Groupements de résistances A

Groupements de résistances

Les sept segments de la figure ci-contre ont même résistance . Calculer la résistance de l’ensemble entre A et B.

r

II49.

Les neuf branches du réseau ci-contre ont même résistance r . Calculer la résistance de ce réseau entre A et B.

R

III₃₄.

Chacun des 24 segments de la figure a la même résistance r. Déterminer la résistance entre A et B de l’ensemble.

B B

A

B

D

A B

C a

a

b b

c

c d

d E A

IV18.

Les branches de ce réseau ont les résistances et les conductances , , et . Exprimer sa conductance :

, , ,

a b c d α =1/a

1/b

β= γ =1/c δ =1/d 1) G_AC entre A et C ;

2) G_AB entre A et B dans le cas particulier c =d.

Réponses

I. R =7 / 5r . II. R =15 /11r . III. R =13 / 7r .

IV. 1) ^{( )}

1 2 AB 2

G = ⎛⎜⎜⎜⎜⎝α+β+γ −αα − β+β+δ⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ; 2) ¹ ₁

2 2

2 GAB

b

=α+γ +

+α+γ .

Corrigé

I. A

B i

i

j i−j j

P Résolution en prenant comme inconnues les courants

L’existence d’un centre d’antisymétrie au milieu de la branche centrale et la loi des nœuds conduisent à la répartition des courants de la figure. La loi des mailles s’écrit :

( ) 2 0 (2 3 ) 0 2

3 ri+r i−j − rj = ⇒r i− j = ⇒ j = i.

D’où la résistance du réseau : ^{2 (1 2 2 / 3) 7}

(1 2 / 3) 5

B P P B

A A

V V V V V V ri rj ri r

R I I i j i

− − + − + + ×

= = = = =

+ +

Résolution en prenant comme inconnues les potentiels L’existence d’un centre d’antisymétrie au milieu de la branche centrale conduit à la répartition des potentiels de la figure. Le théorème de Millman

s’écrit : _{1 1} ²₁ ^{5 1}

2 2

2

u w u

r r r u

u w w 7

r r r

− −

= ⇔ = − ⇔ =

+ +

w w

( ) 6 4 10

2 7 7

u w

u w u u u

I r r r r

− − −

= + = + =

7r . D’où la résistance du réseau : ^{2 7} 5

u r

R= I = . II. Calcul de résistance.

Cette figure présente un centre d’antisymétrie, qu’on utilise pour définir les courants ou les potentiels.

V =u

V =−u V =w

V =−w

A k i

k j Calcul par les courants. m n

La maille de gauche donne r .

La loi des nœuds (nœud en bas à gauche) donne k i 0

i+rm−rj = ⇒m = j−i

m k i j

= − ⇒ = 2 −

B

DS : groupements de résistances, page 2

i 6

rn rk j i j i i j j i

+ − = ⇒ − + − − − = ⇒ =

La loi des nœuds (nœud au milieu en haut) donne ⁿ = +^{j m}−^k = +^{j j}− −^{i (2i}−^j)=^3j−³

La loi des mailles donne rm 0 3 3 (2 ) 0 5

La loi des nœuds en A donne ^{5 6}

11 11

I I

i+ =j I ⇒i = j =

( ) ( ) [ (2 ) ] 3 15

11 15

11

V A V B ri rk rj r i i j j ri rI

R r

− = + + = + − + = =

=

Calculs en prenant pour inconnues les potentiels.

Le théorème de Millman donne :

3 3

4 5

u w w u

v v

u v w v u

w w

− +

= ⇒ =

+ − −

= ⇒ =

La loi des nœuds en A s’écrit : 2 4 2 1 1 2 15

3 5 3 5 11

u w u v u u u r

I R .

r r r r R R r r

− −

= + = + = ⇒ = + ⇒ =

= III.

La droite AB est un axe de symétrie du problème et la droite CD un axe d’antisymétrie ; donc la répartition des courants et des potentiels présente la même symétrie.

Résolution en prenant comme inconnues les courants.

La symétrie permet de représenter les courants comme l’indique la figure. la loi de nœuds en M montre qu’alors k =l.

La loi de mailles appliquée à la maille située en bas à gauche s’écrit : 2 0 .

rj+rj− ri = ⇒ j =i

La loi des nœuds montre alors que ^{m 2i}.

La loi des mailles appliquée à la maille située à gauche à mi-hauteur s’écrit : 0 3

2 rk +rl −rj−rm = ⇒k = i.

Vu la symétrie et la loi des nœuds, I =2n n =m+k ⇒I =7i

( )

( )

2

2 13

13 13

7

A B A C C B A C

A B

V V V V V V V V

rn rm ri ri

V V ri r

R R

I I

− = − + − = −

= + + =

= − = ⇒ =

Variante.

Les deux axes AB de symétrie et CD d’antisymétrie montrent l’égalité de certains courants, ce qui implique que l’on ne perturbe pas la répartition des courants en déconnectant le réseau en quatre points (figure de gauche) ; le réseau équivaut à deux résistances R1 (une de ces résistances est figurée à droite) en parallèle :

1 1

/ 2

(4 ( 2 2 ))

12 26

2 4 3 2

7 7

13 7

R R

R r r r r r r

r r

r r r r

R r

=

= + + + +r

= + =

=

& &

&

= +

Résolution en prenant comme inconnues les potentiels.

Soit U la tension aux bornes du réseau ; choisissons le potentiel nul sur la droite CD, axe d’antisymétrie ; vu la symétrie, on peut représenter la carte des potentiels comme l’indique la figure. Appliquons alors le théorème de Millman :

/ 2

3 2 3

3 / 2 / 2 / 3

3 /13

/ 2 7 1

2 13 7

U v w

u u

w v u

u U u u

u U

U u U U r

I R

r r I

= = = + +

= + +

=

= − = ⇒ = = 3

U/2 u w 0

–U/2 0

v 0 u i

D

B l

j l j k m n

M k

C A

–w

v –u

B

A u w –v

DS : groupements de résistances, page 3

IV.

1) E est un centre d’antisymétrie, d’où la carte des potentiels ci-contre.

Le théorème de Millman appliqué en D s’écrit

c c

a C

A Ba

b b

c c

v

u –v

b a

a –u b c

c d

d 0

D

( )u

v β − α

= α+β+δ. La loi de nœuds en A s’écrit I =α(u+v)+γu +β(u−v)

( )²

1

2 2

AC I

G u

⎛ α − β ⎞⎟

= = ⎜⎜⎜⎜⎝α+β+γ −α+β+δ⎟⎟⎟⎠

2) La médiatrice commune à AB et CD est un axe d’antisymétrie du réseau. Donc les deux

br elles du bas de même.

n E sans perturber le montage et le réseau lculée grâce à des groupements en série et en parallèle : anches de résistance c du haut sont parcourues par le même courant et c

On peut supprimer partiellement la connexion e équivaut au montage ci-contre :

Sa conductance peut être ca

( )( )

( )

1 2 2 1 GAB

b

=α+γ +

+ γ

+ 2

1 1 2 2 2 2

2 2 2 4 2 2

a c a c ab ac bc

a c ab ac bc ac ab ac bc

α+

+ + +

= + + =

+ + + +