TS : révisions décembre 2017
I
Montrer que, pour tout entiernÊ1 ,
n
X
k=1
k×k!=(n+1)!−1 .
II D’après Amérique du sud novembre 2006
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal
³ O;→−
i ;−→ j ; −→
k´
, on considère les points :
A de coordonnées (3 ; 1 ; −5), B de coordonnées (0 ; 4 ; −5), C de coordonnées (−1 ; 2 ; −5) et D de coordonnées (2 ; 3 ; 4).
Pour chacune des six affirmations ci-dessous, pré- ciser si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse.
1. Les points A, B et D sont alignés.
2. La droite (AB) est contenue dans le plan d’équa- tion cartésienne :x+y=4.
3. Une équation cartésienne du plan (BCD) est : 18x−9y−5z+11=0.
4. Les points A, B, C et D sont coplanaires.
5. Une représentation paramétrique de la droite (BD) est :
x = 1−2k
y = 7
2+k, z = −1
2−9k k∈R
III Liban mai 2015
ABCDEFGH est un cube.
A
B C
D E
F G
H
I
J
K
L
b
b b b
b
b b b
b b
b b
I est le milieu du segment [AB], J est le milieu du segment [EH], K est le milieu du segment [BC] et L est le milieu du segment [CG].
On munit l’espace du repère orthonormé
³ A ; −→
AB, −→ AD,−→
AE
´ .
1. (a) Démontrer que la droite (FD) est orthogo- nale au plan (IJK).
(b) En déduire une équation cartésienne du plan (IJK).
2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (FD).
3. SoitM le point d’intersection de la droite (FD) et du plan (IJK). Déterminer les coordonnées du pointM.
4. Déterminer la nature du triangle IJK et calculer son aire.
5. Calculer le volume du tétraèdre FIJK.
6. Les droites (IJ) et (KL) sont-elles sécantes ?
IV Nouvelle-Calédonie mars 2015
L’espace est rapporté au repère orthonormé
³ O; −→
i ; −→ j ;→−
k´
. On désigne par R l’ensemble des nombres réels.
On rappelle que deux droites de l’espace sont dites perpendiculaires si et seulement si elles sont orthogo- nales et sécantes.
Soient le pointA1de coordonnées (0 ; 2 ;−1) et le vecteur−→
u1de coordonnées
1 2 3
.
On appelleD1la droite passant par A1et de vec- teur directeur−→
u1.
On appelleD2la droite qui admet pour représen- tation paramétrique
x = 1+k y = −2k
z = 2
(k∈R).
Le but de l’exercice est de prouver l’existence d’une droite perpendiculaire à la fois àD1etD2.
1. (a) Donner une représentation paramétrique deD1.
(b) Donner un vecteur directeur de D2¡
on le notera−→ u2¢
. Page 1/2
(c) Le pointA2(−1 ; 4 ; 2) appartient-il àD2? 2. Démontrer que les droitesD1etD2sont non co-
planaires.
3. Soit le vecteur −→ v
−6
−3 4
. On définit la droite ∆1
passant par A1et de vecteur directeur −→ v et la droite∆2passant parA2et parallèle à∆1. Justifier que les droitesD1et∆1sont perpendi- culaires.
Dans la suite, on admettra que les droitesD2et
∆2sont perpendiculaires.
4. SoitP1le plan défini par les droitesD1et∆1et P2le plan défini par les droitesD2et∆2.
(a) Soit le vecteur→− n
17
−22 9
. Vérifier que−→ n est un vecteur normal au planP1.
(b) Montrer que P1 et P2 ne sont pas paral- lèles.
5. Soit∆la droite d’intersection des plansP1etP2. On admettra que le vecteur−→
v est un vecteur di- recteur de∆.
Utiliser les questions précédentes pour prouver qu’il existe une droite de l’espace perpendicu- laire à la fois àD1et àD2.
V Nouvelle-Calédonie novembre 2014
L’espace est rapporté à un repère orthonormé
³ O; −→
i ; −→ j ;→−
k´ .
On donne les points A(1 ; 0 ; −1), B(1 ; 2 ; 3), C(−5 ; 5 ; 0) et D(11 ; 1 ; −2).
Les points I et J sont les milieux respectifs des seg- ments [AB] et [CD].
Le point K est défini par−→ BK=1
3
−→ BC.
1. (a) Déterminer les coordonnées des points I, J et K.
(b) Démontrer que les points I, J et K défi- nissent un plan.
(c) Montrer que le vecteur→−
n de coordonnées (3 ; 1 ; 4) est un vecteur normal au plan (IJK).
En déduire une équation cartésienne de ce plan.
2. SoitP le plan d’équation 3x+y+4z−8=0.
(a) Déterminer une représentation paramé- trique de la droite (BD).
(b) Démontrer que le planP et la droite (BD) sont sécants et donner les coordonnées de L, point d’intersection du plan P et de la droite (BD).
(c) Le point L est-il le symétrique du point D par rapport au point B ?
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