DS 5 - 1S - Limites Page 1 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/
1S
1: DEVOIR SURVEILLÉ N°5
(2 heures)Exercice 1 (6 points) Étudier les limites suivantes.
a) lim
x®-¥
- + æ
èç ö
ø÷
5 2
x x b) lim
x®0+
1 3 2 2
x+ x - æ
èç ö
ø÷
c) lim
x®2+
3
2 5 7
x x
- + + æ
èç
ö ø÷
d) lim
x®2+
2 2
1 2 x+ + æ
èç ö
ø÷
e) lim
x®+¥(x3+ x) f) lim
x®-¥(x3+ x)
Exercice 2 (2 points)
Soit g la fonction définie sur par : g(x) = (x2 1)(x 2000) 2000
- -
Étudier la limite de g en +¥.
Exercice 3 (9 points)
Soit ¦ la fonction définie sur \ {1 ; 2} par :
¦(x) = 2 5 6
3 2
3 2
2
x x x
x x
- - +
- +
On note C la courbe représentant ¦.
1. Soit P(x) = 2x3-5x2- +x 6.
Vérifier que 2 est racine de P, puis factoriser P par x - 2.
2. Étudier la limite de ¦ en 2. La droite d'équation x = 2 est-elle une asymptote verticale à la courbe C ? 3. Étudier la limite de ¦ en +¥.
Préciser, s'il y a lieu, l'équation de l'asymptote horizontale à la courbe C en +¥.
4. Montrer que la droite d'équation x = 1 est asymptote verticale à la courbe C.
Exercice 4 (3 points)
Soit ¦ la fonction définie pour x Î [1 ; +¥[ par : ¦(x) = x+1- x-1
.
Le but de l'exercice est d'étudier la limite de ¦ en +¥.
1. Démontrer que pour tous réels A et B strictement positifs, on a : A- B= A B
A B
- + 2. En déduire que pour tout x Î [1 ; +¥[ on a : ¦(x) = 2
1 1
x+ + x- . 3. En déduire lim
x®+¥¦(x).
