l’endommagement des roches sous charge explosive:

UNIVERSITÉ LIBREDE

Mod´elisation et exp´erimentation de

l’endommagement des roches sous charge explosive:

Application aux mines de bauxite de Guin´ee

Th`ese pr´esent´ee le 11 Juillet 2014 par Oumar KEITA en vue de l’obtention du titre de docteur en science de l’Ing´enieur.

Jury

Membre: Prof. Pascal Forquin, Universit´e de Grenoble, France

Membre: Prof. Pierre Gerard, Universit´e Libre de Bruxelles, Bruxelles Membre: Dr. Severine Levasseur, Universit´e de Li`ege, Li`ege

Membre: Prof. Thierry J. Massart, Universit´e Libre de Bruxelles Membre: Prof. Jian-Fu Shao, Universit´e de Lille, France

Co-Directeur de th`ese: Prof. Dascalu, Universit´e Paris VI, France

Directeur de th`ese: Prof. Bertrand Fran¸cois, Universit´e Libre de Bruxelles

Ann´ee acad´emique

Remerciements

La réalisation de ce passionnant travail m'a permis de connaître une enrichissante aventure scientique et humaine à travers des personnes à l'endroit desquels des remerciements s'imposent en raison de leur contribution directe ou indirecte. Je voudrais remercier tout d'abord mon directeur de thèse Bertrand FRANCOIS, Professeur à l'ULB. Je le remercie pour avoir accepté de m'accueillir au Laboratoire de GéoMécanique pour encadrer cette thèse. Je le remercie pour sa disponibilité permanente, ses conseils scientiques, sa patience durant ces années de thèse. Durant tout ce temps, j'ai découvert le monde de la recherche scientique avec lui.

Mes remerciements vont également à l'égard de mon co-directeur de thèse Cristian DASCALU, Pro- fesseur à l'univesité de Paris 6. Je le remercie vivement non seulement, pour son implication active dans la réalisation de cette thèse mais aussi, pour m'avoir fourni d'importants éléments qui ont constitués la base de ce travail.

Je suis, particulièrement, reconnaissant et je voudrais remercier Pierre GERARD, Professeur à L'ULB qui a accepté toutes mes sollicitations et a répondu à toutes mes questions lièes à l'apprentissage et à l'exploitation du code aux éléments nis LAGAMINE sur lequel j'ai travaillé dans cette thèse.

Je voudrais également remercier très fortement Pascal FORQUIN, Professeur à l'université Joseph Fourier - Grenoble 1. Je vous remercie pour avoir non seulement réalisé pour nous à l'aide du dispositif de la barre de Hopkinson au laboratoire 3SR de Grenoble nos essais dynamiques sur la Bauxite mais, aussi pour avoir fait le dépouillement de ces essais. Je vous remericie également pour avoir accepté de participer au jury de ma thèse.

Mes sincères remerciements s'adressent à tous les membres du laboratoire GéoMécanique pour leur convivialité et leur soutien durant toutes ces années.

Je tiens à remercier du fond du coeur la Banque Islamique de Développement qui a nancé ce travail.

Je remercie également, Thierry Massart, Professeur à l'ULB, pour avoir accepté de participer au comité d'accompagement de ma thèse, ainsi que pour ses remarques pertinentes sur mon travail.

Je tiens à remercier, très fortement, Severine LEVASSEUR, chercheur" à l'ULg, pour avoir participé au jury de cette thèse.

Je voudrais maintenant, m'adresser à tous ceux que j'ai croisé dans le département BATir durant ces années. A vous les secrétaires toujours souriantes, sans vous, l'administration serait une tâche redoutable.

Je voudrais, à présent, remercier ceux qui sont toujours présents dans mon coeur, malgré la distance, ma mère et mon père : Sans vous je ne serais pas le l'homme que je suis aujourd'hui.

Une mention spéciale et particulière s'adresse à mon épouse, pour le soutien, la patience, dont elle a fait preuve durant ces années de thèse.

Á present, si vous êtes curieux de savoir comment on modélise l'endommagement et la fragmentation des roches sous charge explosive, tournez cette page et commencez par le "Résumé".

Résumé

Modélisation et expérimentation de l'endommagement des roches sous charge explosive : Application aux mines de Guinée

Dans cette thèse, une nouvelle loi d'endommagement en traction des roches sous chargement exploisif est établie. Basée sur l'approche micro-mécanique et énergétique, la loi d'évolution d'endommagement dynamique est conçue à l'aide de la méthode mathématique d'homogénéisation basée sur le développement asymptotique, et en tenant compte de l'eet inertiel lors de la propagation de ssure. Les simulations numériques sont présentées en vue d'illustrer la capacité du modèle à décrire les comportements connus comme les eets de taille pour la réponse structurelle, la sensibilité au taux de déformation, la transition fragile-ductile et la dispersion de l'onde.

La loi est implémentée dans le code aux éléments nis LAGAMINE pour étudier la réponse macro- scopique du modèle. Plusieurs cas d'applications en dynamique ont été examinés.

- En 1D, les problèmes de localisation ont été étudiés dans une barre sollicitée en traction dynamique par une rampe de chargement. Selon l'amplitude de chargement, trois réponses ont été identiées : a) comportement purement élastique pour des faibles charges, b) localisation à l'extrémité encastrée de la barre pour des chargements modérés et c) localisation à la tête de la barre pour des chargements élevés.

L'inuence de la taille microstrurelle sur la localisation a été examinée. Des simulations numériques de l'essai de traction dynamique par écaillage ont été éectuées. Des essais expérimentaux de traction dy- namique par écaillage ont été réalisés sur la bauxite et ont permis de valider le modèle en comparant l'analyse post mortem de l'éprouvette aux résultats des simulations numériques d'écaillage. Ces essais ont aussi permis de déterminer les caractéristiques mécaniques du matériau, la résistance mécanique en traction dynamique, l'instant de rupture et la vitesse de déformation à rupture.

- En 2D, des simulations numériques sont eéctuées pour reproduire le comportement d'une mine sous charge explosive. Le modèle a été capable de reproduire l'endommagement en traction sous charge explo- sive. L'inuence des paramètres du modèle tels que : l'orientation de ssures, la taille de microstructure et la valeur initial d'endommagement sur la distribution de l'endommagement autour du trou de charge a été étudiée. Enn, un cas d'application sur les mines de bauxite de Guinée a été étudié, incluant un calcul de l'extension de la zone endommagée ainsi qu'une prédiction numérique du niveau de vibration engendrée suite aux tirs à l'explosif. La prédiction du modèle est globalement en accord avec les résultats de la littérature.

Mots clés : Loi d'endommagement, Micro-ssures, Homogénéisation asymptotique et Numérique, Prop- agation dynamique, Dispersion d'onde, Essais d'écaillage, Eet d'échelle, Explosion.

Modeling and experimentation of rocks damage under blast load : Application to mines of Guinea

In this thesis, a new double-scale law of damage and fragmentation in tension for rocks under blast load is established. Based on the micro-mechanical and energetic approach, the dynamic damage evolution law is conceived using mathematical homogenization method based on the asymptotic development, and taking into account the inertial eect of cracks during cracks propagation. Numerical simulations are presented in order to illustrate the ability of the model to describe known behaviors like size eects for the structural response,strain-rate sensitivity, brittle-ductile transition and wave dispersion. The law is implemented in the nite element code LAGAMINE to study macroscopic response of the model. Several cases are studied.

- In 1D, localization problems have been addressed in a bar submitted to a dynamic tensile loading ramp . Depending on the loading amplitude three responses were identied : a) purely elastic behavior at low loads, b) localization at the end of the bar for moderate loading and c) localization at the head of the bar under high loading. The inuence of microstructural size on localization was examined. Numerical simulations of the dynamic spalling test were performed. Experimental spalling test was performed on the bauxite and the model have been validated by comparing post-mortem analysis of the specimen with numerical simulations results of spalling test. These tests were also used to determine the mechanical characteristics of the material, the dynamic tensile strength , the failure time and strain rate at failure rupture of the material.

-In 2D, numerical simulations were performed to reproduce the behaviour of a mine under explosive charge. The model was able to reproduce the tensile failure under explosive charge. The inuence of the model parameters such as the cracks orientation, the microstructural size and the initial damage value on damage distribution around the hole charge was studied. Finally, a case of application of bauxite mines in Guinea has been studied, through the study of the extension of damage zone and the numerical prediction of vibration level generated by blasting. The prediction of the model is in general agreement with the results of the literature.

Keywords : Damage Law, Micro-cracks, Asymptotic and numerical homogenization, Dynamic propaga- tion, Wave dispersion, Spalling tests, Size eects, Blasting

Table des matières

Table des gures 1

Introduction générale 7

1 Etat de l'art sur les modèles d'endommagement et fragmentation dynamique 9

1.1 Introduction . . . 9

1.2 Observations physiques de l'endommagement . . . 9

1.2.1 Endommagement initial . . . 10

1.2.2 Endommagement induit . . . 10

1.3 Modèles d'endommagement dynamique . . . 10

1.3.1 Modèles phénoménologiques d'endommagement et fragmentation dynamique . . . 11

1.3.2 Modèles micromécaniques . . . 20

1.3.3 Modèles macroscopiques homogénéisés . . . 26

2 Modèle d'endommagement dynamique 31 2.1 Introduction . . . 31

2.2 Problème à deux échelles . . . 32

2.2.1 Equation élastodynamique . . . 32

2.2.2 Développement asymptotique . . . 34

2.2.3 Analyse d'homogénéisation . . . 35

2.3 Analyse énergétique . . . 39

2.3.1 Taux de restitution d'énergie dynamique . . . 39

2.3.2 Taux de restitution d'énergie dynamique et le facteur d'intensité de contraintes . 42 2.4 Loi d'évolution de l'endommagement dynamique . . . 43

2.4.1 Implémentation de la microstructure . . . 45

2.5 Réponse macroscopique locale . . . 46

2.5.1 Intégration numérique . . . 46

2.6 Validation du modèle . . . 50

2.7 Analyse de dispersion d'onde . . . 51

2.8 Discussion sur le modèle . . . 53

2.9 Conclusions . . . 54

3 Etude du comportement macroscopique unidimensionnel 57

3.1 Introduction . . . 57

3.2 Modélisation numérique par éléments nis avec LAGAMINE . . . 58

3.2.1 Présentation de l'outil numérique LAGAMINE . . . 58

3.2.2 Implémentation numérique du modèle constitutif . . . 58

3.2.3 Algorithme du code d'éléments nis . . . 59

3.2.4 Validation de l'implémentation . . . 59

3.3 Modèle d'endommagement 1D . . . 61

3.3.1 Chargement simplié . . . 61

3.3.2 Chargement de type explosif . . . 68

3.4 Application à l'essai de traction dynamique par écaillage . . . 74

3.4.1 Description de l'essai . . . 74

3.4.2 Paramètres de la simulation numérique . . . 76

3.5 Conclusions . . . 78

4 Etude du comportement macroscopique sous charge explosive 81 4.1 Introduction . . . 81

4.2 Etude de la fragmentation sous sollicitation dynamique des roches en mines et carrières . 82 4.2.1 Analyse des processus de fragmentation des roches par l'explosif . . . 82

4.2.2 Les zones de fragmentation . . . 83

4.2.3 Estimation des zones de fragmentation . . . 83

4.2.4 Simulation du comportement d'une mine à l'explosif . . . 85

4.3 Simulations numériques . . . 87

4.3.1 Modélisation géométrique . . . 87

4.3.2 Maillage . . . 87

4.3.3 Conditions aux limites . . . 88

4.4 Résultats numériques . . . 89

4.4.1 Comportement élastique . . . 89

4.4.2 Comportement endommageable . . . 89

4.5 Conclusions . . . 101

5 Application du modèle à l'extraction de la Bauxite à ciel ouvert dans les mines Guinéennes 103 5.1 Introduction . . . 103

5.2 Présentation de la bauxite . . . 104

5.2.1 Caractérisation quasi statique . . . 104

5.3 Essais expérimentaux . . . 106

5.3.1 Essai sonique et pesée d'archimède . . . 106

5.3.2 Essai de traction dynamique par écaillage à la barre de Hopkinson . . . 109

5.3.3 Analyse post mortem : Validation du modèle . . . 116

5.4 Application du modèle à l'exploitation de la Bauxite dans les mines Guinéennes . . . 121

5.4.1 Principales opérations minières et engins utilisés dans les mines de Sangarédi . . . 121

5.4.2 Schéma des tirs . . . 122

5.4.3 Applications numériques . . . 123

5.5 Etude de vibration induite par les tirs d'explosifs dans les mines . . . 125

5.5.1 Calcul de Blasting vibration velocity (BVV ) . . . 128

5.5.2 Prédiction de pic de vibration de particule suite à l'explosion . . . 129

5.5.3 Etude numérique de vibration induite par tirs d'explosif dans les mines de Bauxite Guinéennes . . . 130

5.5.4 Résultats numériques . . . 131

5.6 Conclusions . . . 134

Conclusions générales et perspectives 135 Bibliographie 137 Articles et publications 151 Annexes 153 A 153 A.1 Les outils de la mécanique élastique linéaire de la rupture . . . 153

A.1.1 Comportement asymptotique des champs mécaniques . . . 153

A.2 Calcul de l'équation de dispersion . . . 157

A.3 Bases fondamentales des déformations macroscopiques pour une ssure horizontale . . . . 158

A.4 Denition des vecteurs unitaires normal et tangent sur la microssure pour les quatre orientations . . . 160

Table des gures

1.1 Réponse des matériaux fragiles et bétons au chargement uniaxial : (a) en traction, (b) en

compression pour le modèle de [Lubliner et al. (1989)] et [Lee et Fenves (1998)]. . . 14

1.2 Modèle de [Holmquist et al. (1993)] . . . 15

1.3 Modèle RHT : a) surface de rupture et surface de limite élastique,b) surface de rupture et surface de résistance résiduelle [ Riedel (1998)]. . . 16

1.4 Résultats expérimentaux des essais hydrostatiques et oedométriques (d'après [Burlion (1997)]. 17 1.5 : Principe du modèle PRM illustré en 1D [Pontiroli (1995)] . . . 18

1.6 (a) Représentation unidimensionnelle du modèle élasto-visco-plastique à écrouissage visqueux, d'après [Sercombe (1997)] et (b) Modèle de [ Pedersen et al. (2008)]. . . 19

1.7 Schéma du modèle de sliding crack [Nemat-Nasser et al. (1982)] . . . 22

1.8 Illustration du mécanisme d'occultation [Erzar (2010)] . . . 24

1.9 Schématisation du mécanisme d'occultation [Denoual (1998)] . . . 25

1.10 Elément endommagé [Lemaître et Chaboche(1988)] . . . 26

2.1 (a)Milieu ssuré avec des ssures localement périodiquesε,(b)cellule ssurée de longueur normaliséed. . . 33

2.2 Mise à l'échelle de la cellule à la période spatiale microstructuralle du matériau. . . 35

2.3 Application d'une "force supercielle" sur la ssure. . . 36

2.4 Coecients homogénéisés en Pascal pour une orientation horizontale : a) paramètres élas- tiquesE = 2GP a etν= 0.3b) paramètres élastiquesE= 300GP aetν= 0.22 . . . 40

2.5 Fonctions caractéristiques en traction : (a),ξ²²(b),ξ¹² (c)ξ¹¹,d= 0.9 . . . 46

2.6 Essai de traction à vitesse de déformation constate. Inuence de la longueur interne sur l'évolution : a) de la contrainte axiale, b) de la variable d'endommagement avec la défor- mation. . . 47

2.7 Evolution de la contrainte pic en fonction de la taille de la microstructureε, pour un essai de traction à vitesse de déformation constante. . . 48

2.8 Essai de traction, eet de la vitesse de déformation e˙₂₂ sur la réponse macroscopique. Evolution(a)de la contrainte(b)de la vriable d'endommagement avec la déformation. . . 48

2.9 Essai de traction, eet de la vitesse de déformatione˙22sur la réponse macroscopique, pour ε= 5∗10⁻⁵. Evolution(a) de la contrainte et(b) de la variable d'endommagement avec la déformation. . . 49

2.10 Essai de traction, eet de l'endommagement initiald₀sur la réponse macroscopique. Evo- lution(a)de la contrainte et(b)de la variable d'endommagement avec la déformation. . . 49 2.11 Essai de traction, sensibilité de la résistance en traction au taux de déformation : com-

paraison des résultats du modèle avec les résultats du test de traction dynamique par écaillage. . . 50 2.12 Courbes de dispersion pour diérentes valeurs de la longueur interneε. . . 53 3.1 Schéma de l'algorithme numériques de la loi de comportement. . . 60 3.2 Comparaison entre LAGAMINE-MATLAB courbe contrainte-déformation, et courbe vari-

able d'endommagement-déformationd, au pas de temps= 1∗10⁻⁸s: a) 1 élement , b) 100 élements . . . 61 3.3 Conditions aux limites et chargement. . . 62 3.4 Chargement dynamiques appliqué : force en fonction du temps. . . 62 3.5 Prol de la contrainte axiale (en haut), prol de l'endommagement (en bas) à diérents

instants pour un chargement d'amplitude faible : endommagement nul. . . 64 3.6 Carte des iso-valeurs de l'endommagement à diérents instants : cas de chargement d'am-

plitude faible. . . 64 3.8 Courbe contrainte-déformation dans l'élément situé à x=1 m. . . 65 3.7 Mise en évidence du processus de localisation : prol de a) la contrainte, b) de l'endom-

magement et c) de la déformation à diérents instants jusqu'au moment de la rééxion à l'extrémité encastrée de la barre . . . 66 3.9 Prol de l'endommagement et la déformation le long de la barre pour deuxεdiérents :

a) ε= 3∗10−3m , b)ε= 1∗10−3m. . . 67 3.10 Carte des iso-valeurs de l'endommagement à l'instant t = 1∗10⁻⁵ s : dépendance de

l'endommagement à la taille de la microstructure, mise en évidence de la localisation. . . 68 3.11 Géométrie et chargement pour un essai de traction uniaxial. . . 69 3.12 Composante axiale de l'état de contrainteσxxévolution jusqu'à l'instantt= 1.077∗10⁻⁴s :

a) loi élastique, b) loi d'endommagement pour d0 = 0. Prol de la contrainte axiale à diérents instants : c) loi élastique, d) loi d'endommagement pour d0 = 0. . . 69 3.13 Evolution de la zone d'endommagement, en traction, pour diérents instants du chargement

dynamique : a)t= 9.44∗10⁻⁶s b)t= 4.13∗10⁻⁵s , c)t= 9.15∗10⁻⁵s. . . 70 3.14 Courbe de comportement macroscopique global en traction évolution jusqu'à l'instant

t = 9.44∗10⁻⁶ s :a) de la contrainte axiale, b) de la variable d'endommagement avec la déformation axiale au point 1 (Fig.3.13). . . 71 3.15 Inuence de la taille de microstructure, courbe de comportement macroscopique global

en traction évolution jusqu'à l'instant t= 9.9∗10⁻⁶ s : a)de la contrainte axiale, b) de la variable d'endommagement avec la déformation axiale pour diérentes valeurs de εau point 1 (Fig.3.13). . . 71 3.16 Evolution de l'endommagement pour diérents éléments situés en dehors et dans la zone

d'endommagement jusqu'à l'instant t= 1.0∗10⁻⁵s : a) zone d'endommagement avec les éléments, b) évolution de la variable d'endommagementdaux points 1, 2 et 3 respectivement. 72

3.17 Inuence de l'endommagement initial, courbe de comportement global en traction évo- lution jusqu'à l'instant t = 9.9∗10⁻⁶ s :a) de la contrainte axiale, b) de la variable d'endommagement avec la déformation au point 1 (Fig.3.13) pour diérentes valeurs de l'endommagement initial . . . 73 3.18 Inuence de l'endommagement initial sur la zone d'endommagement à l'instant t = 1∗

10⁻⁵s: a)d0 = 0.1, b)d0 = 0.2, c)d0 = 0.3. . . 73 3.19 Schéma de principe de l'essai de traction dynamique par écaillage d'après [Forquin et Erzar (2009)]. 74 3.20 Schéma de l'éssai d'écaillage (géométrie et conditions aux limites). . . 75 3.21 Chargement expérimental pour l'essai de traction dynamique par écaillage [Chambart (2009)]. 75 3.22 Position expérimentale de la rupture [Chambart (2009)]. . . 76 3.23 Chargement numérique appliqué. . . 77 3.24 Maillage de l'échantillon. . . 77 3.25 Evolution de l'endommagement au cours du temps : écaillage de l'échantillon pourd0 = 0.3,

ε= 1∗10⁻³m. La face impactée est à droite . . . 79 3.26 Résulat simulation numérique ésssai de traction dynamique par écaillage de [Chambart (2009)]. 79 3.27 Evolution de l'endommagement au cours du temps : écaillage de l'échantillon pourd0 = 0.3,

ε= 1∗10⁻⁴m. La face impactée est à droite . . . 80 4.1 Zones de fragmentations lors d'un tir à explosif. . . 83 4.2 Courbe de l'évolution de la pression d'explosion en fonction du temps. . . 87 4.3 Maillage utilisé dans les simulations : a) géométrie complète et b) 1/2 de géometrie. . . . 88 4.4 Cartes isovaleurs des contraintes : (a) contraintes horizontale SIGXX, (b) contrainte ver-

ticale SIGYY à l'instantt= 2.09∗10⁻⁴s : zoom sur la partie sollicitée. . . 90 4.5 Evolution des contraintes en fonction de la distance à la paroi du trou de charge : (a)

contraintes radiale, (b) contrainte orthoradiale, (c) contrainte orthoradiale en fonction de la contrainte radiale. . . 90 4.6 Distribution de l'endommagement sur la géométrie complète de la mine à l'instant t =

2.85∗10⁻⁴s : zoone sur la partie endommagée. . . 91 4.7 Sollicitation des éléments autour du trou de charge pour une orientation de ssures de 90. 92 4.8 Distribution de l'endommagement à diérents instants de l'explosion sur la géométrie com-

plète : simulation avec conditions aux limites de bords libres :zoom sur la partie endommagée. 93 4.9 Carte isovaleurs de la contrainte de cisaillemnt à diérents instants de l'explosion. . . 94 4.10 Distribution de l'endommagement à diérents instants de l'explosion : simulation avec

conditions aux limites rigides :zoom sur la partie endommagée. . . 95 4.11 Distribution de l'endommagement à diérents instants de l'explosion : inuence de la taille

de microstructureε: zoom sur la partie endommagée. . . 96 4.12 Distribution de l'endommagement à diérents instants : Inuence de l'endommagement

initiale : à gauched0= 0.1, à droited0= 0.2: zoom sur la partie endommagée. . . 97 4.13 Orientation des familles de microssures : de la gauche vers la droiteθ= 0,θ= 90,θ= 30. 98 4.14 (a) Milieu ssurée avec des ssures inclinées localement périodiquesε, (b) cellule unitaire

contenant une ssure inclinée normalisée. . . 98

4.15 Distribution de l'endommagement pour diérentes orientation initiales de microssures :

θ= 0,θ= 90etθ= 30: zoom sur la partie endommagée . . . 99

4.16 Distribution de l'endommagement pour diérentes amplitudes de la charge explosive : P=9.9 GPa et P=2 GPa : zoom sur la partie endommagée. . . 100

4.17 Distribution de l'endommagement dans et en de dehors de la zone d'endommagement : à gauche) distribution de l'endommagement à droite) évolution de la variable d'endommage- ment . . . 101

5.1 Résistance mécanique des bauxites et des roches connexes en fonction de leur type litho- génétique (fournis par la compagnie des bauxites de Guinée). . . 105

5.2 Résistance mécanique des bauxites et des roches connexes en fonction de leur type litho- génétique (fournis par la compagnie des bauxites de Guinée). . . 106

5.3 Appareil de mesure de la vitesse du son PUNDIT. . . 107

5.4 Forme et amplitude du signal dans l'échantillon au cours de l'essai. . . 107

5.5 Matériel de pesée : détermination de la masse volumique. . . 108

5.6 Vue de l'échantillon de bauxite. . . 109

5.7 Dispositif expérimental de l'essai de traction dynamique par écaillage (image Laboratoire 3S-R de Grenoble). . . 110

5.8 Diagramme de Lagrange de l'essai et schéma du montage et de l'instrumentation utilisée [Forquin et Erzar (2009)]. . . 111

5.9 Position des jauges sur l'échantillon de bauxite (image Laboratoire 3S-R de Grenoble). . . 112

5.10 Signals de jauges. . . 113

5.11 Signal de vitesse en face arrière de l'échantillon au cours de essai d'écaillage. . . 114

5.12 Evolution des contraintes élastiques équivantes obtenues de l'essai de traction dynamique par écaillage. . . 115

5.13 Evolution temporelle des vitesses de déformation obtenues à l'aide des signaux de jauges. 115 5.14 Maillage et chargement : a) maillage utilisé pour les simulations d'écaillage et b) le pulse appliqué pour ces calculs . . . 117

5.15 Position du plan de rupture et faciès de rupture de l'échantillon après écaillage : a) plan de rupture, b) faciès de rupture (image 3SR de Grenoble). . . 118

5.18 Comparaison entre le résultat expérimental et le résultat de la simulation numérique de l'écaillage de l'échantillon : a) résultat expérimental, b) résultat numérique. . . 118

5.16 Carte iso-valeurs de l'endommagement à des instants diérents : a) instant sans endom- magement b) instant avec endommagement sans écaillage c)instant avec endommagement et écaillage . . . 119

5.17 Carte iso-valeurs de la contrainte axiale à des instants diérents : a) instant sans endom- magement (compression), b) instant avec endommagement sans écaillage (traction), c) instant avec endommagement et écaillage (traction). . . 120

5.19 Evolution des contraintes axiales et vitesses particulaires en fonction du temps : compara- ison entre les résultats expérimentaux et numériques.(a, b) résultats expérimentaux, (c, d) résultats numériques. . . 121

5.20 Photos des principales opérations minières et engins utilisés à la mine de Sangarédi. . . . 122

5.21 Vue d'ensemble de la mine de bauxite. . . 123

5.22 Evolution de la pression d'explosion en fonction du temps. . . 124

5.23 Schéma de tir longitudinal. . . 124

5.24 Coecients homogénéisés pour la bauxite en ouverture et fermeture de ssures orientées à 0. . . 126

5.25 Distribution de l'endommagement à diérents instants de l'explosion dans la mine de bauxite.127 5.26 Points de calcul des vitesses particulaires . . . 132

5.27 Vitesses particulaires à diérentes distances par rapport au centre d'explosion. . . 133

5.28 Evolution du PPV en fonction de l'échelle de distance scale distance SD comparaison avec les résultats de la littérature : a) résultats numériques du modèle sur la bauxite, b) résultats expérimentaux de [Kahriman (2004)] sur une mine de calcaire. L'échelle des PPV est logarithmique. . . 134

A.1 Zone autour de la pointe d'une ssure . . . 154

A.2 System local de coordonnées en pointe d'une ssure . . . 154

A.3 Les modes fondamentaux de la mécanique de la rupture . . . 155

A.4 Vecteurs unitaires normal et tangent à la microssure . . . 160

Introduction générale

L'exploitation des mines à ciel ouvert est actuellement eectuée par explosif dans la plupart des cas.

Ce mode d'exploitation est devenu de plus en plus répandu pour des besoins économiques apportant des bénéces considérables aux communautés. Cependant, l'usage d'explosif pour l'abattage de roche est un phénomène dynamique très complexe et pas simple à modéliser si on prend en compte tous les aspects dynamiques liés à l'endommagement et à la fragmentation qui en résultent. La destruction par explosif est un processus à très haute vitesse de déformation souvent très dicile à reproduire expéri- mentalement. Plusieurs modèles existent dans la littérature sur l'endommagement et fragmentation des roches par explosif : modèles phénoménologiques et modèles micro-mécaniques. La plupart des modèles phénoménologiques d'endommagement et fragmentations dynamiques sont basés sur l'utilisation de la ré- sistance en traction du matériau en fonction du taux de déformation pour intégrer l'eet de la dynamique (i.e. [Sercombe (1997)]), tandis que la plupart des modèles micromécaniques sont des lois analytiques basées sur la théorie de l'activation et la croissance d'une distribution aléatoire initiale de défauts de Weibull produisant des fractures ([Hild et al. (2003)]). Mais peu de modèles micromécaniques à double échelle existent pour modéliser le phénomène d'endommagement dynamique dû à l'explosion dans les roches. Pour contourner les méthodes probabilistes, nous avons développé dans cette thèse un nouveau modèle d'endommagement dynamique à double échelle basé sur la propagation des ssures en traction.

Basée sur l'approche micro-mécanique et énergétique, la loi d'évolution d'endommagement dynamique est conçue à l'aide de la méthode mathématique d'homogénéisation basée sur le développement asymptotique, et en tenant compte de l'eet inertiel lors de la propagation de ssure. L'avantage de cette méthode est qu'elle se base, à l'échelle microscopique, sur des processus physiques et des lois mécaniques identiables en considérant une distribution périodique des microssures. Une loi d'endommagement statique à l'aide de l'approche d'homogénéisation asymptotique a été faite dans [Dascalu et al. (2008)]. Ici, nous utilisons la même méthode et raisonnement dans le cas de chargement dynamique. Le modèle obtenu permet la prédiction de fonctions avancées telles que la dépendance de la taille de micro-structure, la sensibilité à la vitesse de chargement et les eets de dispersion d'ondes. La loi d'évolution d'endommagement obtenue est implémentée dans le code aux éléments nis LAGAMINE pour simuler le comportement macroscopique.

Le modèle est validé à l'aide de résultats expérimentaux d'essais de traction dynamique par écaillage. Un cas d'application a été fait pour simuler l'endommagement de la bauxite extrait à ciel ouvert par explosif dans les mines guinéennes.

Nous avons organisé ce travail en 5 chapitres. Le chapitre 1 porte sur l'état de l'art sur les modèles d'endommagement et fragmentations sous sollicitations dynamiques pour matériaux fragiles. Le chapitre 2 présente la loi d'évolution d'endommagement dynamique établie à l'aide de la méthode mathématique

d'homogénéisation, les études paramétriques et l'étude de la dispersion d'onde mécanique. Le chapitre 3 est consacré à l'implémentation du modèle d'endommagement dynamique dans le code aux éléments nis LAGAMINE, à des simulations numériques du comportement macroscopique en traction dynamique sous diérents types de chargement dans une conguration unidimensionnelle. Le chapitre 4 traite de l'applica- tion du modèle pour simuler le comportement macroscopique global de l'endommagement des roches sous charge explosive. Le motif d'endommagement autour des trous d'explosion (trous de charge) a été simulé.

Des simulations numériques illustrent la capacité du modèle à reproduire les zones de fractures radiales produites lors de l'abattage de roche par explosif. Le chapitre 5 porte sur la caractérisation expérimentale du comportement de la bauxite. En particulier, des essais de traction dynamique par écaillage ont été realisés et ensuite simulés avec le modèle développé, an de valider l'écacité du modèle. Finalement des simulations numériques ont été faites avec les paramètres de tir du site pour la prédiction du pic de vibration induites lors des tirs d'explosif.

Chapitre 1

Etat de l'art sur les modèles

d'endommagement et fragmentation dynamique

Sommaire

1.1 Introduction . . . . 9

1.2 Observations physiques de l'endommagement . . . . 9

1.2.1 Endommagement initial . . . . 10

1.2.2 Endommagement induit . . . . 10

1.3 Modèles d'endommagement dynamique . . . . 10

1.3.1 Modèles phénoménologiques d'endommagement et fragmentation dynamique . 11 1.3.2 Modèles micromécaniques . . . . 20

1.3.3 Modèles macroscopiques homogénéisés . . . . 26

1.1 Introduction

Dans ce chapitre, nous avons réalisé une étude bibliographique sur les modèles d'endommagement et fragmentation dynamique. Nous avons énuméré certains modèles phénoménologiques et micro-mécanqiues d'endommagement et fragmentation dynamique en consacrant plus de détails aux modèles micro-mécaniques, car le modèle que nous avons développé dans cette thèse est un modèle micro-mécanique. Les modèles micro-mécaniques d'endommagement et fragmentation dynamique dans la littérature sont généralement de deux types : des modèles micro-mécaniques en traction et en compression.

1.2 Observations physiques de l'endommagement

Le terme endommagement signie l'action ou l'état d'un matériau ayant subi du dommage qui en- traine la détérioration (dégradation) de ces propriètés physiques. A l'échelle macroscopique, l'endom-

magement peut être quantié sous plusieurs formes : paramètre scalaire ou tensoriel. Il peut être modélisé de diérentes façons et approches : approches phénoménologiques ou micro-mécaniques. Le phénomène physique de l'endommagement est bien connu de nos jours, il est intimement lié au nombre, à la forme et à la répartition des micro-ssures présentes dans le matériau [Leckie et Onat (1981), Kachanov(1992)].

1.2.1 Endommagement initial

Dans certains matériaux comme les roches, un certain nombre de micro-ssures préexistantes, non- visibles à l'oeil sont présentes dus à l'histoire de la formation du rocher. En fait, lors de la vie du rocher, les contraintes tectoniques souvent importantes ont causés des états de compression, de tension et de cisaillement qui ont fragilisé la structure minéralogique. Ces dégradations internes peuvent être à l'échelle microscopique ou macroscopique, en témoignent les nombreuses diaclases, failles, stylolithes et autres discontinuités observées [Mattauer (1998), Durville (2001)], d'où l'endommagement initial inclu dès l'origine avant toute autre sollicitation. Cet endommagement initial à souvent un caractère anisotrope dans les roches dû aux directions préférentielles de ces détériorations. Plusieurs méthodes permettent d'estimer de façon plus ou moins precise cet état d'endommagement initial :a) Les methodes de mesure directes (Les lames minces, l'inspection, la mesure de la porosité etc.), b) Les méthodes de mesure indirectes (la vitesse de propagation des ondes, les émissions acoustiques).

1.2.2 Endommagement induit

Suite à des sollicitations externes, les ssures préexistantes commencent à se propager et d'autres sont créées. La nature des sollicitations et/ou la géométrie du matériau peuvent inuencer la direction d'évo- lution de l'endommagement, on parle alors d'endommagement induit occasionnant ainsi de l'anisotropie induite. Ensuite il faut pouvoir quantier et si possible mesurer deux choses : 1-le moment où l'endom- magement va progresser, où les ssures vont commencer à s'aggrandir et/ou de nouvelles vont apparaître.

2-la façon dont le matériau va s'endommager, ainsi que l'évolution du phénomène. Cette évolution pro- gressive de l'endommagement conduit au nal à la rupture du matériau lorsque les ssures deviennent macroscopiques après coalescence et interaction.

Le premier à avoir étudié et proposé une explication de ce phénomène est [Grith (1924)], en étudiant les sollicitations autour d'une ssure élliptique. Ce mécanisme d'endommagement peut s'observer de trois façons diérentes en mines et carrières :

1. de façon dynamique, suite au tir d'explosifs pour l'excavation par exemple

2. de façon monotone, suite au réarrangement des contraintes autour de l'excavation(déconnement) 3. de façon temporelle, pour certaines roches montrant un comportement diéré prononcé (marnes,

roches salines, etc.).

Le présent travail de thèse a traité uniquement le premier point.

1.3 Modèles d'endommagement dynamique

Les modèles d'endommagement continus et fragmentation dynamiques peuvent être regroupés en deux catégories : Les modèles phénoménologique et les modèles micromécaniques. La fragmentation est

1.3. Modèles d'endommagement dynamique un phénomêne qui se produit uniquement en tension. Elle correspond à un état où le materiau n'est plus capable de transmettre les contraintes de traction. Dans le cas d'un endommagement en tension, la variable d'endommagement vaut 1 pour une fragementation complète du matériau.

1.3.1 Modèles phénoménologiques d'endommagement et fragmentation dy- namique

Les modèles phénoménologiques ont été largement développés ces dernières décennies pour décrire le processus de fragmentation multiple dans les matériaux fragiles [Ravi-Chandar (1998)].

Pour modéliser le comportement et l'endommagement des matériaux fragiles en dynamique rapide, les modèles constitutifs de comportement global utilisent des méthodes pour tenir compte de l'ef- fet de vitesse induit par les chargements dynamiques. Les eets temporels sont de deux natures : in- ertiels quand ils sont liés à l'accélération induite par la vitesse de chargement et "visqueux" quand c'est le comportement du matériau qui est dépendant de la vitesse de la déformation (ou de la con- trainte). La prise en compte de ces eets de vitesses a été éectuée dans les modèles d'endommagement pour les deux types de solicitations : compression et traction. La manière la plus courante de carac- tériser le comportement dynamique des matériaux fragiles en compression repose sur des essais aux barres de Hopkinson (essai SHPB, Split Hopkinson Pressure Bars), développés par [Hopkinson (1914)]

puis améliorés par [Kolski (1953)]. Les essais de traction en dynamique sont réalisés principalement grâce à deux dispositifs. Pour les essais "lents" on a recours à des presses (relativement) rapides, as- servies classiquement. Ces presses permettent en général une montée en charge de 0.05 MPa/s à 50 GPa/s . Pour les vitesses supérieures on utilise le dispositif dit des barres de Hopkinson modi- ées [Weerheijm et Reinhardf (1989), Weerheijm (1991), Brara et al. (1997), Klepaczko et Brara (2001)], [Forquin et Erzar (2009)]. Il a été montré par plusieurs recherches que les résistances en traction et en compression augmentent avec la vitesse de sollicitation [Erzar et Buzaud (2012), Keita et al. (2014)].

Cependant l'eet de la vitesse de sollicitation est beaucoup plus sensible en traction qu'en compression [Chambart (2009)]. Comme précédement évoqué certains auteurs ont exprimé cet eet de vitesse comme une fonction bilinéaire, mais il semble qu'une loi de puissance soit également bien adaptée.

Certains ont modélisé ces éets de vitesse dus à la dynamique par un écrouissage visqueux. C'est le cas par exemple du modèle élasto-plastique endommageable de [Sercombe (1997)] et de [Clayton (2008)] qui, basé sur la méthode des éléments nis, proposa un modèle élastoplastique couplé à un modèle d'endom- magement isotrope an de simuler la fragmentation d'une dalle de béton soumise à un impact balistique, mais aucune sensibilité à la vitesse de déformation n'était prise en compte. Tandis que d'autres ont adopté des modèles visco-endommageable. Pour cela, deux méthodes sont généralement envisagées : 1-Soit le seuil d'endommagement est modié et exprimé en fonction de la vitesse de déformation [Pontiroli (1995)] ; 2- Soit la loi d'évolution de l'endommagement est modiée pour autoriser les états de charge à l'extérieur de la surface seuil comme [Ladeveze (1991), Dubé et al. (1996), Papa et Talierco (2005)].

La prise en compte de l'ensemble des phénomènes non linéaires observés ne peut se faire qu'avec un modèle couplant plasticité et endommagement [Chambart (2009), Lubliner et al. (1989), Lee et Fenves (1998)].

L'extension de ce type de modèle à la dynamique nécessite d'introduire un eet de vitesse pour la plas- ticité et pour l'endommagement comme le modèle visco-plastique, viscoendommageable développé par

[Gatuingt (1999), Pijaudier-Cabot et Gatuingt (2002)].

Parallèlement aux lois d'endommagement continues, plusieurs auteurs ont proposé des approches én- ergétiques et des modèles cohésifs pour prévoir analytiquement la distribution de taille de fragments après un chargement dynamique [Kipp et al.(1993), Grady et Kipp (1989), Grady et Kipp (1984), Drugan (2001), Zhou et al. (2005a), Zhou et al. (2006)]. Dans [Kipp et al.(1993)], la relation de la taille moyenne des fragments associée à un solide écaillé est dominée par la contrainte d'écoulement, tandis que dans [Grady (1983)] l'écaillage du solide est dominé par sa ténacité. La rupture dynamique des matériaux fragiles a été étudiée numériquement en utilisant des éléments placés aux interfaces dont le comporte- ment fait intervenir la résistance de l'interface, l'énergie de rupture et l'ouverture de ssure. Ces ap- proches permettent de réaliser des simulations de propagation de ssures à l'échelle macroscopique [Xu et Needleman (1994), Zhou et al. (2005b)], de fragmentation de matériaux à l'échelle mésoscopique ou à l'échelle du grain [Espinosa et al. (1998), Zavattieri et Espinosa (2001), Maiti et al. (2005)] ou encore

d'obtenir les cartes d'endommagement et le comportement à rupture des matériaux fragiles [Camacho et Ortiz (1996), Repetto et al. (2000)]. Basé sur les travaux de [Grady et Kipp (1980), Zhang et al. (2001)], [Yong et Xu (2003)]

ont calculé la dépendance de la taille de la ssure à la vitesse de déformation du béton sous chargement ex- plosif. Certaines méthodes numériques ont été développées pour modéliser la nature discrète de la rupture

fragile : méthode des éléments discrets [Donze et al. (1997), Brara et al. (2001), Ibrahimbegovic et Delaplace(2003), Hentz et al. (2004), Wittel et al. (2008)]. Dans cette méthode, des lois locales gouvernent l'interaction

des particules an de décrire le comportement adoucissant en traction ou en compression simple.

La méthode des éléments nis bien que basée sur une description continue de la matière, peut être ap- pliquée à la simulation numérique de la fragmentation de matériaux fragiles comme les roches, en utilisant des modèles d'endommagement cités ci-dessus.

Nous énumerons ci-dessous certains de ces modèles pour leurs aptitudes à modéliser l'endommagement des roches en dynamique rapide.

1.3.1.1 Modèle de [Lubliner et al. (1989)] et de [Lee et Fenves (1998)]

Le modèle de [Lubliner et al. (1989)] est un modèle plastique endommageable généralement utilisé pour l'analyse des matériaux quasi-fragiles, tels que les roches, les céramiques et mortiers. Ce modèle est disponible dans le code Abaqus sous l'étiquette Damage plasticity model for concrete and other quasi- brittle materials. Ce modèle continu utilisant la notion de contrainte eective, la variable scalaire de l'endommagement est dénie dépendante de la contrainte eective et la variable d'écrouissage assimilée à la déformation plastique équivalente. Les relations contrainte-déformation sont gouvernées par le module de rigidité fonction de l'endommagement

σ= (1−d)E^el₀ : (−^pl) =E^el: (−^pl) (1.1) oùE₀^el est le module élastique initial non endommagé du matériau ;E^el = (1−d)E₀^elest le module élastique endommagé ; etdest la variable scalaire de l'endommagementest la déformation . Suivant la notion usuelle de mécanisme d'endommagement continu, la contrainte eective est dénie comme suit

σ=E₀^el: (−^pl) (1.2)

1.3. Modèles d'endommagement dynamique La contrainte de Cauchy est reliée à la contrainte eective par la relation du scalaire de l'endommage- ment

σ= (1−d)σ (1.3)

L'évolution de la variable d'endommagement est gouvernée par un ensemble de variable d'écrouissage, ^pl, et la contrainte eectiveσ, ce qui signie

d=d(σ, ^pl) (1.4)

Les états d'endommagement en traction et compression sont caractérisés indépendamment par deux variables d'écrouissage,^pl_t et^pl_c qui sont respectivement assimilées à la déformation plastique équivalente en traction et compression. Le modèle plastique endommageable de matériaux quasi-fragiles et bétons utilise une condition de charge basée sur la fonction de charge proposée par [Lubliner et al. (1989)] et intègre des modications proposées par [Lee et Fenves (1998)] pour tenir compte de l'évolution des dif- férentes forces en traction et compression. En termes de contraintes eectives la fonction de charge prend la forme.

F(σ, ^pl) = 1

1−α(q−3αp+β(^pl)hbσmaxi −γ(h−σbmaxi))−σc(^pl_c)≤0 (1.5) Oùαetβ sont des constantes sans dimensions du matériau,p, est la pression hydrostatique eective,q la contrainte équivalente de von Mises. Ces quantités sont dénies respectivement comme suit

p=1

3σ:I, q= r3

2s:s (1.6)

avecs=pI+σla partie déviatorique du tenseur de contrainte eectiveσetbσest la valeur algébrique du maximum des valeurs propres du tenseur de contrainte eectiveσ. La fonctionβ(^pl)est dénie comme suit

β(^pl) = σc(^pl_c)

σt(^pl_t ) (1.7)

Où σt et σc sont les contraintes eectives de cohésion en traction et compression respectivement. Le modèle d'endommagement plastique suppose un potentiel d'écoulement non associé

˙

^pl= ˙γ∂G(σ)

∂σ (1.8)

Le potentiel d'écoulementGchoisi pour ce modèle est la fonction hyperbolique de Drucker-prager G=p

(eσt0tan(ψ))²+ (q)²−ptan(ψ) (1.9) Où ψ est l'angle de dilatation mesuré dans le plan p−q à haute pression de connement ; σt0 est la contrainte de traction uniaxiale à rupture ;eest un paramètre représentant l'excentricité qui dénit la vitesse à laquelle la fonction approche l'asymptote (le potentiel d'écoulement tend vers une ligne droite quand l'excentricité tend vers zero). Ce potentiel d'écoulement, qui est continu et lisse, assure que la direction d'écoulement est dénie de façon unique. La fonction approche asymptotiquement le potentiel

Figure 1.1 Réponse des matériaux fragiles et bétons au chargement uniaxial : (a) en traction, (b) en compression pour le modèle de [Lubliner et al. (1989)] et [Lee et Fenves (1998)].

d'écoulement linéaire de Drucker-prager à contrainte de pression de connement élevée et coupe l'axe de la pression hydrostatique à 90.

En résumé, la réponse du comportement élasto-plastique du modèle de plasticité endommagé des matériaux quasi-fragiles et béton est décrite en terme de contrainte eective et de variables d'écrouissage : σ=E₀^el: (−^pl)∈ {σ|F(σ, ^pl)≤0} (1.10)

˙

^pl=h(σ, ^pl) (1.11)

˙

^pl= ˙γ∂G(σ)

∂σ (1.12)

oùγ˙ etF obéissent aux conditions de Kuhn-Tucker :γF˙ = 0; F ≤0. La contrainte de Cauchy est calculée en fonction de la variable d'endommagementd=d(σ, ^pl)et la contrainte eective comme suit σ= (1−d)σ

Les relations de comportements de la réponse élasto-plastique sont découplées de la réponse du détério- ration du module élastique, ce qui rend le modèle très attractive pour une implémentation numérique eec- tive. Le modèle non visqueux présenté ici peut être facilement étendu au modèle viscoplastique en tenant compte des eets viscoplastiques à travers l'utilisation de la régulation viscoplastique. Cela se fait en per- mettant à la contrainte de sortir de la surface de charge [Gatuingt (1999), Pijaudier-Cabot et Gatuingt (2002)].

1.3.1.2 Modèle de Holmquist, Johnson et Cook (HJC) [Holmquist et al. (1993)]

[Holmquist et al. (1993)] ont développé un modèle permettant de modéliser le comportement du béton en dynamique rapide. Dans leur modèle, une relation-pression volume est dénie. À un niveau de pression Plock (Fig.1.2), le matériau est compacté et son module de compressibilité augmente par rapport au module initial. Aussi, l'augmentation de résistance en fonction de la pression est considérée, incluant

1.3. Modèles d'endommagement dynamique

Figure 1.2 Modèle de [Holmquist et al. (1993)]

une sensibilité de cette courbe au taux de déformation. La présence d'une surface limite traduisant la résistance résiduelle du matériau endommagé a été prise en compte. Dans ce modèle, le comportement en traction est modélisé par la limitation des pressions hydrostatiques négatives normées T*(Fig.1.2).

1.3.1.3 Modèle de Riedel, Hermaier et Thoma (RHT) [ Riedel (1998), Riedel et al. (1999)]

Le modèle de Riedel, Hermaier et Thoma de l'Ernst Mach Institute décrit le comportement des matéri- aux fragiles en dynamique rapide. Ce modèle est implémenté dans le code AUTODYN, il constitue un perfectionnement du modèle proposé par [Holmquist et al. (1993)]. Ce modèle tient compte de plusieurs paramètres dont entre autres, l'augmentation de la déformation à rupture avec la pression, la dépendance au troisième invariant du tenseur des contraintes et la sensibilité au taux de déformation de la résistance en traction (Fig.1.3). Contrairement au modèle de HJC, dans ce modèle, le comportement en traction

Figure 1.3 Modèle RHT : a) surface de rupture et surface de limite élastique,b) surface de rupture et surface de résistance résiduelle [ Riedel (1998)].

dynamique n'est décrit que par la limitation des pressions negatives.

1.3.1.4 Modèle de Burlion, Gatuingt, Pijaudier-Cabot et Daudeville [Burlion et al. (1998)]

Basé sur le modèle de [Mazars (1994)], [Burlion et al. (1998)] ont développé un modèle constitutive d'endommagement dynamique en tension et en compaction suite à un impact. Dans leur modèle, les endommagements de traction sont controlés par les déformations positives qui favorisent l'ouverture et la propagation des microssures. Tandis que les endommagements de compression sont dus au broyage par connement qui empêche l'ouverture de microssures. Ce broyage par connement (compression) induit une variation de la fraction de volume des vides qui va ensuite évoluée en fonction des déformations plastiques irréversibles.

Pour l'endommagement de traction, la fonction de charge est dénie par

f(ˇ, z) = ˇ−z (1.13)

et la loi d'évolution par

d=g1(z); dˇ=dz (1.14)

Avec

g₁(z) = 1−z0(1−At)

z − At

Exp[Bt(z−z0)] (1.15) Oùdreprésente le paramètre d'endommagement,zest un paramètre qui tient compte de l'historique de l'endommagement,AtetBt sont des paramètres du modèle déterminés expérimentalement etˇest la déformation équivalente de [Mazars (1994)]. Pour modéliser l'endommagement de broyage en compression, un couplage endommagement et plasticité a été fait sur la base d'observations expérimentales (Fig.1.4).

Dans ce contexte, une version modiée de la fonction de charge plastique de Gursons [Gurson(1997)] a été adoptée.

1.3. Modèles d'endommagement dynamique

F_{N T}(σ_ij, σ_M, f^∗) = 3J2

σ_M² + 2q₁f^∗cosh q₂ I1

2σM

− 1 + (q₃f^∗)²

= 0 (1.16)

OùI₁représente le premier invariant du tenseur des contraintes,J₂est le second invariant du tenseur de déviateur des contraintes, σ_M est la contrainte limite équivalente élastique, q₃, q₂ et q₃ sont des paramètres du modèle etf^∗représente la fraction du volume du vide.

Figure 1.4 Résultats expérimentaux des essais hydrostatiques et oedométriques (d'après [Burlion (1997)].

1.3.1.5 Modèle Pontiroli-Rouquand-Mazars (PRM)[Pontiroli (1995)]

Le modèle PRM ([Pontiroli (1995)]) se base sur cellui développé par [Mazars (1994)], c'est un modèle d'endommagement permettant de décrire avec plus de précision les comportements en endommagement de traction et de compression (Fig.1.5). Sur la base des résultats expérimentaux d'essais cycliques de traction compression, le modèle est capable d'intégrer la dissymétrie du comportement du béton. Il reproduire les endommagements de traction, et de compression de façon alternée à l'aide de paramètre d'activation et de déactivation de domage lors des passages d'une sollicitation à l'autre. La relation unidimensionnelle ci-dessous est à la base de cette méthode.

(σ−σf t) =E0(1−d)(−f t) (1.17)

Figure 1.5 : Principe du modèle PRM illustré en 1D [Pontiroli (1995)]

oùE₀est le module d'Young,σ_{f t}représente la contrainte de fermeture des ssures (voir Fig.1.5)._{f t}est la déformation courante engendrée parσ_{f t}etd la variable d'endommagement qui est une combinaison linéaire des endommagements de compressiondcet de tractiondtcomme dénie par la relation ci-dessous

d=αcdc+αtdt (1.18)

α_cetα_treprésentent la part des endommagements de compression et de traction (traction pure->α_t= 1 etαc= 0, compression pure ->αc= 1etαt= 0.

L'évolution de l'endommagement d est liée à celle de la déformation équivalente ˇprovenant des déformations principales positiveshii⁺(voir 1.19)

ˇ

=qX

hii²+ (1.19)

Les variables d'endommagements en compression dc et en traction dt sont dénies d'après les Eqs (1.20-1.21) [Mazars (1994)]. Les expressions sont identiques, seuls les paramètres varient et permettent de donner des allures diérentes aux relations contrainte-déformation en traction et en compression (Fig.1.5)

dc= 1−_0c(1−A_c) ˇ

−Acexp[−Bc(ˇ−0c)] (1.20)

1.3. Modèles d'endommagement dynamique

dt= 1−0t(1−At) ˇ

−Atexp[−Bt(ˇ−0t)] (1.21)

A_t,A_c,B_c,B_t,_0tet_0csont des paramètres matériaux à identier. La dépendance des comporte- ments au taux de déformation est prise en compte dans la modélisation par l'utilisation de DIF . An de limiter la dépendance au maillage, une méthode élaborée par [ Hillerborg et al. (1976)] a été utilisée par [Pontiroli (1995)].

1.3.1.6 Modèles de [Sercombe (1997)] et de [ Pedersen et al. (2008)]

Le modèle visco-élasto-plastique endommageable de [Sercombe (1997)] est basé sur la modication du critère de William-Warnke permettant à l'aide d'un écrouissage visqueux, de prendre en compte les eets de vitesse observés sur les bétons en dynamique rapide.

[ Pedersen et al. (2008)] ont proposé un modèle visco-élastique visco-plastique endommageable simi- laire pour simuler le comportement des bétons soumis à des essais de traction dynamique (Fig.1.6b).

Figure 1.6 (a) Représentation unidimensionnelle du modèle élasto-visco-plastique à écrouissage visqueux, d'après [Sercombe (1997)] et (b) Modèle de [ Pedersen et al. (2008)].

1.3.1.7 Modèle d'endommagement anisotrope pour sollicitations dynamiques de [Chambart (2009)]

[Chambart (2009)] a trouvé un moyen d'étendre son modèle anisotrope initial aux cas de sollicita- tions dynamiques en prenant en compte l'eet de vitesse constaté expérimentalement. Comme cela a été précédemment décrit, une manière d'introduire cet eet de vitesse dans un modèle élastique endommage- able est de modier la loi d'évolution de l'endommagement pour la rendre dépendante de la vitesse de sollicitation, ce qui revient à introduire de la viscosité dans l'évolution de l'endommagement. Le modèle de [Chambart (2009)] est basé sur [ Allix et Deü (1997)] mais étendu au cas anisotrope. La loi d'évolution de ce modèle s'obtient comme suite : plutôt que de calculer une vitesse d'endommagement pour chacune des composantes du tenseur. Ils ont utilisé une forme scalaire en ne considérant que l'évolution de la trace de D (trD). La loi de viscosité devient

trD˙ = ˙D_∞[1−Exp(−b(G(ˇ)−trD))] (1.22) Le domaine élastique est ainsi déni par

ˇ

−k(trD)<0 →F =G(ˇ)−trD<0 (1.23) et la fonctionGpar

G(ˇ) =k⁻¹(ˇ) =aA∗artan(ˇ

a−arctk0

a ) (1.24)

oùk0est le seuil d'endommagement en déformation, eta etAdeux paramètres d'endommagement sans dimension,ˇla déformation élastique équivalente de Mazars (voir Eq. 1.19).

On rappelle que l'eet de vitesse en compression est d'une part considérablement plus faible qu'en traction et d'autre part qu'il peut être reproduit par la simple considération des eets d'inertie. On désactive donc l'eet de vitesse matériau dû à la loi de viscosité en compression de la manière suivante

H(tr)trD˙ = ˙D_∞[1−Exp(−b(G(ˇ)−trD))] (1.25) AvecH(.) la fonction de Heaviside qui vaut 1 sitrest positif (ce qui est le cas en traction) et 0 sitr est négatif (donc en compression). Ainsi, en traction pour tout chargement à déformation hydrostatique positive(tr >0)on retrouve la loi à eet retard (Eq. 1.22).

Tous ces modèles présentés ci-dessus ont montré leur aptitude à modéliser les matériaux fragiles en dynamique rapide, y compris en traction dynamique. Néanmoins, on peut remarquer qu'aucun d'eux n'est basé sur une description micromécanique du comportement dynamique de ces matériaux

1.3.2 Modèles micromécaniques

Les modèles micromécaniques comportent des modèles en compression et en traction. Dans la suite, ces 2 types de modèles d'endommagement sont présentés dans 2 sections successives.

1.3.2.1 Modèles micromécaniques d'endommagement et fragmentation dynamique en compression

Plusieurs modèles micromécanique de l'endommagement en compression ont été proposés, tels que le modèle cylindrique de pore [ Zhang et al. (1990)], le modèle de collision de dislocation [Wong(1990)] et le modèle de slinding crack model. Le plus répandu est le modèle de slinding crack model modèle de glissement de ssure qui a été développé à l'origine par Brace et Bombolakis [Brace et Bombolakis (1963)].

Cette méthode établit que la rupture fragile en compression est due à l'initiation, à la croissance et la coalescence de microssures à partir d'imperfections pré-existantes. Cela a été aussi prouvé par plusieurs travaux de recherches comme [Nemat-Nasser et al. (1982), Ravichandran et Subhash (1995)],

[Wang et Shrive (1995)] et [Ashby (1986)].

Ces modèles d'endommagement en compression ont d'abord été largement étudiés sous chargement sta- tique. [Ashby (1986)] ont montré qu'un solide fragile homogène conné soumis à un chargement statique

1.3. Modèles d'endommagement dynamique uniaxial de compression dégage trois types de comportements de rupture qui dépend du niveau de la pres- sion de connement. Ils ont prouvé qu'à basse pression de connement le chargement uniaxial de compres- sion cause des dalles de fragments parallèles à la direction de la contrainte de compression, maximale ; que sous une pression de connement modeste, une rupture macroscopique de cisaillement a été observée et que sous une pression de connement élevée, l'échantillon se déformait d'une façon pseudo-ductile. Basés sur des observations expérimentales plusieurs chercheurs ont développé des modèles analytiques pour simuler l'évolution de l'endommagement dans un solide fragile conné soumis à un chargement statique uniaxial de compression ([Nemat-Nasser et al. (1982), Horii et Nemat-Nasser (1986)]) et ont montré que l'augmentation de la pression de connement sous chargement uniaxial de compression crée l'interaction entre les microssures.

Le modèle d'endommagement dynamique en compression a été pour la première fois introduit par [Nemat-Nasser et Deng (1994)] qui ont étendus le modèle statique pour inclure les eets dynamiques en considérant la propagation et l'interaction dynamique des wing cracks et ont établit la dépendance de l'évolution de l'endommagement dynamique au taux de déformation. L'eet du taux de déforma- tion est prise en compte à l'aide de la dépendance du facteur d'intensité de contrainte dynamique de la vitesse de propagation de ssure. Le modèle d'endommagement dynamique en compression biaxiale a été développé par [Ravichandran et Subhash (1995)]. Basé sur un modèle de microssures sans interaction et distribuées uniformément qui sont activées quand le facteur critique d'intensité de contrainte atteint sa valeur critique, leur modèle a été capable de prédire les paramètres dominant qui ont une inuence sur la sensibilité au taux de déformation et la valeur ultime de la contrainte de rupture.

Dans [Huang et al.(2002)] un modèle théorique combinant la théorie de l'évolution de l'endommage- ment avec la propagation dynamique de ssures sous chargement dynamique uniaxial de compression a été dévéloppé. Cette théorie stipule que pour comprendre la réponse en fracture de matériaux frag- iles soumis à un chargement dynamique, trois facteurs sont nécessaires. Le premier est un paramètre du matériau qui dénit la distribution de défauts et ssures. Les défauts et ssures sont des sources de faiblesses qui conduisent à l'activation et la propagation de ssures quand un spécimen est chargé.

Le deuxième est un paramètre cinématique qui est la vitesse de chargement à laquelle un élément de matériau est contraint. Le troisième facteur est un critère de rupture fragile qui peut dénir le temps au bout duquel la coalescence des microssures survient. [Chengyi et Ghatu (2003)] ont utilisé la même théorie que [Huang et al.(2002)] en étudiant le cas de chargement dynamique biaxial de compression ou uniaxial de compression avec connement. La théorie de l'endommagement est basée sur la distribution de défauts initiaux de Weibull. La propagation de microssures se produit via les wing cracks qui sont activés à partir des défauts pré-existants. Ils ont mis en évidence l'inuence de la pression de connement latérale sur l'évolution dynamique de l'endommagement.

Certains auteurs ont étudié l'inuence de l'interaction des microssures sur le comportement macro- scopique en endommagement sous chargement de compression dynamique. [Paliwal et Ramesh (2008)] ont développé une méthodologie basée sur une approche de variable complexe pour obtenir un champ local de contrainte eective approché comme manifestation d'interaction de microssures dans le cadre de charge- ment uniaxial de compression dynamique. Auparavent un schéma numérique approché a été développé par [Kachanov (1987), Basista et Gross (2000)] pour analyser des interactions micro-mécaniques pour une distribution spatiale donnée de défauts. Mais leur modèle n'était pas en générale capable de tenir

Figure 1.7 Schéma du modèle de sliding crack [Nemat-Nasser et al. (1982)]

compte de champ de contrainte pour chaque microssure individuelle et de prendre en compte pour une densité importante de microssures des interactions de toutes les ssures entre elles. [Li et al. (2000)] à l'aide du modèle d'endommagement dynamique sous chargement uniaxial ont procédé à une modélisation micro-mécanique des propriètes mécaniques du granite.

Modèle de glissement de ssures The sliding crack model Le modèle de glissement de ssure The sliding crack model représenté sur la gure (1.7) a été proposé pour la première fois par [Brace et Bombolakis (1963)] comme mécanisme des dilatations non-élastiques des matériaux rocheux sous chargement de compression (contrainte axiale de compressionσ1et contrainte latérale de compression σ2. Il contient une ssure initiale de longueur2aqui est souvent supposé être de taille moyenne des grains [Chengyi et Ghatu (2003)] orienté d'un angle χ par rapport à la direction de la contrainteσ1 et une paire courbée de wing crack ou tensile cracks orienté d'un angleθpar rapport à la ssure initiale.

Les wing crack ou tensile cracks sont causés par le glissement de la ssure initiale sous l'eet de chargements compressifs.

L'endommagement est déni par un paramètre scalaire d'endommagementd(t, l)de l'initiation à la propagation de ssure wing crack, oùlest la longueur de ssures induites à l'instant t, son évolution est obtenue par application de l'hypohtèse de [Walsh (1965)] et la théorie de la distribution statique de Weibull. Pour l'endommagement de roche, la réduction des propriétés élastique est une fonction du nombre de défauts actifs à l'intérieur du solide. [Walsh (1965)] proposa que l'endommagementdpeut être

1.3. Modèles d'endommagement dynamique dénit comme

d=N V (1.26)

OùNest le nombre de défaut par unité de volume qui sont favorable à la propagation etV = 4πl³/3est une région sphérique autour d'un défaut de rayonlqui approche le volume de contrainte relaxé à cause de la condition de traction libre sur la ssure. Puisque la longueurlde ssure augmente avec l'augmentation de la charge dynamique, c'est une fonction du temps. La distribution du défaut initiale (distribution stochastique) de Weibull propose que la distribution de défaut est décrite par deux paramètres de la façon suivante

n=k^m_v (1.27)

Oùn, est le nombre de défaut qui peut être activés à un niveau de déformation inférieur ou égale à_v.k etmsont des constantes qui seront considérées comme propriétés du matériau caractérisant l'activation de fracture,_v est la déformation volumique :v =₁+₂+₃. Sous l'eet de chargement permanent, de nouveaux défauts seront disponibles pour l'activation. En raison de l'endommagement précédent, toutefois, une fractionddu volume du matériau aurait été relaxée. Par conséquent le nombre de défauts qui sera actuellement activé devient

N=n(1−d) (1.28)

En employant cette approche dans le cas de chargement dynamique en compression biaxiale, [Chengyi et Ghatu (2003)]

ont obtenu une expression du taux d'endommagement comme suit d˙=4/3mkπl^3m_v⁻¹( ˙σ₁+ ˙σ₂)(1−ν⁰) + 4πnl²E⁰(1−d)

E⁰

1 + 4/3nkπl³(1−m) +4/3mkπl^3m_v⁻¹(1−d)

1 + 4/3nkπl³ (1.29) En contrainte plane,E⁰ =E,ν⁰=ν. AvecEetνrespectivement le module de Young et le coecient de poisson.

1.3.2.2 Modèles micromécaniques d'endommagement et fragmentation dynamique en traction

Plusieurs modèles micromécaniques en traction existent pour la description du processus d'endom-

magement et de fragmentation multiples dans les matériaux fragiles comme le modèle DFH [Denoual et Hild(2000), Hild et al. (2003), Forquin et Hild (2010)]. Basé sur une approche micromécanique du processus de frag-

mentation dynamique, ce modèle décrit à la fois l'amorçage de ssures sur des défauts du matériau, la propagation instable de ces ssures et le phénomène d'occultation. Le processus de propagation instable de ssures et d'occultation de défauts a été d'abord montré par [Denoual (1998)]. Le phénomène d'occul- tation montre que les ssures s'amorçent sur les défauts du matériau. Cependant, beaucoup de défauts n'engendrent pas de ssures d'où l'idée du mécanisme d'occultation. L'application d'un chargement par exemple à vitesse constanteσ˙ permet d'atteindre la valeur critique d'un premier défaut où s'amorce une ssure qui va se propager, relaxant ainsi les contraintes de traction dans une certaine zone appélée sa zone d'inuence (zones bleues sur la (Fig.1.8). Cette diminution de la contrainte de traction est défavorable à