Energie interne

(1)

Thermodynamique

Cours 5

●

III. Transformations thermodynamiques (cours 4 et 5)

●

Energie interne

●

Chaleur et Travail

●

Premier principe de la thermodynamique :dU = δ Q+ δ W

●

Chaleurs molaires.

●

Chaleurs molaires du gaz parfait

●

Relation de Robert et Mayer

●

Transformations iso (-therme, -bare, -chore), adiabatique

●

Chaleurs latentes

(2)

Chaleurs molaires

Considérons uns système avec 1 composant et n moles à l'équilibre : 3 paramètres (p,T,V)

+

1 équation d'état

=

2 variables indépendants

⇒ Εvolution du système f (2 variables)

⇒ Les grandeurs thermodynamiques f (2 variables) : (T,p), (T,V), (p,V)

 p ,T  Q=A dT B dp

T ,V  Q=C dT D dV

 p ,V  Q=E dpF dV

= n c_p dT n h dp = n c_v dTl dV

= ndpdV

h , , l ,: coefficients calorimétriques molaires

[

^c^p

]

⁼

[

^c^v

]

^{= J mol}^-1^K^-1

[

^h

]

⁼

[

^

]

^{= J mol}^-1^Pa^-1

[

^l

]

⁼

[

^

]

^{= J m}^-2 ^{= Pa}

c_p , c_v: chaleurs molaires

(3)

Les chaleurs molaires c

_p

et c

_v

Evolution isochore V=cte

(enceinte rigide)

Q0 ⇒ T  , p  , dV =0

QT ,V =n c_v dT l dV

Evolution isobare p= p_ext = cte

⇒ V  ,T  , dp=0

QT , p=n c_pdT n h dp p_ext

p

Q0

Q_isochore=n c_v dT

Q_isobare=n c_p dT

(4)

c

_p

> c

_v

a) Evolution isochore

Q0

b) Evolution isobare

p_ext

p

Q0

La chaleur est utilisée pour :

● éléver T La chaleur est utilisée pour :

● éléver T et

● faire du W

Pour l'obtention d'une même augmentation de T dans b) il faut plus de chaleur : c_p=Q_isobare/n dT

c_v=Q_isochore/n dT

c_p

c_v = Q_isobare

Q_isochore1 ⇒c_pc_v

Si dT_isobare=dT _isochore ⇒ Q_isobare  Q_isochore

(5)

Les chaleurs molaires du gaz parfait

Equation d'état : pV =nRT 1 Energie interne : U =3

2 nRT 2 Premier principe : dU =W Q=− pdV Q 3

On prend : QV ,T  ⇒ dQ=nc_v dT l dV 4 (3) et (4) ⇒ dU =− pdV nc_v dT l dV 5

(5) et (6) ⇒ − pdV l dV =0 ⇒ l= p

dU =nc_v dT dU =nc_v dT 7 (2) et (7) ⇒ n c_v dT =3

2 nR dT ⇒ c_vmonoatomique

= 3 2 R c_v^diatomique=5

2 R (2) ⇒ Dans un gaz parfait U=f(T) 6

(6)

Transformation isochore d'un gaz parfait

A

B

V_A = V_B

V_A p_B

p_A W _A__B=−

∫

A B

p dV =0

U =Q_A__B=n c_v

∫

A B

dT =n c_vT _B−T _A

(7)

Transformation isobare d'un gaz parfait

W _A__B=−

∫

A B

p dV =− p_A

∫

A B

dV =− p_AV _B−V _A

Q=n c_p dT ⇒ Q_A__B=n c_p

∫

A B

dT =n c_pT _B−T _A

d U =n c_v dT ⇒ U =n c_v

∫

A B

dT =n c_vT _B−T _A

Vous pourrez vérifier plus tard que U =W _A__BQ_A__B

donne le même résultat (il faudra utiliser la relation de Robert-Mayer)

A B

V_A V_B

p_A

p_A = p_B p

V

(8)

Relation entre c

_v

et c

_p

pour un gaz parfait : relation de Robert-Mayer

A et B états d'équilibre à la même température.

T _A=T _B⇒ U _B−U _A=0 ⇒

U _B−U_CU _C−U _A=0 1

Q_C__B=n c_pT _B−T_C Q_A__C=n c_vT_C−T _A U _B−U_C=W _C__BQ_C__B

W _C__B=− p_BV _B−V _C

U_C−U _A=W _A__CQ_A__C W _A__C=0

1 ⇒ W _C__BQ_C__BW _A__CQ_A__C=0 ⇒

−p_BV _B−V _Cn c _pT _B−T_Cn c_vT_C−T _A=0 A

C B

T_A = T_B p

V

Isobare : Isochore :

(9)

Relation entre c

_v

et c

_p

pour un gaz parfait : relation de Robert-Mayer

−p_BV _B−V _Cn c_pT _B−T_Cn c_vT _C−T _A=0 p_BV _B=nRT _B

p_BV _C= p_CV _C=nRT_C A

C B

T_A = T_B

V_C V_B

p_B p_A

− p_BV _B−V _C=−n RT _B−T_C

−nRT _B−T_Cn c_pT _B−T_Cn c_vT_C−T _A=0 T _A=T _B

−nRT _B−T_Cn c_pT _B−T _C−n c_vT _B−T_C=0

⇒ −Rc_p−c_v=0

Et en effet : c_p> c_v

⇒ c_p−c_v=R Relation de Robert-Mayer

(10)

c_vmonoatomique

=3 2 R c_v^diatomique=5

2 R

c_p−c_v=R

Gaz monoatomique : c_v=3

2 R c_p=5

2 R

=5 3

Gaz diatomique : c_v=5

2 R c_p=7

2 R

=7 5

Les chaleurs molaires du gaz parfait

On définit =c_p c_v

(11)

Transformation isotherme d'un gaz parfait

T =cte ⇒ U =0 ⇒ 1^er pp⇒ W _A__B=−Q_A__B W _A__B=−

∫

A B

p dV =−Q_A__B que l'on peut intégrer si on connait p(V) Isothermes =

Hyperboles équilaterales

dans le diagramme de Clapeyron

W _A__B=−nRT

∫

A

B dV

V =−nR T ln V _B

V _A=−Q_A__B p=nRT

V T_A = T_B

A

p_B B p_A

V_A V_B

T =cte⇒ pV =nRT ⇒ pV =cte

W ^isotherme_A__B =−nR T ln V _B V _A

(12)

Transformation adiabatique d'un gaz parfait

Adiabatique ⇔ Q=0 ⇒ 1^er pp ⇒ dU −W =0

W =− p dV

d U =n c_v dT n c_v dT  p dV =0 1 pV =nRT différentions

d  pV =d nRT   pdV V dp=nR dT 2 Pour obtenir p(V) on élimine dT entre (1) et (2) :

Méthodologie : trouver p(V) et intégrer comme dans le cas précedent

n c_v pdV V dp=−nR p dV  c_vR pdV c_vV dp=0

 c_p pdV c_vV dp=0 Relation p(V) différentielle Son intégration nous donnera p(V)

(13)

Transformation adiabatique d'un gaz parfait

c_p pdV c_vV dp=0  c_p dV

V c_v dp

p =0  dV

V  dp

p =0

 

∫

^dV_V ^

∫

^dp_p ⁼^cte ^{ }^ln^V ^^ln ^p⁼^cte ^ ^ln ^V ^^^ln ^p⁼^cte

 ln p V ^=cte  p V ^=cte₂

D'autres relations : p V ^=cte p V =nRT

p^{1−}T ^=cte T V ^−¹^=cte Calcul du travail : W _A__B=−

∫

A B

p dV =



p V^=K

−

∫

A B

K V^−dV =−K

∫

A B

V^−dV

=−K

[

^−^V^−1¹

]

^A^B ⁼ ^−^K ¹

^

^V ¹^B^−⁻^V ¹^A^−

^

⁼ ^−¹¹

^

^{K V} ^B^V^−^B ⁻^{K V} ^A^V^−^A

^

p V ^=cte

(14)

W = 1

−1



^{K V} ^B^V^−^B ⁻^{K V} ^A^V^−^A



p V ^=K  p=K V^−

= 1

−1



^p^B^V ^B⁻ ^p^A^V ^A



Travail adiabatique d'un gaz parfait

W adiabatique_A__B

= 1

−1



^p^B^V ^B⁻ ^p^A^V ^A



^W adiabatique^A^^B

= nR

−1



^T ^B⁻^T ^A



Pour un gaz parfait U =n c_vT ⇒ U =n c_vT _B−T _A mais P V =n R T donc W = nR

−1



^T ^B⁻^T ^A



c_v= R

−1



On savait déjà : c_p−c_v=R ⇒ c_p

c_v −1 = R

c_v ⇒ −1 = R c_v



(15)

Adiabatiques et Isothermes

0 1 2

0 20 40 60 80

V / L

p / atm

adiabat isotherm

p V ^=cte₁

p V =cte₂

(16)

Les chaleurs latentes

Haute p + Haute T

T Lors des transformations

de phase,

l'énergie cédée au système est investie en réaliser la

transformation

(17)

Les chaleurs latentes

Si la transformation est obtenue par apport de chaleur (fusion, vaporisation, sublimation)

⇒ Τ = cte pendant la transformation

La chaleur nécessaire à la transformation est proportionnelle à la quantité de matière transformée :

Q=l dn l : Chaleur latente molaire

[

^l

]

^{= J mol}⁻¹

Q=l_m dm l_m: Chaleur latente massique

[

^l^m

]

^{= J Kg}⁻¹