c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/19
Mines Maths toutes filières 2008 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Benoît Landelle (Doctorant en mathématiques) ; il a été relu par Florian Metzger (ENS Cachan) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE).
Cette épreuve se compose de deux problèmes indépendants.
• Le premier problème consiste en l’étude d’un endomorphisme ϕn sur Rn[X].
Dans une première partie, on travaille dans le cas particulier où n = 1, ce qui permet d’aborder bon nombre de notions d’algèbre linéaire au programme, comme les changements de base, les matrices diagonales, la structure de sous- espace vectoriel, les bases ainsi que les involutions. Dans la deuxième partie, l’étude du noyau deϕn requiert des techniques d’analyse sur les équations dif- férentielles et nécessite un soin particulier de rédaction pour travailler simulta- nément avec des polynômes et les fonctions polynômes associées. La troisième partie propose l’étude du lieu géométrique d’un point d’intersection de deux courbes définies à partir de ϕ2.
• Le second problème est consacré à l’étude de deux fonctions. Une première par- tie nécessite la mise en œuvre de notions essentielles en analyse sur la continuité et la dérivation. Dans la deuxième partie, on démontre d’une part le lemme de Riemann-Lebesgue pour des fonctions de classeC1, d’autre part la continuité d’une certaine intégrale à paramètre.
Ce sujet est un très bon entraînement pour tester ses connaissances, tant en algèbre qu’en analyse. Les questions purement calculatoires ne sont pas légion et laissent le champ libre pour des questions plus fines sur le sens et l’usage des objets mathématiques abordés au cours de la première année de classes préparatoires.
Téléchargé gratuitement surwww.Doc-Solus.fr.
c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 2/19
Indications
Premier Problème
3 Utiliser le déterminant.
4.c Écrire1et Xcomme des combinaisons linéaires de(X−a)et (X−b).
4.e Remarquer queMest diagonale.
5.a Vérifier queΓest un sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs.
5.c Montrer que(I2,M1)est une famille libre.
6 L’applicationsest caractérisée parKer (s+ Id )et Ker (s−Id ).
8.a Voirf comme un quotient de fonctions polynômes.
8.b La fonctionf est de la formeg′/g.
8.d PourP∈Ker (ϕ2p), définir la fonction polynômePeassociée surI. Utiliser alors le résultat de la question 8.c.
8.e Distinguera=b eta6=b.
10.b Poserx=1
a et écrire−2
a+ 2aen fonction de x.
10.c Vérifier queEest l’ensemble des zéros d’un polynôme du deuxième degré en x ety et queEadmet deux droites concourantes asymptotes.
Second Problème
1.b Voir lim
x→0+F(x)et lim
x→0+G(x)comme des dérivées.
2.d Utiliser les développements limités usuels
sinx=x+o(x2) et cosx= 1−x2
2 +o(x2) 4.a Remarquer queF(ak) = F(ak+1).
4.d Vérifier que les fonctionsF′ et hs’annulent simultanément surR∗
+. 4.e Calculerh(ak)h(ak+π/2).
4.f Utiliser l’encadrement de la question 4.e.
5 ÉtudierF′sur] 0 ;π]puis montrer queF′ s’annule enxk en changeant de signe.
8.a Intégrer par parties Z 1
0
f(t) eixtdt.
8.b Exploiter le fait quef est C1.
8.c Utiliser l’expression obtenue à la question 8.a.
8.d Pourz∈C, on a |Rez|6|z|et|Imz|6|z|.
8.e Utiliser les propriétés de parité deIf et Jf. 10 Considérer la fonction1:
([ 0 ; 1 ]−→R x 7−→1 .
Téléchargé gratuitement surwww.Doc-Solus.fr.
c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 3/19
Premier problème
A. Étude deϕ1
1 Pour tous polynômesPet QdeR1[X] et pour tout réelλ, on a par linéarité de la dérivation
ϕ1(λP + Q) = (X−a)(X−b)(λP + Q)′−
X−a+b 2
(λP + Q)
=λ(X−a)(X−b)P′−λ
X−a+b 2
P +(X−a)(X−b)Q′−
X−a+b 2
Q c’est-à-dire ϕ1(λP + Q) =λϕ1(P) +ϕ1(Q) Siαetβ sont des réels quelconques,
ϕ1(αX +β) = (X−a)(X−b)α−
X−a+b 2
(αX +β) d’où ϕ1(αX +β) =−
αa+b
2 +β
X +αab+β a+b
2 (1)
Par conséquent,ϕ1est une application linéaire de R1[X]dansR1[X], c’est-à-dire que ϕ1est un endomorphisme de R1[X].
2 En appliquant la relation(1)avec(α, β) = (0,1), on trouve ϕ1(1) =−X +a+b
2 Avec(α, β) = (1,0), il vient ϕ1(X) =−a+b
2 X +ab
Ainsi, la matriceM1 deϕ1 dans la baseB1= (1,X)est donnée par
M1=
a+b
2 ab
−1 −a+b 2
3 Rappelons un des critères qui caractérisent un endomorphisme bijectif, aussi appelé automorphisme :
ϕ1 bijective ⇐⇒ detϕ16= 0 Par définition,detϕ1= det MatB1ϕ1, d’où
ϕ1 bijective ⇐⇒ det M16= 0 Le calcul donne
det M1=− a+b
2 2
+ab=−1
4 a2+ 2ab+b2−4ab
=−1
4(a−b)2 On en déduit que ϕ1 est bijective si et seulement sia6=b.
Téléchargé gratuitement surwww.Doc-Solus.fr.
c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 4/19
4.a L’ensemble R1[X] est unR-espace vectoriel de dimension 2. La famille de po- lynômesB= (X−a,X−b)est une famille libre si a6=b. En effet, soient α, β des réels tels que
α(X−a) +β(X−b) = 0
En prenant successivement les valeurs enaet b du polynôme α(X−a) +β(X−b), on obtient
β(a−b) = 0 et α(b−a) = 0
ce qui implique, comme a 6= b, que (α, β) = (0,0). Ainsi, B est une famille libre de 2 vecteurs dans un espace vectoriel de dimension 2 ce qui prouve queB est une famille libre maximale. Autrement dit,
Best une base deR1[X].
4.b En appliquant la relation(1)avec(α, β) = (1,−a), on trouve ϕ1(X−a) =−
a+b 2 −a
X +ab−a×a+b
2 =a−b
2 (X−a) Pour(α, β) = (1,−b), il vient
ϕ1(X−b) =− a+b
2 −b
X +ab−b×a+b
2 =−a−b 2 (X−b)
On conclut que M =a−b
2
1 0 0 −1
On remarque immédiatement que cette matrice est diagonale. Le fait que l’énoncé impose le calcul de la matrice deϕ1 dans une base autre que la base canonique éveille l’attention et laisse penser qu’une telle matrice doit avoir une particularité.
4.c Puisque B1 est une base de R1[X], tout élément de R1[X] s’écrit comme une unique combinaison linéaire des vecteurs de cette base. Étant donné quea6=b,
(X−a)−(X−b) = (b−a) ⇐⇒ 1 = 1
b−a((X−a)−(X−b)) et b(X−a)−a(X−b) = (b−a)X ⇐⇒ X = 1
b−a(b(X−a)−a(X−b)) On en déduit la matrice de passage deB1 àB, donnée par
PB,B1= 1 b−a
1 b
−1 −a
L’obtention de la matrice de passage deBàB1 est immédiate et elle est donnée par PB1,B=
−a −b
1 1
On rappelle que ces matrices de passage sont liées par la relation PB1,B−1
= PB,B1
Téléchargé gratuitement surwww.Doc-Solus.fr.
