fonctions et graphiques

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fonctions et graphiques

.

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(...) les fonctions sont des "boîtes" auxquelles on donne à manger des informations, et qui en réponse à ces informations sortent différents résultats. (…)^*

Créons une de ces boîtes, nommons-la 𝑓 et donnons-lui une propriété : « à tout nombre qu’on te donne, double-le et ajoute lui 3 ». Son utilisation sur quelques exemples s’écrit de la façon suivante :

𝑓(1) = 5 𝑓(2) = 7 𝑓(5) = 13 𝑓(−2) = −1

Le nombre entre parenthèses, que va transformer la fonction est la variable.

On écrira le résultat de la fonction 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3.

Remarquons que cette fonction peut tout aussi bien être utilisé avec tous les nombres réels, par exemple :

𝑓(1,2313) = 5,4626 𝑓(𝜋) = 9.283185 …

Et on remarque que le résultat de cette fonction peut aussi être n’importe quel nombre réel.

On pourra définir une fonction de trois manières différentes : par une équation, un tableau de valeurs ou un graphe, ce que nous détaillerons plus loin.

La fonction 𝑓 peut donc être définie par l’équation suivante :𝑓 : ℝ → ℝ ∶ 𝑥 → 2𝑥 + 3 Cette fonction peut être aussi être décrite par un tableau de valeurs ou un graphe.

tableau de valeurs graphe

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2.2 Définitions

Dans le cadre de ce chapitre, nous travaillerons avec des ensembles de nombres réels.

Une relation entre deux ensembles de réels est un lien entre deux nombres : un de l'ensemble de départ et un de l'ensemble d'arrivée. Une fonction est une relation entre deux ensembles qui associe à tout élément de l'ensemble de départ au plus un élément de l'ensemble d'arrivée.

La figure et le graphe suivants représentent un exemple de fonction.

Les éléments de l'ensemble de départ sont généralement notés 𝑥 et les éléments de l'ensemble d'arrivée 𝑦. Le lien entre les deux ensembles est noté 𝑓

Cependant, la figure et le graphe qui suivent ne représentent pas une fonction car 𝑥₁ est origine de trois flèches. A l'élément 𝑥₁ correspondent donc trois éléments de l'ensemble d’arrivée.

Définition: Les valeurs de 𝑦 sont appelées les images de 𝑥 par la fonction f

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Une fonction peut être caractérisée de trois manières différentes.

2.2.1.1 Tableaux de valeurs

On peut matérialiser une fonction en donnant, sous forme de tableau, quelques valeurs de l'ensemble de départ et les valeurs correspondantes de l'ensemble d'arrivée.

2.2.1.2 Expression analytique

La deuxième manière de traduire une fonction entre deux ensembles est d'écrire explicitement la relation mathématique reliant les éléments de l'ensemble de départ et ceux de l'ensemble d'arrivée.

Exemples:

• La fonction définie par la relation 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3 permet de relier un ensemble infini de valeurs (−1,2,3, … ) à d'autres valeurs (1,7,9, … ).

• La fonction 𝑓(𝑥) = 𝑥²− 2𝑥 + 3 permet de relier un ensemble infini de valeurs (−1,2,4, … ) à d'autres valeurs (6,3,11, … ).

• La fonction 𝑓(𝑥) =¹

𝑥 permet de relier un ensemble infini de valeurs (−1,2,3, … ) à d'autres valeurs (−1,¹

2,¹

3, … ). Remarquons que cette fonction ne permet pas d'associer un élément de l'ensemble d'arrivée à l'élément 0 de l'ensemble de départ.

2.2.1.3 Graphe d'une fonction

Une fonction peut être vue comme un couple de valeurs (𝑥, 𝑦). Dans un plan ramené à un repère orthonormé (deux axes perpendiculaires et une longueur de référence sur chaque axe). Ce couple correspond aux coordonnées d'un point. L'ensemble de ces points constitue le graphe (ou graphique) de la fonction.

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2.3 Caractéristiques des fonctions

2.3.1 Domaine de définition

Pour qu'une fonction soit définie (existe), il faut nécessairement un lien entre l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée.

Définition : Le domaine de définition d'une fonction est l'ensemble des valeurs de l'ensemble de départ (𝑥) qui ont une image (𝑦) par la fonction.

Algébriquement, le domaine de définition d'une fonction est lié à l'existence du lien entre les valeurs de 𝑥 et celles de 𝑦. On déterminera le domaine de définition d'une fonction en posant des conditions d'existence.

Par exemple :

• les dénominateurs ne peuvent être nuls. Dans le cas d'une fonction rationnelle (quotient de deux polynômes) :

𝑓(𝑥) =𝑁(𝑥) 𝐷(𝑥) la condition d'existence se résume à 𝐷(𝑥) ≠ 0

• Les arguments d'une racine carrée (radicants) ne peuvent être négatifs Dans le cas d'une fonction irrationnelle :

𝑓(𝑥) = √𝑅(𝑥) la condition d'existence est 𝑅(𝑥) ≥ 0.

Dans certains cas, il faudra établir un tableau de signe pour définir les valeurs de 𝑥 pour lesquelles 𝑅(𝑥) est positif.

Graphiquement, le domaine de définition est obtenu en relevant sur l'axe 𝑂𝑥 l'ensemble des valeurs où le graphe de la fonction existe (c'est-à-dire où il est dessiné). Dans la plupart des cas, les valeurs rejetées du domaine de définition de la fonction se repèrent par :

• une absence de graphe : on a alors un intervalle de valeurs rejetées du domaine

• un trou dans le graphe : c'est une valeur ponctuelle rejetée du domaine et symbolisée la plupart du temps par un petit cercle (o) sur le graphe de la fonction

• une asymptote verticale : il s'agit d'une droite verticale de laquelle le graphe de la fonction se rapproche indéfiniment sans jamais la toucher. Il s'agit d'une valeur ponctuelle rejetée du domaine de définition.

Le domaine de définition d'une fonction est noté 𝑑𝑜𝑚 𝑓

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L'ensemble image d'une fonction est l'ensemble des valeurs prises par la fonction.

On peut déterminer algébriquement l'image d'un nombre par une fonction. Soit 𝑎 ce nombre.

L'image de 𝑎 par la fonction 𝑓(𝑥) est simplement la valeur numérique de la fonction obtenue en substituant les x par a dans l'expression analytique de la fonction.

Graphiquement, les images de la fonction sont lues sur l'axe 𝑂𝑦. Il suffira de déterminer, sur cet axe, l'ensemble des valeurs prises par 𝑓. De même, l'image d'un point par la fonction est simplement l'ordonnée du point du graphe de la fonction dont l'abscisse vaut 𝑎.

L'ensemble image d'une fonction est noté 𝑖𝑚 𝑓

2.3.3 Notation d'une fonction

Nous noterons une fonction de la manière suivante :

𝑓: 𝑑𝑜𝑚 𝑓 → 𝑖𝑚 𝑓: 𝑥 → 𝑓(𝑥) Cette notation décrit :

• le nom de la fonction (𝑓) ;

• le domaine de définition ;

• l'ensemble image ;

• la variable (𝑥);

• et l’expression analytique de la fonction 𝑓(𝑥)

2.3.4 Racine et ordonnée à l’origine

Une racine d'une fonction est une valeur de 𝑥 qui annule la fonction L’ordonnée à l’origine est la valeur de la fonction quand 𝑥 est nul.

Algébriquement, ils sont la (les) solution(s) de l'équation 𝑓(𝑥) = 0.

Graphiquement, ce sont les points du graphe dont l'ordonnée est nulle c'est-à-dire les points d'intersection avec l'axe 𝑂𝑥.

Les racines sont au nombre de trois pour la fonction décrite par le graphe ci-contre, elles sont notées ici 𝑥₁, 𝑥₂, et 𝑥₃.

Graphiquement, l’ordonnée à l’origine est l’intersection du graphe et de l’axe 𝑂𝑦, c’est-à-

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Exercice 1 (P2 : Appliquer)

Détermine graphiquement le domaine et l’ensemble image et les racines des fonctions suivantes.

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Détermine analytiquement les racines, l’ordonnée à l’origine et le domaine des fonctions suivantes, définies par leur expression analytique.

𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3

racine(s) :𝑓(𝑥) = 0 pour 𝑥 =…

ordonnée à l’origine :𝑓(0) =…

𝑑𝑜𝑚 𝑓 =…

𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 4

𝑓(𝑥) = 𝑥²− 4

𝑓(𝑥) = 1

𝑥²+ 2𝑥 + 1

𝑓(𝑥) =^√1−𝑥

𝑥

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2.3.5 Parité d'une fonction

La notion de parité d'une fonction permet de mettre en évidence d'éventuelles caractéristiques de symétrie d'une fonction.

Une fonction est paire si et seulement si

∀𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚𝑓 ∶ 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) Une fonction est impaire si et seulement si

∀𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚𝑓 ∶ 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) Dans tous les autres cas, on dira que la fonction est quelconque.

On détermine si une fonction est paire ou impaire en calculant 𝑓(−𝑥) (c'est-à-dire que l'on remplace tous les 𝑥 par −𝑥 dans l'expression analytique de la fonction).

Si après simplification on obtient la même expression que la fonction de départ(𝑓(𝑥)), la fonction est paire.

Si on obtient une expression analytique opposée à celle de la fonction de départ (−𝑓(𝑥)), elle est impaire.

Graphiquement, la parité caractérise des symétries dans la fonction. Si f est paire, son graphe est symétrique par rapport à l'axe 𝑂𝑦. Si elle est impaire, son graphe est symétrique par rapport à l'origine des axes 𝑂. Les graphes suivants illustrent cette situation

fonction paire fonction impaire

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Détermine graphiquement si les fonctions suivantes sont paires, impaires ou quelconques.

Détermine analytiquement si les fonctions suivantes sont paires, impaires ou quelconques.

𝑓(𝑥) = 𝑥²

𝑥²− 3 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1

𝑥²− 3𝑥 + 5

𝑓(𝑥) = 𝑥³

𝑥²+ 5 𝑓(𝑥) = √ 𝑥³

𝑥⁵− 𝑥

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2.3.6 Tableau de signe

Il est utile de déterminer la variation du signe d’une fonction aux différents endroits de son domaine. Nous utiliserons les tableaux de signe entre autres pour déterminer le domaine des fonctions racines carrées (de la forme 𝑓(𝑥) = √𝑔(𝑥)).

Etant donné qu’une fonction peut changer de signe à ses racines, on écrit sur la première ligne du tableau les racines par ordre croissant.

Dans le cas de fonctions simples, on écrira sur la deuxième ligne du tableau le signe de la fonction entre les racines.

La fonction dont le graphe est représenté ci-contre admet comme racines -1, 0 et 2. Voici son tableau de signe :

𝑥 -1 0 2

𝑓(𝑥) − 0 + 0 − 0 +

Dans le cas de fonctions plus compliquées, mais qui peuvent être décomposées en fonctions plus simples, on étudiera d’abord les fonctions simples composant la fonction étudiée une par une.

Pour chaque fonction simple, on calcule les racines et on les reporte sur la première ligne du tableau.

Ensuite, sur les lignes suivantes on étudiera le signe de chaque fonction simple.

Enfin, sur la dernière ligne du tableau, on a le signe de la fonction étudiée qui se déduit du signe des différentes fonctions simples.

Prenons par exemple le cas de la fonction

𝑓 : ℝ → ℝ : 𝑥 →2𝑥 − 1 𝑥 + 1

Il s’agit d’une fonction qu’on appelle rationnelle et dont l’expression analytique a la forme : 𝑓(𝑥) =𝑁(𝑥)

𝐷(𝑥)

Elle peut être décomposée en fonctions simples : la fonction au numérateur 𝑁, qui a pour expression analytique 𝑁(𝑥) = 2𝑥 − 1 et la fonction au dénominateur 𝐷, d’expression analytique 𝐷(𝑥) = 𝑥 + 1.

𝑁(𝑥) a pour racine ¹

2 et 𝐷(𝑥) a pour racine −1.

𝑥 -1 1

2

2𝑥 − 1 − − − 0 +

𝑥 + 1 − 0 + + +

2𝑥 − 1

𝑥 + 1 + ∄ − 0

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Etablis le tableau de signe des fonctions suivantes : 𝑓(𝑥) =−2𝑥 − 3

𝑥 + 2

𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1). (2𝑥 − 1). (1 − 4𝑥)

𝑓(𝑥) =(𝑥 + 1)² 𝑥 + 2

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2.4 Fonctions de base

Nous allons être amenés à construire graphiquement des fonctions sur base de fonctions de référence. Les fonctions de base sont les suivantes :

Fonction Expression analytique

identité 𝑓(𝑥) = 𝑥

carré 𝑓(𝑥) = 𝑥²

cube 𝑓(𝑥) = 𝑥³

racine carrée 𝑓(𝑥) = √𝑥

racine cubique 𝑓(𝑥) = √𝑥³

inverse 𝑓(𝑥) =1

valeur absolue 𝑓(𝑥) = |𝑥| 𝑥

Les graphes et les caractéristiques de ces fonctions sont repris dans le tableau suivant :

Identité Caractéristiques

Expression analytique : 𝑓(𝑥) = 𝑥 Racine : 𝑥 = 0

𝑑𝑜𝑚 𝑓 = ℝ 𝑖𝑚 𝑓 = ℝ

Tableau de signe :

𝑥 0

𝑓(𝑥) − 0 +

Carré Caractéristiques

Expression analytique : 𝑓(𝑥) = 𝑥² Racine : 𝑥 = 0

𝑑𝑜𝑚 𝑓 = ℝ 𝑖𝑚 𝑓 = ℝ⁺

Tableau de signe :

𝑥 0

𝑓(𝑥) + 0 +

Cube Caractéristiques

Expression analytique : 𝑓(𝑥) = 𝑥³ Racine : 𝑥 = 0

Tableau de signe :

𝑥 0

𝑓(𝑥) − 0 +

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Racine carrée Caractéristiques Expression analytique : 𝑓(𝑥) = √𝑥 Racine : 𝑥 = 0

𝑑𝑜𝑚 𝑓 = ℝ⁺ 𝑖𝑚 𝑓 = ℝ⁺

Tableau de signe :

𝑥 0

𝑓(𝑥) ∄ 0 +

Racine cubique Caractéristiques

Expression analytique : 𝑓(𝑥) = √𝑥³ Racine : 𝑥 = 0

Tableau de signe :

𝑥 0

𝑓(𝑥) − 0 +

Inverse Caractéristiques

Expression analytique : 𝑓(𝑥) =¹

𝑥

Racine : aucune 𝑑𝑜𝑚 𝑓 = ℝ₀ 𝑖𝑚 𝑓 = ℝ₀

Tableau de signe :

𝑥 0

𝑓(𝑥) − ±∞ +

Valeur absolue Caractéristiques

Expression analytique : 𝑓(𝑥) = |𝑥|

Racine : 𝑥 = 0 𝑑𝑜𝑚 𝑓 = ℝ 𝑖𝑚 𝑓 = ℝ⁺

Tableau de signe :

𝑥 0

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2.5 Fonctions du premier et du second degré

En plus des fonctions de base, sont rappelées ici des fonctions usuelles étudiées les années précédentes

2.5.1 Fonctions du premier degré

Le graphe de la fonction du premier degré est une droite.

Soit 𝑓 une fonction du premier degré d’expression analytique : 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑝

Pour trouver la racine, il faut trouver 𝑥 tel que la fonction s’annule. Pour ce faire, on résout l’équation :

𝑚𝑥 + 𝑝 = 0 Si 𝑚 ≠ 0, on a :

𝑥 =−𝑝 La pente 𝑚 vaut la 𝑚

variation de l’ordonnée pour une variation de 1 de l’abscisse, ou encore :

𝑚 =∆𝑦

∆𝑥

Le signe de la pente traduit une fonction croissante (𝑚 > 0, à gauche) ou décroissante (𝑚 < 0, à droite).

L’ordonnée à l’origine 𝑓(0) vaut 𝑝.

𝒎 > 𝟎 𝒎 = 𝟎 𝒎 < 𝟎

Racine 𝑥 = −𝑝

𝑚 aucune 𝑥 = −𝑝

𝑚

Graphe

Signe signe de 𝑝

𝑥 −𝑝

𝑚 𝑥 −𝑝

𝑚

𝑓(𝑥) − 0 + 𝑓(𝑥) + 0 −

Croissance croissant constant décroissant

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Détermine analytiquement les racines et l’ordonnée à l’origine, établis le tableau de signe et trace le graphe des fonctions suivantes, définies par leur expression analytique.

𝑓(𝑥) = 𝑥 − 3 pente : racine :

ordonnée à l’origine : tableau de signe :

𝑓(𝑥) = −2𝑥 − 1 pente :

racine :

𝑓(𝑥) =1 2𝑥 + 3 pente :

racine :

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Retrouve l’expression analytique des fonctions suivantes définies par leur graphe :

(18)

Le graphe de la fonction du second degré est une parabole. Soit 𝑓 une fonction du second degré définie par son expression analytique :

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐

2.5.2.1 Concavité Par l’étude du signe de 𝑎, on peut distinguer les fonctions du second degré ayant pour graphe une parabole convexe (𝑎 > 0, forme de ∪) des fonctions ayant pour graphe une parabole concave (𝑎 < 0, forme de ∩).

2.5.2.2 Racines

Les racines sont les valeurs de la variable 𝑥 pour lesquelles la fonction est nulle, il convient pour les calculer de résoudre l’équation :

𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 Cette équation admet pour solution(s) :

𝑥 =−𝑏 ± √ρ 2𝑎 Où le discriminant 𝜌 est calculé comme suit :

𝜌 = 𝑏²− 4𝑎𝑐

Le nombre de solutions qu’admet cette équation diffère selon le signe du discriminant 𝜌, il en va donc de même pour le nombre de racines de la fonction.

𝜌 > 0 𝜌 = 0 𝜌 < 0

2 racines :

𝑥₁=−𝑏 − √ρ 2𝑎 et

−𝑏 + √ρ

1 racine : 𝑥₁=−𝑏

2𝑎

Aucune racine

parabole convexe : 𝑎 > 0 parabole concave : 𝑎 < 0

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2.5.2.3 Caractéristiques

𝜌 > 0 𝜌 = 0 𝜌 < 0

Racine(s) 2 racines : 𝑥₁=−𝑏 − √ρ

2𝑎 , 𝑥₂=−𝑏 + √ρ 2𝑎

1 racine : 𝑥₁=−𝑏

2𝑎

aucune

Graphe si 𝑎 > 0

Signe si 𝑎 > 0

𝑥 𝑥1 𝑥2 𝑥 𝑥1

signe de 𝑎 𝑓(𝑥) + 0 − 0 + 𝑓(𝑥) + 0 +

Graphe si 𝑎 < 0

Signe si 𝑎 < 0

signe de 𝑎 𝑥 𝑥1 𝑥2 𝑥 𝑥1

𝑓(𝑥) − 0 + 0 − 𝑓(𝑥) − 0 −

Pour les fonctions du second degré suivantes, définies par leur expression analytique, détermine les racines, l’ordonnée à l’origine et établis le tableau de signe.

𝑓(𝑥) = 𝑥²+ 2𝑥 + 1 ordonnée à l’origine :

racine(s) : tableau de signe :

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ordonnée à l’origine :

𝑓(𝑥) = 𝑥²− 2𝑥 + 1 ordonnée à l’origine :

𝑓(𝑥) = −𝑥²− 5𝑥 + 6 ordonnée à l’origine :

(21)

Pour les fonctions suivantes, définies par leur expression analytique, détermine le domaine, les racines, l’ordonnée à l’origine, la parité et établis le tableau de signe.

𝑓(𝑥) = 𝑥²+ 2𝑥 − 3 racine(s) :

parité :

domaine : tableau de signe :

𝑓(𝑥) = 3 𝑥 − 2 racine(s) :

parité :

(22)

𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 5 racine(s) :

parité :

𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 𝑥²+ 4𝑥 − 5 racine(s) :

parité :

(23)

𝑓(𝑥) = √ 𝑥 − 3 𝑥²+ 4𝑥 + 3 racine(s) :

parité :

𝑓(𝑥) = √ 2𝑥 + 5 2𝑥²− 9𝑥 + 4 racine(s) :

parité :

(24)

2.6.1 Opérations algébriques sur les fonctions

Soient 𝑓 et 𝑔 deux fonctions ayant le même domaine de définition :

La fonction 𝑓 + 𝑔 est la somme des fonctions 𝑓 et 𝑔, son expression analytique est : (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)

La fonction 𝑓 − 𝑔 est la différence des fonctions 𝑓 et 𝑔, son expression analytique est : (𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)

La fonction 𝑓 ∙ 𝑔 est le produit des fonctions 𝑓 et 𝑔, son expression analytique est : (𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)

La fonction ^𝑓

𝑔 est le quotient des fonctions 𝑓 et 𝑔, son expression analytique est : (𝑓

𝑔) (𝑥) =𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)

La fonction 𝑓 ∘ 𝑔 est la composée des fonctions 𝑓 et 𝑔, son expression analytique est : (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))

On peut traduire graphiquement l’opération d’addition des deux fonctions par l’addition de leurs ordonnées, un exemple en est donné dans la figure ci-dessous. En outre, des exemples d’application de toutes les opérations définies dans ce paragraphe sont donnés dans le tableau de la page suivante.

(25)

Par exemple, avec les fonctions d’expressions analytiques 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2 et 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 1 , on a:

Fonction Expression analytique Graphe

𝑓 + 𝑔

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = (𝑥 − 2) + (2𝑥 + 1) =

3𝑥 − 1

𝑓 − 𝑔

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = (𝑥 − 2) − (2𝑥 + 1) =

−𝑥 − 3

𝑓 ∙ 𝑔

(𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥) = (𝑥 − 2) ∙ (2𝑥 + 1) =

2𝑥²− 3𝑥 − 2

𝑓 𝑔

(𝑓

𝑔) (𝑥) =

(𝑥 − 2) (2𝑥 + 1)

𝑓 ∘ 𝑔

𝑓(𝑔(𝑥)) = ((2𝑥 + 1) − 2) =

2𝑥 − 1

(26)

Pour deux fonctions 𝑓 et 𝑔, calcule les expressions analytiques demandées : Avec 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 et 𝑔(𝑥) = 𝑥²+ 4 :

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) =

(𝑓 − 𝑔)(𝑥) =

(𝑓. 𝑔)(𝑥) =

𝑓

𝑔(𝑥) =

(𝑔 𝑜 𝑓)(𝑥) =

(𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥) =

Avec 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 1 et 𝑔(𝑥) = √2𝑥 + 2 : (𝑓 + 𝑔)(𝑥) =

(𝑓 − 𝑔)(𝑥) =

(𝑓. 𝑔)(𝑥) =

𝑓

𝑔(𝑥) =

(𝑔 ^𝑜 𝑓)(𝑥) =

(𝑓 ^𝑜 𝑔)(𝑥) =

(27)

2.7 Manipulation de graphes

Le graphe de certaines fonctions peut être obtenu à partir de manipulations du graphe des fonctions de bases étudiées dans le paragraphe 2.4.

Les quatre opérations étudiées modifient le graphique de la fonction comme illustrés ci-dessous : 𝒈(𝒙) = 𝒇(𝒙) + 𝒂

𝑎 𝑎𝑑𝑑𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑛é à 𝑦 Translation vers le haut (𝑎 > 0) ou vers le bas (𝑎 < 0) selon 𝑦

𝒈(𝒙) = 𝒃 ∙ 𝒇(𝒙)

𝑦 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖é 𝑝𝑎𝑟 𝑎 Étirement (|𝑏| > 1) ou compression (|𝑏| < 1) selon 𝑦

(28)

𝑐 𝑎𝑑𝑑𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑛é à 𝑥 Translation vers la gauche (𝑐 > 0) ou vers la droite (𝑐 < 0) selon 𝑥

𝒈(𝒙) = 𝒇(𝒅. 𝒙)

𝑥 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖é 𝑝𝑎𝑟𝑑 Compression (|𝑑| > 1) ou étirement (|𝑑| < 1) selon 𝑥

Lorsque le graphe d’une fonction est construit par manipulation, il convient de respecter la priorité des opérations et donc d’effectuer les opérations dans un ordre donné :

On effectue d’abord les manipulations associées à la variable 𝑥, c’est-à-dire celles dans la parenthèse :

1. manipulation liée à 𝑑 (multiplication) 2. manipulation liée à 𝑐 (addition) ;

(29)

Retrouve l’expression analytique des fonctions dont les graphes sont donnés ici, donne la fonction de base associée (voir 2.4) et décris les manipulations nécessaires (dans l’ordre) pour arriver à la fonction dont le graphe est représenté.

Expression analytique : Fonction de base : Manipulations :

(30)

Fonction de base : Manipulations :

Expression analytique : Fonction de base : Manipulations :