(pe*" *"r *cs) ;"'o qtu crùR-

(pe*" *"r _*cs) ;"'o ^{qtu crùR-}

AJ,(,2

_e

A 6: :i ^{qs^r Qel} d-Lctter,crrrÀJrqtr

-CDûrbÈ1,\"6. '*-"-

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Corr'!2à

Isométries des solides de Platon sympathiques

PrnnnoN

Théo 8

juin

₂₀₁₄

Soit

7

un tétraèdre, C un cube et O un octaèdre.

TuÉonÈrvrp

1

^Isom(T)

- ^É4

^{et Isom+(?)}

_=ila.

Démonstrati,on. On

fait

agir Isom(T) sur les sommets de

7.

Comme

il y

a 4 sommets, on en déduit un morphisme tp : Isom(T) -+ 6+.

Ker(rp) est l'ensemble des isométries qui fixent chaque sommet de

7.

Comme ces sommets forment un repère affine, seule l'identité vérifle cette condition donc A est

injectif. _fÀ

Pour prouver la surjectivité,

il

suffit d'exhiber une isométrie qui échange deux sommetsYl)n considère

la

symétrie par rapport au plan médiateur d'une arête. Cette symétrie échange les deux sommets de l'arête et ne touche pâs aux autres. Comme les transpositions engendrent 64,

on a

gagné. ;c{ {",etc <te

detop-1

est alors un morphisme notr

trivial

de

6a

dans

{*ff

On a donc det

:

e o g.

Isom+(?)

:

Ker(det)

-

^Ker(e)

: il4

ce qui

conclut. t

On a alors un dictionnaire entre permutations et isométries

: _" ''J4nlLA

o

3-cycles : rotations d'axe perpendiculaire à une face passant par Ie sommet

?4)

opposé, d'angle

-T-

t2r

o

4cycles : symétries-rotations de plan un plan médiateur à ^une arête et de rotation choisie comme précédemment, telle ^que l'axe n'appartienne ^pas au

plan. -ife

o

doubles transpositions

:

rotations _d'angle zr d'axe une droite joignant _les milieux d'une

. oaire d'arêtes

oooosées. ,

_^

(-:i.;ffiüe-diËâ."r",,c-&eiôt _du

dc.r,

ⁿ

dd4ôeu"r^

ot'u,r!-

a^o'b

%@

Soient 11,

N

deux sous-groupes distingués d'un groupe G tels que

lrlllNl :

_{lGl et}

Hn N : _{U.

AlorsG-ffxN.

Démonstration. On considère ^:

,, {Tn,",l I ^,*

/

est injective car si à1n1

:

h2h2, alors âf lh1

- ^{nznl7 €}

^{Ff n}

^N

^donc

^(fu,h2) : (nt,n2).

Par égalité des cardinar:x,

/

est une bijection. Reste à montrer que c'est un morphisme de ^groupes i.e. que

h1n1h2n2: h1h2n1n2

Ceci est équivalent à n1h2

:

hznt ou encore à hÇrn1h2ni1

: _{t. I[}

et .F/ sont distingués dans G

donc \---,- -

o

n1h2n1L € ¹¹ donc

h;Ln1h2nrt

e

H ⁿ "*,- o hrtnyh2€Ndonc hrrnlh2nrteN ;;-

Ainsi, Ë;1n1h2n;L e

H îltr : 1f1àon"

^{on u}

bi"o

^{e tt}

f ^(fu,n1)f

^(hz,nz)

:

h1n1h2n2: h1h2n1n2:

f

(h1h2,n1n2) Donc

/

est un isomorphisme de ^groupes.

,L

Qro\â p26

I

TnÉonÈup

2

Isom(C)+

- ^6a

^{et Isom(C)}

- ^{6+ x (Zl2Z).}

Démonstration. Onfait agir Isom(C)

,rr

l"Jigr.rdes diagonales du cube. Comme ^les isométries préservent les distances, on envoie bien une grande diagonale sur une grande diagonale. On a donc un morphisme

g

: Isom(C) -+ 6a.

\it, ,.,..,çi{",,r

^Soit

/ ^{e Ker(g).} /

^préserve les 4 grandes diagonales. Soit

AB

^:une grande diagonale. Sup- posons

f @) : B.

Alors par préservation des distances,

/ ^doit

^{aussi échanger} les extrêmités de toutes les grandes diagonales. Donc

/

^est

^la

^{symétrie de centre}

^le

^centre

^du

^{cube. Donc}

Ker(rp)

:

_{Id,

s} - ^(ZlzZ).

On remarqlre que

s f,

^{Isom+(C) donc}

glm-+(c)

est injectif. On obtient

la

surjectivité en p1?

('1.i.

voyant que

la rotation

d'angle n' autour d'une

aiàite

passant

par

les milieux de deux arêtes

opposées agit comme une transposition.

Donc

Isom*(C) = ^6a = Isom(C)l{Ld,s}.

En particulier 2lIsom+(C)l

:

_llsom(C)1.

{Id, s} < Isom(C) car {Id,

s} c

Z(Isom(C)). De plus, Isom+(C) < Isom(C) car

il

est d'indice 2. Comme on a évidemment

Isom*(X) n

_{Id,

s} : _{Id},

le lemme permet de conclure à

Isom(C)

-

^Isom+(C)

x {Id,s} -

^Sa

^x (v,l2z) r

On peut encore établir un dictionnaire ^:

r

3-cycles : rotation d'axe une grande diagonale et d'angle

tf

^.

o

4-cycles : rotation d'axe passant par les centre de faces opposées et d'angle

*$.

o

doubles transpositions : rotation d'axe passant par les centre de faces opposées et d'angle

1T.

TnÉonÈttn

3

Isom(O)+

- ^6a

et Isom(O)

- ^{6a x}

^(Z,l2Z).

Démonstration.

Il

suffit de remarquer que

C

et O sont

duaux: il

existe un cube

C'tel

^{que les}

sommets de O coïncident avec les centres des faces de Ct. Alors par préservation des barycentres, toute isométrie de

Ct

^{est une} isométrie de O et Isom(C/)

c

^Isom(O).

De même,

il

existe un cube

Ct'

tel que les sommets de Ctt coïncident avec les centres des faces de O. Toute isométrie cle O est une isométrie de Ctt donc Isom(O)

c

Isom(C").

Comme Isom(C/)

-

Isom(C")

-

Isom(C), on a bien

Isom(O)

- Isom(C) r

,,, ,/

,,/