Fiche - Algèbre : Pivot de Gauss et applications
I - La méthode du pivot de Gauss
La méthode du pivot de Gauss peut s’appliquer sur des matrices ou des systèmes linéaires.
Le principe est de transformer la matrice ou le système de départ en une matrice ou un système triangulaire (plus facile à résoudre), à l’aide d’opérations élémentaires sur les lignes.
Le système ou la matrice obtenus sont dit « équivalents » au système ou à la matrice de départ.
Proposition 1 : Opérations élémentaires sur les lignes
Voici la liste des opérations autorisées sur les lignes d’un système ou d’une matrice :
1. Li↔Lj: on échange la ligne d’indiceiavec la ligne d’indicej.
2. Li←aLi avec a6=0 : on multiplie la ligne d’indiceipar un réelanon nul.
3. Li←aLi+bLj avec a6=0 : on remplace la ligne d’indiceipar la somme de la ligne d’indiceimultipliée paraet de la ligne d’indicejmultipliée parb.
II - Application à la résolution de systèmes linéaires
Méthode 1 : Résoudre un système par le pivot de Gauss
Il s’agit de transformer le système de départ en un système triangulaire équivalent.
La mise sous forme triangulaire se fait comme suit etdans cet ordre.
• Première variable :
?On place un pivot non nul enxsur la première ligne, quitte à échanger deux lignes pour obtenir un pivot plus pratique.
?On élimine lesxde toutes les lignes en dessous à l’aide des opérations élémentaires.
• Deuxième variable :
?On place le pivot (non nul) enysur la deuxième ligne, quitte à échanger deux lignes pour obtenir un pivot plus pratique.
?On élimine lesyde toutes les lignes en dessous. On ne touche surtout pas aux lignes au-dessus.
• Etc...
Exemple 1
(S)
4x + 2y − z =5
2x + y + 2z = −5
−x + 2y + 4z =0
⇐⇒
−x + 2y + 4z =0 2x + y + 2z = −5
4x + 2y − z =5
L1↔L3
⇐⇒
−x + 2y + 4z =0 5y + 10z = −5 10y + 15z =5
L2←2L1+L2 L3←L3+4L1
⇐⇒
−x + 2y + 4z =0 y + 2z = −1
5z = −15
L2←1 5L2 L3←2L2−L3
⇐⇒
x= −2 y=5 z= −3 Le système (S) admet une unique solution, le triplet (−2, 5,−3).
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III - Application à l’inversibilité des matrices carrées
Méthode 2 : Déterminer si une matrice est inversible par le pivot de Gauss
• On transforme la matriceAen une matrice triangulaireBà l’aide du pivot de Gauss (même méthode que pour les systèmes).
• La matriceAest inversible si et seulement si tous les éléments diagonaux de la matrice triangulaireBsont non nuls.
Exemple 2
Cherchons si la matriceA=
2 7 3 3 9 4 1 5 3
est inversible.
A=
2 7 3 3 9 4 1 5 3
−→
2 7 3 0 3 1 0 3 3
L2←3L1−2L2 L3←2L3−L1
−→
2 7 3 0 3 1 0 0 2
L3←L3−L2 La matriceAest équivalente à une matrice triangulaire sans 0 sur la diagonale doncAest inversible.
Méthode 3 : Calculer l’inverse d’une matrice A
• On commence par écrire côte à côte la matriceAet la matrice identitéI.
• A l’aide de la méthode du pivot de Gauss, on transforme la matriceAjusqu’à obtenir la matrice identité. A chaque étape, on effectue les mêmes opérations sur la matrice identité.
• A la fin, la matrice obtenue à côté de la matrice identité est la matriceA−1.
Exemple 3
Reprenons l’exemple 2 et calculonsA−1:
2 7 3 3 9 4 1 5 3
1 0 0 0 1 0 0 0 1
→
1 5 3 3 9 4 2 7 3
L1↔L3
0 0 1 0 1 0 1 0 0
→
1 5 3 0 6 5 0 3 3
L2←3L1−L2 L3←2L1−L3
0 0 1
0 −1 3
−1 0 2
→
6 0 −7
0 6 5
0 0 1
L1←6L1−5L2
L3←2L3−L2
0 5 −9
0 −1 3
−2 1 1
→
6 0 0 0 6 0 0 0 1
L1←L1+7L3 L2←L2−5L3
−14 12 −2
10 −6 −2
−2 1 1
→
1 0 0 0 1 0 0 0 1
L1←1 6L1 L2←1
6L2
−7
3 2 −1
5 3
3 −1 −1 3
−2 1 1
Ainsi : A−1=1 3
−7 6 −1 5 −3 −1
−6 3 3
.
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