Université Paris 13 - Institut Galilée 2012-2013
Licence 1
Mathématiques 2 - Algèbre linéaire
TD3 : ESPACES VECTORIELS
Dans toute la feuille d’exercices,Kdésigne l’ensembleRdes nombres réels ou l’ensembleCdes nombres com- plexes.
1. SoitFle sous-ensemble deR3défini par : F =
(x, y, z)∈R3; x−2y+ 3z= 0 .
a) Montrer queF est un sous-espace vectoriel deR3. b) Soit(x, y, z)∈R3. Montrer que :
(x, y, z)∈F ⇐⇒ (x, y, z) =y(2,1,0) +z(−3,0,1).
c) Proposer deux vecteurs qui engendrentF. 2. On considère le système linéaire(S)suivant :
(S)
x−2y+ 3z−2t = 0 y−z+t = 0 x−3y+ 4z−3t = 0
a) Montrer que l’ensembleEdes solutions de(S)est un sous-espace vectoriel deR4.
b) Résoudre dansR4le système(S)en utilisant la méthode du pivot de Gauss. On précisera les variables de base et les variables libres, et on exprimeraEà l’aide des variables libres.
c) Proposer deux vecteurs qui engendrentE.
3. Parmi les sous-ensembles suivants deR3, précisez lesquels sont des sous-espaces vectoriels : a) Fa=
(x, y, z)∈R3;x>0, y>0, z>0 ; b) Fb=
(x, y, z)∈R3;y= 1 ; c) Fc=
(x, y, z)∈R3;xyz= 0 ; d) Fd=
(x, y, z)∈R3;z= 0 ; e) Fe=
(x, y, z)∈R3;z=x+y ; f) Ff =
(x, y, z)∈R3; |x+y|=|z| ; g) Fg=
(x,0,2x+y)∈R3; (x, y)∈R2 .
1 L1 - Algèbre Linéaire
4. SoitFle sous-espace vectoriel deR3engendré par les vecteurs−u→1= (3,0,1)et−→u2= (1,−1,2).
SoitGle sous-espace vectoriel deR3engendré par les vecteurs−→v1 = (5,1,0)et−→v2= (6,−3,7).
a) Montrer queF =G.
b) Montrer queF =
(x, y, z)∈R3;x−5y−3z= 0 .
5. On considère un triplet(a, b, c)de réels non tous trois nuls ((a, b, c)∈R3et(a, b, c)6= (0,0,0)).
On noteF(a,b,c)l’ensemble des vecteurs−→u = (x, y, z)deR3tels queax+by+cz= 0: F(a,b,c)=−→u = (x, y, z)∈R3;ax+by+cz = 0 .
a) Montrer queF(a,b,c)est un sous-espace vectoriel deR3.
b) Soit(a0, b0, c0)un autre triplet de réels non tous trois nuls. À quelle condition sur les triplets (a, b, c)et (a0, b0, c0)a-t-on :
F(a0,b0,c0)=F(a,b,c)?
c) Est-il possible de trouver deux triplets de réels non tous trois nuls(a, b, c)et(a0, b0, c0)tels que : F(a0,b0,c0)∩F(a,b,c)=−→
0 ?
6. On considère les deux sous-espaces vectorielsF etGdeR3définis par : F =
(x, y, z)∈R3;z=x+y et G=
(x, y, z)∈R3;z= 0 .
a) Montrer queF est engendré par les vecteurs−→u1= (1,0,1)et−→u2= (0,1,1).
Montrer queGest engendré par les vecteurs−→v1= (1,0,0)et−→v2 = (0,1,0).
b) DéterminerH =F∩G.
Proposer un vecteur−→w qui engendreH. Exprimer−→wavec−→u1et−u→2, puis avec−→v1et−→v2. c) Montrer queF+G=R3.
7. Parmi les sous-ensembles suivants deM2(R), précisez lesquels sont des sous-espaces vectoriels : a) Ga=
(
a 1 0 2a
;a∈R )
;
b) Gb= (
a b c d
;a>0 )
;
c) Gc= (
a b c d
;ad−bc= 0 )
;
d) Gd= (
M ∈ M2(R) ;M est inversible )
;
e) Ge= (
M ∈ M2(R) ; M×
2 1
=
0 0
)
f) Gf = (
M ∈ M2(R) ;
1 2 1 0
×M =
0 0 0 0
)
2 L1 - Algèbre Linéaire
8. a) On considère le sous-espace vectorielGf deM2(R): Gf =
(
M ∈ M2(R) ;
1 2 1 0
×M =
0 0 0 0
)
.
Montrer queGf = (
0 0 0 0
)
.
b) On considère le sous-espace vectorielGedeM2(R): Ge=
(
M ∈ M2(R) ;M ×
2 1
=
0 0
)
.
Montrer queGeest engendré par les matricesA=
1 −2 0 0
etB =
0 0
−1/2 1
.
9. On se place dansM2(R)et on considère les matrices suivantes : A=
−3 1 0 2
, B=
−5 2 1 2
, C=
1 1 4 −6
, D=
−1 0
−1 2
.
a) Montrer que le sous-espace vectorielFdeM2(R)engendré par les matricesAetBest égal au sous-espace vectorielGdeM2(R)engendré par les matricesCetD.
b) SoitA=
a b c d
∈ M2(R).
Montrer que :
M ∈F ⇐⇒
a+ 3b−c = 0
−2b+ 2c+d = 0.
10. On noteC[X]l’espace vectoriel des polynômes à coefficients dansC.
a) Montrer queC3[X], ensemble des polynômes à coefficients dansCde degré inférieur ou égal à3, est un sous-espace vectoriel deC[X].
b) Montrer que l’ensembleF des polynômes deC[X] qui s’annulent en 0 est un sous-espace vectoriel de C[X].
c) On notePl’ensemble des polynômes pairs deC[X]etIl’ensemble des polynômes impairs deC[X].
Montrer queP etIsont deux sous-espaces vectoriels deC[X].
Montrer queP ⊕ I =C[X].
11. On considère les sous-espaces vectoriels deR3suivants : – Px=
(x, y, z)∈R3;x= 0 , – Py=
(x, y, z)∈R3;y= 0 , – Pz=
(x, y, z)∈R3;z= 0 ,
– Dxest le sous-espace vectoriel engendré par le vecteur−→
i = (1,0,0), – Dyest le sous-espace vectoriel engendré par le vecteur−→
j = (0,1,0), – Dzest le sous-espace vectoriel engendré par le vecteur−→
k = (0,0,1),
a) Montrer (au choix) quePx∩Py =Dz, quePy∩Pz=Dx, quePz∩Px=Dy.
3 L1 - Algèbre Linéaire
b) Montrer (au choix) queDx⊕Dy=Pz, queDy⊕Dz=Px, queDz⊕Dx=Py. c) Montrer (au choix) quePx+Py=R3, quePy+Pz=R3, quePz+Px=R3. d) Montrer (au choix) quePx⊕Dx=R3, quePy⊕Dy=R3, quePz⊕Dz =R3. 12. Soitnun entier supérieur ou égal à2.
On note respectivementTn+(K),Tn−(K)etDn(K)les ensembles des matrices triangulaires supérieures, trian- gulaires inférieures et diagonales deMn(K):
– Tn+(K) =
A= (aij)∈ Mn(K) ;i > j =⇒aij = 0 , – Tn−(K) =
A= (aij)∈ Mn(K) ; j > i=⇒aij = 0 , – Dn(K) =
A= (aij)∈ Mn(K) ;i6=j =⇒aij= 0 .
a) Montrer queTn+(K),Tn−(K)etDn(K)sont trois sous-espaces vectoriels deMn(K).
b) Montrer queTn+(K)∩ Tn−(K) =Dn(K).
c) Montrer queTn+(K) +Tn−(K) =Mn(K).
13. SoitA∈ M3(R)une matrice non nulle.
On noteFAl’ensemble des matricesMdeM3(R)qui commutent avecA: FA=
M ∈ M3(R) ;AM=M A .
On noteGAle sous-espace vectoriel deM3(R)engendré parI3,AetA2: GA=Vect
I3, A, A2 .
a) Montrer queFAest un sous-espace vectoriel deM3(R).
b) Montrer queGA⊂FA.
Proposer une matriceA(simple !) telle queGA FA. c) Dans cette question, on pose :
A=
1 0 0 0 1 0 0 0 2
.
Montrer queFAest engendré par les matrices :
M1=
1 0 0 0 0 0 0 0 0
M2=
0 1 0 0 0 0 0 0 0
M3=
0 0 0 1 0 0 0 0 0
M4=
0 0 0 0 1 0 0 0 0
M5=
0 0 0 0 0 0 0 0 1
.
d) Dans cette question, on pose :
A=
1 0 0 0 2 0 0 0 3
.
Montrer queFAest l’ensemble des matrices diagonales deM3(R).
Montrer queGA=FA.
