Decay of Solutions to a 2D Schr¨odinger Equation

Decay of Solutions to a 2D Schr¨ odinger Equation

Saˆ anouni Tarek

Agr´ eg´ e et assistant ` a I. P. E. I. El Manar

Journal of Partial Differential Equations Vol 24, Iss 1, pp 37-54

JAMA (2011)

Cadre g´ en´ eral

L’´ equation de Schr¨ odinger semilin´ eaire

(S _g ) : i ∂ _t u + ∆u = uG

(|u| ² ) = g(u), u : (0, T ^∗ ) × R ^d → C . G ´ etant une fonction r´ eelle.

Lois de conservations :

• la masse

M (u, t ) := ku(t )k ² _L

= M (u, 0),

• le moment

=(

Z

¯

u(t )∇u(t )dx ),

• l’Hamiltonien

H (u, t ) := k∇u(t )k ² _L

+ Z

R

G(|u| ² )dx = H (u, 0).

Introduction R´esultat principal Outils essentiels

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el´ements de la preuve Perspective

Cadre g´en´eral Historique Le casd= 2

Historique

(1) Cas de nonlin´ earit´ e monˆ omiale (S _±u|u|

), p > 1.

Invariance par changement d’´ echelle

u(t , x ) ⇒ u _λ (t , x) := λ

u(λ ² t , λx), λ > 0.

Le seul indice p qui laisse la norme de H ˙ ¹ invariante par la transformation pr´ ec´ edente est

p _c := d + 2

d − 2 , d ≥ 3.

• Cas soucritique (p < p _c )

Caract` ere localement bien pos´ e dans l’espace d’´ energie.

T ^∗ = T ^∗ (ku ₀ k _H

) ⇒ dans le cas d´ efocalisant T ^∗ = ∞.

p > 1 + ⁴ _d ⇒ Scattering. Ginibre-Velo (1985).

• Cas critique (p = p c )

Caract` ere localement bien pos´ e dans l’espace d’´ energie et T ^∗ = T ^∗ (e ^{it ∆} u ₀ ). Cazenave-Weissler, (1990). Dans le cas d´ efocalisant T ^∗ = ∞, + Scattering, Visan (2007).

• Cas surcritique (p > p c )

R´ esultas partiels d’instabilit´ e, Carles (2007).

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el´ements de la preuve Perspective

Cadre g´en´eral Historique Le casd= 2

(2) Cas de nonlin´ earit´ e exponentielle.

• Nakamura-Ozawa, (1998)

petite donn´ ee initiale ⇓

caract` ere globalement bien pos´ e dans H

( R ^d ), d ≥ 2 et scattering, pour une nonlin´ earit´ e satisfaisant

|g

(u)| . |u|e ^λ|u|

, pour un certain λ > 0.

Le cas d = 2.

Dans ce cas il y a plusieurs motivations pour consid´ erer une nonlin´ earit´ e exponentielle.

1/ En deux dimensions d’espace, toute nonlin´ earit´ e ponlynˆ omiale est sous critique dans l’espace d’´ energie.

2/ L’injection de Sobolev

H ¹ ( R ² ) ⊂ L ^p ( R ² ), 2 ≤ p < ∞.

3/ Les estimations de type Moser-Trudinger.

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el´ements de la preuve Perspective

Cadre g´en´eral Historique Le casd= 2

• Colliander-Ibrahim-Majdoub-Masmoudi, (2009) H (u ₀ ) ≤ 1 ⇓

caract` ere globalement bien pos´ e dans l’espace d’´ energie de

i ∂ t u + ∆u = u(e ^4π|u|

− 1) sur R t × R ² x .

H (u 0 ) > 1 ⇒ instable.

• Ibrahim-Majdoub-Masmoudi-Nakanishi, (2009),

i ∂ _t u + ∆u = u(e ^4π|u|

− 1 − 4π|u| ² ) sur R t × R ² _x .

H (u ₀ ) < 1 ⇒scattering

H (u ₀ ) = 1 ⇒ scattering est un probl` eme ouvert.

• Saˆ anouni, (2010) ⇒ caract` ere globalement bien pos´ e dans l’espace d’´ energie, sans condition sur la donn´ ee initiale de

i ∂ _t u + ∆u = u(1 + 4π|u| ² )

⁻¹

e ^(1+4π|u|

⁾

α2

− e

, 0 < α < 2.

• Saˆ anouni, (2010) ⇒ scattering dans l’espace d’´ energie et dans l’espace conforme de

i∂ _t u+∆u = u(1+4π|u| ² )

⁻¹

e ^(1+4π|u|

⁾

α

2

−e(1+4π|u| ² )

, α ∈ (0, 2).

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el´ements de la preuve Perspective

Cadre g´en´eral Historique Le casd= 2

Objectif

On consid` ere

i ∂ _t u + ∆u = u(e ^4π|u|

− 1) sur R t × R ² x

⇓

u ∈ C (R, H ¹ (R ² )) ∩ L ⁴ _loc (C

(R ² ))

le scattering dans l’espace d’´ energie est un probl` eme ouvert dans les deux cas sous critique et critique H (u ₀ ) ≤ 1.

On se propose de prouver le r´ esultat de dispersion

t lim →∞ ku(t )k _L

(R

) = 0, ∀ 2 < r < ∞.

Remarques

• Le r´ esultat de dispersion est plus faible que le scattering.

• Un r´ esultat similaire existe dans le cas monˆ omial sous critique i ∂ t u + ∆u = u|u| ^p−1 , 1 < p < d + 2

d − 2 . En effet Visciglia (2009) a prouv´ e que

t→∞ lim ku(t )k _L

(R

) = 0, ∀r ∈ (2, 2d d − 2 ) avec la convention ^d+2 _d−2 = _d−2 ^2d = ∞ si d ∈ {1, 2}.

• Ce r´ esultat est int´ eressant pour 1 < p ≤ 1 + _d ⁴ .

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el´ements de la preuve Perspective

R´ esultat principal

Th´ eor` eme

Soient u 0 ∈ H ¹ (R ² ) tel que H (u 0 ) ≤ 1et u ∈ C (R, H ¹ (R ² )) la solution du probl` eme de Cauchy

i∂ _t u + ∆u = u(e ^4π|u|

− 1), u(0) = u ₀ . Donc, pour tout 2 < r < ∞,

1

lim sup

t→∞

k∇u(t )k _L

(R

) < 1 ⇒ lim

t→∞ ku(t )k _L

(R

) = 0.

2

lim sup

t→∞

k∇u(t )k _L

( R

) = 1 ⇒ lim inf

t →∞ ku(t )k _L

( R

) = 0.

De plus, si t _n % +∞, existent une sous suite (s _n ) et une suite de nombres r´ eels positifs (r n ), tels que

n→∞ lim r n = 0 et lim

n→∞ ku(s _n + r n )k _L

(R

) = 0.

Outils essentiels

• Estimation de Strichartz

kuk _L

_L

. ku(0)k _L

+ kg(u)k

L

L

, 1 p + 1

r = 1 a + 1

b = 1 2 .

• Formule integrale de Duhamel u(t, x) = e ^{it ∆} u 0 − i

Z t

0

e ^i(t−s)∆ g(u(s))ds .

• Estimation ` a priori prouv´ ee r´ ecemment par Colliander et al.

kuk _L

( R ,L

( R

)) . kuk

3 4

L

(R,L

(R

)) k∇u k

1 4

L

(R,L

(R

)) . M (u)

H (u)

.

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el´ements de la preuve Perspective

Pour contrˆ oler le terme nonlin´ eaire, on utilise les deux outils

In´ egalit´ es de Moser-Trudinger

Soit α ∈ (0, 4π). Une constante C α existe telle que pour tout u ∈ H ¹ ( R ² ) satisfaisant k∇uk _L

( R

) ≤ 1, on a

Z

R

e ^{α|u(x )|}

− 1

dx ≤ C α kuk ² _L

(R

) .

De plus ona

sup

kuk

≤1

Z

R

e ^4π|u(x)|

− 1

dx < ∞,

sup

kuk

≤1

Z

R

e ^{(4π+)|u(x )|}

− 1

dx = ∞, ∀ > 0.

In´ egalit´ e logarithmique (Ibrahim-Masmoudi-Majboub) Pour tout λ > _π ¹ et tout 0 < µ ≤ 1, une constante C λ > 0 existe tel que, pour toute fonction u ∈ (H ¹ ∩ C

)( R ² ), on a

kuk ² _L

(R

) ≤ λkuk ² _µ log

C λ + 8

kuk

C

( R

)

µ

kuk _µ

avec

kuk ² _µ := k∇uk ² _L

( R

) + µ ² kuk ² _L

( R

) .

De plus, la condition λ > 1/π est optimale.

Introduction R´esultat principal Outils essentiels

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el´ements de la preuve Perspective

Id´ee de la preuve du Th´eor`eme

´ el´ ements de la preuve

• Par un argument d’interpolation, il suffit de montrer le Th´ eor` eme pour r = 3.

• La la preuve repose sur les deux r´ esultats suivants

R´ esultats interm´ ediaires

Lemme (1)

Soit u ₀ ∈ H ¹ tel que H (u ₀ ) ≤ 1 et u ∈ C ( R , H ¹ ) la solution du probl` eme de Cauchy

i ∂ _t u + ∆u = u(e ^4π|u|

− 1), u(0) = u ₀ .

Soit (t _n ) une suite de nombres r´ eels tendant vers l’infini. Alors, deux cas sont possibles.

1

∃T > 0, ∃η ∈ (0, 1) tel que sup

n

k∇u(t _n + t )k _L

( R

) ≤ η, ∀t ∈ [0, T ].

2

Ils existent (s n ) une sous suite de (t n ) et une suite de r´ eels positifs (r _n ) tels que

lim r _n = 0 et lim k∇u(s _n + r _n )k

= 1.

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el´ements de la preuve Perspective

Id´ee de la preuve du Th´eor`eme

Proposition (Estimation uniforme)

Soient χ ∈ C ₀ ^∞ ( R ² ), 0 < η < 1, et (ϕ _n ) ∈ (H ¹ ( R ² )) ^N tels que sup

n

kϕ _n k _H

< ∞, H (ϕ n ) ≤ 1, et ϕ n * ϕ dans H ¹ . Soient u _n ∈ C ( R , H ¹ ) la solution du probl` eme de Cauchy

i ∂ _t u _n + ∆u _n = u _n (e ^4π|u

^|

− 1), u _n (0) = ϕ _n

et u ∈ C ( R , H ¹ ) la solution du mˆ eme probl` eme avec donn´ ee initiale ϕ. Donc,

si ∃T > 0, tel que sup

n

k∇u _n (t )k _L

≤ η, ∀t ∈ [0, T ], alors

∀ε > 0, ∃T _ε > 0, ∃n _ε ∈ N tel que kχ(u _n −u)k _L

Tε

L

< ε, ∀n > n _ε .

La preuve de la proposition repose sur les deux lemmes suivants

Lemme (2)

Soit (ϕ n ) une suite de H ¹ (R ² ) satisfaisant

sup

n

kϕ _n k _H

(R

) < ∞, H (ϕ _n ) ≤ 1, ϕ n * ϕ dans H ¹ (R ² ).

Alors,

H (ϕ) ≤ 1.

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el´ements de la preuve Perspective

Id´ee de la preuve du Th´eor`eme

Lemme (3)

Soient 0 < η < 1, (ϕ _n ) une suite de H ¹ ( R ² ) satisfaisant sup

n

kϕ _n k _H

(R

) < ∞ et H (ϕ _n ) ≤ 1. Soit u _n ∈ C ( R , H ¹ ( R ² )) la solution du probl` eme de Cauchy

i ∂ t u n + ∆u n = u n (e ^4π|u

^|

− 1), u n (0) = ϕ n . Si ∃T ₁ > 0, tel que sup

n

k∇u _n (t )k _L

(R

) ≤ η, ∀t ∈ [0, T ₁ ], alors, ∃T > 0, ∃C (η) tel que

sup

n

ku _n k _L

T

H

∩L

W

≤ C (η).

Id´ ee de la preuve du Th´ eor` eme

Par l’absurde :

• Etape 1

In´ egalit´ e de Gagliardo-Nirenberg ku(t )k ³ _L

(R

) ≤ C ku(t )k ² _H

(R

)

sup

x

ku(t )k _L

(Q

(x))

⇓

∃t _n → ∞, ∃x _n ∈ R ² , ∃ε > 0 tel que

ku(t _n )k _L

(Q

(x

)) ≥ ε, ∀n.

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el´ements de la preuve Perspective

Id´ee de la preuve du Th´eor`eme

• Etape 2

Premier cas : lim sup

t →∞

k∇u(t )k _L

< 1. Soient

χ ∈ C ₀ ^∞ ( R ² ), 0 ≤ χ ≤ 1, χ = 1 sur Q ₁ (0) et supp(χ) ⊂ Q ₂ (0).

u n (t , x) := u(t +t n , x+x n ), ϕ n (x) := u(t n , x +x n ), ϕ n * ϕ dans H ¹ Lemme (1) ⇓

∃η ∈ (0, 1), ∃T > 0 tel que sup

n

k∇u _n (t )k _L

≤ η, ∀t ∈ [0, T ]

La proposition ⇓

∃n _ε , ∃T > 0 tel que kχ(u _n − u)k ¯ _L

T

L

≤ ε

4 , ∀n ≥ n ε ,

avec i ∂ _t u ¯ + ∆¯ u = ¯ u(e ^{4π|¯ u|}

⁻¹ − 1), u(0) = ¯ ϕ.

kϕ _n k _L

(Q

(0)) = ku(t _n )k _L

(Q

(x

)) ≥ ε, lim

n kϕ _n −ϕk _L

(Q

(0)) = 0 continuit´ e en z´ ero ⇓

∃T > 0 / inf

[0,T ] kχ¯ u(t )k _L

≥ ε 2 ⇒ inf

[0,T ] kχu _n (t )k _L

≥ ε

4 , ∀n ≥ n ε .

⇓

ku _n (t )k _L

(Q

(0)) = ku(t +t _n )k _L

(Q

(x

)) ≥ ε

4 , ∀n ≥ n _ε , ∀t ∈ [0, T ].

⇓ ku(t )k _L

(Q

(x

)) ≥ ε

4 , ∀n ≥ n _ε , ∀t ∈ [t _n , t _n + T ].

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el´ements de la preuve Perspective

Id´ee de la preuve du Th´eor`eme

• Etape 3 On conclut en utilisant u ∈ L ⁴ ( R , L ⁸ ( R ² )).

ku(t )k _L

(Q

(x

)) ≥ α > 0, ∀n ≥ n ε , ∀t ∈ [t n , t n + T ].

⇓

kuk ⁴ _L

L

= Z ∞

0

ku(t )k _L

dt

≥ X

n≥n

Z T +t

t

ku(t )k _L

dt

≥ X

n≥n

αT = ∞.

Absurde

Deuxi` eme cas : lim sup

t→∞

k∇u(t )k _L

= 1.

Lemme (1)⇒ ∃r _n → 0 et une sous suite (s _n ) tels que pour y n := s n + r n ,

lim n r n = 0, lim

n k∇u(y _n )k _L

= 0.

Etape (1) + ku(y _n )k _L

> ε ⇒ ku(y _n )k _L

(Q

(x

)) > ε ϕ _n (x ) := u(y _n , x + x _n ) ⇒ kϕ _n k _L

(Q

(0)) > ε, ∀n.

H (ϕ _n ) = H (u) = 1, lim

n k∇ϕ _n k _L

= 1.

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el´ements de la preuve Perspective

Id´ee de la preuve du Th´eor`eme

H (ϕ n ) = k∇ϕ _n k ² _L

+ 1 4π

Z

R

e ^4π|ϕ

^|

− 1 − 4π|ϕ _n | ² dx

⇓ kϕ _n k ⁴ _L

.

Z

R

e ^4π|ϕ

^|

− 1 − 4π|ϕ _n | ²

dx → 0.

⇓

lim n kϕ _n k _L

(Q

(0)) = 0.

Absurde

Perspective

lim sup

t→∞

k∇u(t )k _L

(R

) = 1

⇓ lim inf

t →∞ ku(t )k _L

(R

) = 0 pour tout 0 < r < ∞.

est ce qu’on a lim sup

t →∞

ku(t )k _L

(R

) = 0 pour tout 2 < r < ∞.

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el´ements de la preuve Perspective

Merci pour votre attention.