Fermat 06/07 - PCSI 1 Khôlle de Maple 02
Méthode d’Euler
Exercice 1.
a) Ecrire une procédure calculantN valeurs approchées de la solution du problème de Cauchy : y0=f(t, y) et y(t0) =y0
Dans un premier temps on pourra tester la procédure avec les données
f(t, y) = 1 t0= 0 y0= 1 N= 10 et δ= 1
OùN est le nombre de valeurs calculéesy1, . . . , yN etδest le pas de la subdivision de l’axe des temps
∀k∈[|0, N[|, tk+1=tk+δ
b) Tester le résultat pour la fonctionf(t, y) =y. Quel type de suite obtient-on ? c) vérifier queyN →e−1/2 lorsqueN →+∞avecδ= N1 et f(t, y) =−ty
Exercice 2.
a)Ecrire une procédure qui à partir d’une liste d’abscisses[t0, . . . , tN]et une liste d’ordonnées[y0, . . . , yN] construit une fonction dont le graphe est l’ensemble des segments reliantA0(t0, y0)àA1(t1, y1), et ainsi de proche en proche jusqu’àAN(tN, yN)
b) Tester cette procédure avec les points calcules dans l’exercice précédent
c) Tracer les solutions approchées sur [0,1] calculées avec N = 10 et δ = N1 et comparez les à celles proposées par MAPLE à l’aide de la fonctiondsolve
Exercice 3. Tracer sur un même graphe les solutions approchées avec différents niveaux de précision N = 16, puisN = 32, puisN= 64, puisN = 128puisN = 256
a) Pourf(t, y) =y sur l’intervalle[0,5]
b) Pourf(t, y) =−ty sur l’intervalle[0,1]
c) Pourf(t, y) = √t+101 −9 sur l’intervalle[0,0.001]puis sur[0,0.00001]. Que remarque-t’on ?
d) Pourf(t, y) = sint+101−9 sur l’intervalle[0,1], puis sur[0,0.1], puis sur[0,0.0001]puis sur[0,0.0001].
Que remarque-t’on ?
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