Terminale S Année scolaire 2006 - 2007
TP 2 : La méthode d’Euler Rappel :
0 0
0
0 0 0 0
Soit une fonction défine sur un intervalle I, un réel de I.
est dérivable en si et seulement s'il existe une fonction avec lim ( ) 0 telle que:
( ) ( ) '( ) ( ). '( ) est le nom
h
f x
f x h
f x h f x hf x h h f x
ε ε
ε
→ =
+ = + + 0
0 0 0
0 0 0
bre dérivé de en , Pour voisin de 0, on a ( ) ( ) '( )
( ) '( ) permet d'obtenir des valeurs approchées de ( ) au voisinage de on parle d'approximation affine de au voisinage
f x
h f x h f x hf x
f x hf x f x x
f
+ ≈ +
+
de .x0
0
En exploitant ce résultat, on peut approcher la courbe à l'aide d'une courbe constituée de segments de droites.
Technique: soit h un réel strictement positif assez petit, en partant d'un point ( Cf
M x0 0
0
1 0 1 1 1 0 0
; ( )) de la courbe Pour lequel '( ) est connu et non nul, on pose:
et on construit le point ( ; ) sur la tangente à en on a alors:
f
f
f x C
f x
x =x +h P x y T C M
1 0 0 0 0
2 1 2 2 2 1 1 1 1 1
2 1 1
( ) '( ) '( )
, on construit le point ( ; ) sur la parallèle ' a la tangente à la courbe en M ( ; ).
on a alors : '( ) et Ainsi de suite On construit a
f
y f x hf x y hf x
x x h P x y T T C x y
y y hf x
= + = +
= +
= + "
1 1
0 1 2
insi une suite de points ( ; ) tels que:
et '( ) En joignant les points , , , , On obtient la courbe d'une fonctio
n n n
n n n n n
P x y
x x h y y hf x
M P P
+ = + + = +
" n g qui est affine par intervalles.
On approche donc la courbe par une courbe formée de segments de droites.
Cf
Terminale S Année scolaire 2006 - 2007 Méthode d’Euler avec un tableur
Exercice 1
On considère la fonction f définie par
On considère la fonction définie sur [0; 4] par ( ) 3
1
f f x x
x
= + +
A l’aide d’un tableur, on peut comparer les courbes de f et de g(g est l’approximation obtenue par la méthode d’Euler)
1) Déterminer la dérivée f’ de f.
2) Ecrire :
• Dans la cellule A1 : «pas », puis dans la cellule B1 la valeur du pas :« O.2 »
• Dans la cellule A3 :«x », Dans la cellule A4 la valeur de départ pour x :«0 » Dans la cellule A5 : «=A4+$B$1 », puis utiliser la poignée de recopie jusqu’à faire afficher la valeur 4 en colonne A.
• Dans la cellule B3 : «f(x)», Dans la cellule B4 :«=(A4+3)/(A4+1) », et utiliser la poignée de recopie pour faire afficher les valeurs de f(x).
• Dans la cellule C3 :«g(x)», Dans la cellule C4 :«=B4 »,
• Dans la cellule C5 :«=C4-2/(A4+1)^2*$B$1 », puis utiliser la poignée de recopie pour faire afficher les valeurs de g(x).
• Dans la cellule D3 :«différence », dans la cellule D4 :«=C4-B4 » puis utiliser la poignée de recopie pour faire afficher les différences entre la colonne C et la colonne B.
Par observation de la colonne D, que peut-on conjecturer concernant la précision de l’approximation de f(x) par g(x) ?
Faire afficher de deux couleurs différentes les courbes de f et de g.
3) Changer le pas en mettant 0.1 dans la cellule B1, sélectionner les cellules A5,B5,C5,D5 et recopier ces cellules jusqu'à ce que la valeur 4 apparaisse dans la colonne A.
Faire afficher de deux couleurs différentes les courbes de f et de g.
4) Reprendre la même opération en prenant un pas égal à 0.05.Quelle observation peut-on faire lorsque le pas diminue ?
Exercice 2
On considère la fonction f qui vérifie: (0)f =1et f '( )x = f x( )
En utilisant la méthode d’Euler avec un pas h fixé, donner une approximation de f(x0), x0 un réel donné.
Cette méthode permet d’obtenir une suite de point Mn(xn ;yn).
Montrer que la suite des ordonnées est géométrique que la suite des abscisses est arithmétique.
Donner les coordonnées du point Mn .
Déterminer une approximation des images de : 0.5, 1 ;1.5 ,2 en choisissant comme pas : 0.5 ;0.1 ;0.01.
Tracer une représentation approchée de la courbe de f sur [0 ;2] avec un pas de 1 puis de 0.5 et de 0.2.
