Decay of Solutions to a 2D Schr¨odinger Equation

(1)

Decay of Solutions to a 2D Schr¨ odinger Equation

Saˆ anouni Tarek

Agr´ eg´ e et assistant ` a I. P. E. I. El Manar

Journal of Partial Differential Equations Vol 24, Iss 1, pp 37-54

JAMA (2011)

(2)

Cadre g´ en´ eral

L’´ equation de Schr¨ odinger semilin´ eaire

(S _g ) : i ∂ _t u + ∆u = uG

⁰

(|u| ² ) = g(u), u : (0, T ^∗ ) × R ^d → C . G ´ etant une fonction r´ eelle.

Lois de conservations :

• la masse

M (u, t ) := ku(t )k ² _L

2

= M (u, 0),

• le moment

=(

Z

¯

u(t )∇u(t )dx ),

• l’Hamiltonien

H (u, t ) := k∇u(t )k ² _L

2

+ Z

R

^d

G(|u| ² )dx = H (u, 0).

(3)

Introduction R´esultat principal Outils essentiels

´

el´ements de la preuve Perspective

Cadre g´en´eral Historique Le casd= 2

Historique

(1) Cas de nonlin´ earit´ e monˆ omiale (S _±u|u|

^p−1

), p > 1.

Invariance par changement d’´ echelle

u(t , x ) ⇒ u _λ (t , x) := λ

^p−1²

u(λ ² t , λx), λ > 0.

Le seul indice p qui laisse la norme de H ˙ ¹ invariante par la transformation pr´ ec´ edente est

p _c := d + 2

d − 2 , d ≥ 3.

(4)

• Cas soucritique (p < p _c )

Caract` ere localement bien pos´ e dans l’espace d’´ energie.

T ^∗ = T ^∗ (ku ₀ k _H

1

) ⇒ dans le cas d´ efocalisant T ^∗ = ∞.

p > 1 + ⁴ _d ⇒ Scattering. Ginibre-Velo (1985).

• Cas critique (p = p c )

Caract` ere localement bien pos´ e dans l’espace d’´ energie et T ^∗ = T ^∗ (e ^it ^∆ u ₀ ). Cazenave-Weissler, (1990). Dans le cas d´ efocalisant T ^∗ = ∞, + Scattering, Visan (2007).

• Cas surcritique (p > p c )

R´ esultas partiels d’instabilit´ e, Carles (2007).

(5)

´

(2) Cas de nonlin´ earit´ e exponentielle.

• Nakamura-Ozawa, (1998)

petite donn´ ee initiale ⇓

caract` ere globalement bien pos´ e dans H

^d²

( R ^d ), d ≥ 2 et scattering, pour une nonlin´ earit´ e satisfaisant

|g

⁰

(u)| . |u|e ^λ|u|

²

, pour un certain λ > 0.

(6)

Le cas d = 2.

Dans ce cas il y a plusieurs motivations pour consid´ erer une nonlin´ earit´ e exponentielle.

1/ En deux dimensions d’espace, toute nonlin´ earit´ e ponlynˆ omiale est sous critique dans l’espace d’´ energie.

2/ L’injection de Sobolev

H ¹ ( R ² ) ⊂ L ^p ( R ² ), 2 ≤ p < ∞.

3/ Les estimations de type Moser-Trudinger.

(7)

´

• Colliander-Ibrahim-Majdoub-Masmoudi, (2009) H (u ₀ ) ≤ 1 ⇓

caract` ere globalement bien pos´ e dans l’espace d’´ energie de

i ∂ t u + ∆u = u(e ^4π|u|

²

− 1) sur R t × R ² x .

H (u 0 ) > 1 ⇒ instable.

• Ibrahim-Majdoub-Masmoudi-Nakanishi, (2009),

i ∂ _t u + ∆u = u(e ^4π|u|

²

− 1 − 4π|u| ² ) sur R t × R ² _x .

H (u ₀ ) < 1 ⇒scattering

H (u ₀ ) = 1 ⇒ scattering est un probl` eme ouvert.

(8)

• Saˆ anouni, (2010) ⇒ caract` ere globalement bien pos´ e dans l’espace d’´ energie, sans condition sur la donn´ ee initiale de

i ∂ _t u + ∆u = u(1 + 4π|u| ² )

^α²

⁻¹

e ^(1+4π|u|

²

⁾

α2

− e

, 0 < α < 2.

• Saˆ anouni, (2010) ⇒ scattering dans l’espace d’´ energie et dans l’espace conforme de

i∂ _t u+∆u = u(1+4π|u| ² )

^α²

⁻¹

e ^(1+4π|u|

²

⁾

α

2

−e(1+4π|u| ² )

^α²

, α ∈ (0, 2).

(9)

´

Objectif

On consid` ere

i ∂ _t u + ∆u = u(e ^4π|u|

²

− 1) sur R t × R ² x

⇓

u ∈ C (R, H ¹ (R ² )) ∩ L ⁴ _loc (C

¹²

(R ² ))

le scattering dans l’espace d’´ energie est un probl` eme ouvert dans les deux cas sous critique et critique H (u ₀ ) ≤ 1.

On se propose de prouver le r´ esultat de dispersion

t lim →∞ ku(t )k _L

r

(R

²

) = 0, ∀ 2 < r < ∞.

(10)

Remarques

• Le r´ esultat de dispersion est plus faible que le scattering.

• Un r´ esultat similaire existe dans le cas monˆ omial sous critique i ∂ t u + ∆u = u|u| ^p−1 , 1 < p < d + 2

d − 2 . En effet Visciglia (2009) a prouv´ e que

t→∞ lim ku(t )k _L

r

(R

²

) = 0, ∀r ∈ (2, 2d d − 2 ) avec la convention ^d+2 _d−2 = _d−2 ^2d = ∞ si d ∈ {1, 2}.

• Ce r´ esultat est int´ eressant pour 1 < p ≤ 1 + _d ⁴ .

(11)

´

R´ esultat principal

Th´ eor` eme

Soient u 0 ∈ H ¹ (R ² ) tel que H (u 0 ) ≤ 1et u ∈ C (R, H ¹ (R ² )) la solution du probl` eme de Cauchy

i∂ _t u + ∆u = u(e ^4π|u|

²

− 1), u(0) = u ₀ . Donc, pour tout 2 < r < ∞,

1

lim sup

t→∞

k∇u(t )k _L

2

(R

²

) < 1 ⇒ lim

t→∞ ku(t )k _L

r

(R

²

) = 0.

2

lim sup

t→∞

k∇u(t )k _L

2

( R

²

) = 1 ⇒ lim inf

t →∞ ku(t )k _L

r

( R

²

) = 0.

De plus, si t _n % +∞, existent une sous suite (s _n ) et une suite de nombres r´ eels positifs (r n ), tels que

n→∞ lim r n = 0 et lim

n→∞ ku(s _n + r n )k _L

r

(R

²

) = 0.

(12)

Outils essentiels

• Estimation de Strichartz

kuk _L

^p

_L

^r

. ku(0)k _L

2

+ kg(u)k

L

^a⁰

L

^b⁰

, 1 p + 1

r = 1 a + 1

b = 1 2 .

• Formule integrale de Duhamel u(t, x) = e ^it ^∆ u 0 − i

Z t

0 e ^i(t−s)∆ g(u(s))ds .

• Estimation ` a priori prouv´ ee r´ ecemment par Colliander et al.

kuk _L

4

( R ,L

⁸

( R

²

)) . kuk

3 4

L

^∞

(R,L

²

(R

²

)) k∇u k

1 4

L

^∞

(R,L

²

(R

²

)) . M (u)

³⁴

H (u)

¹⁴

.

(13)

´

Pour contrˆ oler le terme nonlin´ eaire, on utilise les deux outils

In´ egalit´ es de Moser-Trudinger

Soit α ∈ (0, 4π). Une constante C α existe telle que pour tout u ∈ H ¹ ( R ² ) satisfaisant k∇uk _L

2

( R

²

) ≤ 1, on a

Z

R

²

e ^α|u(x ^)|

²

− 1

dx ≤ C α kuk ² _L

2

(R

²

) .

De plus ona

sup

kuk

_H1(R2)

≤1

Z

R

²

e ^4π|u(x)|

²

− 1

dx < ∞,

sup

kuk

_H1(R2)

≤1

Z

R

²

e ^(4π+)|u(x ^)|

²

− 1

dx = ∞, ∀ > 0.

(14)

In´ egalit´ e logarithmique (Ibrahim-Masmoudi-Majboub) Pour tout λ > _π ¹ et tout 0 < µ ≤ 1, une constante C λ > 0 existe tel que, pour toute fonction u ∈ (H ¹ ∩ C

¹²

)( R ² ), on a

kuk ² _L

∞

(R

²

) ≤ λkuk ² _µ log

C λ + 8

¹²

kuk

C

¹²

( R

²

)

µ

¹²

kuk _µ

avec

kuk ² _µ := k∇uk ² _L

2

( R

²

) + µ ² kuk ² _L

2

( R

²

) .

De plus, la condition λ > 1/π est optimale.

(15)

´

Idée de la preuve du Théorème

´ el´ ements de la preuve

• Par un argument d’interpolation, il suffit de montrer le Th´ eor` eme pour r = 3.

• La la preuve repose sur les deux r´ esultats suivants

(16)

R´ esultats interm´ ediaires

Lemme (1)

Soit u ₀ ∈ H ¹ tel que H (u ₀ ) ≤ 1 et u ∈ C ( R , H ¹ ) la solution du probl` eme de Cauchy

i ∂ _t u + ∆u = u(e ^4π|u|

²

− 1), u(0) = u ₀ .

Soit (t _n ) une suite de nombres r´ eels tendant vers l’infini. Alors, deux cas sont possibles.

1

∃T > 0, ∃η ∈ (0, 1) tel que sup

n

k∇u(t _n + t )k _L

2

( R

²

) ≤ η, ∀t ∈ [0, T ].

2

Ils existent (s n ) une sous suite de (t n ) et une suite de r´ eels positifs (r _n ) tels que

lim r _n = 0 et lim k∇u(s _n + r _n )k

2 2

= 1.

(17)

´

Proposition (Estimation uniforme)

Soient χ ∈ C ₀ ^∞ ( R ² ), 0 < η < 1, et (ϕ _n ) ∈ (H ¹ ( R ² )) ^N tels que sup

n

kϕ _n k _H

1

< ∞, H (ϕ n ) ≤ 1, et ϕ n * ϕ dans H ¹ . Soient u _n ∈ C ( R , H ¹ ) la solution du probl` eme de Cauchy

i ∂ _t u _n + ∆u _n = u _n (e ^4π|u

ⁿ

^|

²

− 1), u _n (0) = ϕ _n

et u ∈ C ( R , H ¹ ) la solution du mˆ eme probl` eme avec donn´ ee initiale ϕ. Donc,

si ∃T > 0, tel que sup

n

k∇u _n (t )k _L

2

≤ η, ∀t ∈ [0, T ], alors

∀ε > 0, ∃T _ε > 0, ∃n _ε ∈ N tel que kχ(u _n −u)k _L

^∞

Tε

L

²

< ε, ∀n > n _ε .

(18)

La preuve de la proposition repose sur les deux lemmes suivants

Lemme (2)

Soit (ϕ n ) une suite de H ¹ (R ² ) satisfaisant

sup

n

kϕ _n k _H

1

(R

²

) < ∞, H (ϕ _n ) ≤ 1, ϕ n * ϕ dans H ¹ (R ² ).

Alors,

H (ϕ) ≤ 1.

(19)

´

Lemme (3)

Soient 0 < η < 1, (ϕ _n ) une suite de H ¹ ( R ² ) satisfaisant sup

n

kϕ _n k _H

1

(R

²

) < ∞ et H (ϕ _n ) ≤ 1. Soit u _n ∈ C ( R , H ¹ ( R ² )) la solution du probl` eme de Cauchy

i ∂ t u n + ∆u n = u n (e ^4π|u

ⁿ

^|

²

− 1), u n (0) = ϕ n . Si ∃T ₁ > 0, tel que sup

n

k∇u _n (t )k _L

2

(R

²

) ≤ η, ∀t ∈ [0, T ₁ ], alors, ∃T > 0, ∃C (η) tel que

sup

n

ku _n k _L

^∞

T

H

¹

∩L

⁴_T

W

^1,4

≤ C (η).

(20)

Id´ ee de la preuve du Th´ eor` eme

Par l’absurde :

• Etape 1

In´ egalit´ e de Gagliardo-Nirenberg ku(t )k ³ _L

3

(R

²

) ≤ C ku(t )k ² _H

1

(R

²

)

sup

x

ku(t )k _L

2

(Q

1

(x))

⇓

∃t _n → ∞, ∃x _n ∈ R ² , ∃ε > 0 tel que

ku(t _n )k _L

2

(Q

1

(x

n

)) ≥ ε, ∀n.

(21)

´

• Etape 2

Premier cas : lim sup

t →∞

k∇u(t )k _L

2

< 1. Soient

χ ∈ C ₀ ^∞ ( R ² ), 0 ≤ χ ≤ 1, χ = 1 sur Q ₁ (0) et supp(χ) ⊂ Q ₂ (0).

u n (t , x) := u(t +t n , x+x n ), ϕ n (x) := u(t n , x +x n ), ϕ n * ϕ dans H ¹ Lemme (1) ⇓

∃η ∈ (0, 1), ∃T > 0 tel que sup

n

k∇u _n (t )k _L

2

≤ η, ∀t ∈ [0, T ]

La proposition ⇓

∃n _ε , ∃T > 0 tel que kχ(u _n − u)k ¯ _L

^∞

T

L

²

≤ ε

4 , ∀n ≥ n ε ,

avec i ∂ _t u ¯ + ∆¯ u = ¯ u(e ^4π|¯ ^u|

²

⁻¹ − 1), u(0) = ¯ ϕ.

(22)

kϕ _n k _L

2

(Q

1

(0)) = ku(t _n )k _L

2

(Q

1

(x

n

)) ≥ ε, lim

n kϕ _n −ϕk _L

2

(Q

1

(0)) = 0 continuit´ e en z´ ero ⇓

∃T > 0 / inf

[0,T ] kχ¯ u(t )k _L

2

≥ ε 2 ⇒ inf

[0,T ] kχu _n (t )k _L

2

≥ ε

4 , ∀n ≥ n ε .

⇓

ku _n (t )k _L

2

(Q

2

(0)) = ku(t +t _n )k _L

2

(Q

2

(x

n

)) ≥ ε

4 , ∀n ≥ n _ε , ∀t ∈ [0, T ].

⇓ ku(t )k _L

2

(Q

2

(x

n

)) ≥ ε

4 , ∀n ≥ n _ε , ∀t ∈ [t _n , t _n + T ].

(23)

´

• Etape 3 On conclut en utilisant u ∈ L ⁴ ( R , L ⁸ ( R ² )).

ku(t )k _L

8

(Q

2

(x

n

)) ≥ α > 0, ∀n ≥ n ε , ∀t ∈ [t n , t n + T ].

⇓

kuk ⁴ _L

4

L

⁸

= Z ∞

0 ku(t )k _L

8

dt

≥ X

n≥n

_ε

Z T +t

n

t

n

ku(t )k _L

8

dt

≥ X

n≥n

ε

αT = ∞.

Absurde

(24)

Deuxi` eme cas : lim sup

t→∞

k∇u(t )k _L

2

Decay of Solutions to a 2D Schr¨odinger Equation

Full text

Decay of Solutions to a 2D Schr¨ odinger Equation

Saˆ anouni Tarek

Agr´ eg´ e et assistant ` a I. P. E. I. El Manar

Journal of Partial Differential Equations Vol 24, Iss 1, pp 37-54

JAMA (2011)

Cadre g´ en´ eral

L’´ equation de Schr¨ odinger semilin´ eaire

(S g ) : i ∂ t u + ∆u = uG

(|u| 2 ) = g(u), u : (0, T ∗ ) × R d → C . G ´ etant une fonction r´ eelle.

Lois de conservations :

• la masse

M (u, t ) := ku(t )k 2 L

= M (u, 0),

• le moment

=(

Z

¯

u(t )∇u(t )dx ),

• l’Hamiltonien

H (u, t ) := k∇u(t )k 2 L

+ Z

R

G(|u| 2 )dx = H (u, 0).

Historique

(1) Cas de nonlin´ earit´ e monˆ omiale (S ±u|u|

), p > 1.

Invariance par changement d’´ echelle

u(t , x ) ⇒ u λ (t , x) := λ

u(λ 2 t , λx), λ > 0.

Le seul indice p qui laisse la norme de H ˙ 1 invariante par la transformation pr´ ec´ edente est

p c := d + 2

d − 2 , d ≥ 3.

• Cas soucritique (p < p c )

Caract` ere localement bien pos´ e dans l’espace d’´ energie.

T ∗ = T ∗ (ku 0 k H

) ⇒ dans le cas d´ efocalisant T ∗ = ∞.

p > 1 + 4 d ⇒ Scattering. Ginibre-Velo (1985).

• Cas critique (p = p c )

Caract` ere localement bien pos´ e dans l’espace d’´ energie et T ∗ = T ∗ (e it ∆ u 0 ). Cazenave-Weissler, (1990). Dans le cas d´ efocalisant T ∗ = ∞, + Scattering, Visan (2007).

• Cas surcritique (p > p c )

R´ esultas partiels d’instabilit´ e, Carles (2007).

(2) Cas de nonlin´ earit´ e exponentielle.

• Nakamura-Ozawa, (1998)

petite donn´ ee initiale ⇓

caract` ere globalement bien pos´ e dans H

( R d ), d ≥ 2 et scattering, pour une nonlin´ earit´ e satisfaisant

|g

(u)| . |u|e λ|u|

, pour un certain λ > 0.

Le cas d = 2.

Dans ce cas il y a plusieurs motivations pour consid´ erer une nonlin´ earit´ e exponentielle.

1/ En deux dimensions d’espace, toute nonlin´ earit´ e ponlynˆ omiale est sous critique dans l’espace d’´ energie.

2/ L’injection de Sobolev

H 1 ( R 2 ) ⊂ L p ( R 2 ), 2 ≤ p < ∞.

3/ Les estimations de type Moser-Trudinger.

• Colliander-Ibrahim-Majdoub-Masmoudi, (2009) H (u 0 ) ≤ 1 ⇓

caract` ere globalement bien pos´ e dans l’espace d’´ energie de

i ∂ t u + ∆u = u(e 4π|u|

− 1) sur R t × R 2 x .

H (u 0 ) > 1 ⇒ instable.

• Ibrahim-Majdoub-Masmoudi-Nakanishi, (2009),

i ∂ t u + ∆u = u(e 4π|u|

− 1 − 4π|u| 2 ) sur R t × R 2 x .

H (u 0 ) < 1 ⇒scattering

H (u 0 ) = 1 ⇒ scattering est un probl` eme ouvert.

• Saˆ anouni, (2010) ⇒ caract` ere globalement bien pos´ e dans l’espace d’´ energie, sans condition sur la donn´ ee initiale de

i ∂ t u + ∆u = u(1 + 4π|u| 2 )

−1

e (1+4π|u|

)

− e

, 0 < α < 2.

• Saˆ anouni, (2010) ⇒ scattering dans l’espace d’´ energie et dans l’espace conforme de

i∂ t u+∆u = u(1+4π|u| 2 )

−1

e (1+4π|u|

)

−e(1+4π|u| 2 )

(S _g ) : i ∂ _t u + ∆u = uG

(|u| ² ) = g(u), u : (0, T ^∗ ) × R ^d → C . G ´ etant une fonction r´ eelle.

M (u, t ) := ku(t )k ² _L

H (u, t ) := k∇u(t )k ² _L

G(|u| ² )dx = H (u, 0).

(1) Cas de nonlin´ earit´ e monˆ omiale (S _±u|u|

u(t , x ) ⇒ u _λ (t , x) := λ

u(λ ² t , λx), λ > 0.

Le seul indice p qui laisse la norme de H ˙ ¹ invariante par la transformation pr´ ec´ edente est

p _c := d + 2

• Cas soucritique (p < p _c )

T ^∗ = T ^∗ (ku ₀ k _H

) ⇒ dans le cas d´ efocalisant T ^∗ = ∞.

p > 1 + ⁴ _d ⇒ Scattering. Ginibre-Velo (1985).

Caract` ere localement bien pos´ e dans l’espace d’´ energie et T ^∗ = T ^∗ (e ^it ^∆ u ₀ ). Cazenave-Weissler, (1990). Dans le cas d´ efocalisant T ^∗ = ∞, + Scattering, Visan (2007).

( R ^d ), d ≥ 2 et scattering, pour une nonlin´ earit´ e satisfaisant

(u)| . |u|e ^λ|u|

H ¹ ( R ² ) ⊂ L ^p ( R ² ), 2 ≤ p < ∞.

• Colliander-Ibrahim-Majdoub-Masmoudi, (2009) H (u ₀ ) ≤ 1 ⇓

i ∂ t u + ∆u = u(e ^4π|u|

− 1) sur R t × R ² x .

i ∂ _t u + ∆u = u(e ^4π|u|

− 1 − 4π|u| ² ) sur R t × R ² _x .

H (u ₀ ) < 1 ⇒scattering

H (u ₀ ) = 1 ⇒ scattering est un probl` eme ouvert.

i ∂ _t u + ∆u = u(1 + 4π|u| ² )

⁻¹

e ^(1+4π|u|

⁾

i∂ _t u+∆u = u(1+4π|u| ² )

⁻¹

e ^(1+4π|u|

⁾

−e(1+4π|u| ² )

i ∂ _t u + ∆u = u(e ^4π|u|

− 1) sur R t × R ² x

u ∈ C (R, H ¹ (R ² )) ∩ L ⁴ _loc (C

(R ² ))

le scattering dans l’espace d’´ energie est un probl` eme ouvert dans les deux cas sous critique et critique H (u ₀ ) ≤ 1.

t lim →∞ ku(t )k _L

• Un r´ esultat similaire existe dans le cas monˆ omial sous critique i ∂ t u + ∆u = u|u| ^p−1 , 1 < p < d + 2

t→∞ lim ku(t )k _L

) = 0, ∀r ∈ (2, 2d d − 2 ) avec la convention ^d+2 _d−2 = _d−2 ^2d = ∞ si d ∈ {1, 2}.

• Ce r´ esultat est int´ eressant pour 1 < p ≤ 1 + _d ⁴ .

Soient u 0 ∈ H ¹ (R ² ) tel que H (u 0 ) ≤ 1et u ∈ C (R, H ¹ (R ² )) la solution du probl` eme de Cauchy

i∂ _t u + ∆u = u(e ^4π|u|

− 1), u(0) = u ₀ . Donc, pour tout 2 < r < ∞,

k∇u(t )k _L

t→∞ ku(t )k _L

k∇u(t )k _L

t →∞ ku(t )k _L

De plus, si t _n % +∞, existent une sous suite (s _n ) et une suite de nombres r´ eels positifs (r n ), tels que

n→∞ ku(s _n + r n )k _L

kuk _L

_L

. ku(0)k _L

• Formule integrale de Duhamel u(t, x) = e ^it ^∆ u 0 − i

e ^i(t−s)∆ g(u(s))ds .

kuk _L