ÉTUDE THERMODYNAMIQUE D' UNE FEUILLE DE CAOUTCHOUC
A) Une feuille de caoutchouc, homogène et d'épaisseur uniforme a une surface au repos (lorsqu'on n'exerce aucun effort sur la feuille) égale à σ0.
En exerçant sur la feuille des efforts uniformément répartis dans toutes les directions de son plan et ne dépassant pas la limite d'élasticité du caoutchouc, on augmente sa surface jusqu'à la valeur σ.
On néglige les variations de volume de la feuille, de sorte que son état est entièrement défini par deux variables:
σ (surface de la feuille) et T (température thermodynamique).
Pour augmenter de dσ la surface de la feuille, il faut lui fournir un travail δW=A dσ.
Le coefficient A est fonction de σ et de T et on précise queδW correspond au travail nécessaire pour accroître la surface des deux faces, chacune de dσ.
Dans tout ce qui suit, la température de la feuille restera voisine de la température ordinaire et l'expérience montre alors que le coefficient A est proportionnel à T et indépendant de σ:
A=a T avec a=constante=3 J K−1 m−2.
Lors d'une transformation élémentaire dT, dσ, la feuille échange avec l'extérieur la quantité de chaleur δQ que l'on peut mettre sous la forme: δQ=KσdTℓdσ
On admettra, dans le domaine de température considéré, que Kσne dépend pas de T.
On prendra Kσ=30000 J K−1 et σ0=1m2.
1. Définir les deux coefficients Kσ et ℓ, et calculer ℓ. 2. Montrer que Kσ ne dépend pas deσ.
3. Indiquer une propriété remarquable de l'énergie interne UT,σ et établir un rapprochement avec un autre corps.
4. De l 'état initialT1=300 K ,σ1=3 σ0, la feuille passe à l'état final T2,σ2=13σ0de façon réversible.
a. Si cette extension est isotherme, calculer la quantité de chaleur reçue par la feuille.
b. Si cette extension est adiabatique, calculer T2 et le travail reçu.
B) Un ballon sphérique est constitué par une feuille de caoutchouc de même nature, de même épaisseur et de même surface au repos σ0=1 m2 que celle qui vient d'être étudiée.
Le ballon est gonflé avec de l'argon de masse molaire M = 40 g, à la température T = 300 K et sous la pression P telle que son rayon est égal à r = 1 m. On admettra que l'argon est un gaz parfait: R=8,31 J K−1 mol−1. L'atmosphère extérieure au ballon est à la pression P0=1 bar et à la même température T, celle de l'enveloppe de caoutchouc et de l'argon.
1. En considérant comme système thermodynamique le ballon et l'argon qu'il contient, exprimer, en fonction de T et de r, le travail et la quantité de chaleur échangés avec l'atmosphère au cours d'une transformation
élémentaire (dT, dr) de ce système.
On désignera par Kσ la capacité à surface constante du ballon et par Kv la capacité thermique à volume constant de l'argon.
2. En déduire la variation élémentaire dU de l'énergie interne du système, puis en utilisant la propriété de U établie précédemment (pour l'enveloppe et son contenu), donner la relation entre P ,P0,T , r et la relation
entre P0,T et r.
3. Calculer P et la masse m de l'argon pour r = 1 m et T = 300 K.
