LES FONCTIONS. Centre d aide en Mathématiques et Statistique

Centre d’aide en Mathématiques et Statistique

LES FONCTIONS

LES FONCTIONS

• Définition d’une fonction

• Caractéristiques d’une fonction : domaine,

ensemble image , zéros et ordonnée à l’origine

• Fonctions polynomiales : constante, affine,

quadratique,…

Définition d’une fonction

Exemple 1

montant 𝒙𝒙 $ hors taxes TPS (taxes sur les produits et services)

TVQ (taxes de vente du Québec)

15% de ce prix 𝒙𝒙

x 

Prix avant taxes Prix taxes incluses

( )

0,15 1 0,15 1,15

x+ x = + x = x

Au Québec :

x 

^T

( )

^{x =}

^1,15

^x

:

T

[

^0,+∞

[

^{→ 0,}

[

^+∞

[

Au Québec, l’effet combiné de l’application de a TPS (taxes sur les produits et

services) et la TVQ (taxes de vente du Québec) sur le montant x hors taxes (HT) d’un produit taxable s’élève approximativement à 15% de ce prix 𝒙𝒙.

Exemple 1

x 

^T

( )

^{x =1,15x}

: T

Un manteau d’hiver est affiché à 50 $, quel montant allez-vous payer à la caisse ?

( )

^{50 1,15 50}

T = ×

[

^0,+∞

[

^{→ 0,}

[

^+∞

[

Définition d’une fonction

57, 5 $

=

x 

^{y = f}

( )

^x

: f

Une fonction réelle 𝑓𝑓 est une règle de correspondance qui associe à chaque nombre réel au plus

x

un nombre réel

x

y

et : variable dépendantey

x

( )

y f= x Le graphe de 𝒇𝒇

:

x entrée _f ^{y = f x}

( )

^:sortie

→

Définition d’une fonction

( , )

x y

 

N’est pas un graphe d’une fonction Un graphe d’une fonction

: variable indépendante

x et : variable dépendantey

x

x

Définition d’une fonction

Une fonction réelle 𝑓𝑓 est une règle de correspondance qui associe à chaque nombre réel au plus

x

un nombre réel ,

x

x 

^{y = f}

( )

^x

x ^ → 

Caractéristiques d’une fonction : domaine d’une fonction

Domaine mathématique : 

[ [

Domaine contextuel : 0,+∞

( )

f x = x ^Dom

( )

^{f = 0,}

[

^+∞

[

^{, car} x est définie (existe) si et seulement si x ≥ 0^.

( )

¹

h x = x ^Dom

( )

^{h =}  ⁰

{ }

1 0

, car la fraction est définie (existe) si et seulement si x

x ≠

( )

³

g x = x ^Dom

( )

^{g =}  , car ³ x est définie pour tout x∈.

( )4 4 n'existe pas

f − = −

( )

4 4 2 (existe)

f = =

( )

^{8 3 8 2 existe}

g − = − = −

( )

8 8 2 (existe)

g = =

( ) ^1,15

T x = x

Exemple 2

Domaine de la fonction

f

, noté , est l'ensemble des nombres réels pour lesquels est définie (existe). ^{Dom f}

^{( )}

^f

( )

^x

x 

^{y = f}

( )

^x

:

f

^ → ^ _{( )}

Dom f ⊆ 

Caractéristiques d’une fonction : image d’une fonction

( )

f x = x

( ) [ [

Im T = 0,+∞

car x >0 et y =1,15x >0

y = x

( ) [ [

Im f = 0,+∞

( )

³

g x = x ^{h x}

( )

¹

= x

( )

Im g =  ^Im

( )

^{h =}  ⁰

{ }

car y = 3 x∈, pour tout x∈

[ [

car y = x ≥ 0, pour tout x∈ 0,+∞

( )

^1,15

T x = x

Exemple 3

Image d’une fonction réelle , notée est l’ensemble des nombres réels y qui peuvent s’écrire comme

( )

^{, où}

( )

f x x Dom f

y = ∈

f

^Im

( )

^f

x 

^{y = f}

( )

^x

:

f

^ → ^

Caractéristiques d’une fonction : image d’une fonction

L’ordonnée à l’origine de

f

: l’ordonnée ^{y = f}

( )

^{0 , si 0∈Dom f}

( )

( ) ²

²

⁴

³

g x = x + x+ ^{h x}

( )

¹

= x

( ) ²

¹

f x = x+

Exemple 4 Trouvez l’ordonnée à l’origine

( )

^{0 2 02 4 0 3 3}

g = × + × + =

( )

^{0 2 0 1 1}

f = × + =

( )

0 ¹ n'est pas définie

h = 0

x 

^{y = f}

( )

^x

:

f

^ → ^

Caractéristiques d’une fonction : zéros d’une fonction

Trouver les Zéros de 𝑓𝑓

Résoudre l’équation : ^f ( ) ^{x = 0, x ∈ Do m} ( ) ^f

Graphiquement : abscisses des points d’intersections avec l’axe des 𝑥𝑥

x 

^{y = f}

( )

^x

:

f

^ → ^

Zéros de la fonction :

f

valeurs de telles que ^{x∈Dom f}

( )

^f

( )

^{x = 0}

Caractéristiques d’une fonction : zéros d’une fonction

( )

Zéros de : T T x = 0

( )

0∈Dom f

est le zéro de la fonction 0

x =

5 0 1,1 x 0

x

⇔ =

⇔ =

À vérifier souvent

[ [

Domaine contextuel : 0,+∞

( )

^1,15

T x = x

Exemple 5 Trouvez les zéros de ^{T x}

( )

^=1,15x

Zéros de la fonction :

f

valeurs de telles que ^{x∈Dom f}

( )

^f

( )

^{x = 0}

x 

^{y = f}

( )

^x

:

f

^ → ^

12

Fonctions polynomiales

Graphe : droite oblique

y =ax b+

 ^{f x} ( ) ^{= k , où k ∈}  : fonction constante, polynôme de degré 0 à une variable Fonction constante

 Fonction affine ^f ( ) ^{x = a x + b a , 0 ≠} : fonction affine, polynôme de degré 1 à une variable

Graphe : droite horizontale k y = k

 ^f ( ) ^{x = a x + b , 0 a ≠} : fonction affine

: Pente

: coefficient directeur

a a =1,15

le prix après taxes augmente de 1,15 $ quand le prix avant taxes augmente d’un dollar.

y x

= ∆

∆

: Taux de variation

2 1

y y

= −

^{y = ax+b}

(

1, 1

)

A x y

(

2, 2

)

B x y

Ordonnée à l’origine =^f

( )

^{0 =b}

( ) 1,15 : fonction affine

T x = x

L’ordonnée à l’origine b =

0

Si on n’achète rien, on paye 0 $

2 1

x − x

( ) 1,15 : fonction affine

T x = x

Exemple 6

Fonction affine

Fonctions polynomiales

1 2

y y

= −

1 2

x − x

Exemple 6 Donnez l’équation de la droite passant par les points et

^A

(

⁻

^1,1 )

^B

( ) ^{3, 9}

, 0 b

y = a x + a ≠

a y

= ∆x

∆

9 1

( )

3 1

a −

= − −

2 a =

? b =

3 b =

2

y = x + b

( )

1= 2 −1 +b⇔ = − +

1 2

b

2

y = x + b

Étape 1 Étape 2

L’équation de la droite qui passe par les points A et B :

2 3

y = x +

Étape 3

3

x = − 2

: le zéro de

^{f x}

( )

^{= 2x +3}

Fonctions polynomiales

Comment trouver l’équation d’une droite passant par deux points

 ^{f x} ( ) ^{= a x}

²

^{+ bx + c , 0 a ≠} : polynôme de degré 2 à une variable

15

Le sommet de la parabole : ^et ( )

S

2

s S

x b

a y f x

= − =

∆ < 0

⇒ La parabole n’admet aucun zéro

x0

∆ = 0

⇒ La parabole admet un seul zéro : ⁰ 2 x b

= − a

x1 x₂

∆ > 0

⇒La parabole admet deux zéros :

1 et 2

2 2

b b

x x

a a

− − ∆ − + ∆

= =

 Si

^{a > ⇒0}

et si

^{a < ⇒0}

Graphe : parabole

Les zéros de la parabole : Résoudre

2

4

b ac

∆ = −

( )

⁰

f x =

Fonction quadratique

Fonctions polynomiales

Parabole ouverte vers le haut ou vers le bas?

Le

 Le sommet de la parabole :

 a = − < 1 0

2 ( )

= 1 et 4

2 2

S s S

b f

a y

x = − − − = − = x =

−

Exemple 7 ^{f x} ( ) ^{= − − x}

²

^{2 x + 3 a} b ^{= −} = − 2 ¹

3 c =



^{∆ =}

¹⁶

^>

⁰ , l’équation admet deux solutions : − − x

²

2 x + = 3 0

1 1 et 2 3

2 2

b b

x x

a a

− − ∆ − + ∆

= = = = −

La parabole coupe l’axe des 𝑥𝑥 aux points : (

−3, 0 et 1, 0

) ( )

(

^{−1, 4}

)

2 3

x = − ^x1=1

Fonctions polynomiales

Fonction quadratique

 f x ( ) = a

_n

x

ⁿ

+ a

_n−1

x

ⁿ⁻¹

+ + ... a

1

x + a

_o

, a

_n

≠ 0 : polynôme de degré 𝑛𝑛 à une variable

17

( )

Dom f = 

Zéros de 𝑓𝑓 : résoudre L’ordonnée à l’origine : ^{y = f} ( ) ⁰

( ) ²

f x = −

^{degré 0}

( ) ^{3 1,}

f x = x −

^{degré 1}

( ) ^x

²

^{2 x 3}

f x = − + −

degré 2

( ) ²

^{10 5}

¹

f x = x − x − + x

degré 10 …

Fonctions polynomiales

1

1

...

1

0

n n

n n o

a x + a

₋

x

⁻

+ + a x + = a

Résumé

( )

Dom f = 

( )

⁰

Résoudre f x

= Zéros :

Fonction polynomiale : f x

( )

= a x_n ⁿ +a_n−1xⁿ⁻¹ +a_n−2xⁿ⁻² + +... a x1 +a_o , a_n ≠ 0

 ^f ( ) ^{x = a x + b a , 0 ≠} : Fonction affine

^Graphe Droite oblique

 ^{f x} ( ) ^{= a x}

²

^{+ bx c + , 0 a ≠} : Fonction quadratique

^{Graphe Parabole}

 ^{f x} ( ) ^{= k , k ∈}  : Fonction constante

^Graphe Droite horizontale

 Michèle Gingras, Mathématique d’appoint, 5^e édition, 2015, Éditeur Chenelière éducation

 Josée Hamel, Mise à niveau Mathématique, 2^e édition, 2017, Éditeur Pearson (ERPI)

Références