Etude Comparative de Sémantiques Graduées pour l'Argumentation Abstraite

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Etude Comparative de Sémantiques Graduées pour l’Argumentation Abstraite

Elise Bonzon, Jérôme Delobelle, Sébastien Konieczny, Nicolas Maudet

To cite this version:

Elise Bonzon, Jérôme Delobelle, Sébastien Konieczny, Nicolas Maudet. Etude Comparative de Sé-

mantiques Graduées pour l’Argumentation Abstraite. Dixièmes Journées d’Intelligence Artificielle

Fondamentale (JIAF’16), Jun 2016, Montpellier, France. �hal-01947407�

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Actes IAF 2016

Etude Comparative de S´ emantiques Gradu´ ees pour l’Argumentation Abstraite ^∗

Elise Bonzon

¹

J´ erˆ ome Delobelle

²

S´ ebastien Konieczny

²

Nicolas Maudet

³

1

LIPADE, Universit´ e Paris Descartes, Paris, France

2

CRIL, CNRS - Universit´ e d’Artois, Lens, France

3

Sorbonne Universit´ es, UPMC Univ Paris 06, CNRS - LIP6, UMR 7606, 75005 Paris

elise.bonzon@parisdescartes.fr {delobelle,konieczny}@cril.fr nicolas.maudet@lip6.fr

R´esum´e

L’argumentation est un procédé permettant d’éva- luer et de comparer un ensemble d’arguments. Une fa-

¸

con de les comparer consiste à utiliser les sémantiques graduées qui ordonnent les arguments du plus au moins acceptable. Récemment, plusieurs sémantiques ont été proposées indépendamment les unes des autres en étant souvent accompagnées de propriétés souhaitables. Ce- pendant, il n’existe aucune étude comparative dans une perspective plus large. C’est pourquoi nous fournissons une comparaison générale de toutes ces sémantiques à la lumière des propriétés existantes. Cela permet de mettre en évidence les différences comportementales entre les sémantiques graduées existantes.

Abstract

Argumentation is a process of evaluating and compa- ring a set of arguments. A way to compare them consists in using a ranking-based semantics which rank-order arguments from the most to the least acceptable ones.

Recently, a number of such semantics have been proposed independently, often associated with some desirable properties. However, there is no comparative study which takes a broader perspective. This is what we propose in this work. We provide a general comparison of all these semantics with respect to the proposed properties. That allows to underline the differences of behavior between the existing semantics.

1 Introduction

L’argumentation consiste à raisonner à partir d’informations conflictuelles basées sur l’interaction entre arguments. La méthode la plus connue pour représen- ter ce processus d’argumentation a été proposée par

∗Cet article est la version fran¸caise d’un article publi´e `a AAAI 2016.

Dung [7] à l’aide de système d’argumentation mo- délisé par un graphe binaire, où les noeuds repré- sentent les arguments, et les flèches représentent les attaques. A partir de ces systèmes d’argumentation, plusieurs sémantiques ont été proposées (voir [3] pour un aper¸cu) afin de sélectionner les ensembles d’arguments, appelés extensions, pouvant être conjointement acceptés. Cependant, pour des applications avec un nombre important d’arguments, le fait d’avoir uniquement deux niveaux d’acceptabilité (un argument est soit accepté, soit rejeté) peut poser problème. C’est le cas par exemple des plateformes de débat en ligne (voir [11] pour une discussion).

Une solution consiste à utiliser des sémantiques permettant de comparer les arguments, non pas avec l’évaluation classique accepté/rejeté, mais avec un grand nombre de niveaux d’acceptabilité. Beaucoup de ces sémantiques, appelées sémantiques graduées, ont

´

eté proposées ces dernières années [1, 5, 11, 12, 9] avec, pour chacune d’entre elles, un comportement plus ou moins différent, et des propriétés logiques. Cependant, toutes ces sémantiques n’ont jamais été comparées entre elles.

C’est justement ce que nous proposons dans cet article en étudiant les sémantiques graduées existantes dans la littérature (en se focalisant sur les sémantiques qui retournent un ordre unique entre les arguments) à la lumière des propriétés proposées. Cela nous permet de souligner les différences de comportement entre ces sémantiques, et de proposer une meilleure lecture des choix qui s’offrent à nous à ce sujet.

Le papier est organisé comme suit. Dans la section suivante, nous fournissons l’état de l’art requis sur les systèmes d’argumentation et les sémantiques graduées.

La section 3 regroupe les différentes propriétés pré-

(3)

sentes dans la littérature tandis que la section 4 intro- duit formellement les sémantiques graduées existantes.

Il est important de noter que cet article n’a pas pour objectif de donner tous les détails et explications de ces sémantiques et propriétés, ces informations étant dis- ponibles dans les articles en question. Dans la section 5, nous présentons un résumé ainsi qu’une discussion à propos des différentes propriétés, puis nous comparons les sémantiques avant de conclure en section 6.

2 Pr´ eliminaires

Dans cette section, nous rappelons brièvement quelques éléments clés sur les systèmes d’argumentation abstraits proposés par Dung [7].

Définition 1. Unsystème d’argumentation (AF) est un couple F = hA, Ri où A est un ensemble fini d’entités abstraites appelées arguments et R une relation binaire sur A, i.e. R⊆A×A, appeléerelation d’attaque. Un ensemble d’arguments S ⊆A attaque un argument b ∈ A, si ∃a ∈ S, tel que (a, b) ∈ R.

NotonsArg(F) =A.

SoitAFl’ensemble de tous les syst`emes d’argumentation. Pour deux AF F = hA, Ri et G = hA⁰, R⁰i, nous d´efinissons l’unionF∪G=hA∪A⁰, R∪R⁰i.

Nous pouvons maintenant introduire quelques no- tions permettant de formaliser les propriétés des sys- tèmes d’argumentation.n

Définition 2. Soient F = hA, Ri un système d’argumentation et a, b ∈ A. Un chemin P de b vers a, noté P(b, a), est une séquence s = ha0, . . . , a_ni d’arguments telle que Notons l_P = n la longueur de P. Un défenseur (resp. attaquant) de a est un argument situé au début d’un chemin de longueur paire (resp. impaire). Nous désignons le multi- ensemble des défenseurs et des attaquants de a par R⁺_n(a) = {b | ∃P(b, a) avec lP ∈ 2N} et R⁻_n(a) = {b | ∃P(b, a) avec lP ∈ 2N+ 1} respectivement. Les attaquants directsdeasont les arguments appartenant àR⁻₁(a). Un argumentaestdéfendusiR₂⁺(a)6=

∅.

Un racine défensive (resp. racine attaquante) est un défenseur (resp. attaquant) non-attaqué. Nous désignons le multi-ensemble des racines défensives et des racines attaquantes de a par BR_n⁺(a) = {b ∈ R⁺_n(a) | |R⁻₁(b)| = 0} et BR⁻_n(a) = {b ∈ R⁻_n(a) | |R⁻₁(b)| = 0} respectivement. Un chemin de b versa est unebranche défensive(resp. branche attaquante) sibest une racine défensive (resp. attaquante) dea. Enfin, notonsBR⁺(a) =S

nBR⁺_n(a)et BR⁻(a) =S

nBR⁻_n(a).

Lescomposants connectésd’un système d’argumentation AF correspondent à l’ensemble de ses plus grands sous-graphes, notécc(AF), où deux arguments appartiennent au même composant si et seulement si il existe un chemin (sans prendre en compte l’orientation des flèches) entre eux.

Dans le cadre de Dung [7], l’acceptabilité d’un argument dépend de son appartenance à des ensembles d’arguments appelés extensions. Une autre fa-

¸

con de sélectionner un ensemble d’arguments acceptables consiste à ordonner ces arguments du plus acceptable au moins acceptable. Les sémantiques gra- duées ont pour but de retourner un tel ordre entre les arguments.

Définition 3. Unesémantique graduéeσassocie à chaque système d’argumentation AF =hA, Riun ordre ^σ_AF sur A, où ^σ_AF est un pré-ordre (une relation reflexive et transitive) sur A. a^σ_AF b signifie que a est au moins aussi acceptable queb(a'^σ_AF béquivaut

`

aa^σ_AF betb^σ_AF a, et a^σ_AF b´equivaut `aa^σ_AF b etb^σAF a).

Quand il n’existe aucune ambigu¨ıt´e concernant le syst`eme d’argumentation en question, nous utiliserons ^σ au lieu de^σ_AF.

Finalement, nous introduisons la notion d’ordre lexicographique afin de pouvoir définir certaines séman- tiques graduées.

D´efinition 4. Un ordre lexicographique entre deux vecteurs de r´eels V = hV₁, . . . , V_ni and V⁰ = hV₁⁰, . . . , V_n⁰i, est defini par :

V lexV⁰ ssi∃i≤n t.q. Vi≥V_i⁰ et ∀j < i, Vj=V_j⁰

3 Propri´ et´ es

Dans cette section, nous rappellons les différentes propriétés logiques proposées dans la littérature pour les sémantiques graduées. Il est important de noter que toutes ces sémantiques ne sont pas obligatoires (nous verrons plus tard que certaines d’entre elles sont in- compatibles), mais, dans un but d’exhaustivité, nous souhaitons toutes les présenter afin de vérifier les- quelles sont satisfaites par les sémantiques graduées existantes. Sauf indication contraire, toutes les pro- priétés sont définies pour une sémantique graduée σ,

∀AF ∈AFet∀a, b∈Arg(AF).

Définition 5. Unisomorphisme γ entre deux sys- tèmes d’argumentation AF =hA, Riet AF’ =hA⁰, R⁰i est une fonction bijectiveγ:A→A⁰ telle que ∀x, y∈ A,(x, y)∈Rssi(γ(x), γ(y))∈R⁰. Avec un léger abus de notation, nous noteronsAF⁰ =γ(AF).

(4)

Abstraction. Le classement sur A doit ˆetre d´efini uniquement sur la base de la relation d’attaque entre les arguments.

(Abs) Soient AF, AF⁰ ∈ AF. Quel que soit l’isomorphisme γ t.q. AF⁰ = γ(AF), alors a^σ_AF b ssiγ(a)^σ_AF0 γ(b)

Independence. L’ordre entre deux arguments a et b doit être indépendant des arguments qui ne sont connectés ni àani àb.

(In) ∀AF⁰∈cc(AF),∀a, b∈Arg(AF⁰),a^σ_AF0 b

⇒a^σ_AF b Les propriétés suivantes concernent les meilleurs et les pires arguments d’un système d’argumentation : Void Precedence. Un argument non-attaqué doit ˆ

etre strictement plus acceptable qu’un argument attaqu´e.

(VP) R⁻₁(a) =∅ etR⁻₁(b)6=∅ ⇒ a^σb Self-Contradiction. Un argument qui s’auto- attaque doit ˆetre strictement moins acceptable qu’un argument qui ne l’est pas.

(SC) (a, a)∈/R et (b, b)∈R ⇒ a^σb Les propriétés suivantes, dites “locales”, concernent les attaquants et défenseurs directs des arguments : Cardinality Precedence. Plus le nombre d’attaquants directs d’un argument est élevé, plus son niveau d’acceptabilité sera faible.

(CP) |R⁻₁(a)|<|R⁻₁(b)| ⇒ a^σ b

Quality Precedence. Plus le niveau d’acceptabilité d’un des attaquants directs d’un argument est élevé, plus le niveau d’acceptabilité de cet argument sera faible.

(QP)∃c∈R⁻₁(b) t.q.∀d∈R⁻₁(a), c^σd⇒ a^σb Avant de définir les prochaines propriétés, nous avons besoin d’introduire une relation qui permet de comparer des ensembles d’arguments en se basant sur leurs classements :

D´efinition 6. [1] Soit ≥S un ordre sur un ensemble d’arguments A. Quels que soientS₁, S₂⊆A,S₁≥S S₂ est une comparaison de groupe ssi il existe une fonction injective f de S₂ vers S₁ telle que ∀a ∈ S2, f(a) a. Et S1 >S S2 est une comparaison de groupe stricte ssi S1 ≥S S2 et (|S2| < |S1| ou

∃a∈S2, f(a)a).

Counter-Transitivity. Si les attaquants directs de b sont au moins aussi nombreux et acceptables que ceux de a, alorsadoit ˆetre au moins aussi acceptable queb.

(CT) R⁻₁(b)≥S R⁻₁(a)⇒a^σb

Strict Counter-Transitivity.Si CT est satisfaite et que les attaquants directs de b sont strictement plus nombreux ou acceptables que ceux dea, alors a doit ˆ

etre strictement plus acceptable queb.

(SCT) R⁻₁(b)>S R⁻₁(a)⇒a^σb

Defense Precedence. Soient deux arguments avec le même nombre d’attaquants directs. Un argument défendu doit être strictement plus acceptable qu’un argument non défendu.

(DP)|R⁻₁(a)|=|R⁻₁(b)|, R₂⁺(a)6=∅et R⁺₂(b) =∅

⇒ a^σb

Définition 7. SoientAF =hA, Ri eta∈A. La de- fensedeaest ditesimplessi tous les défenseurs dea attaquent exactement un attaquant direct dea. La dé- fense de aest dite distribuée ssi tous les attaquants directs deasont attaqués par au plus un argument.

Distributed-Defense Precedence. La meilleure défense d’un argument est quand chacun de ses défenseurs attaque un attaquant différent.

(DDP) |R⁻₁(a)|=|R⁻₁(b)|et |R⁺₂(a)|=|R⁺₂(b)|, si la défense deaest simple et distribuée et que la défense debest simple mais pas distribuée, alors a^σb

Les propriétés suivantes permettent de vérifier si des changements dans un AF peuvent améliorer ou dégra- der l’acceptabilité d’un argument. Ces propriétés ont

´

eté proposées informellement par Cayrol et Lagasquie- Schiex [5], dans le contexte de leur sémantique. Nous proposons une formalisation qui les généralise pour n’importe quel système d’argumentation. Nous définis- sons d’abord formellement comment ajouter une dé- fense/attaque à un argument.

Définition 8. Soient AF = hA, Ri et a ∈ A. La branche de défense ajoutée à a est P+(a) = hA⁰, R⁰i, avec A⁰ = {x0, . . . , xn}, n ∈ 2N, x0 = a, A∩A⁰ ={a}, etR⁰={(xi, x_i−1)|i≤n}. Labranche d’attaque ajoutée à a, notéeP−(a), est définie de la même manière à la différence que la séquence est de longueur impaire (i.e. n∈2N+ 1).

Les prochaines propriétés sont définies∀AF, AF^γ ∈ AF tel qu’il existe un isomorphisme γ avec AF^γ = γ(AF), et ∀a∈Arg(AF).AF^γ est un clone deAF. Strict addition of Defense Branch. Ajouter une branche défensive à n’importe quel argument améliore son acceptabilité.

(⊕DB) Si AF^? = AF ∪ AF^γ ∪ P₊(γ(a)), alors γ(a)^σ_AF?a

(5)

Addition of Defense Branch. Il pourrait être utile de traiter le cas des arguments non-attaqués différemment. Dans [5], la propriété est définie d’une manière plus spécifique : ajouter une branche défen- sive à n’importe quel argumentattaqué améliore son acceptabilité.

(+DB) Si AF^? = AF ∪ AF^γ ∪ P+(γ(a)) et

|R⁻₁(a)| 6= 0, alorsγ(a)^σ_AF?a

Increase of Attack branch.Augmenter la longueur d’une branche attaquante d’un argument am´eliore son acceptabilit´e.

(↑AB) Si b ∈ BR⁻(a), b ∈/ BR⁺(a) et AF^? =AF ∪AF^γ∪P₊(γ(b)), alorsγ(a)^σ_AF?a Addition of Attack Branch.Ajouter une branche attaquante à un argument dégrade son acceptabilité.

(+AB) SiAF^?=AF∪AF^γ∪P₋(γ(a)), alors a^σ_AF? γ(a)

Increase of Defense branch. Augmenter la longueur d’une branche défensive d’un argument dégrade son acceptabilité.

(↑DB) Si b ∈ BR⁺(a), b ∈/ BR⁻(a) et AF^? =AF ∪AF^γ∪P₊(γ(b)), alorsa^σ_AF? γ(a)

Les propriétés Abs, In, VP, DP, CT, SCT, CP, QP et DDP sont définies dans [1], les propriétés In, VP et SC dans [12] et la propriété VP dans [5].

A cet ensemble de propriétés provenant de la litté- rature, nous souhaitons ajouter plusieurs propriétés basiques qui nous semblent manquantes.

Total. Tous les arguments sont comparables entre eux.

(Tot) a^σb ou b^σ a

Non-attacked Equivalence. Tous les arguments non-attaqu´es ont le mˆeme rang.

(NaE) R⁻₁(a) =∅et R⁻₁(b) =∅ ⇒ a'^σ b La dernière propriété permet de comprendre le comportement adopté par une sémantique en ce qui concerne la notion de défense. L’idée est de savoir si un argument uniquement défendu est toujours meilleur qu’un argument attaqué.

Attack vs Full Defense.Un argument sans branche attaquante est strictement plus acceptable qu’un argument uniquement attaqu´e par un argument non-attaqu´e.

(AvsFD)AF est acyclique,|BR⁻(a)|= 0,|R⁻₁(b)|= 1 et|R⁺₂(b)|= 0⇒a^σb

Vérifions maintenant les incompatibilités et les dé- pendances entre ces propriétés.

Proposition 1. Pour toutes les sémantiques gra- duées, les couples de propriétés suivants ne sont pas compatibles :

— CP et QP [1]

— CP et AvsFD

— CP et +DB

— VP et⊕DB

Les propriétés suivantes ne sont pas indépendantes :

— SCT implique VP [1]

— CT et SCT impliquent DP [1]

— SCT implique CT

— CT implique NaE

— ⊕DB implique +DB

4 S´ emantiques Gradu´ ees Existantes

4.1 Categoriser

Besnard et Hunter [4] proposent une fonction cate- goriserqui assigne une valeur `a chaque argument, en se basant sur la valeur de ses attaquants directs.

D´efinition 9. Soit F = hA, Ri un AF. La fonction categoriser Cat:A→]0,1]est d´efinie comme :

Cat(a) =

( 1 siR⁻₁(a) =∅

1 1+P

c∈R−

1(a)Cat(c) sinon

Définition 10. La sémantique graduée Catego- riserassocie à chaque AF =hA, Riun ordre^Cat_AF sur A tel que∀a, b∈A, a^Cat_AF b ssiCat(a)≥Cat(b).

Exemple 1. Soit F =hA, Ri avec A={a, b, c, d, e}

etR={(a, e),(b, a),(b, c),(c, e),(d, a),(e, d)}.

d a b

e c

Figure1 – Un syst`eme d’argumentation Le score de chaque argument retourn´e par la fonction est Cat(a) ≈ 0.38, Cat(b) = 1, Cat(c) = 0.5, Cat(d)≈0.65et Cat(e)≈0.53. Donc nous obtenons l’ordre suivant : b^Catd^Cate^Catc^Cata.

Cette sémantique prend uniquement en compte le score des attaquants directs pour calculer la force d’un argument. C’est pourquoi l’argumentede l’exemple 1, qui est attaqué deux fois mais par des arguments qui le sont eux-mêmes par des arguments non-attaqués, obtient un score supérieur à celui de l’argumentc, qui est attaqué seulement une fois, mais par un argument ayant un score élevé.

(6)

Proposition 2. La sémantique graduée Categoriser satisfait¹ Abs, In, VP, DP, CT, SCT, ↑AB, ↑DB, +AB, Tot et NaE. Les autres propriétés ne sont pas satisfaites.

4.2 Syst`eme d’Argumentation Social

Leite et Martins [11] introduisent une extension des systèmes d’argumentation de Dung en incluant des votes sociaux sur les arguments : les Systèmes d’Ar- gumentation Sociaux (SAF). Ils proposent également une famille de sémantiques où un modèle est une solution du système d’équations² avec une équation pour chaque argument, basée sur son support social (vote sur les arguments) et sur ses attaquants directs. Afin de pouvoir comparer ces sémantiques avec les autres sémantiques graduées existantes dans le cadre classique, nous choisissons ici d’ignorer le support social des arguments en donnant à tous une valeur identique.

Définition 11. Soient F = hA, Ri un AF et S = hL, τ,f,g,¬i une sémantique (bien-fondée) SAF. La fonction totale MS :A→Lest unmodèle socialde F étant donné la sémantiqueS tel que∀a∈A :

MS(a) =τ(a)f¬g{M(ai) :ai∈R⁻₁(a)}, o`u

— L est un ensemble totalement ordonné avec une borne supérieure > et une borne inférieure ⊥, contenant toutes les valeurs possibles d’un argument ;

— τ:A→Lest un facteur d’att´enuation ;

— f : L×L → L combine le score initial avec le score des attaquants directs. f est continue, commutative, associative, monotone avec les deux arguments et>est son ´el´ement neutre ;

— g:L×L→L agr`ege le score des attaquants directs. g est continue, commutative, associative, monotone avec les deux arguments et ⊥est son

´el´ement neutre ;

— ¬: L→L restreint la valeur de l’argument attaqu´e. ¬ est antimonotone, continue, ¬⊥ =>,

¬>=⊥et¬¬a=a.

Une sémantique (bien fondée) possible, proposée dans [11], est la sémantique produit simple SP = h[0,1], τ,f,g,¬ioù τ = ₁₊¹ (avec > 0, afin d’as- surer l’unicité de la sémantique), x₁fx₂ = x₁×x₂ (Produit T-Norm),x₁gx₂=x₁+x₂−x₁×x₂(Somme Probabiliste T-CoNorm) et ¬x₁= 1−x₁.

1. Les propriétés Abs, In, VP, DP, CT, SCT ont déjà été vérifiées par Pu et al. [13].

2. Une approche par équation a également été proposée par Gabbay [9]. Cette méthode retourne plusieurs solutions, et donc plusieurs ordres pour un AF. C’est pourquoi nous ne considérons pas cette méthode dans ce papier.

Définition 12. La sémantique graduée SAF associe à chaque AF =hA, Ri un ordre^SAF_AF sur A tel que∀a, b∈A, a^SAF_AF b ssiMS(a)≥MS(b).

Exemple 1 (cont.). Avec = 0.1, le score retourn´e par la fonction est M_SP(a)≈ 0.07, M_SP(b) ≈0.91, M_SP(c) ≈0.08, M_SP(d)≈0.20 et M_SP(e) ≈0.78.

L’ordre obtenu est donc :

b^SAFe^SAFd^SAFc^SAFa

Comme pour la sémantique Categoriser, la force des attaquants est plus importante que leur nombre, c’est pourquoi eest préféré à c. Cependant l’impact d’une branche défensive sur un argument est plus faible avec SAF qu’avec Categoriser.

Proposition 3. SAF satisfait Abs, In, VP, DP, CT, SCT, ↑AB, ↑DB, +AB, Tot et NaE. Les autres propri´et´es ne sont pas satisfaites.

4.3 Discussion-based semantics

La sémantique Discussion-based [1] compare les arguments en comptant le nombre de chemins allant jusqu’à eux, en commen¸cant par les attaquants directs. Si certains arguments possèdent le même nombre d’attaquants directs alors la longueur des chemins est récur- sivement augmentée jusqu’à trouver une différence.

D´efinition 13. Soient F =hA, Ri un AF, a∈A et i∈N.

Dis_i(a) =

−|R⁺_i (a)| sii est pair

|R⁻_i (a)| sii est impair

Lecompteur de discussion de aest not´eDis(a) = hDis1(a), Dis2(a), . . .i.

Définition 14. Lasémantique graduée Dbsasso- cie à chaque AF =hA, Riun ordre^Dbs_AF surAtel que

∀a, b∈A,a^Dbs_AF b ssiDis(b)lexDis(a).

Exemple 1 (cont.).

´

etape a b c d e

1 2 0 1 1 2

2 -1 0 0 -2 -3

En utilisant l’ordre lexicographique, l’ordre obtenu est le suivant : b^Dbsd^Dbsc^Dbse^Dbsa

Cette fois-ci, le nombre d’attaquants est plus important que leur force, c’est pourquoi c est préféré à e.

Proposition 4. Dbs satisfait Abs, In, VP, DP, CT, SCT, CP, ↑AB, ↑DB, +AB, Tot et NaE. Les autres propri´et´es ne sont pas satisfaites.

(7)

4.4 Burden-based semantics

La sémantique Burden-based [1] assigne à chaque argument, lors de l’étape i, un nombre pondéré, qui dépend du nombre pondéré de ses attaquants directs calculé lors de l’étapei−1.

D´efinition 15. Soient F =hA, Ri un AF, a∈ A et i∈N.

Buri(a) =

1 sii= 0 1 +P

b∈R⁻₁(a) 1

Buri−1(b) sinon Le nombre pondéré de a est noté Bur(a) = hBur0(a), Bur1(a), . . .i.

Deux arguments sont lexicographiquement comparé sur la base de leur nombre pondéré.

Définition 16. La sémantique graduée Bbsasso- cie à chaqueAF =hA, Riun ordre^Bbs_AF surAtel que

∀a, b∈A,a^Bbs_AF b ssiBur(b)_lex Bur(a).

Exemple 1(cont.).

´etape a b c d e

1 3 1 2 2 3

2 2.5 1 2 1.33 1.83

En utilisant l’ordre lexicographique, l’ordre obtenu est le suivant :b^Bbsd^Bbsc^Bbse^Bbsa

A l’image de cet exemple, Dbs et Bbs retournent souvent le même résultat. La principale différence entre ces deux sémantiques est que Bbs satisfait DDP, donc les résultats diffèrent uniquement sur les exemples prenant en compte ce type de structure.

Proposition 5. Bbs satisfait Abs, In, VP, DP, CT, SCT, CP, DDP, ↑AB, ↑DB, +AB, Tot et NaE. Les autres propri´et´es ne sont pas satisfaites.

4.5 Evaluation `a base de tuples

La sémantique proposée par Cayrol et Lagasquie- Schiex [5] prend en compte toutes les branches dé- fensives et attaquantes précédant un argument pour ensuite les stocker dans des tuples :

D´efinition 17. Soient F =hA, Ri un AF et a ∈A.

Soit vp(a) le tuple (ordonné) d’entiers pairs contenant les longueurs de toutes les branches défensives de a, i.e. vp(a) est le plus petit tuple ordonné tel que |BR⁺_n(a)| = x ⇒ n ∈x vp(a), où ∈x signifie “apparaˆıt au moins xfois”. De manière similaire, v_i(a) est le tuple (ordonné) d’entiers impairs contenant les longueurs de toutes les branches attaquantes dea, i.e. v_i(a) est le plus petit tuple ordonné tel que

|BR⁻_n(a)|=x⇒n∈_xv_i(a). Untuple poura est un couplev(a) = [vp(a), vi(a)].

Lorsqu’un syst`eme d’argumentation comporte au moins un cycle, certains tuples peuvent ˆetre infinis.

Afin de les calculer, cette méthode nécessite un processus calculatoire élevé, qui transforme un graphe cy- clique en un graphe acyclique infini. Nous considérons donc cette approche uniquement pour les graphes acy- cliques. On notera cette sémantiqueT uples^∗.

Une fois le tuple de chaque argument calcul´e, il reste

`

a les comparer. Pour cela, il suffit de comparer la longueur des branches attaquantes/défensives et, en cas d’égalité, comparer les valeurs stockées dans chaque tuple (voir Algorithm 1).

Algorithm 1:T uples^∗

Input:v(a), w(b) deux tuples des arguments aetb Output:Un classement^Tentreaet b

1 begin

2 if v = w thena^Tbetb^Ta;

3 else

4 if |vi|=|wi|et|vp|=|wp|then

5 if vplexwp etvilexwithena^Tb;

6 else

7 if vplexwp etvilexwithena≺^Tb;

elsea6^Tbeta6^Tb;

8 else

9 if |vi| ≥ |wi|et|vp| ≤ |wp|thena≺^Tb;

10 else

11 if |vi| ≤ |wi|et|vp| ≥ |wp|thena^Tb;

elsea6^Tbeta6^Tb;

Remarquons que deux arguments peuvent être in- comparables. C’est le cas, par exemple, si un argument possède strictement plus de branches attaquantes et strictement plus de branches défensives qu’un autre argument. Par conséquent, cette sémantique retourne un ordre partiel entre les arguments.

Comme l’exemple 1 contient un cycle, la sémantique Tuples^∗ ne peut pas être appliquée.

Proposition 6. La sémantique graduée Tuples^∗ satisfait Abs, In, VP, +DB, ↑AB, ↑DB, +AB, NaE et AvsFD. Les autres propriétés ne sont pas satisfaites.

4.6 Matt & Toni

Matt et Toni [12] calculent la force d’un argument en utilisant un jeu stratégique à deux joueurs à somme nulle. Ce jeu confronte deux joueurs, un partisan et un opposant pour un argument donné, où les stratégies des joueurs sont les ensembles d’arguments. Pour un AF F =hA, Ri et a∈ A, les ensembles de stratégies pour le partisan et l’opposant sontS_P(a) ={P |P ⊆ A, a∈P}et SO={O |O⊆A} respectivement.

(8)

Définition 18. SoientF =hA, Ri un AF et X, Y ⊆ A. L’ensemble des attaques deX versY est défini par Y_F^←X ={(a, b)∈X×Y | (a, b)∈R}. Le degré d’acceptabilité deP par rapport àO est donné par φ(P, O) =¹₂[1+f(|O^←P_F |)−f(|P_F^←O|)]oùf(n) = _n+1ⁿ . Définition 19. SoitF =hA, Ri un AF. Lesrécom- penses de P, notéesrF(P, O), sont définies par :

rF(P, O) =







0 ssi∃a, b∈P,(a, b)∈R, 1 ssi|P_F^←O|= 0,

φ(P, O) sinon

Partisan et opposant choisissent des stratégies mixtes, selon certaine distribution de probabilité, respectivement p = (p1, p2, . . . , pm) et q = (q₁, q₂, . . . , q_n), avec m = |SP| et n = |SO|. Pour chaque argument a ∈ A, la récompense espérée du partisan E(a, p, q) est alors donnée par E(a, p, q) = Pn

j=1

Pm

i=1p_iq_jr_i,j. Finalement la valeur d’un jeu `a somme nulle pour un argumentaest :

s(a) = max

p min

q E(a, p, q)

Définition 20. La sémantique graduée M&Tas- socie à chaque AF = hA, Riun ordre ^M&T_AF sur A tel que∀a, b∈A, a^M&T_AF b ssis(a)≥s(b).

Exemple 1 (cont.). La valeur de chaque argument est s(a) ≈0.17 ,s(b) = 1 , s(c) = 0.25, s(d) = 0.25 et s(e) = 0.5. L’ordre obtenu est donc le suivant : b^M&Te^M&Tc'^M&Td^M&Ta.

Sur cet exemple, nous pouvons voir qu’une fois encore la force des attaquants est plus importante que leur nombre (eest meilleur qued).

Proposition 7. La sémantique graduée M&T satisfait Abs, In, VP, +AB, SC, Tot, NaE et AvsFD. Les autres propriétés ne sont pas satisfaites.

5 Discussion

Il est facile de vérifier sur l’exemple courant que toutes ces sémantiques possèdent des comportements différents (l’ordre entre les arguments est différent pour chaque sémantique excepté pour Bbs et Dbs - voir le résumé dans la Table 1) : cela justifie la néces- sité d’un travail axiomatique.

Notre travail initie cette étude en prenant en compte les propriétés qui ont été proposées dans la littérature.

Notre analyse s’applique aux sémantiques existantes, mais de nouvelles sémantiques peuvent très bien être examinées de la même manière.³ La table 2 résume

3. C’est le cas par exemple des s´emantiques propos´ees dans [10, 2].

S´emantique Ordre entre arguments Cat b^Catd^Cate^Catc^Cata SAF b^SAFe^SAFd^SAFc^SAFa M&T b^M&Te^M&Tc'^M&Td^M&Ta Dbs b^Dbsd^Dbsc^Dbse^Dbsa Bds b^Bbsd^Bbsc^Bbse^Bbsa

Table1 – Ordres obtenus sur l’exemple 1 les propriétés satisfaites par les sémantiques graduées présentées dans ce papier. Nous vérifions également qu’elles sont les propriétés satisfaites par la sémantique de base (groundeden anglais) proposée par Dung, afin d’avoir une idée de sa compatibilité avec les séman- tiques graduées classiques. Rappelons qu’avec cette sé- mantique, il existe uniquement deux niveaux d’accep- tabilité (accepté/rejeté) :

Proposition 8. La sémantique de base (grounded) satisfait Abs, In, QP, Tot, NaE et AvsFD. Les autres propriétés ne sont pas satisfaites.

Une croix × signifie que la propriété n’est pas satisfaite, le symbole X signifie que la propriété est satisfaite, le symbole−signifie que la propriété ne peut pas être appliquée à la sémantique (car la sémantique n’est pas compatible avec la contrainte donnée par la règle), et les cellules grisées représentent les résultats déjà prouvés dans la littérature.

Propri´et´es SAF Cat Dbs Bbs Tuples^∗ M&T Grounded

Abs X X X X X X X

In X X X X X X X

VP X X X X X X ×

DP X X X X × × ×

CT X X X X × × ×

SCT X X X X × × ×

CP × × X X × × ×

QP × × × × × × X

DDP × × × X × × ×

SC × × × × - X ×

⊕DB × × × × × × ×

+DB × × × × X × ×

↑AB X X X X X × ×

↑DB X X X X X × ×

+AB X X X X X X ×

Tot X X X X × X X

NaE X X X X X X X

AvsFD × × × × X X X

Table 2 – Propriétés satisfaites par les sémantiques graduées étudiées

(9)

Plusieurs observations peuvent être faites en ce qui concerne les axiomes et résultats rapportés dans la Table 2 :

•Certains axiomes sont acceptés et partagés par toutes les sémantiques. C’est le cas des propriétés Abs, In et VP. Cela n’est pas surprenant, puisque ces propriétés semblent nécessaires à toute bonne sémantique gra- duée. En effet, rappelons que nous avons en entrée un système d’argumentation abstrait de Dung où aucune information n’est donnée sur la nature des arguments, de ce fait seules les attaques sont prises en compte, d’où l’importance de Abs. Concernant la propriété Independence (In), aucune explication ne justifie le fait qu’un argument puisse influencer des arguments n’ayant aucun lien entre eux. Enfin, les arguments non-attaqués sont bien évidemment les meilleurs arguments dans un AF, c’est pourquoi VP est nécessaire.

NaE est également satisfaite par toutes les séman- tiques. C’est également un critère de base pour une sémantique graduée puisqu’elle dit que tous les arguments non-attaqués sont équivalents. Cette notion est assez proche d’un des principes présent dans les sé- mantiques classiques de Dung où seuls les attaquants doivent avoir un impact sur les arguments, et non pas les arguments qu’ils attaquent.⁴

Une autre propriété que nous considérons comme importante est la propriété Tot, qui est fortement liée avec l’idée des sémantiques “graduées”. Celle-ci semble indispensable dans le cadre des applications réelles.

C’est un inconvénient de Tuples^∗ qui propose néan- moins une vision originale du problème. Une question intéressante serait de savoir s’il est possible de raffiner Tuples^∗, i.e. définir une sémantique proche de Tuples^∗, plus simple au niveau calculatoire pour les systèmes d’argumentation avec cycles, et qui satisfait Tot.

Une dernière propriété satisfaite par toutes les sémantiques est +AB, qui déclare qu’ajouter une branche d’attaque à un argument détériore son accep- tabilité. Cela semble également être une évidence pour les sémantiques graduées : plus l’argument est attaqué, pire il est.

Globalement, cela nous donne un ensemble de 6 pro- priétés devant être satisfaites par chaque sémantique graduée : Abs, In, VP, NaE, Tot et +AB. Notons que Abs, In, NaE et Tot sont satisfaites par la sémantique de base mettant ainsi en évidence une certaine com- patibilité avec les sémantiques de Dung. VP et +AB ne sont, quant à elles, pas satisfaites par la séman- tique de base. Cela s’explique par le fait que ces deux propriétés suivent vraiment la notion de graduation

4. Notons qu’il serait possible de faire une distinction entre les arguments qui attaquent un grand nombre d’arguments et ceux qui ne le font pas — et donc contredire NaE. Cela peut être considéré comme une sorte d’indice de pouvoir. Mais ce n’est pas l’objectif des sémantiques graduées ici.

dans l’évaluation tandis que la sémantique de base propose uniquement deux niveaux d’acceptabilité (ac- cepté/rejeté).

•Certains axiomes semblent très discriminants et permettent une classification des sémantiques. En com- mentaire général, SAF, Cat, Dbs et Bds partagent beaucoup de propriétés. Tuples^∗ et M&T semblent appartenir à une autre classe de sémantiques puisqu’elles sont les seules à satisfaire AvsFD. La propriété AvsFD, illustrée par la Figure 2, soutient qu’un argument qui est (seulement) attaqué une fois par un argument non-attaqué (c’est le cas de b uniquement attaqué par b1) est moins bon qu’un argument avec beaucoup d’attaquants directs mais tous appartenant

`

a des branches défensives (c’est le cas de a qui pos- sède quatre branches défensive et aucune branche attaquante), est une propriété très discriminante. Donc

a4 a3 a

a2 a1

a6 a5

a8 a7

b1 b

Figure 2 – AF qui représente la propriété AvsFD

cette propriété peut être vue comme une sorte de li- mite entre deux sous-classes de sémantique graduée.

Celles qui la satisfait prennent en compte la totalité des branches d’attaque/défense. Tandis que pour celles qui ne la satisfait pas, une branche défensive est toujours pénalisante puisqu’elle reste toujours une attaque vers un argument.

• Davantage de propriétés spécifiques.Rappelons que les axiomes présentés opèrent à différents niveaux. Les axiomes ‘locaux’ (CP, QP, DP, (S)CT), ne considérant que les attaquants (ou défenseurs) directs, effectuent un choix qui peut être justifié dans certain cas, mais qui semble difficilement généralisable (et même parfois impossible à concilier avec certaines propriétés plus générales, voir la Prop. 1). Les propriétés basées sur le ‘changement’ (⊕DB, +DB,↑AB,↑DB, +AB) sont très intéressantes. Une des contributions de ce papier est d’avoir systématiquement généralisé ces propriétés.

• Définir axiomatiquement les pires arguments n’est pas si évident. Curieusement, lorsque toutes les sé- mantiques semblent d’accord axiomatiquement sur le fait que les arguments non-attaqués doivent être les meilleurs dans un système d’argumentation (VP), il

(10)

n’y a aucun consensus en ce qui concerne les pires arguments. SC est très intéressante de ce point de vue. Cette propriété considère qu’un argument qui s’auto attaque est intrinsèquement défectueux, même sans autres arguments éventuels pour le vaincre. Ce- pendant, aucune des sémantiques ne satisfait cette propriété, excepté celle de Matt et Toni. Cela s’explique par le fait que toutes les sémantiques consi- dèrent qu’un argument qui s’auto attaque est juste un chemin comme les autres. Donc un argument qui s’auto attaque (et n’est attaqué par aucun autre argument) est meilleur qu’un argument attaqué par un grand nombre d’arguments non attaqués.

• L’intéraction entre les axiomes est souvent instruc- tive. Nous avons identifié plusieurs incompatibilités entre les axiomes. Une remarque supplémentaire peut ˆ

etre faite dans ce sens en ce qui concerne l’incompa- tibilité entre VP et⊕DB. Il est évident que⊕DB est plus générale que +DB, et dans un sens plus natu- rel : la propriété est définie pour tous les cas, sans distinction pour certains arguments (en l’occurrence les arguments non-attaqués ici). Mais cette propriété contredit VP de ce fait. +DB est moins “systématique”

(elle correspond à la propriété originale proposée dans [5]) mais reste compatible avec VP : si une personne considère que les arguments non-attaqués doivent être les meilleurs (VP), alors il est impossible que la situa- tion d’un argument donnée s’amélioretoujours suite à l’ajout d’une branche de défense.

• Cet ensemble d’axiomes doit encore ˆetre augment´e.

Cela peut se justifier par le fait que les sémantiques SAF et Cat satisfont exactement les mêmes propriétés alors qu’elles ont des comportements différents (voir Table 1) . Cela signifie qu’il manque au moins une propriété afin de pouvoir distinguer ces deux opéra- teurs.

6 Conclusion

Dans cet article, nous proposons une étude comparative des différentes sémantiques graduées existantes.

Il s’avère que ces sémantiques adoptent des comportements assez différents et satisfont des propriétés dif- férentes. Nous sélectionnons plusieurs propriétés que toute bonne sémantique graduée doit satisfaire dans ce cadre : Abs, In, VP, NaE, Tot et +AB. La propriété AvsFD, qui permet de comprendre le comportement d’une sémantique concernant la notion de défense, est

´

egalement intéressante puisqu’elle permet de séparer les sémantiques graduées en deux sous-classes diffé- rentes.

Des travaux sont cependant encore nécessaires dans ce domaine. D’abord pour proposer d’autres séman- tiques graduées. Mais il semble également primordial

de trouver d’autres propriétés logiques, et ainsi essayer de caractériser différentes classes de sémantiques par rapport à ces propriétés. Un ambitieux programme de recherche serait d’identifier les situations où des axiomes controversées sont justifiées ou non.

Nous sommes actuellement en train de lancer plusieurs expérimentations visant à calculer le degré de différence qu’il existe entre les ordres retournés par ces sémantiques. L’idée consiste à calculer une distance (par exemple la distance de Kandall tau) entre chaque ordre obtenu, pour ensuite représenter le tout dans une matrice et/ou un graphe.

Ce travail sur les sémantiques graduées est principa- lement motivé par les applications possibles pour des plateformes de débat en ligne. Sur ces plateformes, les personnes peuvent généralement voter sur les arguments et/ou sur les attaques. Cela implique donc l’existence de poids sur les arguments et sur les attaques. Les SAF [11, 8, 6] permettent de prendre en compte ces informations. Nous commen¸cons donc avec le cadre standard (sans poids) et prévoyons d’étudier ces sémantiques dans le cadre des SAF. Pour cela il serait intéressant de regarder s’il est possible de géné- raliser ces sémantiques en incluant des poids, tout en adaptant les propriétés, ou en proposer de nouvelles,

`

a ce cadre.

7 Remerciements

Ce travail a bénéficié d’une aide de l’Agence Na- tionale de la Recherche portant la référence ANR-13- BS02-0004 dans le cadre du projet AMANDE.

R´ ef´ erences

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