TD sur le calcul vectoriel (13/10/2009)
I
E F G Hest un carré de centreO.
Que vaut le vecteur−−→ OE+−−→
OF+−−→
OG+−−→
O H?
II
A,B,C,DetEsont cinq points tels que :
−→AB+−−→
AD=−→
AC+−→
AE. Démontrez que−→
BC=−−→
E D puis queBC DE est un parallélo- grammme.
III
ABC D est un parallélogramme,I,J,K etLsont les mi- lieux respectifs des segments [AB], [BC], [C D] et [D A].
b b
b
b
D C
B A
K
J I L
Compléter à l’aide des points de la figure :
• −→
AL+−→
K J=−−→
A· · ·
• −→ L J+−−→
C A=−−−→ D· · ·
• −−→
B D+−→
C J=−−−→
· · ·D
• −−→
AK+−→
DL+−→ B I=−−→
J· · ·
IV Autour d’un mot caché
Construire les 18 pointsC,D,E,F,G, H,I, J,K,L,M,N,P,Q,R,S,T etU définis respectivement par les égalités vectorielles ci-dessous : Tous les vecteurs seront construits au crayon à papier et les 18 points seront marqués au stylo.
Gommer ensuite tous les vecteurs qui ont servi à la construction des points, ainsi qu’éventuellement tous les points in- utiles, pour ne garder que les pointsO,A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,P,Q,R,S,TetU. Tracer alors au stylo les segments [F G], [F C], [DE], [B I], [B J], [O A], [I H], [M N], [LK], [RQ], [RS], [SU] et [P T]. Vous découvrez alors le mot caché !
Égalités vectorielles :
−−→ OC= −
5 2
−−→ O A−−−→
OB ; −−→
C D=−−→
OB ; −→
C E=−−→ O A+−−→
OB ; −−→
DF=−−→ OB
−−→DG=2−−→ O A+−−→
OB ; −−→
O H=2−−→ O A−−−→
OB ; −→
H I= −2−−→
O A ; −→ B J=2−−→
O A
−−→H K= 3 2
−−→
O A ; −→
K L=2−−→
OB ; −−→
LM= −−−→
O A ; −−→
AN= 7 2
−−→ O A+−−→
OB
−→AP=4−−→
O A ; −−→ PQ=2−−→
O A+−−→
OB ; −−→
QR= −2−−→
O A ; −→
RS= −2−−→ OB
−→ST=−−→ O A+−−→
OB ; −−→
T U=−−→ O A−−−→
OB
.
b b
b
O A
B
V
On considère un triangleABCet les pointsIetJ tels que−→ AI=
1 3
−→ABet−→ A J=3−→
AC. Démontrer que−→
B J=3−→ I C.
Que peut-on en déduire pour les droites (B J) et (I C) ?
