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Kinetics models of particles interacting with their
environment
Arthur Vavasseur
To cite this version:
Arthur Vavasseur. Kinetics models of particles interacting with their environment. General Mathe-matics [math.GM]. Université Côte d’Azur, 2016. English. �NNT : 2016AZUR4086�. �tel-01421822v2�
Université Nice Sophia Antipolis — UFR Sciences École Doctorale de Sciences Fondamentales et Appliquées
T H È S E
pour obtenir le titre deDocteur en Sciences
de l’Université Nice Sophia AntipolisDiscipline : Mathématiques présentée et soutenue par
Arthur Vavasseur
Modèles cinétiques de particules en
interaction avec leur environnement
Thèse dirigée par Thierry Goudon soutenue le 24 Octobre 2016
devant le jury composé de
Jean Dolbeault DR CNRS Université Paris Dauphine
Frederic Herau PR Université Nantes
Marjolaine Puel PR Université Nice Sophia Antipolis Stephan De Bièvre PR Université Lille
Julien Barre MCF Université Orleans
Modèles cinetiques de particules en interaction avec leur
environnement
Résumé :Dans cette thèse, nous étudions la généralisation à une infinité de particules
d’un modèle hamiltonien décrivant les interactions entre une particule et son environement. Le milieu est considéré comme une superposition continue de membranes vibrantes. Au bout d’un certain temps, tout se passe comme si la particule était soumise à une force de frottement linéaire. Les équations obtenus pour un grand nombre de particules sont proches des équations de Vlasov. Dans un premier chapitre, on montre d’abord l’existence et l’unicité des solutions puis on s’intéresse à certains régimes asymptotiques ; en faisant tendre la vitesse des ondes dans le milieu vers l’infini et en redimensionnant les échelles, on obtient à la limite une équation de Vlasov, on montre que si l’on modifie en plus une fonction paramètrisant le système, on obtient l’équation de Vlasov-Poisson attractive. Dans un deuxième chapitre, on ajoute un terme de diffusion à l’équation. Cela correspond à prendre en compte une agitation brownienne et un frottement linéaire sur les particules. Le principal résultat de ce chapitre est la convergence de la distribution de particules vers une unique distribution stationnaire. On montre la limite de diffusion pour ce nouveau système en faisant tendre simultanément la vitesse de propagation vers l’infini. On obtient une équation plus simple pour la densité spatiale. Dans le chapitre 3, nous montrons la validité des équations déjà étudiées par une limite de champ moyen. Dans le dernier chapitre, on étudie l’asymptotique en temps long de l’équation décrivant l’évolution de la densité spatiale obtenue dans le chapitre 2, des résultats faibles de convergence sont obtenus.
Kinetics models of particles interacting with their environment
Abstract :The goal of this PhD is to study a generalisation of a model describing the
interaction between a single particle and its environment. We consider an infinite number of particles represented by their distribution function. The environment is modelled by a vibrating scalar field which exchanges energy with the particles. In the single particle case, after a large time, the particle behaves as if it were subjected to a linear friction force driven by the environment. The equations that we obtain for a large number of particles are close to the Vlasov equation. In the first chapter, we prove that our new system has a unique solution. We then care about some asymptotic issues ; if the wave velocity in the medium goes to infinity, adapting the scaling of the interaction, we connect our system with the Vlasov equation. Changing also continuously a function that parametrizes the model, we also connect our model with the attractive Vlasov-Poisson equation. In the second chapter, we add a diffusive term in our equation. It means that we consider that the particles are subjected to a friction force and a Brownian motion. Our main result states that the distribution function converges to the unique equilibrium distribution of the system. We also establish the diffusive limit making the wave velocity go to infinity at the same time. We find a simpler equation
satisfied by the spatial density. In chapter 3, we prove the validity of both equations studied in the two first chapters by a mean field limit. The last chapter is devoted to studying the large time asymptotic properties of the equation that we obtained on the spatial density in chapter 2. We prove some weak convergence results.
Remerciements
Trois années qui s’achèvent... Mes premières pensées vont à mon directeur de thèse Thierry Goudon sans qui elles n’auraient pu commencer. Je le remercie d’abord pour la confiance qu’il m’a témoignée en acceptant de m’encadrer pour cette thèse. Les sujets qu’il m’a suggérés se sont avérés être très enrichissants. Son exigence de rédaction et sa rapidité à reprendre mes manuscrits m’ont souvent déconcerté, j’espère que mes semaines interminables de rédaction ne l’auront pas autant marqué.
Je remercie également Marjolaine Puel, Julien Barré et Stephan de Bièvre d’avoir accepté de faire parti du Jury. Je suis particulièrement reconnaissant envers Jean Dolbeault et Frédéric Hérau pour avoir accepté de rapporter ce manuscrit et pour l’ensemble des remarques et corrections qu’ils ont apportées pour son amélioration. Lorsque je lisais certains de vos papiers, je ne m’attendais pas à ce que vous m’en rendiez la politesse.
Tout le travail de cette thèse n’aurait d’ailleurs pas vu le jour sans les travaux de Stephane de Bièvre, je le remercie une seconde fois. D’abord pour son invitation à Lille il y a deux ans et pour les remarques qu’il a faites sur l’ensemble de mes travaux au cours de leur élaboration, sa rigueur sur le sens physique des modèles m’a beaucoup apporté.
Je remercie également l’ensemble du laboratoire Dieudonné pour son accueil lors de mon arrivée, une attention particulière pour l’ensemble de l’équipe COFFEE au sein de laquelle j’ai fait ma thèse, une autre pour Hélène, Sorin, Didier, Joachim, Gilles, Emmanuel, Erwann et François pour des discussions des plus passionnantes et parfois quelques conseils ou coups de main très opportuns. Une pensée également pour le personnel du laboratoire, qui a parfois dû gérer mes retards chroniques et que j’ai eu beaucoup de plaisir à croiser tout au long de ces trois ans. Je pense en particulier à Laetitia, Julia, Manuelle, Christine, Delphine, Francine, Jean-Louis, Jean-Marc, Jean-Paul, Roland, Angélique, Rosalba, Victoria et Kristell.
C’est aussi au cours de cette thèse que j’ai eu mes premiers étudiants. Merci à ceux dont j’ai assuré les TD : François-Xavier, Philippe, Vladimir et particulièrement Frédéric et Joachim dont les conseils et points de vus m’ont été très précieux. Merci aussi à ces étudiants que j’ai dans l’ensemble trouvés très sympathiques.
Il serait impossible de ne pas mentionner un certain nombre de doctorants, merci d’abord aux différents co-bureaux qui se sont succédés : d’abord Audric pour son carractère franc, Guillaume pour son calme et sa gentillesse, Byron pour sa sympathie (et quelques coups de main en probas) puis enfin Laurence pour la vitalité qu’elle a ramenée au bureau. Je n’oublie pas Melisande qui a organisé diverses sorties pendant la première année. Je remercie particulièrement Jean-Baptiste pour des pauses interminables et une présence continuelle, Martin pour des discussions encore plus interminables et toujours passionnantes, Charles pour nous avoir tous reçus très régulièrement au cours des deux dernières années, Julie pour de bons petits déjeuners les lendemains de nuits blanches, David pour de nombreuses sorties parfois des plus rocambolesques et Brice dont les discussions pédagogiques m’ont été des plus utiles face à mes premier élèves. Merci également
à tous les doctorants qui ont participé au petit séminaire des doctorants en EDP. Une dernière attention particulière pour Julien, Julian, Olivier, Camillo, Carolle, Elise, Julia, Björn, José, Rinel et David et ceux qui sont allés au bout de ce paragraphe.
En s’éloignant un peu du labo mais en restant à Nice, je remercie beaucoup mes "voisins de toits" Sam et Simon pour le premier accueil qu’ils m’ont fait dans le Vieux, un grand merci à Victorien pour m’avoir promené un peu partout, un grand merci à tout le petit monde du Vieux et tout particulièrement à Raph, Guillaume, Maude, Xavier, Julien et Fred. Une pensée pour les irré-ductibles des diables bleus, du carnaval indépendant et de la santa capelina, notamment Christina et Alain, votre compagnie est toujours une joie. Allons maintenant à Vintimille et remontons vers le nord, un grand merci à Serge de m’avoir amené pour la première fois dans le vallon de l’Audin et à tous ceux qui m’ont donné régulièrement de bonnes raisons de remonter dans la Roya : Jérémy et Anna en premier puis Katy, Nico, Lucie, Thibault... Merci à tous ceux qui y font vivre cette vie que vous savez, puisse le Bégo l’ouvrir grand et fort pour la protéger.
Je n’oublie pas que cette thèse n’aurait probablement pas pu commencer sans un certain nombre de soutiens au sein du département de mathématiques de l’ENS Lyon, je remercie tout particuliè-rement Jean-Claude Sikorav, Denis Serre et Claude Danthony (en plus de ses cours géniaux) pour leurs conseils et prises de positions dans les mois qui ont précédé mon départ en stage. La liste des élèves auxquels je suis reconnaissant pour la même raison est un peu longue, je ne citerai que Thi-bault, Eleonore, Marine, Amélie, Valentin, Antoine et Lambin qui me reviennent particulièrement en tête mais la majorité de ceux que j’ai croisé à cette époque a participé à ce nouveau départ. Parmi le personnel de l’école, je ne peux finir ce paragraphe sans remercier une dernière fois Rachel de Araujo pour son engagement à cette époque.
Toujours sur Lyon, je remercie également mes collocs : Benjamin et Thibault pour leur grande tolérance au désordre et les plaisirs que j’ai eu à passer mes soirées avec eux. Merci également à Etienne, Correntin, Sébastien et Bruno que j’ai été content de retrouver en arrivant à Nice. Les discussions interminables scientifiques ou non, passées dans de mous canapés hors d’âges à l’ENS m’ont laissés de très heureux souvenirs.
Passons maintenant sous Lyon, un grand merci à mes compères d’exploration diverses avec qui j’ai eu plaisir à découvrir des lieux merveilleux, je pense principalement à Cyril, Perrine, Nico, Pierrick et Nath, j’espère que nous aurons l’occasion de remettre tout ça sans trop tarder. On lit rarement ce paragraphe sans raison, si le lecteur ne s’est pas vu remercié quelque part, c’est probablement un oubli.
Une dernière pensée pour la famille qui me supporte depuis toujours, mes parents, Clémentine, Angélique et Quentin, j’espère que la soutenance ne vous paraîtra pas trop longue.
On commence avec le directeur de thèse, on finit avec la copine, un grand merci à Fernanda qui a eu l’idée saugrenue de me rejoindre peu avant le début du rush de rédaction. Les derniers mois de travail lui doivent beaucoup.
Table des matières
Table des matières 6
1 Introduction 9
1.1 Le modèle de Laurent Bruneau et Stephan de Bièvre pour une particule . . . 9
1.2 Généralisation à plusieurs particules . . . 12
Formalisme cinétique . . . 13
Introduction des équations . . . 13
Le système complet . . . 14
Justification par limite de champ moyen . . . 15
Interprétation probabiliste . . . 17
Quelques résultats asymptotiques . . . 18
Vers Vlasov . . . 18
Vers Vlasov Poisson . . . 19
Le problème de l’asymptotique en temps . . . 19
1.3 En ajoutant un opérateur de Fokker-Planck . . . 20
Interprétation du terme supplémentaire . . . 20
Asymptotique en temps . . . 21
Limite de diffusion . . . 22
1.4 Asymptotique en temps long sur une équation de Fokker-Planck homogène . 23 1.5 Perspectives . . . 24
2 Un premier modèle cinétique : le système Vlasov-Ondes 25 2.1 Introduction . . . 25
2.2 Preliminary discussion . . . 28
2.3 Existence of solutions . . . 32
2.4 Large wave speed asymptotics . . . 45
Dimension analysis . . . 45
Statements of the results . . . 47
Convergence to the Vlasov equation with a smooth convolution kernel . . . . 49
Convergence to the Vlasov–Poisson system . . . 55
3 Le deuxième modèle obtenu en ajoutant un terme de Fokker-Planck 65 3.1 Introduction . . . 65
3.2 Equilibrium states . . . 68
3.3 Diffusion asymptotics . . . 72
Scaling of the equations . . . 72
Formal asymptotic by Hilbert expansion . . . 74
Proof of Theorem 3.3.1 . . . 75
Proof of Corollary 3.3.3 . . . 81
3.4 Asymptotic trend to equilibrium . . . 84
3.5 Appendix . . . 97
Linearized stability for the dissipationless model . . . 97
A compactness lemma . . . 99
Proof of Lemma 3.4.4 . . . 99
4 Les limites de champ moyen 101 4.1 Introduction . . . 101
4.2 Mean Field Regime and Weak Coupling Scaling . . . 104
4.3 Technical preliminaries . . . 107
Main assumptions . . . 107
An overview on the Kantorowich–Rubinstein distance . . . 108
Expression of the self–consistent potential . . . 109
Estimates on the characteristic curves . . . 110
4.4 Mean field Limit for the Vlasov–Wave system . . . 112
Particle viewpoint vs. kinetic viewpoint . . . 112
Existence theory for the Vlasov–Wave system . . . 114
Asymptotic analysis . . . 118
4.5 Mean Field Limit for the Vlasov–Wave–Fokker-Planck system . . . 121
Preliminary observations . . . 121
Analysis of the stochastic equations and the PDE system . . . 125
N –particles system . . . 125
Vlasov–Wave–Fokker–Planck system . . . 128
Asymptotic analysis . . . 130
5 Asymptotique en temps long pour Fokker-Planck homogène avec un po-tentiel d’interraction régulier 137 5.1 Introduction . . . 137 5.2 Preliminaries . . . 139 5.3 Main results . . . 143 5.4 Criteria of convergence . . . 148 5.5 Appendix . . . 154 Bibliographie 159
Chapitre 1
Introduction
L’objectif de cette thèse est d’étudier la généralisation à un grand nombre de particules d’un modèle initialement proposé par Stephan de Bièvre et Laurent Bruneau pour décrire les interactions entre une particule et le milieu dans lequel elle se déplace.
1.1
Le modèle de Laurent Bruneau et Stephan de
Bièvre pour une particule
Dans ce premier modèle étudié dans [17], le milieu est modélisé par une succession de mem-branes situées en tous points de l’espace. Ces memmem-branes vibrent dans une direction trans-verse à l’espace dans lequelle évolue la particule. Cette direction transtrans-verse peut représenter les différentes variables locales libres décrivant le système. En notant t, le temps, x ∈ Rd la
variable d’espace et y ∈ Rn la variable transverse, l’état du milieu au temps t et à la position (x, y) est représenté par une quantité Ψ(t, x, y) ∈ R tandis que la position de la particule au temps t est repérée par q(t) ∈ Rd. L’évolution de ces deux quantités du système est couplée
selon les équations d’évolution suivantes
m¨q(t) = −∇V (q(t)) − Z Rd×Rn σ1(q(t) − z) σ2(y) ∇xΨ(t, z, y) dy dz, ∂tt2Ψ(t, x, y) − c2∆yΨ(t, x, y) = −σ2(y)σ1(x − q(t)), x ∈ Rd, y ∈ Rn. (1.1)
où les fonctions de forme σ1 ∈ Cc∞(Rd) et σ2 ∈ Cc∞(Rn) sont deux fonctions positives
radiales qui déterminent le couplage entre la trajectoire de la particule et les vibrations du milieu. V désigne un potentiel extérieur auquel est soumise la particule et c est la vitesse de déplacement des ondes dans le milieu. Le système est complété par les données initiales
q(0) = q0, q(0) = p˙ 0, Ψ(0, x, y) = Ψ0(x, y), ∂tΨ(0, x, y) = Ψ1(x, ys0exprimantàpartir).
(1.2) On peux vérifier que la quantité suivante
E = 1 2 Z Rd×Rn |∂tΨ(t, x, y)|2 dx dy+ c2 2 Z Rd×Rn |∇yΨ(t, x, y)|2 dx dy+ 1 2| ˙q(t)| 2+V (q(t))+Φ(q(t))
est conservée au cours du temps. De gauche à droite, E s’interprète comme la somme d’une énergie de déplacement et d’une énergie élastique pour le milieu et d’une énergie cinétique et d’une énergie potentielle pour la particule (le terme Φ(q) se lisant comme une énergie potentielle élastique d’intéraction entre la particule et le milieu) . L’intérêt majeur de ce modèle réside dans les résultats asymptotiques suivants (valables pour n = 3 lorsque c satisfait une condition de grandeur dépendant d’un paramètre η > 0) que nous donnons sans détailler davantage les hypothèses de validité (voir [17, Th. 2-4]).
On se donne η ∈]0, 1[, il existe une constante γ ne dépendant que des fonctions de forme
σ1 et σ2 tel que
• Lorsque la particule est soumise à une force constante pas trop grande F (V (x) = F ·x), on peut montrer qu’il existe q∞ ∈ Rd et une vitesse limite v(F ) tels que
|q∞+ tv(F ) − q(t)| ≤ Ke(1−η)γt.
On a de plus v(F ) ∼
c→∞
F γ.
• Lorsque V = 0, on peut montrer qu’il existe q∞∈ Rd tel que
|q(t) − q∞| ≤ Ke(1−η)γt.
• Lorsque V est un potentiel de confinement, alors ˙q(t) tend vers 0 tandis que q(t) converge vers un point critique de V . Lorsque ce point critique q∗ est un minimum non dégénéré de V , on a en plus
|q(t) − q∗| ≤ Ke(1−η)γt/2
On rappelle qu’un potentiel de confinement est un potentiel V tel que
V (q) −−−−−→
|q|→+∞ +∞.
En d’autres termes, lorsque la vitesse de déplacement des ondes dans le milieu est suffisam-ment grande, au bout d’un certain temps tout se passe comme si le milieu exerçait sur la particule une force de frottement linéaire non conservative F = −γ ˙q(t). Le comportement
de q est le même que celui des solutions de ¨
q = −γ ˙q + ∇V (q). (1.3) Cette équation apparaît dans de nombreux systèmes physiques, c’est l’équation du mouve-ment d’une petite particule dans un milieu visqueux, c’est égalemouve-ment celle d’un electron dans un matériau conducteur selon le modèle de Drude destiné à expliquer la lois d’Ohm. Phy-siquement, (1.3) décrit le mouvement d’une particule considérée comme un système ouvert dans le sens qu’elle perd une énergie au profit d’un milieu dont l’état n’est pas modifié de manière apparente pour la particule par son passage. Le modèle (1.1) que nous venons de
présenter s’intègre dans une grande famille de modèles hamiltoniens destinés à "fermer" le système en redistribuant l’énergie perdue par la particule dans certaines variables internes du milieu. Les premiers modèles de ce genre avaient pour objectif de justifier l’équation de Langevin qui est légèrement différente
m¨q(t) +
Z 1
∞γ(t − s) ˙q(s) ds = −∇V (q(t)) + FL(t).
Tous ces modèle présentent les similitudes suivantes :
• Le milieu est considéré comme un "bain d’oscillateurs" : les variables internes du milieu sont modélisées par des oscillateurs. Ces derniers peuvent être localisés en certains points de l’espace ou non, en nombre finis ou infinis, vibrant à des fréquences imposées (oscillateurs harmoniques) ou libres comme ici.
• Au cours de son mouvement, la particule échange de l’énergie avec les différents oscil-lateurs avec lesquelles elle interagit.
• Le milieu a une énergie interne dont l’expression ne fait pas intervenir la particule. En plus de l’énergie potentielle due au potentiel extérieur V et de l’énergie cinétique, la particule a également une "énergie élastique" d’interaction avec le milieu. La somme de toutes ces énergies est conservée au cours du temps.
Globalement, l’influence du milieu sur la particule sera double : d’un coté il absorbe son énergie lorsqu’elle se déplace suffisamment vite, de l’autre il empêche son repos complet par ses oscillations interne. Ce dernier point sera négligeable ici. En notant (A, µ), un espace mesurable l’hamiltonien se mettra sous la forme générale suivante
HA(p, q, π, φ) = |p|2 2m + V (q) + Z A " |π(α)|2 2mα + 1 2mαω 2 α|φα|2 # dµ(α) + Z A σα(q)φαdµ(α) + Z A Wα(q) dµ(α)
En prenant A = Rdx× Rnξ, dµ = dx dξ, en notantf (x, ξ), la transformée de Fourier partielleb
de f par rapport à la variable transverse y pour tout f tel que f (x, ·) ∈ L2(Rn
y), on retrouve
bien notre modèle pour σα(q) = σ1(x − q)σc2(ξ), ω(x,ξ) = c|ξ|, mα = m = 1 et W = 0.
Le couple (π, φ) va représenter (∂dtΨ,Ψ). La méthode de résolution de ces modèles est enb
générale la suivante : comme les équations décrivant le milieu sont linéaires, il est possible de les résoudre explicitement en fonction de la trajectoire de la particule et des données initiales. On obtient ensuite une équation de mouvement pour la particule. Le milieu exerce d’un coté une force de fluctuation due à son état initial (il n’y a jamais d’amortissement dans les oscillateurs puisque l’objectif est de décrire une évolution conservant l’énergie) et de l’autre une force dépendant de toutes les positions occupées par la particule aux temps passés lorsqu’elle a excité le milieu.
A titre d’exemple, on pourra trouver dans [59, 27, 26], la description du cas où la particule intéragit avec des oscillateurs harmoniques localisés en plusieurs points de l’espace. On verra
dans [28] le cas d’une particule intéragissant avec un seul oscillateur. Les occillateurs peuvent être couplés comme dans [39] se combiner en chaine comme c’est le cas dans [29]. On peut également considérer que la particule reste reliée à un grand nombre d’occillateurs tout au long de son mouvement comme dans [40], ect...
Au sein de cette grande famille, le modèle (1.1) étudié dans [17] présente la double particularité d’être spatialement homogène (on entend par là que le milieu est invariant par translation dans l’espace Rd) et de s’approcher du modèle de friction (1.3). On n’a pas encore
trouvé d’autres modèles ayants ces deux propriétés d’où son intérêt particulier.
Avant de finir la description de cette famille de modèle, il est légitime de se demander pourquoi l’on fait se propager les ondes selon une direction transverse et non dans l’espace dans lesquelles se déplacent les particules. En fait, si on ne change que cela à (1.1), on obtient le système suivant. ¨ q(t) = −∇V (q(t)) − Z Rd σ1(q(t) − z) ∇xΨ(t, z) dz, ∂2 ttΨ(t, x) − c2∆xΨ(t, x) = −σ1(x − q(t)), x ∈ Rd.
Le comportement asymptotique étudié dans [56, 57, 55] est en fait très différent ; lorsque
V = 0, la vitesse de la particule converge bien mais plus nécéssairement vers 0. La force
de réaction F (v) du milieu à une certaine vitesse v (qui est de l’ordre de −γv dans (1.1)) est identiquement nulle pour toute vitesse |v| ≤ c. Dans le cas où V est un potentiel de confinement, q(t) converge bien vers un point critique du potentiel et à vitesse exponentielle lorsque ce point est un minimum non dégénéré mais contrairement à ce qu’on observe pour (1.1), la vitesse de convergence dépend a priori du potentiel ce qui n’est pas le cas pour des modèles de type (1.3).
On peu également rapprocher ce type de modèle des gaz de Lorenz où au cours de son mouvement, la particule rencontre des obstacles placés de manière déterministe ou aléatoire, on peut regarder [10, 18, 42, 44, 67, 1] pour avoir une idée des travaux contemporains dans ce domaine. Les obstacles peuvent être considérés comme mous (dans ce cas, ils sont représentés par un potentiel à support compact agissant sur la particule) ou durs (dans ce cas, la particule obéit à des conditions de réflexion lorsqu’elle rencontre les obstacles).
1.2
Généralisation à plusieurs particules
Nous allons maintenant généraliser (1.1) à une densité continue de particules, on peut voir cette généralisation de deux manières différentes, l’une probabiliste et l’autre déterministe. Nous allons d’abord considérer cette dernière qui nous semble plus naturelle. En premier lieu, nous allons maintenant montrer comment on peut établir de manière intuitive les nouvelles équations d’évolution. On présentera ensuite les liens rigoureux qui relient directement ces équations au modèle (1.1).
Formalisme cinétique
Introduction des équations
Equation d’évolution pour les particules
Étant donné un grand nombre de particules se promenant dans l’espace, nous notons f , leur fonction de distribution en espace et en vitesses ; c’est à dire qu’étant donnés Ω1 et Ω2, deux
ensembles mesurables de Rd,
Z
Ω1×Ω2
f (t, x, v) dx dv (1.4) est la masse des particules positionnées dans Ω1 dont les vitesses sont dans Ω2. En supposant
que les particules interagissent chacune avec le milieu suivant (1.1), leur trajectoires (p, q) sont régies par l’équation différentielle suivante
(
˙
q(t) = p(t),
˙
p(t) = −∇V (q(t)) − ∇Φ(t, q(t)) (1.5)
où Φ est donné par
Φ(t, x) =
Z
Rd×Rn
Ψ(t, z, y)σ1(x − z)σ2(y) dz dy. (1.6)
Sous réserve que les solutions de (1.5) n’explosent pas en temps fini, en notant ϕβα(q0, p0)
l’unique solution de (1.5) au temps β pour la donnée initiale (q(α), p(α)) = (q0, p0), la
distribution f doit satisfaire
f (t, x, v) = f (0, ϕ0t(x, v)). (1.7) En différenciant cette équation par rapport au temps pour une donnée initiale f0 suffisament
régulière, on déduit que f est solution de l’équation de transport suivante
(
∂tf + v.∇xf − ∇vf.∇x(V + Φ) = 0,
f (0, x, v) = f0(x, v).
(1.8)
Cette équation appartenant à la famille des équations cinétiques non collisionnelles présente déjà de remarquables proprités. En supposant Φ et V connus, suffisament réguliers et mino-rés, il n’est pas difficile de montrer que toutes les solutions de (1.8) s’écrivent sous la forme (1.7) lorsque ϕ est le flot associé à (1.5). En regardant (1.5) comme l’équation différentielle sur Rd+d associée au champ de vecteurs X(q, p) = (p, −∇(V + Φ(t))(q)), on peut d’abord remarquer que la divergence de X est nulle puis en déduire que toutes les applications ϕβ α
préservent le volume dans Rd× Rd. Pour toute fonction suffisament régulière ω s’annulant
en 0, on déduit par changement de variable une grande famille de quantités conservées :
Z Rd×Rd ω(f (t, x, v)) dx dv = Z Rd×Rd ω(f0(ϕ0t(x, v))) dx dv = Z Rd×Rd ω(f0(x, v)) dx dv
• Avec ω(u) = u, on déduit la conservation de la masse totale du système.
• Avec ω(u) = |u|p, on déduit la conservation des normes Lp lorsqu’elles sont définies
pour f0 pour tout p ∈ [1, +∞[.
• La conservation de la norme infinie lorsqu’elle est définie pour f0, découle elle aussi de
(1.7) et de la préservation du volume par le flot. On revient maintenant à la généralisation de (1.1).
Equation d’évolution pour le milieu
A ce stade, le problème n’est pas fermé, les équations (1.6) et (1.8) ne permettent pas de dire comment évolue Ψ. Dans (1.1), l’excitation du milieu par la particule ne dépend pas de sa vitesse, ici elle ne va donc dépendre que de la densité spatiale de particules
ρ(t, x) =
Z
Rd
f (t, x, v) dx dv. (1.9) Pour établir l’équation satisfaite par Ψ, on somme les contributions de chaque particule en supposant que leurs actions sur le milieu se combinent de manière linéaire. On trouve
∂tt2Ψ − c2∆yΨ (t, x, y) = −σ2(y) Z Rd σ1(x − z)ρ(t, z) dz, t ≥ 0, x ∈ Rd, y ∈ Rn. (1.10)
En supposant ρ connue, cette équation est elle aussi fermée si on ajoute les données initiales Ψ(0, x, y) = Ψ0(x, y), ∂tΨ(0, x, y) = Ψ1(x, y). (1.11)
Le système complet
Avec (1.6) et (1.8)-(1.11), le système est bien fermé. Plus précisément, en supposant que le potentiel V vérifie :
V (x) ≥ −C(1 + |x|2)
pour une certaine constante C > 0, on montrera dans le prochain chapitre qu’il existe un poid pt(x, v) ≥ 1 dépendant de V , kσ1kW3,2(Rd), kσ2kL2(Rn), kΨ0kL2(Rd×Rn), kΨ1kL2(Rd×Rn), C et R0 > 0 tel que :
Théorème 1.2.1 Problème de Cauchy
1. Si kf0kL1(Rd×Rd) ≤ R0 et f0 ∈ L1(Rd× Rd, pT(x, v) dx dv), alors il existe une unique
solution faible f au problème dans C([0, T ], L1(Rd× Rd)). Cette solution est continue
par rapport à f0.
2. Si on a seulement f0 ∈ L1(Rd × Rd), alors il existe une solution faible au problème
On peut par ailleurs vérifier (d’abord formellement) que l’énergie totale du système 1 2 Z Rd×Rn |∂tΨ(t, x, y)|2 dx dy + c2 2 Z Rd×Rn |∇yΨ(t, x, y)|2 dx dy + Z Rd×Rd f (t, x, v) |v| 2 2 + V (x) + Φ(t, x) ! dx dv
est conservée, on verra que c’est vrai en toute généralité sur les solutions dont l’existence est assurée par ce dernier théorème. Si on ne s’interesse qu’à l’évolution de f , en résolvant les équations (1.10)(1.11), on verra que l’interaction des particules entre elles via le milieu peut-être décrite directement par l’équation suivante,
∂tf + v.∇xf − ∇vf.∇x V + Φ0(t) + Z t 0 p(t − s)Σ ∗ ρ(s) ds = 0, f (0, x, v) = f0(x, v). (1.12)
où Σ = σ1 ∗ σ1, Φ0 ∈ C1(R+, L∞(Rd)) et p ∈ C1(R+, R) seront explicités plus tard. On
reconnaît là une équation de Vlasov avec un potentiel d’interaction régulier dans laquelle on a rajouté une demi convolution en temps. Cette demi convolution rajoute de la régularité au système, elle nous sera utile pour optimiser les conditions d’unicité.
Justification par limite de champ moyen
La manière dont nous venons d’établir le système d’équation présente l’avantage d’être simple et intuitive mais ne décrit pas clairement comment on passe de l’échelle où quelques par-ticules interagissent chacune de manière significative avec le milieu suivant le modèle de Stephan de Bièvre et Laurent Bruneau, et le système (1.6),(1.8)-(1.11) où les particules se trouvent cachées derrière leur densité f . Ce lien peut-être établi de manière plus rigoureuse en faisant une limite de champ moyen. On se réfère à [43] ou [79]. Tout ce qui suit sera établi rigoureusement dans le chapitre 4 de cette thèse.
Le modèle pour un nombre fini de particules
On adapte d’abord (1.1) à un nombre N de particules repérées encore dans Rd par leurs positions respectives (qj)1≤j≤N. On suppose d’abord que le milieu agit sur chacune d’entre
elles selon (1.1) et qu’en retour, leurs actions sur le milieu se somment de manière linéaire. En définissant encore Φ par (1.6), on trouve
m¨qj(t) = −∇V (qj(t)) − ∇Φ(t, qj(t)), ∂2 ttΨ(t, x, y) − c2∆yΨ(t, x, y) = −σ2(y) N X k=1 σ1(x − qk(t)). (1.13)
Le système est encore complété par les données initiales (1.11) pour le milieu et
pour les particules. L’idée est ensuite de faire tendre N vers l’infini. Afin de garder une masse totale finie, on suppose que chaque particule est de masse proportionnelle à N1. Pour que le terme source de l’équation des ondes satisfaite par Ψ n’explose pas, on le renormalise en supposant que l’action de chaque particule sur le milieu est proportionnelle à sa masse. Cela revient à multiplier ce terme source par N1. Cette hypothèse peut également se voir comme une simple continuité ; lorsque deux particules se rapprochent au point d’occuper des positions semblables, tout se passe comme si on n’avait plus qu’une particule de masse double, on ne s’attend pas à voir l’action des deux particules sur le milieu être subitement divisée par deux lorsque leur positions coïncident. Par symétrie d’action, on multiplie également Φ par 1
N dans l’équation vérifiée par les qj. On est alors obligé de faire de même avec le
potentiel exterieur V , cela se comprend très bien lorsque le potentiel est gravitationnel, on peut trouver d’autres interprétations dans d’autres cas. Au final, on récupère les équations suivantes m Nq¨j(t) = − 1 N∇V (qj(t)) − 1 N∇Φ(t, qj(t)), ∂tt2Ψ(t, x, y) − c2∆yΨ(t, x, y) = −σ2(y) 1 N N X k=1 σ1(x − qk(t)). (1.15)
On peut vérifier que (1.14)-(1.15) admet bien une unique solution. On définit rigoureusement la densité empiriqueµb
N qui n’est rien d’autre que la "fonction de distribution" (en l’occurence
c’est une mesure) du système
b µNt = m N N X j=1 δ(qj(t), ˙qj(t)).
On peut vérifier que les équations (1.6),(1.8)-(1.11) se généralisent bien au cadre des mesures et que le couple (µb
N, Φ) en est l’unique solution.
Le passage à la limite
Etant donnée n’importe quelle mesure positive finie µ0, il n’est pas difficile de trouver une
famille de données initiales (qN
j,0, pNj,0)N ≥1
1≤j≤N
telle que µb
N
0 converge étroitement vers µ0
lim N →∞ m N N X j=1 χ(qj,0N, pNj,0) = Z Rd×Rd χ(x, v) dµ0 ∀χ ∈ Cb(Rd× Rd).
En particulier toute mesure ayant une fonction de densité f0 ∈ L1(Rd × Rd) par rapport
à la mesure de Lebesgue peut être approximée ainsi. La validité de (1.6),(1.8)-(1.11) pour des densités continues de particules peut être donc déduite de la stabilité de ces équations. En supposant que µb
N
0 converge étroitement vers une mesure µ0, cette stabilité pourra être
exprimée de manière plus ou moins forte par l’une des assertions suivantes. • µb
N
t converge pour tout t vers l’unique solution de (1.8)-(1.11) de donnée initiale µ0.
• On peut extraire une sous suite kN telle queµb
kN
t converge pour tout t vers une solution
Nous verrons que la deuxième assertion est presque toujours vérifiée sous des hypothèses très générales sur V , la première demandera en plus une hypothèse d’intégrabilité uniforme sur la famille (µb
N
0 )N. Une autre manière de justifier (et donc d’interpréter) le système
(1.6),(1.8)-(1.11) consiste à considérer les particules comme des variables aléatoires.
Interprétation probabiliste
Une fois établies les équations (1.15) pour décrire les intéractions entre les N particules et le milieu, étant donnée une condition initiale f0 de masse totale 1 définissant ainsi une mesure
de probabilité, on peut considérer les données initiales (qN
j,0, pNj,0)N ≥1
1≤j≤N
comme des variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées selon la loi f0. En d’autres termes, on a
P[(qj,0N, p N j,0) ∈ A × B] = Z A×B f0(x, v) dx dv 1 ≤ j ≤ N < ∞. (1.16)
Les données initiales étant choisies aléatoirement, les solutions (qN
j , pNj )1≤j≤N évoluent de
manière déterministe au cours du temps selon (1.15). Comme toutes les particules évoluent de manière symétrique, elles vont partager la même loi de probabilitité µ(1,N )t au cours du temps P[(qNj (t), p N j (t)) ∈ A × B] = P[(q N 1 (t), p N 1 (t)) ∈ A × B] = Z A×B dµ(1,N )t 1 ≤ i, j ≤ N < ∞.
Lorsque V est lipschitzien, on montrera (voir la section 5 du chapitre 4 en supposant que
γ = 0) que quand N tend vers l’infini, µ(1,N ) converge faiblement vers la solution de
(1.6),(1.8)-(1.11) (unique sous ces hypothèses). Selon cette idée, f (t) s’interprète comme la loi de probabilité de distribution d’une particule typique du système. Le lien entre ce point de vue et le précédent (portant sur la densité empirique) peut se comprendre très simplement par un argument de type loi des grands nombres.
Lien entre les deux interprétations
Un petit calcul nous permet de relier facilement µb
N
0 et µ (1,N )
0 . On se donne d’abord χ ∈
Cb(Rd× Rd), une fonction test. N étant fixé, les (qNj,0, pNj,0)1≤j≤N forment une famille de
va-riables aléatoires indépendantes indentiquement distribuées, il en va de même pourχ(qN j,0, pNj,0)
1≤j≤N.
La lois des grands nombres nous donne immédiatement
E 1 N N X j=1 χ(qNj,0, pNj,0) − E[χ(q1,0N , pN1,0)] ≤ 1 √ N E[χ(q1,0N , p N 1,0) 2 ] − E[χ(q1,0N , p N 1,0)] 21/2 .
Le terme de gauche se réécrit très simplement en fonction de µb
N
0 et de µ (1,N )
0 . En majorant
grossièrement le terme de droite, on déduit une première estimation de l’écart entre ces deux mesures E Z Rd×Rd χ(x, v) dµb N 0 − Z Rd×Rd χ(x, v) dµ(1,N )0 ≤ kχk√L∞ N .
En faisant tendre N vers l’infini, ce résultat assure la convergence en loi de µb
N
0 vers µ (1,N ) 0 .
Après n’importe quel temps t > 0, les particules ont toutes interagi entre elles via le milieu, l’indépendance de la famille de variables aléatoires (qN
j (t), pNj (t))1≤j≤N nécéssaire au calcul
précédent a toutes les raisons d’être perdue. Sachant que le couplage entre le milieu et chaque particule décroit en 1
N, on s’attend à ce que l’action d’une particule sur une autre
via le milieu décroisse en N12. Lorsque N tend vers l’infini on peut donc espérer que les
trajectoires des particules redeviennent décorrélées. Cette propriété appelée propagation du chaos sera présentée plus en détails dans le chapitre 4. On verra notamment qu’elle est bien satisfaite dans notre cas et que les deux mesures µb
N et µ(1,N ) tendent à coïncider (en loi)
quand N tend vers l’infini. La notion de propagation du chaos a été d’abord introduite par Mac Kean [70], elle a été largement développée depuis, il semble assez hasardeux d’envisager de montrer la convergence des mesures importantes du système lorsqu’elle n’est pas vérifiée.
Quelques résultats asymptotiques
Nous présentons dans cette dernière sous partie quelques résultats asymptotiques démontrés sur le système (1.6),(1.8)-(1.11). L’idée est ici de "faire tendre ce système vers d’autres" pour mieux le situer dans sa famille d’équations. Le sens que l’on donne a cette notion est la suivante : On fait varier continument les paramètres (ici σ1, σ2, V et c) en fonction d’une
variable réelle . On fait en sorte que lorsque tend vers 0, on se dirige vers un certain cadre limite. On obtient ainsi une famille (f, Ψ)>0 constituée des solutions de (1.6),(1.8)-(1.11)
pour chaque valeur de . Lorsque tends vers 0, on montre qu’on peut extraire une sous-suite
ntelle que la suite (fn)n≥0 converge vers la solution d’une nouvelle équation que l’on définit ensuite comme le système limite.
Vers Vlasov
Il nous a d’abord semblé intéressant de regarder ce qui se passait pour de très grandes vitesses de propagation c. Si on se contente de faire tendre c vers l’infini, on perd le couplage entre les particules et le milieu. Ce fait s’interprète comme une conséquence des effets de moyenne qui se traduisent pour toute fonction réelle χ suffisamment régulière par la convergence
lim
c→+∞
Z +∞
−∞
χ(x)eicxdx = 0.
Une très grande vitesse de propagation induit des vibrations beaucoup trop rapides dans le milieu qui tendent à annuler entre elles leurs effets sur les particules beaucoup plus lentes. Pour garder un couplage intéressant, on augmente l’amplitude du terme d’intéraction. Plus précisément, lorsque n ≥ 3, on se donne une famille (f) solution de
∂tf+ v · ∇xf− ∇x(V + Φ) · ∇vf = 0, Φ(t, x, y) = Z Rn×Rd
Ψ(t, z, y)σ2(y)σ1(x − z) dz dy,
∂tt2 − 1 ∆y Ψ(t, x, y) = − 1 σ2(y) Z Rd×Rd σ1(x − z)f (t, z, v) dv dz,
Si kf0,kL1(Rd×Rd), kf0,kL∞(Rd×Rd) et l’énergie globale du système sont uniformément bornés par rapport à au temps initial alors quitte à extraire une sous-suite (n)n≥0, f converge
faiblement vers une solution de l’équation de Vlasov :
( ∂tf + v.∇xf = ∇vf.∇x(V − κΣ ∗ ρ)) f (0, x, v) = f0(x, v) avec κ = Z Rn |σc2(ξ)| 2 (2π)N|ξ|2 dξ
Vers Vlasov Poisson
On peut aussi faire varier plusieurs paramètres en même temps, pour obtenir des modèles limites plus physiques. On suppose ici N ≥ 3 et d = 3. En faisant également varier soigneu-sement σ1 en fonction de c, on peut obtenir l’équation de Vlasov-Poisson attractif :
∂tf + v.∇xf = ∇vf.∇x V + ˜Φ, ∆ ˜Φ = κρ, f (0, x, v) = f0(x, v).
Cette équation intervient notamment pour décrire l’évolution en temps des galaxies. L’exis-tence des solutions est montrée pour la première fois dans [7], les méthodes que nous utilisons pour faire converger les solutions sont en grande partie similaires.
Dans ces deux cas limites, les données initiales Ψ0 et Ψ1 du milieu n’influent finalement
plus à la limite. Ce fait est lié aux propriétés dispersives de l’équation des ondes qui se traduisent ici par des inégalités de Strichartz [69].
Le problème de l’asymptotique en temps
Le comportement en temps long est encore à déterminer, la première intuition pourait-être de supposer que toutes les particules vont se comporter comme la particule unique dans [17], on peut montrer que cette intuition est généralement fausse.
Si par exemple V est un potentiel de confinement, n’admettant (pour simplifier) qu’un point singulier q∗ (c’est à dire un seul q∗ tel que ∇V (q∗) = 0) alors par conservation de la masse et de la positivité, la convergence hypothétique de toutes les particules vers q∗ et de leur vitesse vers 0, signifie exactement la convergence de f vers la mesure de Dirac δ(q∗,0).
Une telle convergence est impossible dès que f0 se trouve dans un espace Lp pour p > 1 par
conservation des normes Lp le long des solutions.
Le cas où V = 0 ne semble pas mieux acquis. La même intuition voudrait que la tra-jectoire q(t) de chaque particule soit convergente tandis que sa dérivée ˙q(t) tend vers 0.
Mathématiquement, cela se traduit par l’existence d’une certaine densité limite ρ∞ telle que
f (t) converge vers ρ∞⊗ δ0. Une telle convergence est encore impossible dès que f0 est bornée.
Il en va de même pour le cas où V (x) = F.x : cette fois ci, on attendrait l’existence d’une autre densité limite ρ∞ telle que f (t) − ρ∞(x − tv(F )) ⊗ δv(F ) tende vers 0, c’est encore
Pour sortir de cette apparente impasse, nous avons ajouté un nouveau terme à notre système.
1.3
En ajoutant un opérateur de Fokker-Planck
On rajoute maintenant un terme de Fokker-Planck à l’équation d’évolution de f :
(
∂tf + v · ∇xf − ∇x(V + Φ(t)) · ∇vf = γ∇v· (vf + ∇vf )
f (0, x, v) = f0(x, v)
(1.17)
Les équations (1.9)-(1.11) et (1.6) qui décrivent le couplage entre le milieu et les particules restent inchangées. Nous avertissons le lecteur que le coefficient γ n’a pas de rapport avec celui déjà apparu dans (1.3) (même si les deux représentent un coefficient de frottement). Ce nouveau système s’aborde différemment du précédent. Si la masse et la positivité sont toujours conservées, il n’en va plus de même des normes Lp. La conservation de l’énergie est
remplacée par la décroissance de sa somme avec l’entropie : d dt ( Z Rd×Rd f ln(f) + v2 2 + (V + Φ) dv dx + 1 2 Z Rd×Rn 2|∂tΨ|2+ |∇zΨ|2 dz dx ) = −1 2 Z Rd×Rd 2∇v q F+ v q F 2 dv dx.
L’existence de solutions à équation sera démontrée dans le cadre restreint où V est lipschitzien dans le chapitre 4.
Interprétation du terme supplémentaire
Pour comprendre (1.17), on revient aux limites de champ moyen. On considère à nouveau un nombre N de particules repérées encore dans Rd par leurs positions respectives (q
j)1≤j≤N.
En plus de l’interaction déjà connue entre le milieu et les particules, on suppose deux autres choses.
• Le milieu exerce sur les particules une force de frottement proportionnelle à leur vitesse. • Les particules sont égalements soumises à l’action d’un mouvent brownien aléatoire sur les particules. Ce dernier peut être vu comme la conséquence de chocs entre elles ou avec des objets extérieurs.
L’action de ce mouvement brownien change beaucoup les choses. D’abord, l’absence presque sure de régularité des mouvements browniens ne nous permet plus de supposer les positions des particules (qj)1≤j≤N deux fois dérivables, on regardera donc les variations infinitésimales
dpj des moments (pj = ˙qj) plutôt que leurs dérivées en temps. Par ailleurs, il n’y a plus
d’interprétation non probabiliste possible ; puisque les mouvement browniens sont aléatoires, les trajectoires des particules sont également des variables aléatoires.
En insérant ces deux nouveaux phénomènes dans (1.15), on récupère le système d’équa-tion suivant dqNi (t) = pNi (t) dt dpN i (t) = −∇x(V + Φ(t))(qiN(t)) dt − γpNi (t) dt + √ 2γ dBi(t), ∂tt2Ψ(t, x, y) − c2∆yΨ(t, x, y) = −σ2(y) 1 N N X k=1 σ1(x − qk(t)). (1.18)
Le système est encore complété par les équations (1.6) (1.11) (1.14) et (1.16). Il existe bien une unique solution au sens où si l’on fixe les mouvement browniens (Bi)1≤i≤N et les
données initiales (q0,j, p0,j), le système (1.6) (1.11) (1.14) (1.18) admet une unique solution.
Les (qj(t), pj(t)) ont bien un sens en tant que variables aléatoires.
Les particules évoluent encore de manière symétrique, en notant µ(1,N )t , leur loi de proba-bilité, Lorsque V est lipschitzien, µ(1,N ) converge étroitement vers l’unique solution de (1.11)
(1.14) (1.16) (1.18). Le chaos se propage encore ; lorsque N tend vers l’infini, la mesure empiriqueµ tend à coïncider avec µb
(1,N ). On poura se referer à [11, 80] pour cette limite.
Asymptotique en temps
Le principal résultat établi sur (1.17) concerne l’asymptotique en temps long lorsque V est un potentiel de confinement. Dans ce cas, on montre qu’au delà d’une certaine valeur c0, le
système admet un unique état d’équilibre (Meq, Ψeq) . Sous des hypothèses techniques qui
se résument à dire que V est très confinant et que les données initiales Ψ0, Ψ1 ne perturbent
pas trop Ψeq, on montre le retour à l’équilibre dans L2 Rd× Rd;
dx dv Meq(x, v)
!
. En d’autre terme, on peut trouver M dépendant des données initiales et κ > 0 tels que
Z
Rd×Rd
|f (t, x, v) −Meq(x, v)|2
Meq(x, v)
dv dx ≤ M e−κt.
Le résultat est établi grâce à des méthodes d’hypocoercitivité que l’on peut trouver dévelop-pées dans [34] et notamment appliquées à l’équation de Vlasov-Fokker-Planck très proche du système que nous étudions. L’idée originelle de ces méthodes est de modifier la norme naturelle dans l’espace L2 Rd× Rd; dx dv
Meq(x, v)
!
en une autre norme équivalente k · kH pour
laquelle on puisse établir l’inégalité d dtkf (t, x, v) −Meq(x, v)k 2 H ≤ − κ 2kf (t, x, v) −Meq(x, v)k 2 H.
Cette dernière implique naturellement la convergence recherchée par le lemme de Gronwall. Dans notre cas, l’équation des ondes induit des termes de retard qui sont gérés un peu plus finement.
Limite de diffusion
Sur des systèmes tels que (1.17), lorsque tend vers 0, le régime asymptotique suivant est appelé régime de diffusion
∂tf+
1
(v · ∇x− ∇x(V + Φ) · ∇v)f=
1
2divv(vf+ ∇vf). (1.19)
Il est maintenant bien connu (cf [30] ) que pour de tels régimes, lorsque tend vers 0, la solution tend à prendre la forme suivante
f(t, x, v) ∼
→0 ρ(t, x)
e−|v|2/2
(2π)d/2.
Si Φ ne dépend pas de , on s’attend à ce que ρ soit solution de l’équation
∂tρ = div(∇ρ + ρ∇(V + Φ)).
Dans notre cadre, lorsque tend vers 0, nous faisons également tendre la vitesse de propa-gation des ondes c vers l’infini tout en augmentant comme précédemment le couplage entre les particules et le milieu pour éviter que leurs interactions disparaissent.
∂tt2Ψ− 1 2∆zΨ(t, x, z) = − 1 2σ2(z) Z Rd×Rd σ1(x − y)F(t, y, v) dv dy, Φ(t, x) = R Rd×RNΨ(t, z, y)σ1(x − z)σ2(y)dy (1.20)
A l’aide d’estimations fines sur la fonctionnelle d’entropie-énergie et sa dérivée temporelle, en notant M (v) = e(2π)−|v|2/2d/2, nous obtenons le théorème suivant
Théorème 1.3.1 On suppose que e−νV ∈ L1(Rd) pour 0 < ν < 1/2. On se donne une
famille (f, Ψ)>0 solution de (1.19)(1.20) et telle que la quantité suivante est bornée :
K0 = sup >0 ( Z Rd×Rd f(0, x, v) 1 + | ln(f)(0, x, v)| + V (x) + v2 2 dv dx + 2 2 Z Rd×Rn |∂tΨ(0, x, z)|2dz dx + 1 2 Z Rd×Rn |∇zΨ(0, x, z)|2dz dx )
Alors on peut extraire une suite faiblement convergente dans L1((0, T ) × Rd× Rd) vers ρ ⊗ M
où ρ est solution de :
1.4
Asymptotique en temps long sur une équation de
Fokker-Planck homogène
On s’est enfin intéressé à comprendre l’asymptotique en temps long de l’équation (1.21) que l’on réécrit sous une forme simplifiée
(
∂tρ − ∇x· (∇xρ + ρ∇x(V + W ∗ ρ))) = 0,
ρ(0) = ρ0.
(1.22) Cette équation admet encore une fonctionnelle d’entropie
E (ρ) =Z
Rd
ρ(ln(ρ) + 1
2W ∗ ρ + V ) dx,
on montre que les états d’équilibre d’entropie finie sont les points fixes de l’application T définie par T : ρ ∈ X 7→ m Z(ρ)e −V −W ∗ρ , Z(ρ) := Z Rd e−V (x)−W ∗ρ(x)dx.
Sous des propriété de convexité portant sur V et W , il est maintenant bien connu [21, 66, 22] qu’il existe un unique état d’équilibre et que la solution converge vers lui à vitesse exponentielle. Le principal résultat du dernier chapitre a pour but de décrire ce qui se passe sans cette hypothèse sur W . La stratégie a été d’utiliserE comme une fonctionnelle de Liapounov, on s’est donc limité à considérer des données initiales ρ0 d’entropie finie. Afin
de maximiser les informations données par sa décroissance (et sa convergence), nous avons supposé V tel la mesure R
Rde
−V (x)dx−1
eV (x) satisfasse une inégalité de Sobolev
logarith-mique. D’abord introduites par Gross dans [49], ces inégalités sont maintenant couramment utilisés en analyse et en probabilité tant pour déduire des propriétés asymptotiques que pour obtenir des bornes intéressantes de la décroissance de l’entropie. On se référera à [4] pour une large revue de ces inégalités et de leurs applications. Nous avons Lorsque W est pair, borné et lipschitz alors pour peu que V soit convexe à un fonction L∞ près, on a
Théorème 1.4.1 Asymptotique en temps long
1. Pour toute solution régulière ρ à (1.22), l’entropie E (ρ) converge vers une certaine valeur limite E∗ quand t tend vers l’infini. L’ensemble
Eq(m,E∗) := ρeq∈ X ρeq = T (ρeq), Z Rd ρeq = m, E (ρeq) =E∗
est non vide et ρ s’en rapproche de plus en plus :
kρ(t) − T (ρ(t))kL1(Rd)−−−→
t→∞ 0 et ρeq∈Eq(m,inf E∗)
kρ(t) − ρeqkL1 −−−→ t→∞ 0
2. Lorsque α = mδW > −1/2, alors on peut trouver un unique état d’équilibre ρeq. Avec
β = 1+2α1+α , toute solution ρ to (1.22), tend vers cet état d’équilibre à vitesse exponentielle
kρ(t) − ρeqkL1(Rd) ≤
2m
1 + α
1/2
où κ est une constante dépendant de V et kW kL∞(Rd), δW est donné par δW := inf khkL1≤1qW(h), qW(h) := Z Rd hW ∗ h dx ≥ −kW kL∞khk2 L1.
Le deuxième point n’est qu’une amélioration d’un autre déjà montré dans [5]. Si le premier point ne permet pas de conclure si ρ(t) converge ou non, il permet néanmoins d’établir des critères pour cela, on verra notamment que la convergence au sens des distributions et la convergence L1 sont ici équivalentes. Dans le cas où l’ensemble des équilibres est totalement
discontinu, on peut conclure directement la convergence également. Rien n’assure cependant que cet ensemble ne contienne pas des parties homéomorphes à un cercle autour de laquelle la solution pourrait continuer de tourner de plus en plus lentement sans jamais s’arrêter. Pour répondre à ces question, nous avons entrepris (toujours à l’aide de E ) de caractériser localement la nature de ces états d’équilibres.
1.5
Perspectives
Le modèle initial développé dans [17] tire en grande partie son intérêt de son comportement en temps long. On a vu que l’évolution donnée par le système (1.6),(1.8)-(1.11) conservait trop de quantités pour que les résultats valables pour une particule puissent se généraliser à une densité continue de particules. L’équation limite intuitive dans [17]
¨
q = V (q) − γ ˙q
ne peut être celle de toutes les particules. Il serait très intéressant de comprendre ce que fait le système, s’il tend à se concentrer autour des "solutions intuitives" autant qu’il lui est possible de le faire sans violer ses lois de conservation, ou s’il fait tout simplement autre chose. Certains indices tendraient à valider la première hypothèse. Ainsi, lorsque V = 0 et
n ≥ 3, en supposant que le couple (f, Ψ) est stationnaire, alors on peut montrer que pour
une certaine valeur κ > 0, on a supp(f ) ⊂ ( (x, v) ∈ Rd× Rd |v|2 2 ≤ κ c2(Σ ∗ ρ)(x) ) .
Lorsque c est grand, cela implique bien que les vitesses des particules sont petites. Tout cela n’assure pas que ces équilibres existent sans même évoquer leur possible stabilité. Dans le cas où V est un potentiel de confinement, on peut montrer l’existence d’une très grande famille d’états d’équilibre admissibles. Le choix entre chacun d’entre eux semble assez ardu en premier lieu. Dans le cas radial, la stabilité de certains états d’équilibre a été démontré pour les équations de Vlasov-Poisson dans [60, 61]. Nous avons montré que les équation de Vlasov-Poisson pouvaient être obtenues comme une limite de notre système, on peut donc espérer pouvoir adapter les méthodes qui marchent pour ces équations à notre cadre. Il serait également tentant de chercher à généraliser les résultats du dernier chapitre à des potentiels d’interaction plus physiques, ou d’aller d’abord plus loin dans la description des états d’équilibre pour ensuite comprendre ce que fait la solution à leur voisinage.
Chapitre 2
Un premier modèle cinétique : le
système Vlasov-Ondes
Dans cet article écrit en collaboration avec Stephan de Bièvre et Thierry Gou-don, nous étudions la généralisation du modèle d’interaction entre une particule et son milieu issu de [17] à une densité continue de particules. Nous reformu-lons le système naturel obtenu afin simplifier les calculs qui suivent, le système simplifié est proche des équations de type Vlasov. Nous prouvons l’existence de solutions sous des hypothèses très générales et donnons une bonne condition d’unicité de ces solutions à l’aide de méthodes déjà présentes dans [33]. Nous étudions ensuite deux régimes asymptotiques. Dans le premier régime, nous ob-tenons une équation de Vlasov avec un potentiel régulier. Dans le second, nous obtenons l’équation de Vlasov-Poisson attractif par des méthodes issues de [7].
2.1
Introduction
In [17], L. Bruneau and S. De Bièvre introduced a mathematical model intended to describe the interaction of a classical particle with its environment. The environment is modeled by a vibrating scalar field, and the dynamics is governed by energy exchanges between the particle and the field, embodied into a Hamiltonian structure. To be more specific on the model in [17], let us denote by q(t) ∈ Rd the position occupied by the particle at time t.
The environment is represented by a field (t, x, y) ∈ R × Rd× Rn 7→ Ψ(t, x, y) ∈ R: it can
be thought of as an infinite set of n-dimensional membranes, one for each x ∈ Rd. The displacement of the membrane positioned at x ∈ Rd is given by y ∈ Rn 7→ ψ(t, x, y) ∈ R.
The coupling is realized by means of form factor functions x 7→ σ1(x) and y 7→ σ2(y),
supported. Therefore, the dynamic is described by the following set of differential equations ¨ q(t) = −∇V (q(t)) − Z Rd×Rn σ1(q(t) − z) σ2(y) ∇xΨ(t, z, y) dy dz, ∂2 ttΨ(t, x, y) − c2∆yΨ(t, x, y) = −σ2(y)σ1(x − q(t)), x ∈ Rd, y ∈ Rn. (2.1)
In (2.1), c > 0 stands for the wave speed in the transverse direction, while q ∈ Rd7→ V (q) ∈ R is a time-independent external potential the particle is subjected to. In [17], the well-posedness theory for (2.1) is investigated, but the main issue addressed there is the large time behavior of the system. It is shown that the system exhibits dissipative features: under certain circumstances (roughly speaking, n = 3 and c large enough) and for a large class of finite energy initial conditions the particle energy is evacuated in the membranes, and the environment acts with a friction force on the particle. Accordingly, the asymptotic behavior of the particle for large times can be characterized depending on the external force: if V = 0, the particle stops exponentially fast, when V is a confining potential with a minimizor q0,
then the particle stops at the location q0, and for V (q) = −F · q, a limiting velocity VF can
be identified.
Since then, a series of works has been devoted to further investigation of the asymp-totic properties of a family of related models. We refer the reader to [1, 26, 27, 28, 59] for thorough numerical experiments and analytical studies, that use random walks arguments in particular. The model can be seen as a variation on the Lorentz gas model where one is interested in the free motion of a single point particle in a system of obstacles distributed on a certain lattice. We refer the reader to [10, 18, 42, 44, 67] for results and recent overviews on the Lorentz gas problem. Instead of dealing with periodically or randomly distributed hard scatterers as in the Lorentz gas model, here the particle interacts with a vibrational environment, that create the “soft” potential Φ. The asymptotic analysis of the behavior of a particle subjected to an oscillating potential is a further related problem that is also worth mentioning [41, 48, 54, 75].
We wish to revisit the model of [17], in the framework of kinetic equations. Instead of considering a single particle described by its position t 7→ q(t), we work with the particle distribution function in phase space f (t, x, v) ≥ 0, with x ∈ Rd, v ∈ Rd, the position and
velocity variables respectively. This quantity obeys the following Vlasov equation
∂tf + v · ∇xf − ∇x(V + Φ) · ∇vf = 0, t ≥ 0, x ∈ Rd, v ∈ Rd. (2.2)
In (2.2), V stands for the external potential, while Φ is the self-constistent potential describ-ing the interaction with the environment. It is defined by the convolution formula
Φ(t, x) =
Z
Rd×Rn
where the vibrating field Ψ is driven by the following wave equation ∂2 ttΨ − c2∆yΨ (t, x, y) = −σ2(y) Z Rd σ1(x − z)ρ(t, z) dz, t ≥ 0, x ∈ Rd, y ∈ Rn, ρ(t, x) = Z Rd f (t, x, v) dv. (2.4) The system is completed by initial data
f (0, x, v) = f0(x, v), Ψ(0, x, y) = Ψ0(x, y), ∂tΨ(0, x, y) = Ψ1(x, y). (2.5)
A possible interpretation of the kinetic equation (2.2) consists in considering the model (2.1) for a set of N 1 particles. The definition of the self–consistent potential has to be adapted since all the particles interact with the environment, namely we have, for j ∈ {1, ..., N }
¨ qj(t) = −∇V (qj(t)) − Z Rd×Rn σ1(qj(t) − z) σ2(y) ∇xΨ(t, z, y) dy dz, ∂tt2Ψ(t, x, y) − c2∆yΨ(t, x, y) = −σ2(y) N X k=1 σ1(x − qk(t)).
Note that such a many-particle system is not considered in [17]. It is very likely that its asymptotic behavior is much more complicated than with a single particle because, even if the particles do not interact directly, they do so indirectly via their interaction with the membranes. If we now adopt the mean–field rescaling in which Φ → N1Φ, then (2.2) can be obtained as the limit as N goes to ∞ for the empirical measure fN(t, x, v) = N1 PNk=1δ(x =
qk(t), v = ˙qk(t)) of the N −particle system, assuming the convergence of the initial state
fN(0, x, v) → f0(x, v) in some suitable sense. Such a statement can be rephrased in terms
of the convergence of the joint distribution of the N –particle system. This issue will be dis-cussed elsewhere [81] and we refer the reader to the lecture notes [43] and to [45] for further information on the mean–field regimes in statistical physics.
In this paper we wish to analyse several aspects of the Vlasov-Wave system (2.2)–(2.5). We warn the reader that, despite the similarities in terminology, the model considered here is very different, both mathematically and physically, from the one dealt with in [15], which is a simplified version of the Vlasov–Maxwell system. It is indeed crucial to understand that the wave equation in this paper is set with variables transverse to the physical space: the waves do not propagate at all in the space where the particles move. This leads to very different physical effects; we refer to [17] and references therein for more details on this matter. We add that this paper is far less ambitious than [17], since we do not discuss here the large time behavior of the solutions, only their global existence. As mentioned above, since we dealing with many particles, it is very likely that the question cannot be handled in the same terms as in [17], and that the kinetic model inherits the same technical and conceptual difficulties already mentioned for N > 1 particles. We only mention that a particular stationary solu-tion (with f integrable) has been exhibited in [3], and this solusolu-tion is shown to be linearly
