Vrai ou faux – Page 155

Lycée Fénelon Sainte-Marie 1 - 3 M. Lichtenberg

Vrai ou faux – Page 155

Exercice N°10 Æ FAUX

Cf. le cours. On a en fait : 3^{x y+} = ×3^x 3^y. Exercice N°11

Æ FAUX

Attention à la définition ! On se mélange vite les pinceaux si l’on n’y prend pas garde … On a : a^b =e^blna.

Exercice N°12 Æ VRAI

On a : 1 1 ln 2 ln 2

2 ln ln 2 ln 3 ln 2 ;

3 3 ln 3 ln 3

x

x x x x

⎛ ⎞ > ⇔ > ⇔ − > ⇔ < − ⇔ ∈ −∞ −⎤ ⎡

⎜ ⎟ ⎥ ⎢

⎝ ⎠ ⎦ ⎣.

Exercice N°13 Æ FAUX

Dans le cas où a appartient à l’intervalle :

]

[

Exercice N°14 Æ VRAI

Dans le cas où a appartient à l’intervalle :

]

[

Exercice N°15 Æ FAUX

C’est vrai pour tout a dans l’intervalle

]

[

]

[

Exercice N°16 Æ FAUX

On a : ln₃ ln 1₂

lim lim

x x

x x

x x x

→+∞ →+∞

⎛ ⎞

= ⎜ × ⎟

⎝ ⎠. Chaque facteur tend vers 0 (le premier par croissance comparées) donc cette limite est nulle.

Lycée Fénelon Sainte-Marie 2 - 3 M. Lichtenberg Exercice N°17

Æ VRAI

On a : _{2 2}

2

2 2

lim lim lim 1

3 3

3 1 1

x x x

x x x

e e e

x x

x x x

→+∞ →+∞ →+∞

⎛ ⎞

⎜ ⎟

= = ⎜ × ⎟

+ ⎛⎜⎝ + ⎞⎟⎠ ⎜⎝ + ⎟⎠ .

Par croissances comparées, on a immédiatement : lim ₂

x

x

e

→+∞x = +∞. Par ailleurs : 3₂

lim 0

x^→+∞x = , d’où :

2

lim 1 1

1 3

x

x

→+∞ =

+ .

Par produit on conclut : lim ₂ 3

x

x

e

→+∞x = +∞

+ .

Exercice N°18 Æ FAUX

On a : ⁴ x⁴ =x pour tout réel x positif mais cette égalité n’est pas valable pour n’importe quel réel strictement négatif. Par exemple, pour x= −2, on a : ⁴

( )

Plus généralement : ∀ ∈x \, ⁴ x⁴ = x . Exercice N°19

Æ FAUX On a :

1

1 1 2 1 1 1 1

5 a a5 ⎛a5⎞ a5 2^× a10 6 a a6

= =⎜ ⎟ = = ≠ =

⎝ ⎠ .

Exercice N°20 Æ VRAI

On a : ^{4 4× 8=414×812 =}

( )

⁽

⁾

Exercice N°21 Æ FAUX

Cf. le cours : pour tout entier naturel n non nul :

1

lim ⁿ

x x

→+∞ = +∞.

Lycée Fénelon Sainte-Marie 3 - 3 M. Lichtenberg Exercice N°22

Æ VRAI

Pour tout réel x de l’intervalle 3 2;

⎤− +∞⎡

⎥ ⎢

⎦ ⎣, on a : 2x+ >3 0 et :

( ) ( ( ) ) ^{( ) ( )}

2 3

1 2

3 2 2 3 3

1 1 1

2 3

2 3 2 3 2 3

x

x x x

= = = + −

+ + +