Nanomagn´etisme et sonde `a effet Hall

Nanomagn´ etisme et

sonde ` a effet Hall

Ce probl` eme traite des propri´ et´ es magn´ etiques de la mati` ere, ` a l’´ echelle microm´ etrique ou nanom´ etrique. Les objets d’´ etude sont des macromol´ ecules paramagn´ etiques ou ferromagn´ eti- ques organis´ ees en cristal de taille nanom´ etrique que l’on d´ epose sur la surface d’une sonde ` a effet Hall de taille comparable (voir figure 1). Le champ magn´ etique cr´ e´ e par la mati` ere est obtenu en mesurant la tension de Hall de la microsonde. Cette technique pr´ esente l’avantage de pouvoir fonctionner ` a la fois sur une tr` es large gamme de temp´ eratures (du millikelvin ` a la temp´ erature ambiante) et sur une tr` es large gamme de champs magn´ etiques (du microtesla

`

a la dizaine de teslas). Le candidat devra donc ˆ etre particuli` erement attentif aux valeurs des param` etres physiques correspondant aux conditions exp´ erimentales de chacune des exp´ eriences d´ ecrites dans la deuxi` eme partie.

Fig. 1 – Sonde ` a effet Hall ´ etudi´ ee dans ce probl` eme (Projet ANR NANOHALL). La partie active de la sonde est le carr´ e central.

Ce probl` eme comporte six questions ind´ ependantes.

Les six questions sont organis´ ees en deux parties.

La premi` ere partie, compos´ ee des quatre premi` eres questions, traite de l’effet Hall et de son

application ` a la mesure d’un champ magn´ etique par une microsonde. Dans la seconde partie, la

sonde ` a effet Hall est mise en situation dans deux exp´ eriences, qui sont d´ ecrites dans les ques-

tions 5 et 6. Dans une premi` ere exp´ erience, la sonde est utilis´ ee pour d´ etecter ` a temp´ erature

ambiante la r´ esonance magn´ etique d’un grain paramagn´ etique de taille microm´ etrique. Dans la

deuxi` eme exp´ erience, la sonde ` a effet Hall est utilis´ ee pour mesurer l’aimantation d’un nano-

cristal mol´ eculaire Fe ₈ , ` a tr` es basse temp´ erature.

Formulaire :

On note x ^∗ le complexe conjugu´ e de x.

L’espace est ramen´ e ` a un rep` ere cart´ esien orthonorm´ e ` a trois dimensions, de vecteurs de base ( − → e _x , → − e _y , − → e _z ).

Lagrangien :

Soit L ( − → r , − → v , t) la fonction “lagrangien” d’une particule de vitesse − → v ` a la position − → r .

• On rappelle que dans cette description les variables − → r et − → v sont des variables ind´ epen- dantes.

• On d´ efinit l’impulsion − → p de la particule par :

−

→ p = ∂ L

∂v _x

−

→ e _x + ∂ L

∂v _y

−

→ e _y + ∂ L

∂v _z

−

→ e _z

• L’´ energie de la particule est d´ efinie par la transformation de Legendre : E = − → p · − → v − L

“Fonction” δ(t) de Dirac :

• δ(t) = ∞ si t = 0 ; δ(t) = 0 si t = 0

• Pour toute fonction f , _+∞

−∞

f(t)δ(t − t ₀ )dt = f(t ₀ )

• _+∞

−∞

δ(t)dt = 1

Transform´ ee de Fourier :

D´ efinitions :

La transform´ ee de Fourier directe d’une fonction x(t) de la variable r´ eelle t est d´ efinie pour toute fr´ equence f par la formule :

T F (x(t))(f) = x(f) = _+∞

−∞

x(t)e ^{−2iπf t} dt

La transform´ ee de Fourier inverse de la fonction x(f ) est donn´ ee par la formule : T F ⁻¹ ( x(f ))(t) = x(t) =

_+∞

−∞ x(f)e ^{2iπf t} df Quelques propri´ et´ es de la transform´ ee de Fourier :

• T F

_+∞

−∞

x(t )y(t − t )dt

= x(f) y(f ) ;

• La transform´ ee de Fourier de la fonction x(t) = e ^−|t| est : x(f ) = 2 1 + 4π ² f ² ;

• La transform´ ee de Fourier de la “fonction” δ(t) est : δ(f) = 1 ;

D´ eveloppement en s´ eries de Fourier d’une fonction en cr´ eneau :

Soit la fonction en cr´ eneau d´ efinie par : U(t) = A pour t ∈

nT, nT + T 2

et U(t) = B pour t ∈

nT + T

2 , (n + 1)T

Alors :

U (t) = A + B

2 + 2(A − B) π

∞ n=0

sin

(2n + 1)ωt

2n + 1 o` u ω = 2π T

Double produit vectoriel :

Soit − → a = − → a ( − → r , t), − → b = − →

b ( − → r , t) et − → c = − → c ( − → r , t), trois champs vectoriels :

• − → a ∧ − → b ∧ − → c

= − → a · − → c − →

b − − → a · − → b − → c

Valeurs num´ eriques de constantes fondamentales :

• Permittivit´ e di´ electrique du vide . . . ₀ = 8, 85 10 ⁻¹² F.m ⁻¹

• Perm´ eabilit´ e magn´ etique du vide . . . µ ₀ = 4π 10 ⁻⁷ H.m ⁻¹

• Vitesse de la lumi` ere dans le vide . . . c = 3, 00 10 ⁸ m.s ⁻¹

• Constante de Planck r´ eduite . . . . = 1, 05 10 ⁻³⁴ J.s

• Constante de Boltzmann . . . k _B = 1, 38 10 ⁻²³ J.K ⁻¹

• Nombre d’Avogadro . . . . N = 6, 02 10 ²³ mol ⁻¹

• Valeur absolue du magn´ eton de Bohr . . . . µ _B = 9, 27 10 ⁻²⁴ J.T ⁻¹

• Masse de l’´ electron . . . m _e = 9, 11 10 ⁻³¹ kg

• Charge ´ el´ ementaire . . . e = 1, 60 10 ⁻¹⁹ C

Premi` ere partie

Micro-sonde de Hall : de la force de Lorentz aux mesures d’aimantation

1 Mouvement d’une particule charg´ ee dans un champ

´

electromagn´ etique

On se restreint ` a une description non relativiste des ph´ enom` enes physiques (toutes les vi- tesses sont petites devant la vitesse de la lumi` ere). Soit (K) un r´ ef´ erentiel galil´ een (Oxyz) muni d’une base orthonorm´ ee ( − → e _x , − → e _y , → − e _z ).

1.1 Lagrangien d’une particule dans un champ ´ electromagn´ etique

En pr´ esence d’un champ ´ electromagn´ etique caract´ eris´ e par le potentiel vecteur − →

A ( − → r , t) et par le potentiel scalaire φ( − → r , t), le lagrangien d’une particule de masse m, de charge q, situ´ ee

`

a la position − → r et anim´ ee de la vitesse − → v s’´ ecrit : L = 1

2 mv ² + q − →

A · − → v − qφ

1. Calculer l’impulsion − → p et l’´ energie E de la particule en fonction des grandeurs m, − → v , − → A et φ.

2. (a) Montrer que l’´ energie E de la particule peut s’´ ecrire comme une somme de deux termes E = E c + E el , dont on donnera l’expression ainsi qu’une interpr´ etation phy- sique.

(b) Montrer que E c peut se mettre sous la forme : E _c =

− → p − q − → A ₂ 2m

1.2 Force de Lorentz et transformation des champs

L’´ equation de Lagrange permet d’aboutir ` a l’´ equation du mouvement : d(m − → v )

dt = q − →

E + q − → v ∧ − → B 1. Donner sans d´ emonstration, l’expression des champs − →

E ( − → r , t) et − →

B ( − → r , t) en fonction du potentiel vecteur − →

A et du potentiel scalaire φ.

2. Dans le r´ ef´ erentiel (K) r` egne un champ ´ electromagn´ etique − →

E ( − → r , t), − →

B ( − → r , t)

. Dans un r´ ef´ erentiel (K ) en translation rectiligne et uniforme par rapport ` a (K) ` a la vitesse − → v _e , le champ ´ electromagn´ etique est − →

E ( − → r , t), − →

B ( − → r , t)

.

En exprimant l’invariance des lois physiques par changement de r´ ef´ erentiel galil´ een, mon- trer que :

− → B = − →

B et − → E = − →

E + − → v _e ∧ − → B 3. ` A quelle condition portant sur le rapport − →

E − →

B , existe-t-il un r´ ef´ erentiel dans lequel le champ ´ electrique − →

E s’annule ? D´ efinir alors la vitesse de d´ erive − → v _d de ce r´ ef´ erentiel (K _d ), en prenant − → v _d et − →

B orthogonaux.

1.3 Mouvement d’une particule charg´ ee dans un champ ´ electroma- gn´ etique

Une particule de charge q < 0 et de masse m est plac´ ee dans un champ magn´ etique uniforme

−→ B ₀ = B ₀ − → e _z avec B ₀ > 0. On note − → v sa vitesse dans le r´ ef´ erentiel (K ) du laboratoire.

1. Montrer que la projection du mouvement de la particule dans le plan (Oxy) est un cercle d´ ecrit ` a la fr´ equence cyclotron ω _c = q B ₀

m et dont on donnera le rayon.

D´ eterminer les expressions de x(t) et de y(t) pour les conditions initiales suivantes : ` a t = 0, x = 0, y = 0, dx

dt = 0 et dy

dt = v ₀ > 0.

2. On place ` a pr´ esent la particule dans un champ magn´ etique constant −→

B ₀ = B ₀ − → e _z et un champ ´ electrique constant − →

E ₀ = E ₀ − → e _y avec E ₀ > 0 et E ₀ /B ₀ < c .

Montrer qu’il existe un r´ ef´ erentiel (K _d ), (O , x , y , z ), dans lequel la particule est soumise

`

a l’action du seul champ magn´ etique. D´ ecrire le mouvement dans ce r´ ef´ erentiel.

On donne les conditions initiales : ` a t = 0, x = 0, y = 0, dx

dt = 0 et dy

dt = v ₀ > 0. On sup- pose de plus qu’` a t = 0, les deux r´ ef´ erentiels (K) et (K _d ) co¨ıncident. En d´ eduire les expres- sions de x(t) et de y(t) dans le r´ ef´ erentiel du laboratoire. Repr´ esenter sch´ ematiquement l’allure de la projection dans le plan (Oxy) de la trajectoire de la particule dans le r´ ef´ erentiel du laboratoire dans les trois cas suivants : v ₀ > E ₀

B ₀ , v ₀ = E ₀

B ₀ et v ₀ < E ₀ B ₀ . 3. On consid` ere un plan infini d’´ electrons sans interaction, de densit´ e surfacique uniforme

N _S . Ces charges sont soumises ` a l’action d’un champ magn´ etique − →

B = B ₀ − → e _z orthogonal au plan (Oxy) qui contient les charges et ` a celle d’un champ ´ electrique − →

E = E ₀ − → e _y . D´ ecrire bri` evement le mouvement des charges et calculer le vecteur densit´ e de courant moyen − → j _S dans le plan (Oxy ). Montrer que la grandeur R _H = E ₀

− →

j _S est homog` ene ` a une r´ esistance.

Exprimer R _H en fonction de N _S , B ₀ et e.

2 Sonde ` a effet Hall et mesure

On r´ ealise un gaz bidimensionnel d’´ electrons libres, ` a l’interface entre deux semiconducteurs que l’on a fait croˆıtre couche atomique apr` es couche atomique dans la direction (Oz) (voir figure 2) :

O x

y

z L _x

L _y GaAs GaAlAs

gaz d’´ electrons

Fig. 2 – Structure de la sonde ` a effet Hall. Le gaz d’´ electrons occupe un espace bidimensionnel repr´ esent´ e par les pointill´ es.

Une barri` ere compos´ ee de GaAlAs est dop´ ee en volume jusqu’au voisinage de l’interface avec

le semiconducteur GaAs qui abrite le gaz d’´ electrons. L’´ energie potentielle V (z) de confinement

au voisinage de l’interface est sch´ ematis´ ee par un puits triangulaire (voir figure 3).

V

eF z

z E 1

E 0

z ₀ z ₁

V (z) = eF z si z >0 V (z) est infini si z < 0

Fig. 3 – ´ Energie potentielle V (z) de confinement au voisinage de l’interface.

2.1 Bandes d’´ energie

On note F la norme du champ ´ electrique selon l’axe z, ` a l’interface. Dans le plan (Oxy ) de l’interface, les ´ electrons sont consid´ er´ es comme libres, ` a condition de prendre pour la masse de l’´ electron, une masse effective m ^∗ = 0, 07m _e o` u m _e est la masse de l’´ electron dans le vide (Cf.

formulaire). L’´ energie potentielle ´ electrostatique V (z) est fonction uniquement de z.

Soit Ψ(x, y, z), la fonction d’onde ´ electronique d´ ecrivant un ´ electron de la bande de conduc- tion situ´ e dans le puits triangulaire. On rappelle que la fonction Ψ ob´ eit ` a l’´ equation de Schr¨ odin- ger :

− ²

2m ^∗ ∆Ψ(x, y, z) + V (z)Ψ(x, y, z) = E Ψ(x, y, z) o` u E est l’´ energie de l’´ etat quantique et o` u ∆ d´ esigne le laplacien.

1. On cherche les solutions de l’´ equation de Schr¨ odinger sous la forme : Ψ(x, y, z) = f (z)Φ(x, y)

Montrer que Φ(x, y) et f (z) sont solutions des ´ equations :

⎧ ⎪

⎪ ⎨

⎪ ⎪

⎩

− ²

2m ^∗ f

(z) + V (z)f(z) = E _z f(z)

− ²

2m ^∗ ∆φ(x, y ) = E _x,y φ(x, y) avec E = E z + E x,y .

On d´ efinit une bande d’´ energie associ´ ee ` a l’´ energie E z , comme l’ensemble des niveaux d’´ energie E _z fix´ ee et d’´ energie E _xy quelconque.

2. Mouvement dans le plan

(a) On cherche Φ(x, y ) sous la forme : Φ(x, y) = 1

L _x L _y exp(ik _x x) exp(ik _y y)

o` u L _x et L _y sont les dimensions de la sonde selon les directions Ox et Oy (voir figure 2). Donner alors l’expression de E x,y en fonction de k _x et k _y .

(b) Pour chaque bande d’´ energie associ´ ee au mouvement selon Oz, on admet que le nombre d’´ etats quantiques par unit´ e de surface et d’´ energie est donn´ e par la formule (o` u l’on a tenu compte de la d´ eg´ en´ erescence de spin) :

g _x,y ( E ) = m ^∗

π ²

V´ erifier l’homog´ en´ eit´ e de cette expression et donner la valeur de cette constante pour GaAs en nombre d’´ etats quantiques par meV (milli´ electronvolt) et par m ² .

3. Mouvement selon Oz

On se restreint ici ` a l’´ etude du mouvement selon la direction Oz. On consid` ere dans cette question le puits triangulaire repr´ esent´ e sur la figure 3, dont l’´ energie s’´ ecrit :

pour z < 0, V (z) = + ∞ et pour z > 0, V (z) = eF z

Afin de trouver l’expression des ´ energies propres E i pour le mouvement selon Oz, on utilise la condition de quantification concernant l’impulsion, ´ ecrite par Sommerfeld :

_z

0

p _i (z)dz =

i + 3 4

π , i ∈ N

o` u z <sub>i</sub> v´ erifie V (z <sub>i</sub> ) = E <sub>i</sub> (voir figure 3) et o` u p _i (z) est la composante selon Oz, ` a la coordonn´ ee z, de l’impulsion − → p _i .

(a) ´ Ecrire de fa¸con classique la conservation de l’´ energie d’une particule de masse m soumise ` a l’´ energie potentielle V (z) et en d´ eduire l’expression de l’impulsion p _i (z) en fonction de l’´ energie E i du niveau i. ´ Etablir alors l’expression de l’´ energie E i . (b) Calculer E 0 et E 1 en meV dans le cas d’une jonction GaAlAs/GaAs pour laquelle

F = 6, 5 10 ⁶ V.m ⁻¹ . 4. Cas g´ en´ eral

On consid` ere ` a pr´ esent le mouvement g´ en´ eral dans les trois directions de l’espace.

(a) En utilisant les r´ esultats des sous questions pr´ ec´ edentes, montrer que chaque ´ etat

´

electronique peut ˆ etre caract´ eris´ e par trois param` etres (i, k <sub>x</sub> , k <sub>y</sub> ) et que son ´ energie est : E (k) = E <sub>i</sub> + Λk <sup>2</sup> o` u k =

k _x ² + k ² _y et Λ est une constante que l’on exprimera en fonction de m ^∗ et . Tracer l’allure de E (k) pour diff´ erents niveaux E i .

(b) Exprimer le nombre maximal d’´ electrons par unit´ e de surface, N _Smax , en fonction de E ₀ , E ₁ et des constantes du probl` eme, pour que seule la bande E <sub>0</sub> soit peupl´ ee, dans la limite des tr` es basses temp´ eratures. Effectuer l’application num´ erique.

(c) Le nombre d’´ electrons par unit´ e de surface (ou densit´ e surfacique) est ´ egal ` a N <sub>S</sub> = 8 10 <sup>15</sup> m <sup>−2</sup> . Calculer l’´ energie du dernier ´ etat occup´ e et donner un crit` ere portant sur la temp´ erature qui permet de savoir que la deuxi` eme bande n’est pas peupl´ ee.

Dans toute la suite, on supposera cette condition v´ erifi´ ee.

2.2 Effet Hall dans la mati` ere

La sonde est taill´ ee dans un cristal contenant le gaz d’´ electrons bidimensionnel de densit´ e surfacique N _S . La partie active est un carr´ e de cˆ ot´ e L _x = L _y = L. Elle est plac´ ee dans un champ magn´ etique uniforme perpendiculaire au plan (Oxy ), −→

B ₀ = B ₀ − → e _z . On note − →

E ( − → r ) = E _x ( − → r ) − → e _x + E _y ( − → r ) − → e _y le champ ´ electrique dans le plan (Oxy). On fait circuler un courant dans cette sonde et on suppose que les ´ electrons dans le plan sont soumis ` a l’action de la force de Lorentz et d’une force de frottement sur le r´ eseau cristallin − →

f = − m ^∗ − → v

τ o` u τ d´ esigne un temps de collision moyen et m ^∗ la masse effective de l’´ electron. Dans tous les calculs, la masse de l’´ electron est remplac´ ee par sa masse effective : m ^∗ = 0, 07m _e .

1. ´ Ecrire le principe fondamental de la dynamique appliqu´ e ` a un ´ electron, et montrer que la solution en r´ egime permanent peut se mettre sous la forme tensorielle :

j _Sx j _Sy

=

σ _xx σ _xy σ _yx σ _yy

E _x E _y

o` u la matrice σ est appel´ ee tenseur de conductivit´ e et o` u − →

j _S est la densit´ e surfacique de courant qui parcourt le gaz d’´ electrons bidimensionnel.

Exprimer les composantes du tenseur conductivit´ e en fonction de la fr´ equence cyclotron (positive) ω _c = eB ₀

m ^∗ et de σ ₀ = N _s e ² τ

m ^∗ . Que repr´ esente ce dernier terme ?

2. Lors d’une mesure d’effet Hall, un courant circule, en r´ egime permanent, dans la direction Ox en pr´ esence d’un champ −→

B ₀ = B ₀ − → e _z . On mesure la tension transversale V _H ` a l’aide d’un voltm` etre d’imp´ edance d’entr´ ee infinie (voir figure 4) :

V _H x y

I L _y I

L _x

−→ B ₀

semi-conducteur

Fig. 4 – Sch´ ema de la partie active de la sonde ` a effet Hall.

Etablir la relation entre ´ j _Sx et E _y en r´ egime permanent en fonction de σ ₀ , ω _c et τ (effet Hall).

3. En d´ eduire l’expression de la r´ esistance de Hall d´ efinie par : R _H = V _H

I , en fonction de e, B ₀ et N _s .

4. Application num´ erique : on polarise une sonde ` a effet Hall avec une densit´ e surfacique de courant limit´ ee ` a cause des probl` emes d’´ echauffement ` a j _S = 200 A.m ⁻¹ . Exprimer la sensibilit´ e de la sonde de Hall d´ efinie par s = δV _H

δB , en fonction de L, N _s , j _S et e. En prenant N _s = 8 10 ¹⁵ m ⁻² , calculer la sensibilit´ e de la sonde de Hall dans les deux cas suivants : L = 100 nm et L = 5 µm .

L’imperfection des appareils limite la pr´ ecision de la mesure de la tension de Hall ` a ± 1 nV.

Quel est le champ minimal que l’on peut mesurer ` a l’aide de ces deux sondes ?

3 Bruit de mesure

3.1 Signal al´ eatoire et densit´ e spectrale de bruit

On consid` ere un signal al´ eatoire v(t) ` a valeurs r´ eelles, de moyenne temporelle nulle, appel´ e bruit dans la suite du probl` eme. On note v(f ) la transform´ ee de Fourier de v(t), d´ efinie dans le formulaire. On d´ efinit la fonction de corr´ elation du signal v(t) par :

C(τ) = v(t)v(t + τ)

la valeur moyenne · · · ´ etant une moyenne statistique sur l’ensemble des ´ electrons. La fonction de corr´ elation ne d´ epend pas de t pour les signaux consid´ er´ es.

Pour ces signaux, la valeur moyenne peut ´ egalement ˆ etre prise sur le temps (hypoth` ese ergodique) selon la formule (ind´ ependante du choix de t ₀ ) :

C(τ ) = lim

T

→∞

1 T ₀

_t

_+T

_/2

t

−T

/2

v(t)v(t + τ )dt

On d´ efinit enfin la densit´ e spectrale de bruit S(f) par la transform´ ee de Fourier de la fonction de corr´ elation , c’est-` a-dire :

S(f ) = C(f) 1. Quel est le sens de la quantit´ e C(0) ? Montrer que

_+∞

−∞

S(f)df = v ² (t)

. Justifier le terme de densit´ e spectrale pour la quantit´ e S(f ).

2. Montrer que C(τ ) = C( − τ ). En d´ eduire que la densit´ e spectrale S(f) est une fonction r´ eelle.

3. Dans les deux cas suivants o` u l’on connaˆıt la fonction de corr´ elation, calculer la densit´ e spectrale du bruit, repr´ esenter la fonction S(f) et interpr´ eter le r´ esultat obtenu pour :

(a) un bruit blanc, C(τ) = Γδ(τ ) ; (b) un bruit lorentzien, C(τ) = C ₀ exp

− τ

τ ₀

.

3.2 Fluctuations de la vitesse dans les conducteurs

On consid` ere un conducteur ` a l’´ equilibre thermodynamique ` a la temp´ erature T, constitu´ e d’un r´ eseau cristallin dans lequel se d´ eplacent des ´ electrons ` a la vitesse − → v (t) = v(t) − → e _x . Les por- teurs de charge sont soumis, de la part de ce r´ eseau, ` a une force de frottement − →

f (t) = − m ^∗ τ ₀ v(t) − → e _x qui freine leur mouvement et ` a une force al´ eatoire − →

f _a (t) = m ^∗ η(t) − → e _x o` u m ^∗ est la masse effective des porteurs de charge et η(t) un bruit blanc caract´ eris´ e par les relations :

η(t) = 0 et η(t)η(t + τ ) = Γδ(τ)

les valeurs moyennes · · · ´ etant des moyennes statistiques sur l’ensemble des ´ electrons.

1. Appliquer le principe fondamental de la dynamique ` a un ´ electron de masse effective m <sup>∗</sup> et ´ ecrire l’´ equation diff´ erentielle ` a laquelle satisfait la vitesse v(t).

2. Montrer que la solution de cette ´ equation v´ erifiant v(0) = v ₀ est : v (t) = v ₀ exp

− t τ ₀

+

_t

0

exp

− t − u τ ₀

η(u)du

En d´ eduire que le syst` eme perd rapidement la m´ emoire de ses ´ etats ant´ erieurs.

Dans la suite de cette partie, on consid´ erera que le r´ egime transitoire est n´ egligeable.

3. Calculer v(t) et donner l’expression de v ² (t) pour t grand devant τ ₀ , en fonction de Γ et τ ₀ (on pourra intervertir les int´ egrales temporelles et les moyennes statistiques).

4. Le th´ eor` eme d’´ equipartition de l’´ energie implique par ailleurs qu’` a l’´ equilibre thermody- namique : 1

2 m ^∗ v ² (t)

= 1

2 k _B T . En d´ eduire la relation qui existe entre les deux grandeurs qui caract´ erisent les forces dans le conducteur, Γ et λ = m ^∗

τ ₀ . 5. Montrer que la fonction de corr´ elation de la vitesse s’´ ecrit :

v(t)v(t + τ) = k _B T m ^∗ exp

− τ

τ ₀

Pour ce faire, on calculera v(t)v(t + τ ) pour t grand devant τ ₀ (condition pour que le

r´ esultat ne d´ epende pas de t) et τ > 0 et on utilisera la parit´ e de la fonction de corr´ elation.

6. En d´ eduire la densit´ e spectrale de la vitesse S(f ). Tracer la courbe 20 log(S) en fonction de log(f) pour f > 0. Mettre en ´ evidence une fr´ equence de coupure f _c que l’on d´ efinira.

En d´ eduire que, pour 0 < f f _c :

S(f) = 2k _B T τ ₀ m ^∗

Sachant que τ ₀ < 10 ns, que peut-on dire de f _c ? Dans la suite, on ne s’int´ eresse qu’aux fr´ equences inf´ erieures ` a cette fr´ equence de coupure.

3.3 Bruit de Johnson Nyquist dans une r´ esistance

On consid` ere un gaz d’´ electrons bidimensionnel de longueur L _x et de largeur L _y (voir figure 4), de densit´ e surfacique N _s , soumis aux forces − →

f et − →

f _a d´ efinies en 3.2 ainsi qu’` a l’action du champ ´ electrique − →

E = E − → e _x .

1. Montrer que la conductivit´ e surfacique de ce gaz est : σ _S = N _s e ² τ ₀

m ^∗

2. ´ Etablir l’expression de la r´ esistance R du gaz bidimensionnel en fonction de N _s , e, m ^∗ , τ ₀ , L _x et L _y .

3. Exprimer l’intensit´ e du courant I(t) des ´ electrons dans le semiconducteur ` a l’instant t en fonction de e, L <sub>x</sub> et des vitesses v <sub>i</sub> (t) de chaque ´ electron (i ∈ (1, 2, ....N ), o` u N est le nombre total d’´ electrons contenus dans le gaz bidimensionnel).

En d´ eduire l’expression de la diff´ erence de potentiel V (t) aux bornes de ce conducteur en fonction de R, e, L _x et des vitesses v _i .

4. ´ Ecrire la diff´ erence de potentiel V (t) sous la forme : V (t) =

i

V _i (t) et donner l’expression des V _i (t). Exprimer la densit´ e spectrale de la quantit´ e V _i (t), not´ ee S _V

(f), en fonction de la densit´ e spectrale de vitesse S(f ) dont l’expression est donn´ ee en 3.2.6.

5. Dans le cas o` u V = N

i=1

V _i , on admet que : S _V (f ) = N S _V

(f). D´ eduire de cette relation et de la question pr´ ec´ edente, la relation (R est la r´ esistance) :

S _V (f ) = 2k _B T R

4 Champ de moments magn´ etiques

4.1 Moments magn´ etiques et moments cin´ etiques. Facteur de Land´ e.

Soit un r´ ef´ erentiel (Oxyz) galil´ een, dans lequel un ensemble de charges q, situ´ ees aux points M _n tels que − → r _n = −−−→

OM _n , se d´ eplacent avec la vitesse − → v _n = d −−−→

OM _n

dt . Il n’y a aucun mouvement d’ensemble et − →

j =

n

q − → v _n = − → 0 .

On d´ esigne par moment magn´ etique d’une collection de charge, la quantit´ e classique, ind´ e- pendante du point fixe O choisi :

−−→ M _O =

n

1 2

−

→ r _n ∧ q − → v _n

1. ´ Ecrire le moment cin´ etique en O, −→

L _O , de l’ensemble des charges. Montrer que le moment magn´ etique de l’ensemble est proportionnel au moment cin´ etique :

−−→ M O = γ _c −→

L _O

o` u γ _c est le rapport gyromagn´ etique classique dont on donnera l’ expression en fonction de q et m.

2. D` es lors que l’on consid` ere les aspects quantiques de la mati` ere, le moment cin´ etique − → J ne se r´ esume plus au moment orbital − →

L mais comprend ´ egalement le spin − →

S des particules :

−

→ J = − → L + − →

S

La relation entre moment cin´ etique et moment magn´ etique devient :

−→ M = γ − →

J avec γ = − g e

2m _e o` u g est le facteur de Land´ e.

La relation entre g et les nombres quantiques L, S et J qui caract´ erisent l’´ etat quantique atomique ou mol´ eculaire est :

g = 3

2 + S(S + 1) − L(L + 1) 2J (J + 1)

(a) Exprimer les valeurs possibles de M z , projection de −→

M sur l’axe Oz, en fonction de g, du magn´ eton de Bohr µ _B = − e

2m _e et d’un nombre quantique m dont on pr´ ecisera la d´ efinition et les valeurs possibles.

(b) Le spin de l’´ electron

Quelles valeurs prend le nombre m dans le cas d’un moment cin´ etique demi en- tier pour lequel L = 0 et J = S = 1/2 ? Calculer le facteur de Land´ e des spins

´

electroniques et donner les valeurs possibles de la composante M z . (c) La mol´ ecule Fe ₈

Les propri´ et´ es magn´ etiques de la mol´ ecule Fe ₈ (qui sera ´ etudi´ ee dans la deuxi` eme partie) peuvent ˆ etre correctement d´ ecrites par un ”macro-spin” S = 10. Calculer le facteur de Land´ e dans le cas d’un macro-spin S = 10 avec L = 0 et J = S = 10.

Donner les valeurs permises de la composante M _z .

4.2 Champ cr´ e´ e par la mati` ere aimant´ ee

Dans cette question, on revient ` a une repr´ esentation classique. On rappelle le champ magn´ etique cr´ e´ e en un point P par un dipˆ ole magn´ etique de moment −→ M situ´ e au point O :

−

→ B (P ) = µ ₀ 4πr ⁵

3

−→ M · − → r

− → r − r ² −→ M

o` u − → r = −→

OP et r = OP 1. Champ sur l’axe d’un dipˆ ole isol´ e

(a) Exprimer le champ − →

B cr´ e´ e sur l’axe Oz colin´ eaire ` a −→ M , ` a la distance d du point O, par un dipˆ ole magn´ etique de moment −→ M situ´ e en O.

(b) Application num´ erique : une nanoparticule comprenant un moment magn´ etique

unique est d´ epos´ ee sur la surface d’une sonde ` a effet Hall. On suppose que le moment

magn´ etique est perpendiculaire ` a la surface de la sonde. Le champ magn´ etique est

mesur´ e au niveau du gaz ´ electronique, soit ` a une distance d = 200 nm de la parti-

cule. Calculer le champ maximal que peut induire un seul atome de fer pour lequel

M = 4µ _B . Mˆ eme question pour une mol´ ecule Fe ₈ dont le macro-spin vaut S = 10.

(c) Quel est le principal obstacle ` a la mesure du moment magn´ etique d’une seule parti- cule ou atome, si on utilise cette technique de sonde de Hall ?

2. Champ magn´ etique de la mati` ere solide

On consid` ere une sph` ere homog` ene, de rayon R, uniform´ ement aimant´ ee, plong´ ee dans un champ magn´ etique ext´ erieur −→

B ₀ = B ₀ − → e _z . Le vecteur aimantation (moment magn´ etique moyen par unit´ e de volume) de la sph` ere est : − →

M = M − → e _z .

(a) Montrer que les courants d’aimantation qui apparaissent ont une densit´ e volumique nulle et une densit´ e surfacique (en coordonn´ ees sph´ eriques) :

−→ J _Sa = M sin θ − → e _ϕ

(b) Calculer le champ magn´ etique cr´ e´ e par ces courants au centre O de la sph` ere.

(c) Calculer le champ magn´ etique ` a l’ext´ erieur de la sph` ere en assimilant celle-ci ` a un dipˆ ole magn´ etique dont on pr´ ecisera le moment.

(d) On suppose que le champ magn´ etique est uniforme ` a l’int´ erieur de la sph` ere. Mon- trer que cette hypoth` ese est compatible avec les relations de passage du champ magn´ etique ` a la surface de la sph` ere.

(e) En d´ eduire que le champ magn´ etique en un point situ´ e ` a l’ext´ erieur de la sph` ere, sur l’axe Oz, au voisinage imm´ ediat de la surface, est :

−

→ B = 2 3 µ ₀ − →

M 3. Aimantation d’un cristal ferromagn´ etique

Soit σ _µ

le nombre de magn´ eton de Bohr port´ e par chaque atome dans un cristal compos´ e d’un seul type d’atome. Exprimer l’aimantation ` a saturation du mat´ eriau en fonction de σ _µ

, de la masse volumique ρ du cristal, de sa masse molaire M _o et du nombre d’Avogadro.

Calculer µ ₀ M _sat (en teslas) pour un cristal de fer pour lequel ρ = 7, 85 10 ³ kg.m ⁻³ , σ _µ

= 2, 2 et M _o = 56 g.mol ⁻¹ .

4. Aimantation d’un cristal paramagn´ etique

On consid` ere un grain de DPPH (Diphenylpicrylhydrazil) paramagn´ etique de forme sph´ e- rique. Le DPPH a une grande densit´ e d’´ electrons non appari´ es : n = 2 10 ²⁷ m ⁻³ .

(a) Exprimer l’aimantation ` a saturation en fonction de la densit´ e d’´ electrons non ap- pari´ es et de µ _B . Calculer µ ₀ M _sat (en teslas). Comparer cette valeur avec la valeur obtenue pour le fer.

(b) On note χ sa susceptibilit´ e et on plonge l’ensemble dans un champ magn´ etique B ₀ . On suppose que le sel paramagn´ etique reste dans le r´ egime lin´ eaire : µ ₀ − →

M = χ −→

B ₀ . On donne : χ = 2, 5 10 ⁻⁵ .

i. Calculer la valeur de µ ₀ M , not´ ee µ ₀ M ₀ , pour un champ B ₀ = 10 mT. Com- parer cette valeur avec la valeur ` a saturation. L’approximation lin´ eaire est elle justifi´ ee ?

ii. On d´ epose un grain de DPPH sur une sonde ` a effet Hall plac´ ee elle mˆ eme dans un champ magn´ etique −→

B ₀ perpendiculaire au plan d’´ electrons. Calculer

le champ mesur´ e par la sonde (on supposera que le gaz bidimensionnel est ` a

proximit´ e imm´ ediate de la mati` ere aimant´ ee). Quelle est la diff´ erence ∆B entre

le champ mesur´ e en pr´ esence de DPPH et le champ mesur´ e en l’absence de

DPPH ? Conclure sur la faisabilit´ e de la mesure de χ par cette m´ ethode.

Deuxi` eme partie

Mesures d’aimantation

5 R´ esonance paramagn´ etique ´ electronique

5.1 Effet gyroscopique et pr´ ecession de Larmor

On place un dipˆ ole magn´ etique, d’origine ´ electronique, de moment −→ M dans un champ magn´ etique uniforme −→

B ₀ = B ₀ − → e _z . On rappelle la relation entre le moment magn´ etique et le moment cin´ etique associ´ es au dipole magn´ etique : −→ M = γ − → L o` u le rapport gyromagn´ etique γ de l’´ electron est n´ egatif.

1. Donner sans d´ emonstration, les expressions de l’´ energie potentielle du dipˆ ole dans le champ magn´ etique, de la r´ esultante et du moment de l’action m´ ecanique exerc´ ee par le champ magn´ etique sur le dipˆ ole.

2. Appliquer le th´ eor` eme du moment cin´ etique au dipˆ ole. En d´ eduire que la norme du mo- ment dipolaire magn´ etique est constante au cours du temps, de mˆ eme que sa projection sur l’axe Oz. Montrer que le moment magn´ etique tourne autour de l’axe Oz ` a la pulsation de Larmor : ω _L = | γ | B. Pr´ eciser le sens de rotation du dipˆ ole.

5.2 Configuration de mesure

On place un grain sph´ erique microscopique de DPPH (Diphenylpicrylhydrazil) d’aimanta- tion − →

M (moment magn´ etique moyen par unit´ e de volume) sur une sonde de Hall de mˆ eme taille.

L’ensemble est plac´ e dans un champ magn´ etique uniforme −→

B ₀ align´ e sur l’axe Oz perpendicu- laire au plan de la sonde (on rappelle que la sonde de Hall est sensible au champ magn´ etique orthogonal ` a son plan). On superpose ` a ce champ −→

B ₀ un autre champ magn´ etique, de norme constante, tournant ` a la pulsation ω dans le plan (Oxy ) de la sonde : −→

B ₁ (t) = B ₁ − → u ₁ (t) (o` u − → u <sub>1</sub> (t) est un vecteur unitaire tournant dans le plan (Oxy ) ` a la pulsation ω) (Cf. fig. 5).

I

B

−→ B ₀

−→ B ₁

V _H

R´ ef´ erence D´ etection synchrone grain de DPPH Source de

courant continu

G´ en´ erateur G´ en´ erateur

haute fr´ equence

de cr´ eneaux

Fig. 5 – Configuration de mesure. Un grain sph´ erique de DPPH est d´ epos´ e sur la sonde Le champ uniforme −→

B ₀ est cr´ e´ e par un dispositif non repr´ esent´ e sur la figure. Le champ −→

B ₁ est cr´ e´ e par la bobine B . Il tourne, dans le plan de la sonde, autour de l’axe Oz, ` a la fr´ equence f = 265 MHz. Il est ”allum´ e” et ”´ eteint” p´ eriodiquement, grˆ ace au g´ en´ erateur de cr´ eneaux, avec une fr´ equence f _R = 45 kHz.

On note ω ₀ = | γ | B ₀ = − γB ₀ , δω = ω − ω ₀ et ω ₁ = | γ | B ₁ = − γB ₁ . On d´ efinit (K _t ) le

r´ ef´ erentiel tournant ` a la vitesse angulaire ω autour de Oz. On appelle (K) le r´ ef´ erentiel du

laboratoire (Oxyz).

1. Appliquer le th´ eor` eme du moment cin´ etique en O ` a un dipˆ ole de moment −→

M dans le r´ ef´ erentiel du laboratoire. En d´ eduire l’expression de

d −→ M (t) dt

(K

)

dans le r´ ef´ erentiel tournant, puis celle de

d − →

M(t) dt

(K

)

dans ce mˆ eme r´ ef´ erentiel, en fonction de ω, ω ₁ , ω ₀ , du vecteur aimantation − →

M et des vecteurs unitaires − → e _z et − → u ₁ (t).

2. Pour tenir compte des ph´ enom` enes de relaxation (interaction avec un r´ eservoir), on in- troduit un couple de dissipation :

−

→ Γ _r =

−→ M ₀ − − → M (t) τ o` u −→

M ₀ = M ₀ − → e _z est l’aimantation ` a l’´ equilibre cr´ e´ ee par −→

B ₀ en l’absence de −→

B ₁ . Ecrire la nouvelle expression de ´

d − →

M (t) dt

(K

)

.

3. Soient u, v, et M _z , les composantes cart´ esiennes du vecteur − →

M dans la base orthonorm´ ee ( − → u ₁ (t), − → v ₁ (t), − → e _z ) o` u − → v <sub>1</sub> (t) est un vecteur du plan (Oxy) orthogonal ` a − → u ₁ (t) : − →

M (t) = u(t), v(t), M _z (t)

dans cette base.

Etablir les ´ ´ equations de Bloch qui donnent l’expression des d´ eriv´ ees du(t)

dt , dv(t) dt et dM _z (t)

dt , en fonction de u(t), v(t), et M _z (t), ainsi que des pulsations ω ₀ , ω et ω ₁ . 4. On admettra que la solution de ce syst` eme en r´ egime permanent est :

⎧ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎨

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎩

u = − M ₀ ω ₁ δωτ ² 1 + δω ² τ ² + ω ₁ ² τ ² v = − M ₀ ω ₁ τ

1 + δω ² τ ² + ω ₁ ² τ ² M _z = M ₀ 1 + δω ² τ ²

1 + δω ² τ ² + ω ₁ ² τ ²

Tracer l’allure des courbes u, v et M _z en fonction de δω. Commenter. Pr´ eciser le compor- tement de M _z pour δω = 0 et donner une interpr´ etation physique du ph´ enom` ene.

5. Exprimer en fonction de µ ₀ et M ₀ , la diff´ erence entre la valeur de la quantit´ e µ ₀ M _z en pr´ esence du champ B ₁ et en l’absence de celui-ci, ` a la r´ esonance δω = 0 : ∆

µ ₀ M _z =

µ ₀ M _z

on − µ ₀ M _z

off . On donne τ = 60 ns et B ₁ = 0, 15 mT. En d´ eduire la valeur num´ erique du rapport ∆

µ ₀ M _z

/µ ₀ M ₀ . 6. Le champ −→

B ₁ est ”allum´ e” et ”´ eteint” ` a la fr´ equence f <sub>R</sub> = 45 kHz. Montrer que la fonction V <sub>H</sub> (t) mesur´ ee par la sonde ` a effet Hall polaris´ ee en courant continu est une fonction en cr´ eneaux. On appellera V ₀ et V ₁ les valeurs minimale et maximale de V _H (t) et on notera ∆V _H = V ₁ − V ₀ . On supposera acquis le r´ esultat de la question 4.2.2 ainsi que la proportionnalit´ e entre la mesure V _H et le champ B perpendiculaire ` a la sonde.

5.3 R´ esultats exp´ erimentaux

L’exp´ erience d´ ecrite pr´ ec´ edemment est r´ ealis´ ee, ` a temp´ erature ambiante T = 300 K, avec

une sonde de Hall de cˆ ot´ e 5 µm, dont la sensibilit´ e est : s = 0, 8 V.T ⁻¹ . On donne B ₁ = 0, 15 mT.

La courbe repr´ esentant ∆V _H = V ₁ − V ₀ est report´ ee sur la figure 6 ¹ pour plusieurs valeurs du champ magn´ etique statique B ₀ .

∆ V H (nV )

B ₀ (mT)

Fig. 6 – R´ esonance de spin pour un grain de DPPH mesur´ e ` a l’aide d’une sonde ` a effet Hall.

En ordonn´ ees : la mesure -en nanovolts- de la grandeur ∆V _H = V ₁ − V ₀ d´ efinie en 5.2.6.

1. Expliquer pourquoi cette courbe pr´ esente un maximum. Montrer que la connaissance du champ B ₀ ` a la r´ esonance permet de calculer | γ | . Effectuer l’application num´ erique.

2. ´ Evaluer la largeur du pic et donner une valeur approximative du temps de relaxation τ , en pr´ ecisant le crit` ere utilis´ e.

Une ´ etude d´ etaill´ ee des r´ esultats exp´ erimentaux permettrait de trouver τ = 60 ns, valeur adopt´ ee dans la suite de la question.

3. On se propose enfin de d´ eterminer χ pour le DPPH. ´ Evaluer la valeur maximale de ∆V _H d’apr` es la figure 6. En d´ eduire la valeur de χ pour le DPPH (on utilisera la d´ efinition de χ donn´ ee en 4.2.4.b, et on admettra le r´ esultat de la question 4.2.2). La valeur tabul´ ee est χ = 2, 5 10 ⁻⁵ . Proposer une explication pour interpr´ eter la diff´ erence.

5.4 D´ etection synchrone et bruit de mesure

Pour effectuer la mesure pr´ ecedemment d´ ecrite, la tension de Hall est inject´ ee en entr´ ee de la d´ etection synchrone dont l’imp´ edance d’entr´ ee est suppos´ ee infinie (voir figure 7).

V _H (t)+b(t)

s _X (t)

s _F (t) sin(ω _R t)

multiplieur filtre

Fig. 7 – D´ etection synchrone

Le signal est la somme de deux termes : s(t) = V _H (t)+ b(t), o` u b(t) est le bruit du composant et de la chaˆıne de mesure. La densit´ e spectrale totale de bruit est la somme de la densit´ e spectrale de bruit thermique S <sub>V</sub> (f ) (´ etudi´ e ` a la question 3.3 de la premi` ere partie), de la densit´ e spectrale du bruit des appareils S _A (f) et d’un bruit suppl´ ementaire en 1/f :

1

G.Boero et al., Applied Physics Letters 79, p1498 (2001).

S(f) = S _V (f ) + S _A (f ) + α

f o` u α = cste

Le principe de la d´ etection synchrone consiste dans un premier temps ` a multiplier le signal s(t) par la composante sin(ω <sub>R</sub> t) o` u ω _R est la pulsation ` a laquelle on allume et on ´ eteint le champ B ₁ . Le signal de sortie du multiplieur est : s _X (t) = (V _H (t) + b(t)

sin(ω _R t). Dans un deuxi` eme temps, la d´ etection synchrone filtre le signal pour ne conserver que la composante continue. On note H(f) la fonction de transfert de ce filtre d´ efinie par : s _F (f ) = H(f ) s _X (f) (voir figure 7).

La fonction H(f ) vaut 1 si | f | < ∆f , 0 sinon, avec ∆f f _R .

1. On suppose d’abord que le bruit est nul (b(t) = 0). Utiliser le formulaire pour ´ ecrire le signal V _H (t) (trouv´ e en 5.2.6) sous forme d’une s´ erie de Fourier. ´ Ecrire le signal s _X (t) en sortie du multiplieur. Le signal passe ensuite par le filtre H(f ). Quelle est la valeur s _{F 0} (t) du signal en sortie du filtre ?

2. On s’interesse maintenant au bruit b(t) caract´ eris´ e par sa densit´ e spectrale S(f). On appelle b _X (t) et b _F (t) les signaux obtenus respectivement en sortie du multiplieur et en sortie du filtre. Soit C _X (τ ) la fonction de corr´ elation de b _X (t) et C(τ ) celle du bruit b(t).

On admet que :

C _X (τ ) = 1

2 C(τ ) cos ω _R τ

(a) Montrer que la densit´ e spectrale du bruit (d´ efinie ` a la question 3.1) en sortie du multiplieur s’´ ecrit :

S _X (f) = 1 4

S(f + f _R ) + S(f − f _R )

(b) En d´ eduire que la densit´ e spectrale du bruit apr` es le filtre est donn´ ee par la formule : S _F (f ) = 1

2 S(f _R ) si | f | < ∆f et S _F (f ) = 0 sinon.

(c) Montrer finalement que b ² _F (t) = S(f _R )∆f. Comment diminuer la valeur efficace du bruit

b ² _F (t) en sortie de la d´ etection synchrone ? (d) Application num´ erique

On s’int´ eresse au bruit de mesure que l’on peut observer sur la courbe exp´ erimentale (figure 6). On ´ evalue les fluctuations ` a

< b _F (t) ² > = 4, 5 nV. On donne : ∆f = 0, 24 Hz et S _A (f) = 2, 5 nV ² .Hz ⁻¹ . La r´ esistance de la sonde est R = 200 Ω.

En utilisant le r´ esultat de la question pr´ ec´ edente, calculer la valeur de la densit´ e spectrale du bruit total, en nV ² .Hz ⁻¹ , puis celle du bruit thermique (dont l’expression a ´ et´ e ´ etablie ` a la question 3.3) dans la mˆ eme unit´ e. En d´ eduire la valeur de la densit´ e spectrale du bruit en 1/f . ` A quelle fr´ equence f _R devrait-on travailler pour que cette valeur reste inf´ erieure ` a la densit´ e spectrale du bruit des appareils ?

6 Anisotropie magn´ etique et ”effet tunnel de spin”

6.1 La mol´ ecule Fe ₈

La mol´ ecule Fe ₈ est constitu´ ee de 8 atomes de fer tenus entre eux par des ligands. Les interactions ferromagn´ etiques et antiferromagn´ etiques dans la mol´ ecule entraˆınent l’orientation de six spins atomiques selon l’axe Oz et deux de fa¸con antiparall` ele. Le spin ´ equivalent est S = 10 : la mol´ ecule Fe <sub>8</sub> est ainsi un ”macro-spin”. Ces mol´ ecules sont ensuite cristallis´ ees en un monocristal de taille nanom´ etrique et de sym´ etrie triclinique, qui est d´ epos´ e sur la surface d’une nanosonde ` a effet Hall. L’anisotropie magn´ etique entraˆıne une d´ ependance quadratique de l’hamiltonien en fonction des op´ erateurs de spin ² : si Oz est l’axe facile d’aimantation et B _z le champ selon Oz ,

2

C.Sangregorio et al., Physical Review Letters 78, p.4645 (1999)

H = − D

² S ˆ _z ² + K ²

S ˆ _x ² − S ˆ _y ²

− gµ _B B _z S ˆ _z o` u µ _B = − e

2m _e est le magn´ eton de Bohr et g le facteur de Land´ e (g = 2).

L’objectif de cette question est de d´ eterminer les valeurs des constantes D et K ` a partir de r´ esultats exp´ erimentaux.

On note | m m∈{−10,..,10} la base orthonorm´ ee des ´ etats propres de ˆ S _z qui sera utilis´ ee tout au long de cette question :

S ˆ _z | m = m | m avec m entier relatif et | m | ≤ 10 Le terme W = K

²

S ˆ _x ² − S ˆ _y ²

sera consid´ er´ e comme une perturbation de l’hamiltonien : H ₀ = − D

² S ˆ _z ² − gµ _B B _z S ˆ _z 1. Niveaux d’´ energie

(a) Pour K = 0 montrer que les vecteurs | m sont ´ egalement vecteurs propres de l’ha- miltonien H 0 . Calculer les valeurs propres E 0 (m) de H 0 .

Sur la figure 9 sont repr´ esent´ ees les ´ energies E 0 (m) d’une mol´ ecule Fe ₈ en fonction de m (m ∈ {− 10, 10 } ) pour un champ magn´ etique B _z nul.

Fig. 8 – Repr´ esentation de la mol´ ecule Fe ₈ .

B _z = 0 E 0 (m)

Nombre quantique m

− 10 − 5 0 5 10 Fig. 9 – Diagramme ´ energ´ etique de H ₀ pour B _z = 0.

Expliquer ce diagramme. En particulier montrer que si B _z = 0, E ₀ (m) = E ₀ ( − m).

Quelle est la valeur en ´ energie de la barri` ere d’anisotropie que doit passer un ´ etat de spin S = ± 10 pour inverser son spin ?

En ´ ecrivant que cette ´ energie correspond ` a k <sub>B</sub> T <sub>c</sub> , d´ eterminer la temp´ erature T <sub>c</sub> en des- sous de laquelle il ne sera plus possible pour une mol´ ecule d’ˆ etre thermiquement ac- tiv´ ee pour passer la barri` ere. Pour l’application num´ erique, on prendra D = 0, 275k _B . (b) Reprendre le sch´ ema de la figure 9 et repr´ esenter le diagramme E 0 (m) pour un champ

B _z = 0.

Tracer, sur un mˆ eme graphique, les courbes E ₀ (m) en fonction de B _z pour m =

− 10, .., +10. Montrer que les ´ energies des ´ etats m > 0 et celles des ´ etats m < 0 se croisent pour des valeurs de B _z v´ erifiant :

B _z = n D

gµ _B o` u n est un entier relatif.

(c) On consid` ere ` a pr´ esent deux niveaux ( | m ) et ( | m ), et on se place pr` es du champ B _z pour lequel E 0 (m) = E 0 (m ) ; on traite le terme W = K

²

S ˆ _x ² − S ˆ _y ²

comme une perturbation de H ₀ . L’objectif de cette question est de montrer que les niveaux d’´ energie se s´ eparent au lieu de se croiser et que la d´ eg´ en´ erescence entre les ´ etats ( | m ) et ( | m ) est lev´ ee (voir figure 11).

On part de l’´ equation de Schr¨ odinger stationnaire H Ψ = E Ψ appliqu´ ee dans l’espace des ´ etats de spins.

On note (β et δ sont deux nombres r´ eels non nuls) :

m | W | m = m | W | m = β, m |H 0 | m = E 0 (m), m | W | m = m | W | m = δ i. Montrer que les ´ etats ( | m ) ne sont plus ´ etats propres de l’hamiltonien H =

H 0 + W .

ii. On cherche un nouvel ´ etat propre sous la forme :

| Ψ = x | m + y | m avec x et y deux complexes

Etablir le syst` ´ eme d’´ equations v´ erifi´ e par x et y. D´ eterminer les deux ´ energies propres de l’hamiltonien H , en fonction de E 0 (m), E 0 (m ), δ et β. L’allure des nouvelles ´ energies est repr´ esent´ ee sur la figure 11 en fonction de B _z : l’´ ecart

´

energ´ etique est minimal au niveau du croisement E ₀ (m) = E ₀ (m ). Exprimer cet

´

ecart ´ energ´ etique minimal (not´ e ∆), en fonction de β. D´ eterminer les vecteurs propres dans le cas particulier o` u E ₀ (m) = E ₀ (m ). Interpr´ eter physiquement ce r´ esultat.

2. Paramagn´ etisme de Fe ₈

Dans cette question on prend W = 0 donc H = H 0 .

En pr´ esence d’un champ magn´ etique externe, les spins de la mati` ere paramagn´ etique ont tendance ` a s’aligner le long du champ pour diminuer l’´ energie potentielle. L’agitation thermique vient contrebalancer cette tendance. On d´ ecrit ici le paramagn´ etisme dans le cadre de la m´ ecanique statistique en calculant la probabilit´ e d’occupation des ´ etats quantiques et en faisant la moyenne sur N spins ind´ ependants par unit´ e de volume.

T=10 K Fe 8

Aiman tation M/ M sa t

Champ magn´ etique (T)

Fig. 10 – Aimantation normalis´ ee en fonction du champ magn´ etique B _z .

(a) On consid` ere un mono-cristal de mol´ ecules Fe ₈ plac´ e dans un champ magn´ etique

orient´ e selon l’axe facile Oz. Quelles sont les ´ energies accessibles ` a un macro-spin