Exercice 1 - On pose

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GMP - Maths S2- Espaces vectoriels - Séance 2. Espaces vectoriels, sous-espaces, espace engendré.

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Exercice 1 -

On pose ^F⁼

{ (

^{x y z}^{, ,}

)

^∈^ℝ³^|^x^{+ + =}^y ^z ⁰

}

. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de ℝ³.

Exercice 2 -

L’ensemble ℝ^ℕ des suites réelles est un espace vectoriel sur ℝ. Montrer que le sous-ensemble S_{a b}_, des suites définies par récurrence par u_n₊₂=au_n₊₁+bu_n en est un sous-espace vectoriel.

Exercice 3 -

1) Ecrivez le vecteur

(

^{1 2}^{, ,}⁻⁵

)

comme combinaison linéaire des vecteurs

(

^{1 1 1 ,}^{, ,}

) (

^{1 2 3 et}^{, ,}

) (

²^,⁻^{1 1}^,

)

^.

2) Pour quelle valeur de k le vecteur

(

^{1 2}^,⁻ ^,^k

)

est-il combinaison linéaire de

(

^{3 0 2 et}^{, ,}

) (

²^,^{− −}^{1 5}^,

)

^?

Exercice 4 -

On traitera ici de combinaisons linéaires créées par des coefficients réels.

1) Quel est l’espace engendré par

{ ( ) ( )

^{1 0}^, ^{, ,}^{0 1}

}

^?

2) Quel est l’espace engendré par

{ (

^{1 0 1}^{, , , , ,}

) (

^{1 0} ⁻¹

) (

^{, , ,}^{3 0 2}

) }

^?

3) Quel est l’espace engendré par 1 0 , 1 1

0 1 0 1

   

 

   

   

  ?

Montrer qu’il s’agit d’un sous-espace vectoriel de ^M²

( )

^ℝ ^.

4) Quel est l’espace engendré par 1 0 , 1 1 , 1 0

0 1 0 1 1 1

     

 

     

     

  ?

Exercice 5 -

Dans ℝ³, montrer que ^Vect

( (

^{2 0}^{, ,}⁻¹

) (

^{, , ,}^{3 2} ⁻⁴

) )

⁼^Vect

( (

^{1 2}^{, ,}⁻³

) (

^{, , ,}^{0 4} ⁻⁵

) )

^.