Feuille d’exercices : Notions avanc´ ees.

Institut Galil´ee 2015-2016 Fili`ere MACS2 / M1 Math´ematiques Pures

Th´eorie des Distributions

Feuille d’exercices : Notions avanc´ ees.

Exercice 1

Soit ϕ∈ C₀^∞(R). Montrer que les expressions suivantes d´efinissent des distributions dont on d´eterminera l’ordre et le support :

Z

R

ϕ(x²) dx, Z

R

ϕ⁰(x)e^x2 dx.

Exercice 2

1. Soit ϕ ∈ C₀^∞(R). Montrer que l’expression suivante d´efinit une distributionT d’ordre au plus 1 :

Z +∞

0

ϕ⁰(x) log(x) dx.

2.Soitϕnune fonction plateau valant 1 sur [_n¹,1] et dont le support est inclus dans [_2n¹,2].

a. Minorer< T, ϕ_n>.

b. En d´eduire queT est une distribution d’ordre exacte- ment 1.

3. D´eterminer le support de T.

Exercice 3

SoithunC¹-diff´eomorphisme deRdansR. SoitT l’ap- plication lin´eaire deC₀^∞(R²) dansCd´efinie par :

∀ϕ∈C₀^∞(R²), < T, ϕ >=

Z

R

ϕ(x, h(x)) dx.

1. Montrer queT ∈ D⁰(R²). Quel est son ordre ? 2. D´eterminer le support de T.

3. En d´eduire qu’il n’existe pas de fonction continue sur R² telle queT soit la distribution associ´ee `a cette fonc- tion.

4. Calculer, au sens des distributions, (∂x+h⁰(x)∂y)T. Exercice 4

Soitϕ∈C₀^∞(R²).

1.Montrer que l’expression suivante d´efinit une distribu- tionT surR²d’ordre au plus 1 :

< T, ϕ >=

Z ∞

0

ϕ(1/t²,sint)−ϕ(0,sint) dt.

2. Calculer le support deT.

Exercice 5

SoitT une distribution surR^detf une fonction de classe C^∞sur R^d, `a valeurs dansR.

1. Montrer que, si f T = 0, alors le support de T est inclus dans l’ensembleZ(f) ={x∈R^d, f(x) = 0}.

2. On suppose de plus que T est d’ordre 0. Montrer qu’alors la r´eciproque est vraie : si le support de T est inclus dans l’ensembleZ(f) ={x∈R^d, f(x) = 0} alors f T = 0.

3. En prenant T = δ₀⁰, montrer que la r´eciproque est fausse en g´en´eral siT n’est pas d’ordre 0.

4. Caract´eriser les fonctionsf de classeC^∞ surRtelles quef δ₀⁰ = 0.

Exercice 6

1. R´esoudre, dans l’ensemble des fonctions localement int´egrables surR, l’´equation diff´erentielle : 2xu⁰−u= 0.

2.SoitT ∈ D⁰(R) une solution de l’´equation 2xT⁰−T = 0.

SoitT1 sa restriction `aD<sup>0</sup>(R<sup>∗</sup>+) et soitT2sa restriction `a D⁰(R^∗−).

a.CalculerT₁ etT₂.

b.SoitS =T−T₁−T₂. V´erifier que le support deSest inclus dans{0}.

c.Soit

R=

p

X

k=0

a_kδ^(k)∈ D⁰(R)

o`u lesa_k sont dansC. Montrer que : 2xR⁰−R= 0 ⇐⇒

R= 0.

d. En d´eduire les solutions dans D⁰(R) de l’´equation 2xT⁰−T = 0.

2.R´esoudre, dans D⁰(R), l’´equation diff´erentielle : 2xT⁰−T =δ₀.

3. En d´eduire une solution T ∈ D⁰(R) de l’´equation diff´erentielle : 2xT⁰−T = f, o`u f ∈ D<sup>0</sup>(R) est `a sup- port compact.

1

Exercice 7

1. Calculerδ₀⁰ ? δ⁰₀ pourδ0∈ D⁰(R).

2. Soienta, b∈R. Calculerδ⁰_a⊗δ_b⁰ dansD⁰(R²).

3. SoitT ∈ D⁰(R). Montrer qu’il existe une distribution E ∈ D⁰(R), `a support compact, telle queE ? T =T<sup>(k)</sup>. 4.SoientT etS dansD<sup>0</sup>(R),S´etant suppos´ee `a support compact. Pour n∈N, on d´esigne parXⁿ la fonction de RdansR,x7→xⁿ. D´emontrer la formule suivante :

Xⁿ(T ? S) =

n

X

k=0

C_n^k(X^kT)?(X^n−kS).

Exercice 8

On note D₊⁰ (R) ={T ∈ D⁰(R); suppT ⊂[0,+∞[}. Soit χ∈C^∞(R) telle que,χ= 1 sur ]−¹₂,+∞[ etχ= 0 sur ]− ∞,−1[.

1.a. Soitϕ∈C₀^∞(R). Montrer que l’application ϕ^∆: (x, y)7→χ(x)χ(y)ϕ(x+y), est dans C₀^∞(R²).

b. SoientT, S∈ D₊⁰ (R). On d´efinit

< T ? S, ϕ >=< Tx⊗Sy, ϕ^∆> .

Montrer que T ? S est bien d´efinie et est ind´ependante du choix deχ.

c. Montrer queT ? S∈ D⁰₊(R).

2. On dit que T ∈ D₊⁰ (R) est inversible, s’il existe S ∈ D₊⁰ (R) telle queT ? S=δ₀. On noteS=T⁻¹. a. Montrer queδ₀⁰ est inversible et calculer son inverse.

b. Montrer que, si T ∈C₀^∞(]0,+∞[), T n’est pas inver- sible.

Exercice 9

Soit d ≥ 1. Soit V ∈ C⁰(R^d,R) une fonction continue de R^d dans R telle que : ∀x ∈ R^d, V(x) ≥ 1. Soit u ∈ L²(R^d)∩C²(R^d), `a valeurs r´eelles et solution de l’´equation aux d´eriv´ees partielles dansR^d :

−∆u+V u= 0.

On se propose de montrer queuest identiquement nulle.

1. Montrer que

∀x∈R^d, ∆(u²)(x)≥2(u(x))².

2. On d´esigne par S^d−1 la sph`ere unit´e de R<sup>d</sup>. Soit ω∈S<sup>d−1</sup>et soitϕ∈C<sup>1</sup>(R<sup>d</sup>). On consid`ere la fonc- tion g d´efinie sur I =]0,+∞[ par g(r) = ϕ(rω).

Montrer que, pour toutr∈I on a g⁰(r) =∂ϕ

∂ν(rω) o`u _∂ν^∂ = Pd

i=1ν_i._∂x^∂

i d´esigne la d´eriv´ee normale ext´erieure `a B={x∈R^d | |x|< r}.

On rappelle que le vecteur normal unitaire sor- tant pour la boule B est donn´e en tout point x= (x₁, . . . , x_d)∈rS^d−1 parν(x) = (^x_r¹, . . . ,^x_r^d).

3. Justifier que pour toutr >0, I(r) :=

Z

|x|<r

∆(u²)(x)dx= Z

|x|=r

∂(u²)

∂ν (x)dσ o`u dσd´esigne la mesure de surface sur la sph`ere de centre 0 et de rayonr.

4. On poseF(r) =r^d−1R

ω∈S^d−1u²(rω)dω.

(a) Montrer que F est d´erivable surI et calculer F⁰(r) pour toutr∈I.

(b) D´eduire des questions pr´ec´edentes que :

∀r >0, F⁰(r)≥r^d−1I(r)≥0.

(c) Justifier que Z +∞

0

F(r)dr=||u||²_L2(R^d)<+∞.

(d) D´eduire des questions pr´ec´edentes que :

∀r >0, F(r) = 0.

Conclure.

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