analogue à c’, se eonfon-
dant avec lui les très petites déforîîtations et par conséquent
les Jnétaux, et pouvant rester constant sans abs2crdité pour des
déforrnations très grandes.
3 bis. Werthei1 (Ann. de PhJs., 1818, XXIII, p. 54) utilise un bar-
reau de caoutchouc d’une section assez grande pour que l’on puisse
mesurer directement ses côtés au compas d’épaisseur. Les extré-
mités du barreau ne sont pas encastrées ; on les emboite et on les
mastique dans deux pièces munies d’anneaux. Pour faciliter le
mastiquage, on chauffe légèrement au début les parties qui sont prises dans les pièces de fer et on ne prend les mesures qu’à partir
de deux repères tracés sur le caoutchouc à une certaine distance des bouts. Les faibles allongements sont produits par des poids. Pour
des charges considérables, le caoutchouc s’allongeant indéfiniment,
on maintient la longueur constante. On opère par traction horizon-
tale, on fixe les anneaux à des distances choisies à l’avance, on a
tout le loisir pour effectuer les mesures. l,es épaisseurs sont prises
au dixième de millimètre.
Je rappelle cette technique pour montrer quelles précautions ont
été prises et qu’il est bien difficile de faire mieux, sous le raplJort qui
nous occupe. Voici les résultats des expériences de la page 56 du
mémoire, celles du tableau n° III auxquelles Wertheim semble atta-
cher une importance particulière :
493 Le paramètre c’, dont la valeur est supérieure à 0,40 pour les
petits allongements, devient égal à 0,20 pour les plus grands : A a
alors une valeur voisine de 3. Le caoutchouc vulcanisé pouvant sup-
porter des allongements A _ 7 ou 8, Wertheim reste très au-des-
sous de la limite expérimentale.
Mais voici un fait capital : le vohone du caoutchouc,
nous trouvons qu’il reste à très peu près constant et indépendant de l’allongement.
Rôntgen présente cette remarque sous la forme suivante : posons
~ ==1, il vient :
On tire de cette formule :
nombres qui coïncident très sensiblement avec ceux de Wertheim.
4. Est-il maintenant possible de modifier convenablement la défi- nition de Poisson? Rôntgen le fait d’une manière très ingénieuse.
Pour les très petits allongements, nous pouvons poser arbitrai- rement
Définissons c par cette équation différentielle : ce sera le rapport
de la diminution, non plus totale, mais actuelle, de l’unité de longueur
dans la section transversale à l’allongement, non plus total, mais actuel, de l’unité de longueur dans le sens longitudinal.
Lorsque c est constant, l’équation s’intègre immédiatement : on a
comme généralement on a 4$ = on trouve :
et lorsque c est constant :
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En particulier, lorsque le volume ne varie pas, on a, quel que soit l’ordre de grandeur de l’allongement,
On trouve dans la dernière colonne du tableau les nombres 7 cal- cules par la formule (5) ; ils admettent 0,47 comme moyenne géné-
rale. En laissant de côté les trois premières expériences, où l’allon- gement est faible, la moyenne est 0,48.
Nous possédons ainsi une définition de 7 à l’abri de toute critique:
mais la question du coefficient de Poisson se réduit à savoir si lé volume change ou ne change pas pendant l’allongement.
5. Les expériences sur la variation de volume du caoutchouc pan extension sont nombreuses, mais sujettes à critiques. Voici du
caoutchouc qui n’a jamais été tendu ; on l’allonge pour la première
fois. L’allongement peut entraîner un changement de densité perma-
nent. Voici au contraire un caoutchouc qu’on a souvent tendu jus- qu’à un certain A; il a pris pour tous les allongements compris
entre 1 et A une certaine stabilité : l’allongement peut ne plus modi-
fier sa densité. Ce sont les deux cas extrêmes’: il existe tous les intermédiaires. Or nous ne savons jamais, par la lecture des mémoires, quelles déformations le caoutchouc avait subies antérieurement’
Quoi qu’il en soit, la densité varie certainement peu.
Joule (Phil. Trans., 1859, p. 104) fait deux séries sur la même
espèce de caoutchouc :
Densité = 0,996 ; 0,991. A = 2 Densité - 0,995; 0,988.
Thomas (Les Mondes, 1869, p. 578) opère sur des cordes rondes
(les faces des barres à section carrée se creusent). Le volume croît de 1 à 2 0/0 quand A passe de 1 à 2. Il reprend les mêmes expé-
riences par la balance hydrostatique : il trouve la densité invariable- à 1/1000 près, quand A passe de 1 à 2,7. Le fil 1 est plus ou moins
tendu sur un cadre de laiton.
Villari Ann., 143, p. 295; 1871) opère avec la balance "
hydrostatique sur une tige ronde; la densité du caoutchouc est
1,28 : il est donc fortement chargé d’impuretés (oxyde de zinc, sul-
fate de baryte). Il trouve
495
Von Bjerhen est le seul à trouver de grandes variations de volume.
Pour A = ~,~, il trouve (b = ~, ~ 93. Mais il opère sur des barres
de 6 centimètres carrés de section, et on ne sait rien sur la nature du caoutchouc.
6. Rôntgen (Pogg. 18 i f ) utilise une méthode moins
précise que celle de la balance hydrostatique, mais curieuse. Il emploie
une barre rectangulaire de caoutchouc. Quand elle est tendue, il imprime sur une de ses faces un cercle de rayon 1’", à l’aide d’un tube
cylindrique travaillé et plongé dans un vernis noir. On supprime le poids, le cercle se transforme en une ellipse dont on mesure les
axes a et b.
On a:
Caractérisons par les indices 1 et 2 les ellipses qui correspondent
aux charges P~ 1 et P,.
On trouve aisément :
Rôntgen trouve que 7 est constant et égal à 0,~6 : on peut le cal-
culer immédiatement avec la formule (5) et une seule expérience. Le
résultat est donc toujours le même.
7. Cependant, la méthode de Regnault indique toujours des varia-
tions de volume plus considérables que la seule méthode précise et
correcte : celle de la balance hydrostatique. La méthode de Regnault
consiste à remplir avec un liquide la cavité intérieure d’un tube et à déterminer sa variation de volume pendant l’allonoenient. Cette
variation est égale à celle qu’éprouverait pour le même allongement
un tube plein de diamètre égal. ,
Je prends par exemple les expériences de Pulfrich Ann.,
~8 ; ~ 886) . Elles peuvent se représenter très exactement par la for- mule (7), en prenant c - 0,45. On a par exemple A == 2,51, tP == 1,096 : tandis que Villari donne 11 = 4, tP = f ,035. « Je suis porté, dit l’au-
teur, à attribuer les résultats isolés de Villari moins à une différence entre les matières employées qu’à la faible précision de sa méthode expérimentale. » Or : 1° les résultats de Villari, loin d’être isolés, sont
ceux de tous les physiciens qui ont employé la balance hydrosta- tique ; 21 il est bien facile de prouver que cette méthode est la plus.
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précise. Villari opère sur ~130 grammes de caoutchouc ; la densité
passe de (1+ = f) à 1,38 (11 - 4), soit d’un volume de JOlc3,53
à un volume de I03c3,04. Le changement de poids est 39r,ii; on doit
pouvoir le mesurer à 0,01 près.
Mais c’est la méthode de Regnault qu’il faut incriminer. La hau- teur initiale du tube dans les expériences de Pulfrich est 1 mètre, il
l’allonge jusqu’à _ 2,5, et par conséquent jusqu’à 2’n,5.
La pression intérieure sur les parties inférieures du tube augmente
de im,50 d’eau. Les conditions théoriques ne sont pas satisfaites et l’accroissement de pression intérieure tend à augmenter le volume.
Il faudrait prendre l’eau comme milieu extérieur, et encore toutes les
difficultés théoriques ne seraient pas supprimées. La méthode de
Regnault, correcte pour les métaux, ne l’est plus pour un corps aussi extensible que le caoutchouc : on ne peut rien en tirer de sûr.
8. En définitive : le caoutchouc conserve pendant l’allongement
une densité à peu près invariable et légèrement décroissante. En calculant le coefficient o’ d’après la définition (4), on trouve un nombre
très voisin de 0,50. Nous pouvons admettre, parce que rien ne s’op-
pose actuellement à cette hypothèse, que, pour les déformations infi- niment petites, on a rigoureusement 7 ==0,5. Plus les méthodes sont
dégagées d’hypothèses et de causes d’erreur, plus les résultats expé-
rimentaux sont conformes à ces conclusions.
9. Ceci posé, le caoutchouc obéit-il à la théorie classique de l’élas-
ticité pour les corps isotropes ? Ne considérons donc que des défor- mations infiniment petites. Soit E le module d’Young défini par la relation :
oli s est la section ; ou encore par la relation équivalente
puisque les déformations sont petites. Soit K le coefficient de com-
pressibilité cubique défini par l’équation V = V~ (1 - Kh), où p est la pression.
La théorie classique de l’élasticité nous fournit les formules sui- vantes :
-... -- ...
497 C est le couple qui correspond à la torsion d’un angle 0 d’un cylindre de rayon R et de longueur L. Si, dans ces formules, nous
faisons or = 0,5, il vient :
Ces formules sont-elles vérifiées? L’affirmative ne prouvera pas que la théorie s’applique, mais la négative prouvera qu’elle ne s’ap- plique pas.
10. Clapeyron (C. R., 46; 1858) compare les coefficients K et E.
Évalués en kilogrammes par millimètre carré, ils ont en moyenne des valeurs de l’ordre suivant : E .- 0,1, K - 0,01.
Le même raisonnement est repris par M. Amagat (C. R., 99 ; ~.88~).
Donc l’hypothèse, 7 = 0,5 est bien conforme aux grandeurs rela-
tives de E et de K. Bien entendu les valeurs numériques de ces para- mètres sont très différentes suivant le caoutchouc employé ; la con-
clusion reste toujours la même.
Les formules équivalentes q E = ‘ C =
dp
sont-elles vérifiées?6 dL
Toutes les expériences faites sur ce sujet prouvent qu’elles ne le
sont pas. A la vérité, il est difficile d’obtenir du caoutchouc vulcanisé
parfaitement homogène ; la sulfuration n’est généralement pas la même au centre et à la surface; cependant, les différences observées sont trop considérables pour qu’il semble qu’on puisse élever des
doutes sur la conclusion. C’était déjà l’opinion de Saint-Venant
(Coîîznîentaire sur Navier, p. 678 ; 1864).
De cette constatation, je tirerai la conclusion pratique suivante. On
a le tort, dans les traités classiques, d’étudier le caoutchouc avec les métaux et de le faire servir à des apparences de vérification de la théorie de l’élasticité. L’on se trouve ainsi conduit à énoncer des
erreurs et à compliquer une question qui ne présente en soi aucune
difficulté. Comment ne pas troubler les idées des commençants en
appliquant une théorie oÙ par hypothèse les déforînations sont petites,
à un corps qu’on allonge de 7 ou 8 fois sa longueur et qu’on tord
autant dire indéfiniment sans parvenir à le déformer d’une manière -notable ?
Mais, si la théorie de l’élasticité ne s’applique pas, pourquoi con-
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server une définition expérimentale du coefficient de Poisson qui ne représente plus rien et qui implique une variation continue? J’espère
que cet article contribuera à rendre classique en France la définition
de Rôntgen qui date d’une trentaine d’années. -
SUR LA SILICE FONDUE ET L’ANHYDRIDE BORIQUE FONDU;
Par M. A. DUFOUR(1).
Dans des recherches de spectroscopie, j’ai été conduit à utiliser
des substances vitreuses, aussi transparentes et aussi diélectriques
que le verre ordinaire, mais ayant une constitution chimique mieux
définie. Parmi ces substances, deux m’ont paru assez faciles à tra- vailler : la silice et l’anhydride borique. La silice fondue m’a permis
d’avoir des tubes de Geissler d’un emploi commode et sûr; j’ai eu
avec l’anhydride borique des tubes exempts de silice. J’exposerai plus tard les recherches dans lesquelles ces tubes m’ont servi; je
veux s implementindiquer iczi comment l’un peut construire, au labo- rato ire, des tubes et des ampoules de chacune de ces deux matières ; je dirai aussi quelques mots des propriétés les plus intéressantes
de la silice fondue.
1. - TRAVAIL DE LA SILICE FONDUE.
’
ffistorique. -- Gaudin (1), en 1839, a fondu le quartz pour la première
fois en se servant du chalumeau oxhydrique. Il a constaté que le quartz fondu était pâteux et qu’on pouvait facilement l’étirer en fils.
Si l’on fait tomber dans de l’eau froide des gouttes de silice fondue,
elles ne se fendillent pas ; les perles obtenues sont très dures, et, contrairement à ce qui arrive pour le verre soumis au même traite- ment, elles ne présentent ni trempe ni biréfringence.
M. Armand Gautier (3) a fabriqué, en 1869, des petits tubes de
formes diverses, en silice fondue, et les a montrés à l’Exposition uni-
verselle de 18 78. Dans ces dernières années, avec l’aide de M. Moissan,
(1) Communication faite à la Société française de Phy sique ; Séance du
20 mars 1003.
(’) C. R., t . Ylll, p. 618 et 711.
(3) C. R., t. CXXX, p. 816.
