Seconde – Lycée Desfontaines – Melle
Cours 01 - Les nombres
I. Nature des nombres
Définitions :
• L’ensemble des entiers naturels est l’ensemble des entiers positifs. Il se note IN.
On écrit alors IN={0;1;2;…;1000;1001;…}
• L’ensemble des entiers relatifs est l’ensemble de tous les nombres entiers, positifs ou négatifs. Il se note ZZ. On écrit alors : ZZ={…;-1001;-1000;…;-1;0;1;…;1000;…}
• Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire sous la forme a
10n avec a ☻ ZZ et n ☻ IN.
L’ensemble des décimaux se note Ì. On écrit alors : Ì=
a
10navec a☻ZZ et n☻IN
• Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme du quotient d’un entier relatif par un entier naturel non nul.
L’ensemble des rationnels se note IQ. On écrit alors : IQ=
a
b avec a ☻ ZZ et b ☻ IN*
• L’ensemble IR des nombres réels est l’ensemble de tous les nombres que nous utilisons en seconde.
Tout entier naturel est aussi un entier relatif : si n☻ IN, alors n☻ ZZ. On dit que IN est inclus dans ZZ et on note IN ┤ ZZ Le symbole ┤ se lit « est inclus dans ». Il relie deux ensembles.
La réciproque est fausse : Un entier relatif n’est pas forcément un entier naturel : -5☻ ZZ mais -5 ∉ IN.
Le symbole ☻ se lit "appartient" et le symbole ∉ se lit « n’appartient pas à ».
On remarque que IN┤ZZ┤Ì┤Q┤IR I
Remarques :
• É* est l’ensemble des entiers naturels non nuls, il se lit "É privé de 0" ou "É étoile". On note aussi cet ensemble É\{0} (ou É−{0}). La même définition s’applique aux autres ensembles.
• Ë+ est l’ensemble des réels positifs et Ë- celui des réels négatifs.
• On appelle nombre irrationnel un nombre réel qui n’est pas rationnel (par exemple : 2, π, e)
IR
ZZ
Ì Q I
IN
π
e
2
10 0
125
1345
-4 3
11 7 -3,12
-23 5
4 -6
-14 3
104
ensemble des irrationnels
II. Ecriture des nombres
1. Ecriture décimale d’un nombre
Tout nombre réel peut s’écrire sous forme décimale. L’écriture décimale d’un nombre réel est de la forme : partie entière , partie décimale
Le tableau suivant permet de reconnaître la nature d’un nombre réel à partir de son écriture décimale.
Nombres Caractérisation Exemples
Entiers relatifs • Partie décimale nulle 5
Décimaux • Partie décimale nulle
ou
• Partie décimale finie
5
-3,4589 Rationnels • Partie décimale nulle
ou
• Partie décimale finie ou
• Partie décimale infinie mais contenant une période (càd qu’à partir d’un certain rang, la même suite de chiffres se répète à l’infini)
5
-3,4589
24,45323232… = 24,45¯32 32 est la période
Irrationnels • Partie décimale infinie ne contenant pas de période. π = 3,141592654…
Une calculatrice ne permet pas toujours de reconnaître un nombre rationnel. En effet, elle n’affiche que les premières décimales d’un nombre et la période n’apparaît pas obligatoirement. Par exemple, pour 341 divisé par 19, la calculatrice affiche
17,9473684211 pour résultat. On ne distingue pas de période dans ce résultat. Or 341
19 est un rationnel, son écriture décimale admet donc obligatoirement une période.
Lorsqu’on effectue la division à la main ou avec un tableur, on obtient : 341
19ó17,947368421052631578 947368421052631578 947368421052631578…
2. Ecriture scientifique d’un nombre décimal Tout nombre décimal peut s’écrire sous l’unique forme :
a×10ps’il est positif
-a×10ps’il est négatif avec
a un nombre décimal tel que : 1Âa<10 p☻ ZZ
Cette forme d’écriture s’appelle écriture scientifique .
Exemples : L’écriture scientifique de 856,34 est 8,5634×102 L’écriture scientifique de 0,23 est 2,3×10-1
Séquence à la calculatrice avec une casio :
AC/on Exe SHIFT MENU , sélectionner DISPLAY à l’aide de ▼ , puis appuyer sur F2 pour sélectionner SCI. Taper deux fois sur la flèche figurant à côté de F4 puis taper F2 pour sélectionner 9 décimales puis Exe . Taper alors 5 4 3 0 puis Exe . A l’écran s’affiche : 5,43000000+03 ou 5,43000000 E+03
III. Les intervalles de nombres
1- La droite des réels
On représente usuellement l’ensemble des réels IR par une droite graduée (càd une droite munie d’un repère (O ;I)) appelée « droite des réels » où tout réel x est l’abscisse d’un point de la droite :
• Si x est un réel positif, x est l’abscisse d’un point M de la droite tel que OM=x et les points M et I sont situés du même côté de O.
• Si x est un réel négatif, x est l’abscisse d’un point M de la droite tel que OM=-x et les points M et I sont situés de part et d’autre de O.
Info : - ∞ et + ∞ ne sont pas des nombres mais des symboles qui se lisent « moins l’infini » et « plus l’infini ».
Remarque : Tout point de la droite des réels admet évidemment un réel pour abscisse.
O
0 1
M I
O
0 1
M
I O
0 1
M O I
0 1
M I
OM = x OM = - x
x x
L’écriture –x ne désigne pas forcément un nombre négatif.
–x signifie qu’on désigne l’opposé de x donc si x est négatif, son opposé –x est positif
2- Intervalles a. Introduction
Soit D une droite, A et B deux points de cette droite.
Le segment [AB] est l’ensemble de tous les points de la droite D compris entre A et B.
Par analogie, sur la droite des réels, l’ensemble des nombres x compris entre les réels -1 et 2 se note [-1;2] et est appelé intervalle.
b. Les différents types d’intervalles (a<b) : L’intervalle noté Est l’ensemble des
réels x tels que Représentation sur la droite graduée [a;b] a ≤ x ≤ b
]a;b[
]a;b]
[a;b[
[
a;+∞[
]a;+õ[
]–õ;b] ]–õ;b[
A l’infini, le crochet est toujours ouvert Info : L’ensemble IR des réels est noté ]-õ;+õ[ Exemples :
Définir et représenter sur un axe les intervalles suivants :
L’intervalle [1;6[ est l’ensemble des réels x tels ……….
L’intervalle ]-3;-1] est ……….…
L’intervalle
]
-∞;-3 est ………..………[
L’intervalle [0;2] est ………
L’intervalle
]
-∞;5 est ………]
L’intervalle
]
2;+∞[
est……….c. Réunion et intersection d’intervalles Définition :
Soit I et J deux intervalles.
La réunion de I et J, notée I∟J est l’ensemble des réels qui appartiennent soit à I, soit à J, soit à I et à J. Le symbole ∟ se lit « union ».
On note x☻I∟J ñ x☻I ou x☻J
L’intersection de I et de J, notée I∩J est l’ensemble des réels qui appartiennent à I et à J.
Le symbole ∩ se lit « inter ».
On note x☻I∩J ñ x☻I et x☻J
Info : Le symbole ⇔ veut dire « équivaut à », « revient à dire que », ou « si et seulement si »
A B
A B
0 2
-1 0 2
-1
] [
[
]
Ι
Ι
En mathématique, on dit que le « ou » est inclusif. Il signifie
« ou » ou « et ».
Dire que x ∈ I ou x ∈ J veut dire que x appartient soit à I, soit à J soit à I et à J.
Exemples :
Dans chacun des exemples ci-dessous, exprimer I∩J et I∟J à l’aide d’intervalles de IR et représenter sur la droite des réels.
• Soient I = [2;8[ et J = [-1;3]
• Soient I = ]-2;1[ et J = [2;4[
I∟J n’est pas forcément un intervalle.
IV. Les nombres premiers
1- Divisibilité Définition :
Soient a et b deux entiers naturels non nuls.
Dire que a est divisible par b revient à dire que le résultat de la division de a par b est un nombre entier
càd que a
b=c avec c☻IN ou encore que a=b×c avec c☻IN On dit alors que b est un diviseur de a ou que a est un multiple de b.
Exemples : 35 = 5 × 7 donc 5 et 7 sont des diviseurs de 35 car 5 et 7 sont des entiers.
Par contre 13 = 2 × 6,5 donc 2 n’est pas un diviseur de 13 (car 6,5 n’est pas un entier).
Remarque : Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 possède deux diviseurs au moins : 1 et lui-même.
Critère de divisibilité : un nombre entier est divisible par :
* 2 s’il est pair (càd si son dernier chiffre est 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8).
* 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
* 5 si son dernier chiffre est 0 ou 5.
Exemple : 117 n’est pas divisible par 2 ou 5 mais est divisible par 3 car 1 + 1 + 7 = 9.
2- Nombre premier Définition :
Un nombre premier est un nombre entier supérieur ou égal à 2 qui n’admet pas d’autres diviseurs que 1 et lui-même.
Exemples :
• 7 ……….
• 6 ……….
Remarques :
• Puisque 1 n’a qu’un seul diviseur (lui-même), on considère alors, par convention, qu’il n’est pas premier.
• 2 est le seul entier pair qui soit premier (en effet, tous les autres sont divisibles par 2).
• Les nombres premiers inférieurs à 30 sont : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29.
3- Décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers Nous admettrons le théorème suivant :
Théorème : Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 est : - soit un nombre premier
- soit le produit de nombres premiers
Exemples :
Décomposons en produit de facteurs premiers les nombres suivants : 66 et 112
66 112
4- Applications
1. Rendre une fraction irréductible
Définition : Une fraction a
b (avec b ≠ 0) est dite irréductible lorsque a et b sont premiers entre eux, càd lorsqu’ils n’ont aucun diviseur commun autre que 1 (càd lorsque PGCD(a;b)=1).
Pour rendre une fraction irréductible, il suffit donc de décomposer a et b en produits de facteurs premiers et de simplifier numérateur et dénominateur par les facteurs communs.
Exemple 660 462
Simplifier 660 462
i. On décompose 660 et 462 en produits de facteurs premiers :
ii. On simplifie numérateur et dénominateur par leurs facteurs communs :
iii. On vérifie à la calculatrice. Remarque : 2 × 3 × 11 = 66 est le PGCD de 660 et 462 Séquence à la calculatrice avec une casio :
Taper 6 6 0 a+b/c 4 6 2 . La calculatrice affiche (en général) 1 ┘3 ┘7 pour signifier le résultat suivant 660 462 = 1+3
7. Taper ensuite SHIFT a+b/c pour sélectionner la commande d/c. Le résultat affiché 10 ┘ 7 signifie 10
7 qui est une fraction irréductible.
2. Réduire au même dénominateur des fractions
Règle de calcul : a b+ c
b=a+c
b avec a ∈ IR, c ∈ IR et b ∈ IR* Exemple : 9 4 + 7
4 = 9 + 7 4 = 16
4 = 4 Cependant, lorsque les deux dénominateurs ne sont pas égaux, on ne peut pas appliquer directement la formule précédente. Il faut donc réduire les deux fractions au même dénominateur. On choisit, en général, le plus petit dénominateur commun.
Exemple : 18 60
Calculer 7 18−13
60
i. On décompose les deux dénominateurs en un produit de facteurs premiers :
ii. On recherche le plus petit multiple commun, appelé PPCM :
iii. Le plus petit dénominateur commun est alors le PPCM des deux nombres, on termine le calcul :
3. Simplifier une racine carrée
Exemple : 72
Ecrire 72 sous la forme a b où a et b sont deux entiers et b le plus petit possible.
Pour cela, on décompose 72 en produits de facteurs premiers et on repère les carrés :
V. Exercices
Exercice 1
Déterminer la nature de chacun des nombres suivants : -28 ; - 27
3 ; 5π3 ; 51,75 ; 49+36 ; 420
15 ;
(
3)
2 ;(
3− 2) (
3+ 2)
Exercice 2
Compléter à l’aide des symboles ☻ ou ∉ : 3,1416…Í ; 196 …É ; 2 3
5 …Î ; 2π…Ë ;
(
5−2) (
5+2 …É ; π…Ì)
Exercice 3
Sans calculatrice, déterminer l’écriture scientifique des nombre suivants : 35,29 ; 0,00003251 ; 268,1 ; 36×106+3×106+2,9×106 ; 1,25×0,0002×0,03
Exercice 4
Dans chacun des cas suivants, préciser à quel intervalle ou à quelle réunion d’intervalles appartient x lorsqu’il satisfait aux conditions indiquées :
x 3
5 et x< 7
10 xÃ5
4 e t x>7
5 -3ÂxÂ-1 ou xÃ-1
2 xÂ3 ou xÃ-1 Exercice 5
Dans chacun des cas suivants, préciser si l’ensemble A est un intervalle et si oui, préciser cet intervalle :
A=[-5;+õ[∩]-õ;7 [; A=[-5;+õ[∟]-õ;7 [; A=]-õ;2 ]∩[3;4 [; A=]-õ;2]∟[3;4[
Exercice 6 : Décomposition en produit de facteurs premiers :
Décomposer en produits de facteurs premiers les nombres suivants : 126 ; 496 ; 285 ; 16 × 25 ; 56 × 67 Exercice 7 : Rendre une fraction irréductible :
Mettre sous forme de fractions irréductibles les expressions suivantes : 315
84 ; 51 77 × 14
85 ; 14 30 21 33
; 66 14
55 ; 34 255
21
Exercice 8 : Réduire au même dénominateur :
Effectuer les opérations suivantes et donner le résultat sous forme de fraction irréductible : 3
126−1
60 ; - 6
700+ 1
75 ; 2
252+ 3
490 ; 1
90+ 1 84 Exercice 9 : Simplifier une racine carrée :
Ecrire les nombres suivants sous la forme a bo ù a et b sont deux entiers naturels et b le plus petit possible : 162 ; 54 Exercice 10 : Exercice de synthèse :
1. Recopier et compléter : 5
8 = 5 × …....
23× ….... = 54
…...
2. Décomposer 280 et 448 en produits de facteurs premiers.
3. a. Ecrire sous la forme d’une fraction irréductible : A=280 448.
b. Donner tous les ensembles de nombres auquel appartient A et justifier.
4. Ecrire sous la forme d’une fraction irréductible : B= 1 280− 1
448.
5. Ecrire 280 sous la forme a b avec a et b des entiers naturels et b le plus petit possible.
