Maths expertes Corrigé DS1
DS1 - Corrigé
Certains calculs intermédiaires sont omis dans ce corrigé. Ils doivent figurer dans une copie !
Exercice 1 : Quelques calculs
On obtient : z1 = 4 + 3i
5 z2 = 7−4i
5 z3 = 7
4+ (8−3√ 3)
4 i et z4 = 2−11i.
Exercice 2 : Des équations
Rappel : De manière générale, l’écriture z=x+iy n’est nécessaire que pour les équations qui comportent simultanémentz et z.
a) (3−5i)z = 1 +z
⇔ (3−5i)z−z = 1
⇔ (2−5i)z = 1
⇔ z = 2−5i1
⇔ z = 2+5i29
b) On détermine tout d’abord la valeur de z pour laquelle le dénominateur s’annule : i¯z−2 = 0⇔z¯=−2i⇔z = 2i.
Pour z 6= 2i on a alors :
2¯z
i¯z−2 = 2 +i
⇔ 2¯z = (2 +i)(i¯z−2)
⇔ (3−2i)¯z = −4−2i
⇔ z¯ = −4−2i3−2i
⇔ z¯ = (−4−2i)(3+2i)
9+4
⇔ z¯ = −8−14i13
⇔ z = −8+14i13
c) Ici on a une équation comportantz etz¯simultanément, il faut faire intervenir les parties réelle et imaginaire :
Pour z =x+iy avecx, y ∈R,
z+ 2z = 5−2i ⇔ x+iy+ 2(x−iy) = 5−2i ⇔ 3x−iy= 5−2i
⇔
3x = 5
−y = −2 ⇔
x = 53
y = 2 ⇔ z = 53 + 2i Note : on a utilisé l’unicité de l’écriture algébrique pour le passage au système.
Exercice 3 : Un système
( z + (1−i)z0 = 3−2i (1 +i)z + z0 = 2 + 2i
⇐⇒
L2 ←L2−(1 +i)L1
( z + (1−i)z0 = 3−2i
(1−(1 +i)(1−i))z0 = 2 + 2i−(1 +i)(3−2i)
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⇔
( z + (1−i)z0 = 3−2i
−z0 = −3 +i ⇔
( z = 3−2i−(3−i)(1−i)
z0 = 3−i ⇔
( z = 1 + 2i z0 = 3−i
Exercice 4 : Une homographie
La fonction f associe à tout nombre complexe z différent de −i+ 2, le nombre Z =f(z) = iz−5
z+i−2. 1. Pour z =x+iy avec (x, y)6= (2,−1), on obtient :
Z = −4x+ 2y+ 10
(x−2)2+ (y+ 1)2 +iy2+x2+ 6y−2x+ 5 (x−2)2+ (y+ 1)2
C’est à dire : Re(Z) = −4x+ 2y+ 10
(x−2)2+ (y+ 1)2 et Im(Z) = y2+x2+ 6y−2x+ 5 (x−2)2+ (y+ 1)2 2. On a alors : f(z)∈R⇔y2+x2+ 6y−2x+ 5 = 0⇔(y+ 3)2+ (x−1)2 = 5
L’ensemble des points M(z) tels que f(z) soit un réel est le cercle de centre Ω (1,−3) et de rayon r=√
5privé du point P(2−i).
On a aussi : f(z)∈iR⇔ −4x+ 2y+ 10 = 0⇔y= 2x−5
L’ensemble des points M(z) tels que f(z) soit un imaginaire pur est la droite d’équation y = 2x−5 privée du pointP(2−i).
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On rappelle le résultat de première sur les équations cartésiennes de cercle : Soit (C)le cercle de centre A(xA, yA) et de rayon R. Une équation de(C) est :
(x−xA)2+ (y−yA)2 =R2
En complément, la mise sous forme canonique d’un trinôme du second degré dont le coeffi- cient dominant est égal à 1 s’effectue grâce à la manipulation suivante :
x2+ax=x2+ 2×x×a
2 =x2+ 2×x× a 2 +a
2 2
−a 2
2
= x+a
2 2
−a 2
2
——————————
Pour vous entrainer, reconnaître des équations de cercle et déterminer le centre et le rayon : a) x2−4x+y2+ 6x+ 5 = 0 b) x2+ 3x+y2−7x+9
2 = 0
Feuille1DS1Ex 11.234Ex 21.2.3.Ex 3Ex 41.2. E2. FfigTotal1,001,001,001,001,002,002,003,003,002,001,002,002011111112231,50,515211111221111311110,500,51,510018,540,510,510002,500,565110,50,511,522211013,56111111223111570,5111102231113,581110,500,502,520,51,510,59110,5111,52232116101110112310001111111111,521321217,51211110,51,50,50017,5131000,5000,5221,507,51411100,50,520061510,511001,51,50,571610,5111202311215,517110,51102121,5101218111110,520311113,5190,5101022,57201111101,522010,521111112233212202211100,50011,510,50,582310,50,5000,5001,5004241111102222111525110,510,51222,51,501326110,5000331,50,5212,5270,510,5011,512211213,528110,510,502,51,51,51111,529110,50102106,5300,51111021,510,59,5311110,5022,53001132110,50,50,500131,50,509,533110,510001,5534111010122,510,5113500,50000,500,50,523600,50,50,5012310,59371111120331,5115,510,82moy
