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Submitted on 1 Jan 1956
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Sur la mécanique spinorielle du point chargé
A. Proca
To cite this version:
A. Proca. Sur la mécanique spinorielle du point chargé. J. Phys. Radium, 1956, 17 (2), pp.81-82.
�10.1051/jphysrad:0195600170208100�. �jpa-00235332�
LE JOURNAL DE
PHYSIQUE
ET
LE RADIUM
SUR LA MÉCANIQUE SPINORIELLE DU POINT CHARGÉ
Par A. PROCA,
Institut Henri-Poincaré, Paris.
Cet article et le suivant sont les derniers travaux de recherche rédigés par le regretté Al. PROCA. Malgré une longue et cruelle maladie, l’auteur avait réussi à les achever à
force de courage et de volonté. Il n’a pu, malgré tout, revoir en détail les épreuves avant de dis- paraître. La Rédaction du Journal de Physique a estimé de son devoir de faire paraître ces
articles en avertissant le lecteur des circonstances qui ont accompagné leur impression.
Sommaire. 2014 Après avoir modifié la deuxième hypothèse fondamentale de la mécanique spino-
rielle de façon à rendre compte de l’existence d’une charge, on calcule les diverses grandeurs d’espace-temps présentant un certain intérêt. Les équations (non-linéaires) et les calculs sont en
général très compliqués, sauf dans un cas particulier qui correspond à celui d’une charge constante,
cas qui a déjà été traité.
TOME 1’l N 0 2 FÉVRIER 1956
1. - Dans un précédent article (1) nous avons
insisté sur la nécessité absolue où l’on se trouve
d’employer les spineurs à la place des vecteurs
comme variables de base d’une théorie relativiste, si
l’on veut pouvoir couvrir l’intégralité du domaine
que peut embrasser une telle théorie. Nous avons
examiné l’application de cette idée à la mécanique
du point matériel sans plus, et nous avons pu consta- ter que les conditions d’invariance relativistes exi-
geaient l’introduction de variables surabondantes.
Cela signifie que le corpuscule décrit spinoriel-
lement diffère du point matériel ordinaire par un
certain nombre de caractéristiques nouvelles,
décrites précisément par ces variables. Le spin est
une des ces caractéristiques qui apparaît effec-
tivement dans notre traitement, mais même si l’on
en tient compte on n’épuise pas toutes les posai-
bilités offertes par la théorie. L’étape suivante
dans l’ordre de complication croissante est la des-
cription d’un corpuscule pourvu de spin et en même temps charge électriquement, à laquelle sont
consacrés les paragraphes suivants.
2. - Soit donc un point matériel portant une charge électrique e, que nous supposerons variable pour plus de généralité, soit s le temps propre du
dxP dxP
corpuscule, t ds sa vitesse d’univers et e dx Pds
(1) J. Physique Rad., 1954, 15, p. 65, désigné dans ce qui suit par [I].
le quadrivecteur courant électrique qu’elle définit.
Pour relier cet espace-temps à l’espace des £, il
faut admettre, comme dans [I] et pour les mêmes raisons qui ne nous laissent pas beaucoup de choix,
une relation de la forme soit
Sur la base de cette hypothèse on obtient une mécanique spinorielle du point chargé. Nous allons
en esquisser plus loin les lignes générales, en sui-
vant en gros les développements de [I], article auquel il faudra se reporter pour les notations ainsi que pour divers résultats déjà obtenus.
3. - Lagrangien et équations en l’absence
de champ. - Remarquons d’abord qu’on déduit de (1)
Ce résultat est indépendant du lagrangien choisi,
donc du mouvement ; c’est simplement l’expres-
sion de la charge en fonction des §.
En l’absence d’intéraction, le lagrangien s’écrit,
comme dans [I] :
LE JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM. - T. 17. - Ne 2. - FÉVRIER 1956.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:0195600170208100
82
Le paramètre utilisé ici est le temps propre s du corpuscule, défini par .
et les -np sont de nouveaux multiplicateurs de Lagrange. Les équations en l’absence de champ
s’écriront alors (comparer à [1]) :
Posons
Les xp sont les composantes de la quantité de
mouvement et de l’énergie comme dans [I]. Ce
sont des constantes, alors que les ’1Jp ne le sont pas en
général, en raison de (2) et ne le deviennent que
1 si 1)2 devient nul, cas qu’il faut étudier séparément.
En remplaçant qp et e, on écrit finalement les
équations sous la forme :
Le comportement du point matériel chargé dépend ainsi d’équations non linéaires.
4. - Grandeurs d’espace-temps. - Malgré cette complication et malgré le fait que les 1]p ne sont pas des constantes, un certain nombre de
résultats se déduisent immédiatement sans diffi- culté des équations fondamentales. Ainsi par
exemple on peut affirmer que toutes les dérivées
premières par rapport à s des grandeurs d’espace- temps ont la même forme que dans [I]. Cela
découle du fait que la relation /12) de fil subsiste:
On en déduit deux résultats importants :
propriété sur laquelle
nous reviendrons et
(Xtx - e -qt = constante = quantité de mouve-
ment-énergie m,, = + . (YY - yVyJ.)1;) qui
signifie que le point matériel chargé possède un spin, indépendant de sa charge.
Par contre, les 1Jp n’étant pas des constantes, on
ne peut plus, comme dans [I] passer aux équations
du second ordre et intégrer le système.
Pour situer la difficulté, le degré de complication
de la solution, imaginons que nous puissions faire
un changement de variable r = f (s) en passant de
s à -c de telle façon que l’on ait :
En remplaçant s en fonction de T et en posant
e -Ip = Xp le système (4) devient :
lequel est identique à (9) et (10) de [I] et peut être intégré complètement en r ; reste ensuite natu- rellement le passage de r à s temps propre.
5. - Cas particulier. - Aucune restriction n’a été imposée jusqu’à présent en ce qui concerne
la généralité requise par le groupe de transforma- tion choisi. L’exemple des équations de Maxwell suggère cependant une possibilité simplificatrice.
En effet, si l’on devait écrire ces dernières équa-
tions dans toute leur généralité compatible avec
le groupe de Lorentz, on serait obligé d’y ajouter
au moins un terme, celui qui représenterait la charge magnétique de l’électron. Or, l’expérience
montre que cette charge n’existe pas en réalité et
qu’on doit en conséquence remplacer le terme correspondant par zéro.
Un cas particulier intéressant apparaitrait si
des circonstances analogues se présentaient en mécanique spinorielle. Si par exemple, O2 = 0,
on aurait, par (2) :
(la chargé du point serait une constante) et le pro-
blème, complètement résoluble, se réduirait à celui de [I]. C’est cette solution (charge proportionnelle à Qj) que nous avons adopté pour la quanti-
fication (1)..
. 6. - Interactions. - Tout ce qui a été dit
dans [I] concernant l’interaction reste valable dans le cas d’un point chargé. L’hypothèse très générale
et qui comprend les cas classiques
-Lmt = ç+oç 0 = matrice 4 x 4 quelconque (9)
peut être adoptée. Si la charge est constante, on peut prendre 0 = ’eAp yP (Ap = potentiel du champ extérieur) et on retombe sur les équations classique (I, § 16).
De toute façon, même avec un e variable, le
résultat Di = constante, subsiste.
’
Manuscrit reçu le 18 octobre 1955.
(1) C. R. Acad. Sc., 1954, 238, p. 774.
