1.1 Relation de r´ ecurrence

Le d´eterminant de Vandermonde

Soient n un entier sup´erieur ou ´egal `a 2 et a1, . . . , an n ´el´ements d’un corps K. On appelle d´eterminant de Vandermondel’´el´ement deKd´efini par :

V(a1, . . . , an) =

1 a₁ a²₁ . . . aⁿ⁻¹₁ 1 a2 a²₂ . . . aⁿ⁻¹₂

... ... ... ... 1 an a²_n . . . aⁿ⁻¹_n

1 Une premi` ere d´ emonstration

1.1 Relation de r´ ecurrence

On rappelle qu’on ne change pas la valeur d’un d´eterminant en ajoutant `a une ligne (resp. une colonne) une combinaison lin´eaire des autres lignes (resp. colonnes). Notons L1, . . . , Ln les lignes du d´eterminant ci-dessus.

Pour toutk∈J2, nK, effectuons l’op´eration suivante :Lk←Lk−L1. On a alors :

V(a1, . . . , an) =

1 a₁ a²₁ . . . aⁿ⁻¹₁

0 a2−a1 a²₂−a²₁ . . . aⁿ⁻¹₂ −aⁿ⁻¹₁

... ... ... ...

0 an−a1 a²_n−a²₁ . . . aⁿ⁻¹_n −aⁿ⁻¹₁

Effectuons un d´eveloppement suivant la premi`ere colonne, puis mettons en facteur a_k −a₁ sur chaque ligne (k∈J2, nK) :

V(a₁, . . . , a_n) = Y

26k6n

(a_k−a₁)×

1 a₂+a₁ a²₂+a₁a₂+a²₁ . . . aⁿ⁻²₂ +a₁aⁿ⁻³₂ +· · ·+aⁿ⁻²₁ 1 a3+a1 a²₃+a1a3+a²₁ . . . aⁿ⁻²₃ +a1aⁿ⁻³₃ +· · ·+aⁿ⁻²₁

... ... ... ...

1 a_n+a₁ a²_n+a₁a_n+a²₁ . . . aⁿ⁻²_n +a₁aⁿ⁻³_n +· · ·+aⁿ⁻²₁

En effectuantsuccessivementles op´erationsCk ←Ck−

k−1

P

i=1

aⁱ₁Ci pourk∈J2, n−1K, on obtient :

V(a₁, . . . , a_n) = Y

26k6n

(a_k−a₁)×

1 a2 a²₂ . . . aⁿ⁻²₂ 1 a₃ a²₃ . . . aⁿ⁻²₃

... ... ... ... 1 a_n a²_n . . . aⁿ⁻²_n

c’est-`a-dire

V(a₁, . . . , a_n) = Y

26k6n

(a_k−a₁)×V(a₂, . . . , a_n).

1

Le d´eterminant de Vandermonde

1.2 D´ emonstration par r´ ecurrence

Pournentier sup´erieur ou ´egal `a 2, on noteP(n) la propri´et´e :V(a1, . . . , an) = Q

16i<j6n

(aj−ai).

Pourn= 2 : soienta1, a2∈K.V(a1, a2) =

1 a₁ 1 a2

= (a2−a1) donc P(2) est vraie.

Soitn∈N,n>2. SupposonsP(n) vraie. Soienta₁. . . a_n+1∈K. V(a1, . . . , an+1) = Y

26k6n+1

(ak−a1)×V(a2, . . . , an+1) (relation de r´ecurrence)

= Y

26k6n+1

(a_k−a₁)× Y

26i<j6n+1

(a_j−a_i) (hypoth`ese de r´ecurrence)

= Y

16i<j6n+1

(aj−ai)

doncP(n+ 1) est vraie.

D’apr`es le principe de r´ecurrence, on en d´eduit queP(n) est vraie pour toutn>2.

2 Une deuxi` eme d´ emonstration

2.1 Relation de r´ ecurrence

Soientn∈N,n>2,a₁, . . . , a_n∈K. On a :

V(a1, . . . , a_n−1, X) =

1 a1 a²₁ . . . aⁿ⁻¹₁ ... ... ... ... 1 a_n−1 a²_n−1 . . . aⁿ⁻¹_n−1

1 X X² . . . Xⁿ⁻¹

V(a1, . . . , a_n−1, X) est un polynˆome de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n−1 (il suffit pour cela de d´evelopper le d´eterminant suivant la derni`ere ligne). Soit k ∈ J1, n−1K. V(a₁, . . . , a_n−1, a_k) = 0 car c’est un d´eterminant ayant deux lignes ´egales.a1, . . . , an−1 sont donc des racines du polynˆomeV(a1, . . . , an−1, X). compte-tenu du degr´e de ce polynˆome, il existe donc λ ∈ K tel que V(a₁, . . . , a_n−1, X) = λ

n−1

Q

k=1

(X −a_k). Le coefficient de Xⁿ⁻¹ estλ. Par ailleurs, en d´eveloppantV(a1, . . . , a_n−1, X) suivant la derni`ere ligne, le coefficient deXⁿ⁻¹ est V(a₁, . . . , a_n−1) doncλ=V(a₁, . . . , a_n−1) et on a :

V(a1, . . . , a_n−1, an) =V(a1, . . . , a_n−1)×

n−1

Y

k=1

(an−ak).

2.2 D´ emonstration par r´ ecurrence

Pournentier sup´erieur ou ´egal `a 2, on noteP(n) la propri´et´e :V(a₁, . . . , a_n) = Q

16i<j6n

(a_j−a_i).

Pourn= 2 : soienta1, a2∈K.V(a1, a2) =

1 a1

1 a₂

= (a2−a1) donc P(2) est vraie.

Soitn∈N,n>2. SupposonsP(n) vraie. Soienta1. . . an+1∈K. V(a1, . . . , an+1) = Y

16k6n

(an+1−ak)×V(a1, . . . , an) (relation de r´ecurrence)

= Y

16k6n

(an+1−ak)× Y

16i<j6n

(aj−ai) (hypoth`ese de r´ecurrence)

= Y

16i<j6n+1

(aj−ai)

doncP(n+ 1) est vraie.

D’apr`es le principe de r´ecurrence, on en d´eduit queP(n) est vraie pour toutn>2.

S. Duchet-http://epsilon.2000.free.fr 2/2