Université sidi Mohamed

Université sidi Mohamed

Ben

Abdellalt Faculté

des Sciences

Dhar El Mahraz Département

de

Physique

Année

Universitaire 2012-2013

Examen en Physique Statistique 55

Module : Aspects Microscopiques de Ia Matière Durée: th3Omn

Exercice no1

:

Ensemble isobare-isotherme

Soit un gazparfait monoatomique formé de N particules indiscernables. On

veut étudier ce ^gaz dans l'ensemble isobare-isotherme où l'énergie E et le volume V sont libres à fluctuer. L'opérateur densité p de cet ensemble est défini comme

^:

e-P (H+PV)

p= ZI

où Z, H, P et V sont respectivement Ia fonction de partition, l'Hamiltonien, la pression et le volume.

Calculer:

1) La fonction de partitionZ.

2) L'enthalpie libre

G.

3) L'énergie interne

E.

En déduire Ia chaleur spécifique

Cv.

4) L'entropie

S.

5) Le volume V. En déduire l'équation d'état.

Exercice no? : Ensemble canonique

0n considère vn ^gaz formé de N particules indiscernables soumis à un potentiel V (r) _{= or.} Le

gaz

est en équilibre thermique à la température T.

L'Hamiltonien de chaque particule s'écrit comme

^:

H = z*+V(r)= PzL ^{ffi,(Pl+ rÿ+ P*)+ ar}

avec , _{= ,l*,} * ^yz * 22. ^Py,Py,P, sont les coordonnées d'impulsion et x,ÿ, z sont les coordonnées de position.

1) Calculer la fonction de partition d'une particule Zr.

Considérons maintenant les N particules. Calculer:

2)Lafonction de partition

Zr,r.

3) L'énergie libre de Helmholtz 4) L'entropie

^S

5) Le potentiel _chimique p

6) L'énergie interne. En déduire la chaleur spécifique

Cy,

7)Ladispersioî oÊ

i ^q, c

^IR*+

ia€IR*+

f (z) = J;.* t,-L e-t dt _{; t(n} * ¹⁾ ₌ ^n!

Formulaire Utile

f* ^{r-uxz d.x: E}

J-*

^rJ

^a

r*æ _z

I ^*zr-a,x dx:

-

Jo

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La fonction gamma

^:

logN! ^æNlogN -N

Bonne chance

o(-

U

NIVERSITE

^:3IDI

MOHA'VIED BEN ABDELLAH

t

lrAcuLTE DtS SCEINCES DHAR'E[, MEHRAE DEPARTEMENT Dii

PHYSIQLI ^E

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lière

SMP ^S6

I

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lEa I

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i-I :

I t

I

Modulq.,,

Aspects

Microscopiques

de la

Matière Ph;,sique Statistique

^(Session

^Nùrm4*)

I

I

^To

^{us les} doc'uments sont interdits

t]_rob!ème.

_i

i-- l- C*sic'kirons un récipient deiv:lume Z ^{contenant un}

^rnélange

isans

interactions à la ternpé,ratlrre l. ^{lioit lVl}

^[e

^nombre

^cle

^moléctrles

I

" ç

^.:,il

l)uréc

I ï.r 30

- a

- I

I

Qgest&ns ^dc cLurs

\

t

I ' ^r1"4'

Soit I'opérateur densité _,Z

cle

llottznrann-Cibbs donné p;rr: p =e-.,= ^(l)

^où

iAi ^{est unc gfzuldeur} pirysique, 1., le inuliiplical"eur de Lagrilnge trssocié et Zes:

la

I

ilonction

^clc

partition.

1Ô/

A ^partir

^cle

la définition

C.,:

I'eniropie .î en lbnction cle p, rnontrer

cp.re:

i. ^{ZotA partir}

^clc

la relation (1), Iixprimer la lonction

cie

1'rartition 2-et en

cléclrrir.c-,

Ii.. , ^\

1i'expression cle

(,4,)en fon,ltion

cle

Z .

_ I

istr) ⁼

^{À lr:B}

^{z -r} ttll,,(,t,)

_i

I

30/

Etalliir I'expression

clonuanl

Ie nrultiplicateirr

de l-,ag;r'anger!.

as

ir, ^{t. nombre}

^cle

^molécules

^cle

^rn2.

I

i ^{L"l Calculer les} fonction:i

de

partitions Z1el" 22. En

cl-éduire,

la tgnction

_de

partition

It.

lou n'reliuls|e

z

^.

\- i :

I z"tcaiculer l'énergie libre

cle

Ilellnholtz F ^et l'entropie

clu

mélange s.

I

I ^{EV Quelle}

^est

I'entropie

.S' cles deu:qg4a

pa4tai§, lorsqrr'on

les

séparc, le plenrier

sc

I

itrouve

^{cians Ie}

volume \ ^{elle sccond}

^{rians re}

^volumel/2.

:

I ^{0", En}

^décl,rire

^{la vrriat'on} d'entropie as _{= s} - ^{s,qui rcsultc}

i

lgaz pnrfrrits c'istinc,ts se i.rouve)rt clans les mônres cc:ntlitions

k o(a,) de g'y.pql,jl1t

cle

masse mt

et

ctu

firrilange de

dr:Lr,.l

rlc telrrpératrrre et

^clt:

" .11 à.1

,r.! à -

'1.§ 1-.

d''r;.

I

I ^S.l eue

de.rient cette

variation d'entropie ^si

^les

^peux

^gaz

sont identiques

^?

I ^O" considère maintenant

^{que le. mélang e}

de

gazparfait.s est

placé

dans

le

champ

i" ^{t" pesanteur} (narallel{ à oz). _$noou. lrnolécule

possède en plus cle son

énergie

firrétique une énergie potenüelle en fonction de z. On place le mélange dans un

I

pVlindre

de base S et clc

hryteur ir.

:

i ,, ^Cal'culer les fonctions

cle

trrartition Zlet'22 et [a fonction

^.d'e

partition

du

L.d,t

melânsez

^.

I 2'iEndéduire la

pre,,ssion duomélange

sur la

base

supéri.ur. du cylindre.

iil lgroonn., logl/!=NtogN-N et )u-*'*=E

'T

i I 'l

I

I I I I iI I i I I II I

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H

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r r -;fl

'-;;" bq i i -x4', ^{il .}

^I

'f-L'oqérateur.clensittl _Ee Gibbs-Iloltz.mam'est _donné par

:

_.o

=+ ^(i).

^où

ⁿⁱ ir,l'

grandcur plrysillue et À1 Ie

{ultiplicate-u

^{cle Lagpange}

associé. - .

_..

,

^I

1/

^Sachant

tlu. ['"lpt*pi. S est

r]éfinic

-par:S(p)

=-k ^Tr(p logp), *Ont.{

nlilisant ln relation (1)

q.e

'\ _lr,r,

=

^{rc log}

z i ^n»4 (,,r,) (2) ii

¹

' |

'

"!

rt ' ' ri I I

2/ Exprimer'ia fonftion

cl1 nartition.

Z à pnrtir

cle

la relarion (l) .t

"nii4eri

l'expression Oo

(.1,)

cn fondtion dc

2. : _r

_:

i :

^i:i'i

,

^3/

^i:ablil

l'expressioln donnant le multiplicateur cle I-ogrnng.

i

^lr

.=iô i

^j

Àpf:licrrticrnl: i i.i

On consiüère .un syitèyne sans inte.ractions icle

N partiiules à trois d.erer dl

lr1

dan$ttnvolltn:eV. L'énelgieâcc,:çy:tùnren'cstcônn1:equ'enn1oyeru1ë(uneietrte'gr'in

physique I-I:.AI *1\g

, oir

I-I

cst I'1rq{ni',tonicn

slp:,gyltèfnC), I

[--

l/

Ctlculer

ie

rnutifuiictrreui,dê

t

agrati['ô trspàio"a

n i

^I

2i .t{§ Ecrire

I'opératerirlclensité;et

r- I I

calculer':1â'lclnction clo

partifion,Z de.. ,y.ië$.

_l:: ^f

clcjnne,'.1.-^'*=,li,T

_-6r

' r., ^ii,

l :.'

3/ En r.rtilisant 1a relalion (2), rnontrer que 1e potentiel caractéristiciue _cle

..

svsie:r, 'clonné prir

-k1'logZ =f ^{oï F}

est I'érrergic

libre

,le

I-I"l*t

ottz.

Iin

aeà.iir"

i,.;il;Ïê

Ë

' _prcssion p.

t]uelle

équatio* b'ètat.obtitrnt-ôn pour cc'systèrnc

? : :.

:,i ⁱ

I

-_Applicntion?t i

^{::: i}

. ^{-oo lrliposc}

maintenlint qLle Dour

le

système.,précédentl'énergiq et

l. volunrilri,

conntts qu'en

, l/

Cnlculer Ie multipliicàteur moyennes (de$x'grau{eurs physiques 11È Lngrnngà associé

Ël-At à'V.

=A1 et

\,-Ar r ' '/. -Ar).

^;r

_,

ⁱ

'2l

I

Ecrire 1'orrérateur f,ensité

et,nontr.r que

la.fonction cle pnrtition Z de

..

,rJ,À

met .sous lu forlne

:' I I

r/2 ff,

r ^{- :" "';'Ï}

!il.i

i ^,, =(r^"\,,1 (rr)

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^Filière

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À. Consideronsgn§scillateur harmonique à une dimension dc fréquence v et d'éncrgie E

I

^À. Considerons un§scillateur harmonique à une dimension dc fréquence v et d'éncrg

\ . û-

Cnlculer

l. no*[r..,t'eta[

^(D(E) (non:bre d'états dont l'énergie,sst ïntërieurc àE).

il I

r'l

x i ^b-

^{En déduire} t'rr,trlnie de cet cscillateur.

:r i ^c-

^{Calculer la} temp{raçure stati.;tiqué

T

et en déduire I'expression de l'énergic.

[ \

^B. Considérons nro\ntenant un système rle

N

oscillateu.rs h,umoniqu.s sans interactions

i! i

^et tle rnênre fréquenc! v:

'l'.i

E I' ^a-

Trouver le nomLr{e cl'états ,DiE)

H \

_!

o-"iCnl..,l., t'.n,rôpi.

§

.,.nioeauire

l'éncrgie de cc systèrne.

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§ l. _,i,., ï;î_l$se

m+int'in1nt

qul

l'éneigic au syste.,ri ilcs N os,:iltnteurs n'cst connue qu'cn

il-l----î-=ffi:dfctlêr Eïlf6ïmiïi-üei-â

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^b- Ilétenrriner I'énerJic librc ^rle lilelnroltz F cr l'ent(opie S.

i \ li:

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Hi_MI i

Irit :

Iti)rt :

D- rrcr,cnr)lner r-energlc ltDrc ^qe .r-rernlo[z l. c( t'cnl(opIe 5r

\ ^*.

Cak.trlcr.l'én.rgii L

U"..

sysrème at comparcr au résultat trou'ré dans B- Interpréter les

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,t. c.r .x.icil.e

est

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^nlontrer. que I'entropic S cst ma;tirhale

à i'éqliliL're

cn

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utilisnrrt te théor'èrnc ,i t-l l» cle Br)llzmanrl

t

i,

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Êu Çeurs du lernps Èt qu'ellc grrobabilités ,, ^et _di respectiverfieni.

Soit

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la proËabilité de transition pûr unité de

û-

I\zlontrerque :

lvtontrer q est rnrll[mat'

3 - Définir t'e

[) tr.ts _I

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Lle lû fc,Àction I-l

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ate à l.:diùuili[:re'.

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ntropie lSi et rnontret';llot's

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Iùxcrgiee 1 ^:.

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^le

^{rflus 'simple qui permct} a'giuai.. l'éhsticité _de la laine

consiste _à rpmpla.:er

lc fil ^de ltine

par.

unc

chaîne

linéairc formée de N

monomères. Chacun des monomères pcut se trof.rver soitidans

l'état (1)

d'énergie

Er

soit dairs l,état _1Zy cf

,en.rgi"

'

_{On notc} N1 le nombre de inonosières dans I'état Eset N2 leur nombre dans I'éiaiEz.

È..

2/ En déduire, ^rlLc: pour

ll

t:ès grand, l' entropie

di

la ^ch aîne est donrrée prrr :

's'=n[n.$r-HP'.-[ffi)-i+1"-[i+l]

^,

,l3/ Cal_culer_la. température T de la chaîne et en déduire; I'expression dc l,énergie

Ë

en

.t1

I

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*. i---.-Snn-Amns-+ie-faenr,ne-Oetfm :-_F-

ffi i ^{-1té;rÀi* r.} "4*ur.

a'eto,:s accessibles à I'énergie

E.

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par[icr:lûs de.

Il- t)n

sépare r:e

[arz «le.s ].[

1:alticul(1s. err rlc,irxl.parti.o:i i(chnc.uue

des A*u* p*,iti.s

,t I

consicléÉe

conrne,un 1"',i

gaz p{rJ:r-it) : J\[l pt$ticLrlcs dan's un voltrnre

Vr

etl.trz par:titrules ilarrr vo'lu,rte

Vz

tel

rlue

T.{=

Nr

^'fNz t:t

V:Y1n ÿr.

l/

Calcrrler les lbncli.ons dc partitior:s Z1 et 7,: cles cleuir ^gnz; niôsi forrué.r .sép

l/

Calcrrler les Loncili.otrs dc partiti.or:s

Zr

et 7,2 cles deuir ^gnz; niôsi forrué.r .sépurément. _i

2l

^F;t clrldrrire los ériergies l.ibres cle ÈLelnrol(z .lî1 r:t Ii'z

et

les êntrofries S1

et

Sl2 cles cl!:ux ₁

stlprr,is. i

_I^I _;

C-tlnlcLr.lcrlal,,ariatlonrl'et:tropieAS'dr:ea,.,n,ulungf del'ensenrble.clesN.l

_i,! etÏ,1:)1:a'r.ticr.rl clarrs ,lr:

v.h,rric

\r'.

À,Iintrer

gue. s:: I.11. = 11, ₌

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FAC(îLTIL.DES SCIEI\CtrS DITÀR

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+) + _Pl

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^les

opérit,r,rt*

denslté

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2") _Jt'r:twer l'état clu

_FYstl

t l*

^r-),1*

-),["-

^-r),1-

-) ]

e[,cnlculer

l'on, 3") Lc

systèrne étant dans I'éttrt

sirnultanément Sf, ^{et Sz,;}

^quelic

Idcntiqrres ^?

I

par cleux spins Yr' §lr et liz. I-e prerniet' est clécrit _Par /-- ^'

:cond

par lu,r) ⁼

^{yi r-)}

*

ôl

--) _I

Fr ^er Pz

^{dans Ia}

bar.

_[l ^-r-)

,l-)]

^.

imc fonné des cleux spins d*l la

^base

';rateur _de.n,sité

p

dans lel ntômc

bas(:.

^!

l,r,) =

lt*+) .;l ^*-) .#l--) ^{on resure}

la probabitité de troulu.,

cles

résultats

^{oppos 5s ?}

eut

I

ExERclcrdr,r

^;

i

1")

Ca,.culer

la trajectoire

de phdse

d'un oscillateu

ha:.moniquc Iinéaire. Tracer r:ette

I

trajc.ctoire itnr:s 1'cspace ^cles pirases et tiouvcrr

la

stttfacc

limitée par

cette trajectoire.

[)onner l'ér:ergio

^classique

de

l1o;scillateur

ef il rilorttrer qu'elle esf propbttionnelie à Ia

surîace rtéjà

calculée. Trouver

lc *"*î

^rle

Rropfrtio{rnalité. '

^'

..''

2')

Ccinsidérons ^ui-1€:

particule

rlc.nrasse

ni iibre.de

sc.

déplacer sur un

segment dc

long,lsir L. ciest-à-di.rc' que la c,)ofdonnée de ^position de la ^particule lr doit vérifier0 ( _x ( _L.

_{Dans r:elte boite} lirrrarticr.rle u'est soumise à'aucunc force.

a) J'nccr

la lrajectoire

.t

de pl',a::c rle cette'parl'icule.

t

) ^{- Dcnner}

^r'r

partir

^«les cogslct.Srations générales de

la

mécanique quautique, ..a série ciiricrètc de valet:rs de l'im1:ruision

I I I I I L

i a I

diffiirents

n étlt

et

...

cas du choc élastiqure cle deux particules se

Vérifrçr

le théorème dr:

Liouvillc

^Cians le

:.:. .

articule se déplnçant dzurs-un

milieu

visqtrerrx.

z)Un

orrciltateur harmonique linéair e faiblement amorti.

i'

déplaçarrt sur une

droite. _.

;

' : l:

Détenninqr

fcs trajectoires dehJ,a:'e dans le ptan

(xy)

et calculer la

variation

dans le temps'du

volume

de phase.

dxdf,

^«lans Ie cas

: '

-

:

t

li

ïl

.t

".t

t

li f' ll

^;

I

(

i

;,

Univcrsité Sidi

M ohamed

Ben Abclell{h

FnCUL'I.E I)IIS ^SCTONCtrS DNATTItrI ^MNilTT,TZ

.

rr1

libre

de

se

déplacer

Ia

Matière

à I'intérieur

d'une

Filière

SMP-S6.-h':ïodule Asp ^ects

Microscopiques

de

b«lit,:

f,t

.:

I I

r['X$itGtGP.a1':i

1

1") Considéron; une

particuLe'

de

^r1âss0

e l.'espacc cle phase corresponrlant à une

: : a- l--rtt!-r- -l- --)

''

c) ^'Trouver

^{cn foncticin}

^de 0(E)

_t/i le nombre d'états dont

l'énergie

est comprise cntre E

. :,

^I

etlî.+ôE '

^I

, ^., ,

| ^,

2')

ConsidErons

un

gev

parfait

monoatoririque

formés de N panicules

confinées dans une

; boite cubique de côté L

^('Nf

^est

^sttppc,sé

^{ici être cle I'ordre cle grandenr du}

^nombrè.

' d'Avogadro). |

^;

a)

Cal«:uler

le

nornbre ct'état dans

un intervallc d'énergie

cloruré

compris

entre

E

et 'i

E+dIi.ondor-nr:levo1umed'pngsphèrç:i[erayon.RdansunespaC;eàndimcnsions: .l ^| ,

:

t, _n/

Vn =Cn.Rn ^avec a,, =â\

^,

! l, l-ll (2)'

^;

I

;6.a .,

en

un

b)

Calcriler

I'entropie

de ce gaz err

fonction

de E.

c) Déterminer la

température

it ^clu

^gaz

à l'équilibre puis exprimer son

énergie

' _fonction

_{de la}

1.empérature. I

^I

p)

Considérons mai.n:ienant quej (:haque

particule peut

se

trouver

seulenrent dans

I'

':.

d.es dcux niveaux

d'ârergie "f to et, ^ê0.

^{Calculer :}

I

(i) Le

nombre de façon

d'obtLnir l'éncrgie E = Meo..

^'

(ii)L'entropie

et la température, ^{. .}

(iii)L,'énergie

intenle et la chatr':ur spécifiquc.

ï

.j

" r' I

'.t. i

.t I

+

;i

.

3l§_u.pp_ç-solls.que ^c-e sy§!È.$.er.esl prépârri _rlans

un

état

cl'énergic E>0. Expliquer ce qui

^sc

passc lorsqu'on

plongc

un thel'molnètre à ^ga:z parfait da::s ce

systèmc. '

^-.,

,;..,

^'

,tr iatliÀTlo§'îtio'fi:

;.

i

(

"r1 '' '( .,- \ / ^ ,,- \'l

,s

= r,Jr*ur,u - n

;,#

^rL

r(!î#)- i#r,.,{ i#))

.!-.

3/

Calculer Ia températrue

T

de

la

chaîne

ct

en déduire I'expression de

l'énergie

^F,

en

^l

; ,

i , _{Le modtl:lc le} plus si;nple qui pilinct cl:étudier,l'élasticité dc Ia laine consistc

à

rcmplacer.

le fil ^{rle laine}

^pzu'

rrne chaine linÉailc formée de N monotnères. Chacun

cres

I

monomères peut se

trouver

scit.dans

l'étz.t,i1)

d'énergie

Er soit

dauq

l'état (2)

d'énergie Ilz.

',i . .1

On notc Nr lc nombre de.rnonomètes dims l'état Elet Nz leur nombre daïs l'état

Ez.

,

Considérons que la chaîne des

N

monomèt'es est isoléc, son énergie c:st E.

LlCal"uier

Ie nombre ii'é,tats acceslii,lcs à i'énergie E.

2t lindérluire,

^{que pour I.l} très graricl,

I'etttropie

dc la chaîne est clonnée ^pelr :

A.

Consiclérons un

oscilktcur haioniclu" f ,iiiJ?im"nrior'.1"

fréqueucc v c{. d'énergie

[i

:r- Calculer

^J.c nornbre d'ét:rts

(:(Tj) l.

_(rrombre c1'états dont 1'éner1;ic, est inférieure à I3).

b-

^{Fir rléduire,}

I'entropie

de cet oscillate.rr.

c-

^Calculer

^la

tcmpéralrrrr: ^s tati.stiquc T ct cn déiluire l'expression de l'énergie.

IJ. Corrsidërc,ns rnaintcnrrn'1.

un

systèrnt: tle

N

oscillateurs htrnnoniques sans interactionr ct de môme fr,lquence

v :

ⁱ

_.-.ii a-

Trorrvcr l,J nornlrrc d'éta'is

(r(E)

_i

b-

Calculcr

i'cntropie

S et on déduire

l'éncrgie

cle cc système.

C. On suppc)si) maintenant que

l'éncrgic

du systèrnc dcs

N

oscillateurs n'est connue qu'err moyenne

a-Calculer la Jlonction de

partition

caurlriquc

Z

du systèrne.

b- Déterminer

l'énergie librr:

cle l-Iel;nlll

:zF

el

l'entropie

S.

c- Calculer

i'énergie E

de

,i «:

systèndc ^r:t comparer au résultat trouvé dans

B-

Interpréter les résultats.

I :

), Jr;Jî=.;rlrati hÉ'.)* 6.ÿ.

I

M. ^{z )vr7}

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II

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III

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ü(i,{)

Université SidiMed Ben Abdellah

Fac.

Des

Sciences

Dhar El Mehraz Département

de

Physique

(Fès)

Contrôle

de mécanique

quantique

55

Module

Aspect

Microscopique

de

la

matièrer

Le

01 mar§ 2013

I

-

Oscillateur harmonique

Connaissant

I'action

de

l'opératew

annihilation a sur

l'état

fondament

A _ler), vérifier

que Ia

fonction eo(x)=(H'"*o-ff*'

represente

bien l'état fondamental d'rm

oscillateur harmonique à une

dimension.

En déduire alors, par

action

de a*

sur lpo),tufonction

^d'onde

-J::j::::]

"

:::" "*:::::k#x****ffi*à***ïq**x,{,*=****;

^sü*:

II

^-

Moment Cinétique

On considère

un

système quantique sans spin, de moment cinétique

orbital L

Une base de l'espace des états de ce système est constituée

par

les états propres _cornmuns

à

L2

et L.

^el

notes

lt,ml

^...

lfE5pnrriêrl,*L-

et L-L+ en fonction

d" L,'.d !l ^d =$ire

les propriétési

t _*lt,

_{m) =} v

J 2@1iffi$l

^{t, m}

^{* r)}

2l

On suppose maintenant dans toute la suite qute

l=l

a-

Calculer, dans la base

{lf,*)},

les éléments de matrices des opérateurs L2,

Lr,Inet

Ly.

b-

Catculer les valeurs propres et les vecteurs propres

I,

3l

Ce système est

un

noyau atomique soumis

à un

champ magnétique

E, airige

selon une direction r:nitaire

fr

d'angles polaires 0 et

g

[ü(sinOcosg, sinOsing, cosO)]. On supposera que

le

rapport gyromagnétique

du

noyau est

négatif et on posera: co = -lBr. ^En

^{écrivant que}

l'hamiltonien

d'interaction est

H ₌ -F. ^{E où} ir--yi

^.

a' ^Montrer

_{donnée par}

^{que la}

^matrice représentant

H

dans

la

base des états

propres {;f,rn1} "rt

:

MH

=ltal

cos p

sin 9eia

: Jz

0

j

sinâe-ie

Jz

sin 1e-'a

T

0

sin 9e'a

-

-cosp 42

b-

^Calculer alors les énergies propres associées à ce système

BoNNr CneNce

?:*ÉʧffiiË#:. ri&ilii9ti§&S§'X1*tjtÊfi*Strdlii:l#tr{ffiâr.di#rffii*.idrPst§,*É4riti \

Université Sidi Med Ben Abdellatr

Fac. Des Sciences

Dhar El Meluaz

Département de

Physique

(Fès) Examen de mécanique

quantique

S5

§ession

nomale

^Ie 08

Février

2013

Oscillateur Harmonique

Soit lq,)*

état propre de

I'hamiltonien H d'un

oscillater:r harmonique

à

r:ne dimension

et

de Pulsation

,= M

1.

Démontrer que

l'état

suivant

, _lp) =r$+Oele,) ^tot,u

^{est un scalaire) est un} état propre de I'opérateur annihilation

a.

On montrera que la valeur propre correspondante est égale à cr,.

2. A I'instant t:0, l'oscillateur

harmonique est dans

t'etat _lV(t

₌ ^O)) ₌

_le" ).

^Quelles

^sont

^les

valeurs d'énergie possibles et leurs probabilités. Déterminer alors l'état du système l'instant t.

3. Durant un intervalle très bref,

_[0,

r], t"l

^que

r(1, I'oscillateur

harmonique

est

soumis au potentiel supplémentaire :

V

_=ftÇ)N2

avec N:a*a _,

a*

étarfil'opérateur de création

et (l

>> co =

M.

On suppose que l'intensité de

V

est telle que

l'hamiltonien total (H+V)

est très peu

différent

de

V

durant

l'intervalle

de

temps [0,"].

Montrer que les états

lg" )

^{sont des états propres de}

^V.

4.

Déterminer

en fonction de le,) ^l'etat lqr(r))ae cet oscillateur

soumis

à la

perturbation

V

lorsque

I

v(t

= o)) = |

o").

5.

Déterminer l'expression de

|

,y(r)

u,, temps

,

₌

/ZA.

Montrer que

I

VG)

^{peut s'écrire sous la}

rorme, _l,yG))

⁼

i(t"^lq,) ^* "'%W-,))

Question

B Moment Cinétique

En considérant une particule de spin Yz

,rctrouver

les matrices de Pauli

o*, o,

et

o,

dans la base des vecteurs propres de 52 et Sr, §achant

qu" § =!a.

^Trouver alors les valeurs propres et les vecteurs

2 propres de S* et S, ^.

Bonne Chunce

;F _')rr-** ^A

IJniversité

Sidi Med Ben

Abdellah

Fac. Des Sciences Dhar EI

Mehraz

Départoment

de Physique (Fès)

Rattrapagc tle

mécanique

quantique

56

Àspect Microscopiques

de Ia

matière (,Iuillet

2011)

ffilttrffihsi5ruqwüryxrErwtÉÜrü|ffiÈ-illüqü ü|Ii

i i VlOscillateurharmonlque

On désigne,*

[f,l) ^etEi,

respectivement, les états et valeurs propres conespondants à I'hnmiltonicn l:tq d'un oscillateur harmonique à uhe

_i

dimension

: I/o

₌

-++ _{Zmdx' 2} ^{+l rrar'*'}

^--

l)

Calculer les éléments de

matric"(oi,lxl,ni) (ellrlrl)et

^les valeurs moyennes de t'énergie cinétique et de 1'énergie potentieJ.le.

2) El

déduire les écarts quadratiques moyens

^X, AP

dans

l'état lfl) ^{rt la}

^valeur çlu produit

^X.AP.

^Que

devignt cette valeur pour

n:0 ?

_Que pouvôz-vous en. eorrclure ?

3)

Par une certaine tcchnique d'exoitation au Laser, on a pu préparer, au temps

F0,

la molécule HCI assimilé à un'oscillateur harmonique dans l'état normé suivant :

ritl

l;+t'

. I llrl

$

:i

i.J! ,i:..,

ï'::

:.r'.i

t-il

.:i

:,'

. r.a

.:

;, :J. ^.

:f

ii!t.

.tr

I

..

Àl;, ri

r::jjrrl

.,j.

:gj.,.1'.

's$i:i' .ta' .ri . .-.>:g ,f.

'È-l .r'. i

;; t\

\

5Q\

,*

a)

En déduire ['état

ly(r))

^de

b)

Déterminer la probabilité

b-1-

Une énergie de 3hlo

t)

lv(o))

⁼

#[l ^u,,)-la,)]

la rnolécule à un instant t>0.

que Ia molécule ainsi préparée possède à l'instant

t

^: b-2- IJne énet'gie de

ry

II _-Moment cinétque

On considère

,r,

sy.tème physique de moment cinétique

Ï.

La base de I'espace des états de ^ce

. . ?2, t. \ .

^I

sygtème est constituée, par les états propïes commrrns à

i'

^{et J, qui sont notés}

lj,*) ^urc" j

₌

;

i/

Calculer les makicès représentant les I observables J*, J, et

Jr.

Trouver les valeurs proprcs et les vecteurs propres dc Jr,

2/

A

I'instant t=0, l'étàt du système est

:

^:

i I t*(o»=#li,*).rli,-+)

A cet instant, on t,h"rur"

I'observablu.

fy ; ^quels

^résUltats

trouvera-t-on Êt avcc

quelles

probabilités? L:'t1''': i: _.

_i':,'

j"

3/ Ce système est un noyau atomique soumis à un qhamp magnétique

I,

^airige

,"lon

unr diroction unitaire

â

d'angles

pbl"ir"s 0

et

q

[â(sin0cos<p, sinOsinq, cosO)]. On supposera'quÇ

lc

rapport gyrornagpétique du noyau est négatif et on posela; çùl

i=

^-yBr.

^En

^{écrivant que} l'hamiltonien d'interaction est F/

='-ir.E ^{où p} =*yi.,

moqtror que fa matrice représentant cet hamiltonien d'interaction st donné$ par :

I I i : :

;

I

Calculer alors les éner[ios Êt I

Mr{=Y;

es états propr

onne flce