(résumé)
On désigne parKle corpsRou le corpsC.
I Le théorème d’existence et d’unicité
I.1 Cadre général
Théorème (dit d’existence et d’unicité, ou de Cauchy-Lipschitz, ou de Cauchy- Lipschitz linéaire) :
Hypothèses :SoitJunintervalledeR,AetBdeux applicationscontinuessur J, à valeurs dansMn(K) (pour toutt,A(t) est une matrice carrée) etMn,1(K) (pour toutt,B(t) est une matrice colonne) respectivement.
Conclusion :Sit0∈J,X0∈Mn,1(K). Il existe une solution uniqueΦde l’équa- tionX0=A(t)X +B(t), définie surJet prenant ent0la valeurX0.
Exemple SoitΦ: J−→Mn,1(K) une solution d’une équation homogène
X0=A(t)X (H)
oùA: J−→Mn(K) estcontinuesur l’intervalleJ. On a alors
∃t∈J Φ(t)=(0) ⇐⇒ ∀t∈J Φ(t)=(0)
(on note pour gagner de la place (0) au lieu de
0 ... 0
). En effet, siΦ(t0)=(0),Φ
et(0) sont deux solutions de (H) prenant enf t0la valeur (0)
I.2 Cas particulier important : n = 1
Théorème Il se trouve que dans le casn=1, on a en général affaire à des équa-
(x0=a(t)x+b(t)) lorsqueane s’annule pas.
Hypothèses :SoitJun intervalle deR,a,betctrois applications continues surJ, à valeurs dansK=RouC. On suppose que∀x∈J a(x)6=0.
Conclusion :Six0∈Jety0∈K, il existe une solution uniqueφde l’équation a(x)y0+b(x)y=c(x), définie surJet prenant enx0la valeury0.
I.3 Autre cas particulier important
Théorème On remarque que l’équation dite « linéaire scalaire d’ordre 2 » a(x)y00+b(x)y0+c(x)y=d(x)
peut se réécrire sous forme d’un système différentiel d’ordre 2
y0 = z
z0 = −b(x)
a(x)z−c(x)
a(x)y+d(x) a(x) et on en déduit. . .
Hypothèses :a,b,c,d sont continues surI, à valeurs dansK,ane s’annule pas surI.
Conclusion :Soitx0un élément deI, (y0,y00) un couple d’éléments deK. Il existe une solution unique de l’équationa(x)y00+b(x)y0+c(x)y=d(x), φ, définie surIet vérifiantφ(x0)=y0etφ0(x0)=y00.
II Structure de l’espace des solutions
II.1 Cadre général
On nomme (E) l’équation « complète »X0=A(t)X +B(t) et (H) l’équation « homogène associée » :X0=A(t)X.
On noteSEl’ensemble des solutions de (E),SHl’ensemble des solutions de (H).
Théorème
SiA : J−→Mn(K) etB : J−→Mn,1(K) sont continues sur l’intervalleJ, alors SHest un sous-espace vectoriel deC1(J,Mn,1(K)), et dim(SH)=n.
Théorème : L’ensembleSE des solutions de l’équation « complète » (E) est un sous-espace affine deC1(J,Mn,1(K)), de directionSH, donc de dimensionn.
Ce qui signifie que si l’on trouve une solution quelconqueΨde (E), on obtient toutes les solutions de (E) en lui ajoutant les solutions de (H) :
SE=Ψ+SH={Ψ+Φ;Φ∈SH}
II.2 Cas particulier
On note (E) l’équation « complète »a(x)y0+b(x)y=c(x) et (H) l’équation « homogène associée » :a(x)y0+b(x)y=0.
On noteSEl’ensemble des solutions de (E),SHl’ensemble des solutions de (H).
Théorème
Sia,b,c:J−→Ksont continues sur l’intervalleJ, et siane s’annule pas sur J, alorsSH est un sous-espace vectoriel de dimension 1 deC1(J,K) (i.e. une droite vectorielle).
Théorème : L’ensembleSE des solutions de l’équation « complète » (E) est un sous-espace affine deC1(J,K), de directionSH, donc est de dimension 1 (i.e.
une droite affine).
En bref, cela signifie que dans le détail les solutions de (E) se présenteront toujours sous la forme
{ψ0+αφ0;α∈K}
oùψ0est une solution de (E),φ0une solution de (H).
II.3 L’autre cas particulier
Théorème On note (H) l’équation
a(t)x00+b(t)x0+c(t)x=0
etSH l’ensemble de ses solutions sur l’intervalleI. Si on suppose quea,b,c sont continues surI et queane s’annule pas, alorsSH est un sous-espace vectoriel de dimension 2 deC2(I,K).
Théorème : Si on suppose quea,b,c,dsont continues surIet queane s’annule pas surI, l’ensembleSE des solutions de l’équation
(E) : a(t)x00+b(t)x0+c(t)x=d(t) est un sous-espace affine deC2(I,K) de dimension 2, de directionSH(ce qui signifie encore que siΨ∈SE, alors
III Résolution d’une équation différentielle linéaire
On pourrait presque résumer cette partie en quatre mots : variation de la constante. . .
III.1 Cadre général
On reprend (E) l’équationX0=A(t)X +B(t) et (H) l’équationX0=A(t)X, avecAet Bcontinues sur un intervalleI, à valeurs dansMn(K) etMn,1(K) respectivement.
Définition : On appelle système fondamental de solutions de l’équation homo- gène toute base (Φ1, . . . ,Φn) deSH.
Méthode de variation de la constante Si on connaît un système fondamental (Φ1, . . . ,Φn) de solutions de (H), on a alors
SH={α1Φ1+ · · · +αnΦn; (α1, . . . ,αn)∈Kn} alors on cherche une solution de (E) sous la forme
Ψ : t7−→α1(t)Φ1(t)+ · · · +αn(t)Φn(t)
où lesαk sont des fonctions inconnues. Et ça marche ! (enfin, c’est quand même un peu théorique, parce qu’en fait on ne connaît pas de méthode per- mettant d’obtenir un système fondamental (Φ1, . . . ,Φn) de solutions de (H))
III.2 Equations linéaires scalaires d’ordre 1
On s’intéresse d’abord à l’équation homogène
a(x)y0+b(x)y=0 (H)
et on résout sur un intervalle sur lequelane s’annule pas. On commence par diviser para:
³
∀x∈J a(x)y0(x)+b(x)y(x)=0´
⇐⇒³
∀x∈J y0(x)+b(x)
a(x)y(x)=0´ . On multiplie alors tout par exp(µ(x)), oùµest une primitive deb/asurJ:
³ . . .´
⇐⇒
³
∀x∈J exp¡ µ(x)¢
y0(x)+b(x) a(x)exp¡
µ(x)¢
y(x)=0´ . On reconnaît alors au premier membre la dérivée du produit exp¡
µ(x)¢
y(x). On ob- tient donc :
³ . . .´
⇐⇒ ∃C∈K ∀x∈J exp¡ µ(x)¢
y(x)=C.
Les solutions de (H) sur un intervalle Jsur lequelane s’annule pas sont donc les fonctions
x7−→Cexp³Z
−b(x) a(x) d x´
(C∈K) où
Z −b(x)
a(x) d xdésigne une primitive de−b/asurJ.
Remarque : inutile de savoir le résultat par cœur, on le retrouve à chaque fois.
Pour résoudre l’équation
a(x)y0+b(x)y=c(x) (E)
Il ne reste plus qu’à en trouver une solution. On cherche une telle solution sous la forme
ψ : x7−→λ(x)φ(x)
oùφest une solution de (H) (méthode de variation de la constante).
Dans les exercices à l’oral, il arrive que as’annule. On résout alors sur les sous- intervalles sur lesquelsane s’annule pas, on regarde s’il y a des raccords possibles : bien se souvenir qu’une solution d’équation différentielle doit être dérivable, les rac- cords par continuité ne suffisent pas.
III.3 Equations linéaires scalaires d’ordre 2
a. Equation homogène
On s’intéresse ici à l’équation
a(t)x00+b(t)x0+c(t)x=0 (H) (on rappelle queSH est un espace vectoriel de dimension 2) et, siφetψsont deux solutions de cette équation, on définit leur wronskien :
w(φ,ψ) : t7−→
¯
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φ(t) ψ(t) φ0(t) ψ0(t)
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¯
=φ(t)ψ0(t)−ψ(t)φ0(t)
On a alors :
Proposition Soitφ,ψdeux solutions de (H) oùa,b,csont trois fonctions conti- nues surI,ane s’annulant pas surI. Alors les trois propriétés suivantes sont équivalentes :
(i)(φ,ψ) est une base deSH.
(iii)∃t∈I w(t)6=0.
On a donc un moyen de voir facilement si deux solutions de (H) forment une base deSH. Ce qui ne veut pas dire qu’on sache déterminer deux solutions de (H).
Parfois (on peut même dire souvent, à l’oral), la recherche d’une solution dévelop- pable en série entière donne de bons résultats.
Dans le cas où on connaît seulement une solutionφde (H), on peut en chercher une autre sous la forme
ψ :t7→α(t)φ(t)
oùαest une fonction inconnue (encore une méthode de variation de la constante !) On est alors ramené à une équation d’ordre 1 enα0, qu’on sait résoudre.
b. Equation complète
On s’intéresse ici à l’équation
a(t)x00+b(t)x0+c(t)x=d(t) (E) et on suppose qu’on connaît deux solutions linéairement indépendantesφetψde
a(t)x00+b(t)x0+c(t)x=0 (H) DoncSH={αφ+βψ; (α,β)∈K2}. On cherche alors une solution de (E) sous la forme
f :t7−→α(t)φ(t)+β(t)ψ(t) avec la condition additionnelle
∀t∈I α0(t)φ(t)+β0(t)ψ(t)=0
On obtient alors un système de Cramer d’inconnuesα0(t),β0(t), il n’y a plus qu’à résoudre. Cette condition additionnelle fait de la variation de la constante dans ce contexte une méthode un peu moins immédiate. Elle n’est pas artificielle, elle vient de l’écriture de l’équation comme système différentiel.