Sur une ´ equation d’onde relativiste et ses solutions ` a sym´ etrie interne.

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Sur une ´ equation d’onde relativiste et ses solutions ` a sym´ etrie interne.

Claude Daviau

La Lande, 44522 Pouill´e-les-coteaux, France email : cdaviau@worldnet.fr

Fondation Louis de Broglie, 23 rue Marsoulan, 75012 Paris, France

RÉSUMÉ. Avec l’algèbre de Clifford d’espace-tempsE(3,1) on étudie une équation d’onde ne privilégiant aucune direction d’espace parti- culière, son invariance relativiste, ses invariances de jauge, sa formulation lagrangienne, ses tenseurs sans dérivée. L’équation d’onde est complètement résolue dans le cas de l’atome d’hydrogène. Les nombres quantiques et les niveaux d’énergie sont exactement ceux de la théorie de Dirac. Les solutions, pour un état lié donné, présentent une symétrie interneSO(4) qui laisse invariant le courant de densité de probabilité et les autres tenseurs de la théorie de Dirac.

ABSTRACT. In the frame of the spacetime algebra E(3,1) we study a wave equation without privileged direction, its relativistic invariance, gauge invariances, Lagrangian formulation, tensors without derivative.

The wave equation is completely solved for the case of the hydrogen atom. Quantum numbers and energy levels are exactly the same. For a given linked state, the space of solutions has an internalSO(4)sym- metry. The probability current is invariant under this symmetry group.

1 - L’alg`ebre de Clifford d’espace-temps

L’équation de Dirac a d’abord été écrite avec une fonction de l’espace- temps à valeur dansC⁴. Par la suite on s’est aper¸cu que le cadre mathé- matique naturel de la théorie était l’algèbre de Clifford d’espace-temps.

La plupart des travaux [1] [2] [3] ont utilisé une signature + − − − pour la métrique d’espace-temps. Les algèbres d’espace-tempsE(1,3), de signature + − − −, et E(3,1), de signature− + + +, ne sont pas isomorphes. Il devrait donc exister un moyen de distinguer laquelle est la bonne du point de vue physique. En fait on n’a utilisé jusqu’ici que la sous-algèbre paire d’espace-temps, et les sous-algèbres paires de E(1,3) et deE(3,1) sont isomorphes entre elles. On s’affranchit ici de la

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restriction à la sous-algèbre paire, et l’on a choisi la signature− + + +, donc l’algèbreE(3,1) parce qu’elle va permettre de partir d’une équation d’onde plus simple. Cette algèbre de Clifford est une algèbre sur le corps des réels de dimension 16, engendrée par 1, eµ, eµν, eµνρ, e0123, où les eµ sont les quatre vecteurs d’une base orthonormale de l’espace-temps :

e⁰=−e₀ ;e^j=e_j , j= 1, 2, 3.

e₀²=−1 ; e_j²= 1 ; e_µe_ν+e_νe_µ= 0 (µ6=ν) (1) On notee_µν le produite_µe_ν, e_µνρ le produite_µe_νe_ρ, ete₀₁₂₃ le produit e₀e₁e₂e₃. Si l’on choisit la repr´esentation matricielle de Majorana :

e0=

µ 0 σ1σ3

σ1σ3 0

¶

; e1=

µ0 σ1

σ1 0

¶

; e2=

µI2 0 0 −I2

¶

e3=

µ0 σ₃ σ₃ 0

¶

; I2= µ1 0

0 1

¶

; σ1= µ0 1

1 0

¶

σ₂=

µ0 −i i 0

¶

; σ₃= µ1 0

0 −1

¶

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alors le produit de l’algèbre de Clifford est simplement le produit ma- triciel usuel et, moyennant l’identification entre scalaires et matrices scalaires, l’algèbreE(3,1) est identique à l’algèbre des matrices carrées M4(R). On ne se servira pas ici de cette représentation matricielle qui n’apporte pas d’avantage particulier.

Parmi les 16 générateurs de E(3,1), dix sont de carré 1 : 1, e₁, e₂, e₃, e₀₁, e₀₂, e₀₃, e₀₂₃, e₀₃₁, e₀₁₂, et six sont de carré −1 : e₀, e₂₃, e₃₁, e₁₂, e₁₂₃, e₀₁₂₃. Les générateurs de carré −1 sont aussi les générateurs de l’algèbre de Lie du groupe SO(4), que nous retrou- verons ici comme groupe d’invariance interne des solutions pour l’atome d’hydrogène. Dans l’algèbreE(1,3), au contraire, il y a dix générateurs de carré−1 et six de carré 1.

2 - L’´equation d’onde avecE(3,1)

La prescription de départ pour construire l’équation de Dirac est simple : trouver une équation aux dérivées partielles du premier ordre redonnant au second ordre l’équation des ondes :

(¤+m²)ψ= 0 ; ¤=∂₀²−∂₁²−∂₂²−∂₃² x⁰=ct ; ∂µ= ∂

∂x^µ ; m=m0c

~

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L’outil math´ematique qu’apporte l’alg`ebre de Clifford est le gradient :

∂=e^µ∂_µ=−e₀∂₀+e₁∂₁+e₂∂₂+e₃∂₃ (4) qui donne au second ordre :

∂∂=e^µe^ν∂_µ∂_ν =−∂₀²+∂₁²+∂₂²+∂₃²=−¤ (5) On peut donc proposer, comme ´equation en l’absence de champ ex- t´erieur, simplement :

∂ψ=mψ (6)

puisqu’au second ordre on obtient :

−¤ψ=∂∂ψ=∂mψ=m∂ψ=m²ψ

0 = (¤+m²)ψ (7)

Une ´equation du type (6) n’est pas possible avec la signature + − − −, car alors∂∂=¤, et (6) donne au second ordre une ´equation de tachyon :

(¤−m²)ψ= 0 (8)

Il faut donc modifier l’équation du premier ordre en lui ajoutant à droite une terme de carré−1. L’équation de Dirac est en fait équivalente [1] à

∂ψ=mψγ0γ1γ2 (9)

où lesγ_µsont une base de l’espace temps de signature +− − −. On peut aussi adjoindre à droite de l’équation (6) n’importe quel terme de carré 1.

AvecE(3,1) ce n’est pas nécessaire, et l’on obtient avec (6) une équation d’onde du premier ordre ne privilégiant aucune direction particulière de l’espace. C’est en effet une particularité remarquée depuis longtemps par L. de Broglie [4] que l’équation de Dirac privilégie la directionx3, ce qui est a priori contraire à l’isotropie de l’espace.

Le second élément essentiel pour construire une équation d’onde pour l’électron est d’avoir une phase, et une invariance de jauge locale élec- trique suivant cette phase. Il faut donc un terme du genreeîϕoùi²=−1, et ϕ est la phase, d’où la croyance au caractère absolument nécessaire des nombres complexes dans la communauté des physiciens. Pourtant

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l’algèbre de Clifford, avec ses grandeurs toutes réelles, offre un large éven- tail d’objets de carré −1 : on a vu précédemment, sans compter leurs combinaisons linéaires, six générateurs de carré−1, à savoir : e0, e23, e31,e12,e123,e0123. L’inconvénient des bivecteurse23,e31,e12, est qu’ils privilégient la direction d’espace qui leur manque. De mêmee0 et e123

privilégient le temps. Le seul générateur faisant jouer un rôle symétrique

`

a toutes les directions d’espace-temps est e0123, et c’est la raison pour laquelle on le choisit ici. Pour abréger les calculs nous noteronsi=e0123. Cette notation a l’avantage d’être très usuelle en mécanique quantique.

Elle a l’inconvénient de laisser croire queiest identique au i usuel. Ori est un élément d’une algèbre non commutative, il ne commute pas avec ψ, et anticommute avec tout vecteur d’espace. C’est pourquoi nous le noterons toujours en caractère gras. L’invariance de jauge locale né- cessite l’adjonction d’un terme contenant un vecteur d’espace-temps, le potentiel électromagnétiqueA:

∂ψ=mψ+qAψi q= e

~c ; A=A^µe_µ (10) C’est cette ´equation d’onde que nous ´etudierons maintenant.

3 - Invariance relativiste, invariances de jauge

L’invariance relativiste a la même forme que pour l’équation de Dirac en algèbre d’espace-temps : siR est une rotation de Lorentz etx⁰ =Rx, il existe un élémentM de l’algèbre, défini au signe près, tel que

∂⁰ =M ∂M⁻¹ ; A⁰ =M AM⁻¹ ; ψ⁰=M ψ (11) et l’on obtient

∂⁰ψ⁰=mψ⁰+qA⁰ψ⁰i⇔M(∂ψ) =M(mψ+qAψi)

⇔∂ψ=mψ+qAψi

L’invariance de jauge locale électromagnétique prend la forme : ψ⁰ =ψeâi ; A⁰ =A+1

q∂a (12)

car on obtient :

∂⁰ψ⁰=mψ⁰+qA⁰ψ⁰i

⇔(∂ψ+∂a ψi)eâi=mψeâi+ (qA+∂a)ψieâi

⇔∂ψ=mψ+qAψi

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Mais il y a ici, en outre, une invariance de jauge globale sous les trans- formations :

ψ⁰=ψeâe^jk ; ∂a= 0 (13) où e_jk désigne l’un des trois bivecteurse₂₃,e₃₁,e₁₂, car on a :

∂ψ⁰ =∂ψe^ae^jk = (mψ+qAψi)e^ae^jk

=mψe^ae^jk+qAψe^ae^jki

=mψ⁰+qAψ⁰i 4 - ´Equation du second ordre

La présence, dans l’équation du premier ordre, d’un terme supplémen- taire nécessaire pour rendre locale l’invariance de jauge électromagné- tique fait que l’équation du second ordre ne se réduit pas à l’équation de Klein-Gordon, et contient le champ électromagnétique. Celui-ci prend, avecE(3,1), la forme :

F = (E^j+B^ji)e0j (14) Avec le potentiel ´electriqueV =A⁰, les ´equations

E~ =−∂₀A~−∇~V ; B~ =∇ ×~ A~ (15) prennent la forme

∂A=∂^µAµ+F (16)

et comme on a

∂(Aψ) = (∂^µA_µ+F+ 2A^µ∂_µ)ψ−A∂ψ (17) on obtient au second ordre :

0 = (¤+m²+q²A²)ψ+q(∂^µAµ+F+ 2A^µ∂µ)ψi (18) Cette équation est peu différente de celle obtenue à partir de l’équation de Dirac, au changement près de i par i. Elle est invariante relativiste et invariante de jauge électrique, puisqu’elle découle d’une équation du premier ordre qui possède déjà ces invariances.

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5 - Formulation lagrangienne

On utilisera dans ce paragraphe toutes les possibilit´es offertes par l’alg`ebre de Clifford. Tout d’abord on dispose de plusieurs conjugaisons.

Tout élément Mde E(3,1) est la somme du scalaire noté< M >₀ ou simplement < M >, du vecteur < M >₁, du bivecteur < M >₂, du pseudo-vecteur < M >3 et du pseudo-scalaire< M >4. On notera M le conjugué :

M =< M >₀−< M >₁+< M >₂−< M >₃+< M >₄ (19) ce qui permet de d´efinir la partie paireMp= ^M+M₂ et la partie impaire M_i =^M^−M₂ deM. Cette conjugaison v´erifie pour tout Aet toutB :

A+B =A+B ; A B=A B (20) On utilise en outre la r´eversion, d´efinie par :

f

eµ=eµ ; xA^+yB=xAe+yBe gAB=BeAe

(21) qui donne :

Mf=< M >₀+< M >₁−< M >₂−< M >₃+< M >₄ (22) On utilise enfin la conjugaison :

Mc=fM =< M >0−< M >1−< M >2+< M >3+< M >4 (23) Une densit´e lagrangienne pour l’´equation d’onde (10) est :

L=< ∂ψe123ψb−mψe123ψb+qAψe0ψ >b (24) En utilisant les méthodes de dérivation suivant un multivecteur exposées en [5] on obtient l’équation de Lagrange

dψL= (d∂ψL)∂ (25)

Or on a :

d_ψL=∂ψe\₁₂₃−2mψe\₁₂₃+ 2q\Aψe₀ d_∂ψL=e₁₂₃ψb

(7)

On obtient donc :

∂ψe\123−2m\ψe123+ 2q\Aψe0=e123ψ∂b

∂ψe₁₂₃−2mψe₁₂₃+ 2qAψe₀=−∂ψe₁₂₃

∂ψ=mψ+qAψi

(26)

Une autre densit´e lagrangienne possible est :

L⁰ =< ∂ψe123ψb⁰−mψe123ψb⁰+qAψe0ψb⁰> (27) où ψ⁰ est une seconde onde du même type. Les équations qui découlent de cette densité, à savoir :

d_ψL⁰= (d_∂ψL⁰)∂ (28)

dψ⁰L⁰= (d∂ψ⁰L⁰)∂ (29) donnent respectivement

∂ψ⁰=−mψ⁰−qAψ⁰i

∂ψ=mψ+qAψi (30)

La seconde onde ψ⁰ apparaˆıt alors comme la conjugu´ee de charge de l’onde ψ, dans une conjugaison de charge qui ne change pas seulement le signe de la charge, mais aussi le signe de la masse.

Le fait qu’il existe deux formes complètement différentes pour la densité lagrangienne entraine l’existence de deux formes tout aussi dif- férentes pour le tenseur d’impulsion-énergie lié à l’invariance de LetL⁰ sous les translations. Avec L⁰ le tenseur d’impulsion-énergie contient à la fois ψ et ψ⁰. La question de l’énergie doit donc être soigneusement réexaminée.

6 - Tenseurs sans d´eriv´ee

La forme que prend l’invariance relativiste en algèbre d’espace-temps fait que les tenseurs sans dérivée sont : ψψ,b ψeµψ,b ψeµνψ,b ψeµνρψ,b ψiψ,b avec en tout 136 composantes, beaucoup plus que les 16 composantes de tenseurs connus en théorie de Dirac. Parmi ces tenseurs seuls lesψeµψbet lesψe_µνρψbsont invariants de jauge électrique, ce qui fait tout de même

(8)

encore 64 composantes de tenseurs, quatre fois plus que pour l’équation de Dirac. Pour cerner de manière plus précise ces tenseurs, posons

ϕ=1

2(ψ+ψ) ; χe0=1

2(ψ−ψ) (31)

ϕ et χ sont à valeur dans la sous-algèbre paire de l’algèbre d’espace- temps. On a :

ψ=ϕ+χe₀ ; ψb=ϕe−e₀χe

ψe₀ψb=J+B ; J =ϕe₀ϕe+χe₀χe ; B=ϕχe+χϕe (32) ψe₀ψbest la somme du vecteur d’espace-temps J et du bivecteur B. Le vecteurJ est le vecteur courant dont la composante de temps peut être interprétée comme la densité de probabilité de présence de la particule, car si l’on pose :

ϕ=u0+u1e01+u2e02+u3e03+u4e23+u5e31+u6e12+u7i χ=v₀+v₁e₀₁+v₂e₀₂+v₃e₀₃+v₄e₂₃+v₅e₃₁+v₆e₁₂+v₇i (33) on obtient

J⁰= X7

i=0

(ui2+vi2) (34)

doncJ⁰ est partout positif ou nul. De plus le courantJ est le courant conservatif lié par le théorème de Noether à l’invariance de L sous la transformation de jauge électrique (12), ce qui donne :

∂·J =∂_µJ^µ= 0 (35)

Une des fa¸cons de voir que l’équation ici étudiée n’est pas équivalente

`

a l’équation de Dirac est de regarder les conséquences du théorème de Noether sur les invariances de jauge (13). À chacune est en effet associé un courant conservatif. Ces courants sont lesJ(k) tels que

J_(k)=< ψekψ >b 1 ; B_(k)=< ψekψ >b 2 (36) Ces courants v´erifient

∂·J_(k)= 0 (37)

alors qu’il n’y a en th´eorie de Dirac qu’un seul courant conservatif, le courantJ.

(9)

7 - Résolution de l’équation pour l’atome d’hydrogène.

Dans le cas du potentiel coulombien le vecteurA se réduit à A⁰e0. En multipliant (10) à gauche pare0 on obtient :

(∂₀+∂)ψ~ =me₀ψ+qA₀ψi

∂~=e₀₁∂₁+e₀₂∂₂+e₀₃∂₃ (38) On suppose ici que le plan de la trajectoire estOx1x2 et l’on choisit les coordonn´ees sph´eriques :

x1=rsinθcosϕ ; x2=rsinθsinϕ ; x3=rcosθ (39) On suit ici la méthode de séparation des variables de H. Krüger [6]. On pose :

S=e⁻^ϕ²^e¹²e⁻^θ²^e³¹ ; Ω = 1 r√

sinθS

~∂⁰ =e₀₃∂_r+e₀₁1

r∂_θ+e₀₂ 1 rsinθ∂_ϕ

(40)

et l’on obtient

∂~= Ω~∂⁰Ω⁻¹ (41) La s´eparation des variablesx⁰=ctetϕdes variablesretθs’obtient en posant

ψ= Ωφe^{(λϕ+δ−Ex}⁰⁾ⁱ (42)

o`u λ, δ, E sont des constantes et o`u φest fonction der et θ seuls. En effet on a :

∂₀(Ω⁻¹ψ) =−Eφie^(λϕ+δ⁻^Ex⁰⁾ⁱ

∂ϕ(Ω⁻¹ψ) =λφie^(λϕ+δ⁻^Ex⁰⁾ⁱ

(43) En multipliant `a gauche l’´equation (38) par Ω⁻¹ on obtient

(∂0+∂~⁰)(Ω⁻¹ψ) =me0Ω⁻¹ψ+qA0Ω⁻¹ψi (44) et en tenant compte de (43) on obtient :

−Eφi+e03∂rφ+e01

1

r∂θφ+ λ

rsinθe02φi=me0φ+qA0φi (45)

(10)

α´etant la constante de structure fine, on aqA0=^α_r, et l’on obtient

−(E+α

r)φi+e03∂rφ+e01

1

r∂θφ+ λ

rsinθe02φi=me0φ (46) Posons maintenant, comme en (31) :

φ₁= 1

2(φ+φ) ; φ₂e₀=1

2(φ−φ) (47)

φ1 etφ2 sont à valeur dans la sous-algèbre paire et peuvent s’écrire

φ1=u0+u1e01+u2e02+u3e03+u4e23+u5e31+u6e12+u7i φ₂=v₀+v₁e₀₁+v₂e₀₂+v₃e₀₃+v₄e₂₃+v₅e₃₁+v₆e₁₂+v₇i (48)

L’équation (46) est alors équivalente aux systèmes :

(E+α

r)v7−∂rv3−1

r∂θv1− λ

rsinθv5=−mu0

(E+α

r)v4−∂rv5−1

r∂θv0− λ

rsinθv3=mu1

(E+α

r)v₅+∂_rv₄−1

r∂_θv₆− λ

rsinθv₇=mu₂ (E+α

r)v₆−∂_rv₀+1

r∂_θv₅+ λ

rsinθv₁=mu₃

−(E+α

r)v1+∂rv2−1

r∂θv7− λ

rsinθv6=−mu4

−(E+α

r)v₂−∂_rv₁+1

r∂_θv₃+ λ

rsinθv₀=−mu₅

−(E+α

r)v₃−∂_rv₇−1

r∂_θv₂+ λ

rsinθv₄=−mu₆

−(E+α

r)v0−∂rv6−1

r∂θv4+ λ

rsinθv2=mu7

(49)

(11)

(E+α

r)u7+∂ru3+1

r∂θu1− λ

rsinθu5=−mv0

(E+α

r)u₄+∂_ru₅+1

r∂_θu₀− λ

rsinθu₃=mv₁ (E+α

r)u5−∂ru4+1

r∂θu6− λ

rsinθu7=mv2

(E+α

r)u6+∂ru0−1

r∂θu5+ λ

rsinθu1=mv3

−(E+α

r)u₁−∂_ru₂+1

r∂_θu₇− λ

rsinθu₆=−mv₄

−(E+α

r)u₂+∂_ru₁−1

r∂_θu₃+ λ

rsinθu₀=−mv₅

−(E+α

r)u3+∂ru7+1

r∂θu2+ λ

rsinθu4=−mv6

−(E+α

r)u0+∂ru6+1

r∂θu4+ λ

rsinθu2=mv7

(50)

Ces syst`emes se r´eduisent, si :

u₀=c₁u₂ ; u₃=−c₁u₄ ; u₆=c₁u₁ ; u₇=c₁u₅ v0=−c1v2; v3=c1v4 ; v6=−c1v1 ; v7=−c1v5

c₁=±1

(51) au syst`eme suivant :

(E+α

r)u1+∂ru2−c1

r(∂θu5− λ

sinθu1) =mv4

(E+α

r)u2−∂ru1−c1

r(∂θu4+ λ

sinθu2) =mv5

(E+α

r)u₄+∂_ru₅+c₁

r(∂_θu₂+ λ

sinθu₄) =mv₁ (E+α

r)u₅−∂_ru₄+c1

r(∂_θu₁− λ

sinθu₅) =mv₂ (E+α

r)v1−∂rv2−c1

r(∂θv5+ λ

sinθv1) =mu4

(E+α

r)v₂+∂_rv₁−c₁

r(∂_θv₄− λ

sinθv₂) =mu₅ (E+α

r)v₄−∂_rv₅+c₁

r(∂_θv₂− λ

sinθv₄) =mu₁ (E+α

r)v5+∂rv4+c1

r(∂θv1+ λ

sinθv5) =mu2

(52)

(12)

Le système précédent peut être à nouveau réduit si :

v4=c2u2; v2=−c2u4 ; v5=c2u1 ; v1=−c2u5; c2=±1 (53) auquel cas il prend la forme :

(E+α

r)u1+∂ru2−c1

r(∂θu5− λ

sinθu1) =c2mu2

(E+α

r)u₂−∂_ru₁−c₁

r(∂_θu₄+ λ

sinθu₂) =c₂mu₁ (E+α

r)u₄+∂_ru₅+c1

r(∂_θu₂+ λ

sinθu₄) =−c₂mu₅ (E+α

r)u5−∂ru4+c1

r(∂θu1− λ

sinθu5) =−c2mu4

(54)

La séparation de ce système s’effectue en remarquant que u1 et u2 ont même partie angulaire, ainsi queu4etu5, tandis queu5etu1ont même partie radiale, ainsi queu₂et u₄.Donc on pose :

u1=Af ; u2=Ag; u4=−Bg; u5=Bf (55) où A =A(θ), B =B(θ), f =f(r), g =g(r) sont des fonctions d’une seule variable. Le système d’équation devient alors :

(E+α

r)Af+Ag⁰−c1

r(B⁰− λ

sinθA)f =c2mAg (E+α

r)Ag−Af⁰−c1

r(−B⁰+ λ

sinθA)g=c2mAf

−(E+α

r)Bg+Bf⁰+c₁

r(A⁰− λ

sinθB)g=−c₂mBf (E+α

r)Bf +Bg⁰+c₁

r(A⁰− λ

sinθB)f =c₂mBg

(56)

Il y a s´eparation des variables s’il existe une constanteκtelle que : A⁰− λ

sinθB=κB B⁰− λ

sinθA=−κA

(57)

auquel cas le système (56) se réduit au système radial : (E+α

r)f+g⁰+c1κ

r f =c₂mg (E+α

r)g−f⁰−c1κ

r g=c2mf

(58)

(13)

R´esolution du syst`eme angulaire

Pour r´esoudre le syst`eme angulaire (57), on pose

U =A+B ; V =A−B (59)

Et on obtient en ajoutant et retranchant les ´equations (57) le syst`eme

´equivalent

U⁰= λ

sinθU−κV V⁰=− λ

sinθV +κU

(60)

Siλ >0 on pose, avecC=C(θ) : U = sin^λθ[sinθ

2C⁰−(κ+1

2 +λ) cosθ 2C]

V = sin^λθ[cosθ

2C⁰+ (κ+1

2 −λ) sinθ 2C]

(61)

Siλ <0 on pose :

U = sin^−λθ[cosθ

2C⁰+ (κ+1

2+λ) sinθ 2C]

V = sin^−λθ[−sinθ

2C⁰+ (κ+1

2 +λ) cosθ 2C]

(62)

Le système angulaire (60) est alors équivalent [7] à l’équation différen- tielle des polynômes de Gegenbauer :

0 =C⁰⁰+ 2|λ|

tanθC⁰+ [(κ+1

2)²−λ²]C (63) Le changement de variablez= cosθdonne alors l’´equation diff´erentielle :

0 =f⁰⁰(z)−1 + 2|λ|

1−z² zf⁰(z) +(κ+¹₂)²−λ²

1−z² f(z) (64) Cette équation différentielle est du type de Fuchs enz = 0. L’étude de la parité montre que toute solution est somme d’une solution paire et d’une solution impaire. On aura donc :

f(z) =p(z) +i(z) p(z) =

X∞ j=0

pjz^2j ; i(z) = X∞ j=0

ijz^2j+1 (65)

(14)

ce qui donne :

pj+1= (2j+|λ|+κ+¹₂)(2j+|λ| −κ−¹₂) (2j+ 2)(2j+ 1) pj

ij+1= (2j+ 1 +|λ|+κ+¹₂)(2j+ 1 +|λ| −κ−¹₂) (2j+ 3)(2j+ 2) ij

(66)

f n’est de carr´e sommable que si c’est un polynˆome, donc s’il existe un entierntel que

n+|λ|=|κ+1

2| (67)

La forme du facteur Ω indique queψ n’est univaluée que si λest demi- entier impair, ce qui impose à κd’être entier. Les solutions pourκ= 0 sont aussi bi-valuées, doncκdoit être un entier relatif non nul. On pose ensuite

j=|κ+1

2| (68)

j prend les valeurs ¹₂, ³₂, ⁵₂, ⁷₂, ... et par suite de (67) les valeurs possibles pour λ sont −j, −j+ 1, ... j−1, j. Il n’est pas nécessaire de faire intervenir les opérateurs de spin et la théorie des représentations du groupe des rotations pour obtenir ces résultats, qui découlent de la séparation des variables et du caractère univalué et de carré sommable des fonctions d’onde. En tenant compte des deux valeurs possibles pour les constantesc1 etc2, quatre cas sont possibles

Premier cas : c1=c2= 1 Le syst`eme radial devient

(E+α

r)f+g⁰+κ rf =mg (E+α

r)g−f⁰−κ rg=mf

(69)

On pose alors

f1=f+g ; f2=f−g (70)

(15)

et en ajoutant et retranchant les ´equations (69) on obtient : (E+α

r −m)f1−f₂⁰ +κ rf2= 0 (E+α

r +m)f2+f₁⁰ +κ rf1= 0

(71)

Ce système est le système radial obtenu à partir de l’équation de Dirac.

On obtient les niveaux d’énergie simplement en supposant que les fonctions sont de carré sommable, ce qui entraˆıne l’existence de polynômes dont le degrénfournit la formule des niveaux d’énergie :

m₀c²[1 + α² (n+√

κ²−α²)²]⁻¹² (72) et en outre ce système radial donne le bon nombre d’états, grâce au fait qu’il n’y a pourn= 0 de solution que pourκ <0.

Pour cette premi`ere solution, on obtient : u₁=u₆=v₅=−v₇=Af =U+V

2

f₁+f₂ 2 u2=u0=v3=v4=Ag=U +V

2

f1−f2

2 u4=−u3=v0=−v2=−Bg=V −U

2

f1−f2

2 u₅=u₇=−v₁=v₆=Bf =U−V

2

f₁+f₂ 2

(73)

Donc on obtient :

φ=φ⁽¹⁾=φ1(1)

+φ2(1)

e0

4φ₁⁽¹⁾=(U+V)(f₁−f₂) + (U+V)(f₁+f₂)e₀₁ + (U+V)(f1−f2)e02+ (U −V)(f1−f2)e03

+ (V −U)(f₁−f₂)e₂₃+ (U −V)(f₁+f₂)e₃₁ + (U+V)(f1+f2)e12+ (U −V)(f1+f2)i 4φ2(1)

=(V −U)(f1−f2) + (V −U)(f1+f2)e01

+ (U−V)(f1−f2)e02+ (U +V)(f1−f2)e03

+ (U+V)(f₁−f₂)e₂₃+ (U +V)(f₁+f₂)e₃₁ + (U−V)(f1+f2)e12−(U +V)(f1+f2)i

(74)

(16)

Deuxi`eme cas : c1= 1,c2=−1, κ=κ2

Le syst`eme radial devient : (E+α

r)f+g⁰+κ₂

r f =−mg (E+α

r)g−f⁰−κ2

r g=−mf

(75)

On pose dans ce cas

f1=g−f ; f2=f+g (76) et en ajoutant et retranchant les ´equations on obtient :

(E+α

r −m)f1−f₂⁰−κ₂ r f2= 0 (E+α

r +m)f₂+f₁⁰−κ₂ r f₁= 0

(77)

Ce système est identique à (71) siκ₂=−κ, et alors le système angulaire devient, à la place de (57) :

A⁰− λ

sinθB =−κB B⁰− λ

sinθA=κA

(78)

Mais si l’on ´echange A et B, on obtient (57), donc il suffit de poser maintenant

U =A+B ; V =−A+B (79) pour obtenir `a nouveau le syst`eme (60). Pour cette seconde solution on a :

u1=u6=−v5=v7=Af= U−V 2

f2−f1

2 u₂=u₀=−v₃=−v₄=Ag= U−V

2

f₁+f₂ 2 u₄=−u₃=−v₀=v₂=−Bg=−U+V

2

f₁+f₂ 2 u5=u7=v1=−v6=Bf =U +V

2

f2−f1

2

(80)

(17)

et l’on obtient :

φ=φ⁽²⁾=φ1(2)

+φ2(2)

e0

4φ1(2)

=(U−V)(f1+f2) + (U−V)(f2−f1)e01

+ (U−V)(f1+f2)e02+ (U +V)(f1+f2)e03

−(U+V)(f₁+f₂)e₂₃+ (U +V)(f₂−f₁)e₃₁ + (U−V)(f2−f1)e12+ (U +V)(f2−f1)i 4φ2(2)

=(U+V)(f1+f2) + (U+V)(f2−f1)e01

−(U+V)(f₁+f₂)e₀₂+ (V −U)(f₁+f₂)e₀₃ + (V −U)(f1+f2)e23+ (V −U)(f2−f1)e31

+ (U+V)(f1−f2)e12−(U −V)(f2−f1)i

(81)

Troisi`eme cas : c₁=−1, c₂= 1, κ=κ₃ Le syst`eme radial devient :

(E+α

r)f +g⁰−κ3

r f =mg (E+α

r)g−f⁰+κ3

r g=mf

(82)

Il suffit donc de poserκ=−κ₃et d’utiliser (79) pour obtenir les syst`emes angulaires et radiaux du premier cas. On obtient donc ici :

u1=−u6=v5=v7=Af= U−V 2

f1+f2

2 u₂=−u₀=−v₃=v₄=Ag= U−V

2

f₁−f₂ 2 u₄=u₃=−v₀=−v₂=−Bg=−U+V

2

f₁−f₂ 2 u5=−u7=−v1=−v6=Bf = U+V

2

f1+f2

2

(83)

(18)

ce qui donne :

φ=φ⁽³⁾=φ₁⁽³⁾+φ₂⁽³⁾e₀

4φ₁⁽³⁾=(V −U)(f₁−f₂) + (U−V)(f₁+f₂)e₀₁ + (U−V)(f1−f2)e02+ (U +V)(f2−f1)e03

+ (U+V)(f2−f1)e23+ (U +V)(f1+f2)e31

+ (V −U)(f₁+f₂)e₁₂−(U +V)(f₁+f₂)i 4φ₂⁽³⁾=(U+V)(f₁−f₂)−(U+V)(f₁+f₂)e₀₁

+ (U+V)(f1−f2)e02+ (V −U)(f1−f2)e03

+ (U−V)(f₁−f₂)e₂₃+ (U −V)(f₁+f₂)e₃₁

−(U+V)(f1+f2)e12+ (U −V)(f1+f2)i

(84)

Quatri`eme cas : c1=−1, c2=−1 Le syst`eme radial devient :

(E+α

r)f+g⁰−κ

rf =−mg (E+α

r)g−f⁰+κ

rg=−mf (85)

On pose dans ce cas

f₁=g−f ; f₂=f+g (86) et en ajoutant et retranchant les ´equations on obtient (71). On a donc ici :

u1=−u6=−v5=−v7=Af=U +V 2

f2−f1

2 u₂=−u₀=v₃=−v₄=Ag=U +V

2

f₁+f₂ 2 u₄=u₃=v₀=v₂=−Bg=−U −V

2

f₁+f₂ 2 u5=−u7=v1=v6=Bf = U−V

2

f2−f1

2

(87)

(19)

ce qui donne :

φ=φ⁽⁴⁾=φ1(4)

+φ2(4)

e0

4φ₁⁽⁴⁾=−(U+V)(f₁+f₂) + (U+V)(f₂−f₁)e₀₁ + (U+V)(f1+f2)e02+ (V −U)(f1+f2)e03

+ (V −U)(f₁+f₂)e₂₃+ (U −V)(f₂−f₁)e₃₁ + (U+V)(f1−f2)e12+ (U −V)(f1−f2)i 4φ2(4)

=(V −U)(f1+f2) + (U−V)(f2−f1)e01

+ (V −U)(f1+f2)e02+ (U +V)(f1+f2)e03

−(U+V)(f₁+f₂)e₂₃+ (U +V)(f₁−f₂)e₃₁ + (U−V)(f2−f1)e12+ (U +V)(f1−f2)i

(88)

La solution généraleφde l’équation (46), pour chaque valeur des nombres quantiquesn,κ,λ, est une combinaison linéaires des solutionsφ⁽¹⁾,φ⁽²⁾, φ⁽³⁾,φ⁽⁴⁾. En posant :

φ=a

2(φ⁽¹⁾+φ⁽²⁾+φ⁽³⁾+φ⁽⁴⁾) + b

2(φ⁽¹⁾+φ⁽²⁾−φ⁽³⁾−φ⁽⁴⁾) +c

2(φ⁽¹⁾−φ⁽²⁾+φ⁽³⁾−φ⁽⁴⁾) +d

2(φ⁽¹⁾−φ⁽²⁾−φ⁽³⁾+φ⁽⁴⁾) (89)

on obtient finalement :

φ=φ1+φ2e0

φ₁=u₀+u₁e₀₁+u₂e₀₂+u₃e₀₃+u₄e₂₃+u₅e₃₁+u₆e₁₂+u₇i φ2=v0+v1e01+v2e02+v3e03+v4e23+v5e31+v6e12+v7i

(90)

(20)

avec :

u0= 1

2(−aV f2+bU f1+cV f1−dU f2) u1= 1

2(aU f2+bV f1+cU f1+dV f2) u2= 1

2(aU f1−bV f2−cU f2+dV f1) u3= 1

2(aV f2+bU f1−cV f1−dU f2) u4= 1

2(−aU f1−bV f2+cU f2+dV f1) u5= 1

2(aU f2−bV f1+cU f1−dV f2) u6= 1

2(aV f1+bU f2+cV f2+dU f1) u7= 1

2(−aV f1+bU f2−cV f2+dU f1)

(91)

v₀= 1

2(aV f₁+bU f₂−cV f₂−dU f₁) v₁= 1

2(−aU f₁+bV f₂−cU f₂+dV f₁) v₂= 1

2(−aU f₂−bV f₁+cU f₁+dV f₂) v₃= 1

2(aV f₁−bU f₂−cV f₂+dU f₁) v₄= 1

2(−aU f₂+bV f₁+cU f₁−dV f₂) v₅= 1

2(aU f₁+bV f₂+cU f₂+dV f₁) v6= 1

2(−aV f2+bU f1−cV f1+dU f2) v7= 1

2(−aV f2−bU f1−cV f1−dU f2)

(92)

8 - Les tenseurs dans le cas de l’atome d’hydrog`ene

Le vecteur courantJ est la partie vectorielle deψe₀ψ. La forme (42) deb ψdonne :

ψe0ψb= Ωφe0φbΩe (93)

(21)

Avec la d´ecomposition deφen la somme d’un terme pair et d’un terme impair (47) on a

< φe0φ >b 1=φ1e0fφ1+φ2e0fφ2 (94) Le courantJ est donc la somme de deux vecteurs :

J=J⁰+J⁰⁰ J⁰= Ωφ1e0φf1Ωe J⁰⁰= Ωφ₂e₀φf₂Ωe

(95)

Et pour la composante de tempsJ⁰qui est interprétable comme densité de probabilité de présence on obtient :

J⁰=J⁰⁰+J⁰⁰⁰

J⁰⁰=J⁰⁰⁰= a²+b²+c²+d² 2

U²+V² sinθ

f12

+f22

r²

(96)

Partant de l’interprétation de J⁰ comme densité de probabilité de présence, la théorie de Dirac normalise l’onde de fa¸con à avoir une vraie probabilité, donc pose :

ZZZ

J⁰dv= 1 Z ^π₂

−^π₂(U²+V²)dθ= 1 Z _+∞

0

(f₁²+f₂²)dr= 1

(97)

Si l’on garde ces trois conditions de normalisation, on est amen´e `a ajouter ici

a²+b²+c²+d²= 1 (98) Cette condition, qui simplifie les calculs qui vont suivre, sera supposée vérifiée. L’ensemble des solutions correspondant aux mêmes nombres quantiques n,κ,λ, est alors en correspondance bijective avec la sphère unité de R⁴. Cette hypersphère est invariante sous le groupe des rota- tionsSO(4). C’est aussi le cas de J⁰, qui ne dépend des constantes a,