RessourceTerminalescientiqueLESANGLESORIENTES Année2014 ProjetPRENUM-AC

Projet PRENUM-AC

Année 2014

Ressource Terminale scientique LES ANGLES ORIENTES

Angles orientés de vecteurs-Angles orientés de droites-Angles particuliers : Angles alternes internes, Angles à cotés perpendiculaires, Angles inscrits, Angles

au centre, Angle tangentes-cordes.

Table des matières

1 LES ANGLES ORIENTES 4

1.1 Angles orientés de demi-droites . . . . 6

1.1.1 Dénition . . . . 6

1.1.2 Propriétés . . . . 6

1.2 Angles orientés des droites . . . . 6

1.2.1 Dénition . . . . 6

1.2.2 Propriétés . . . . 7

1.2.3 Angles égaux . . . . 7

1.3 Angles orientés de vecteurs . . . . 7

1.3.1 Dénition : . . . . 7

1.3.2 Mesures principale d'un angle orienté . . . . 7

1.3.3 Mesures d'un angle orienté . . . . 7

1.3.4 Propriétés : . . . . 8

1.4 Angles particuliers . . . . 9

1.4.1 Propriétés . . . . 9

1.4.2 Angles alternes internes . . . 10

1.4.3 Angles alternes externes . . . 10

1.4.4 Angles correspondants . . . 11

1.4.5 Angles à cotés perpendiculaires . . . 11

1.4.6 Angles à cotés parallèles . . . 12

1.4.7 Angles au centre-angle inscrit . . . 12

1.4.8 Angles tangentes-cordes . . . 13

2

Introduction Historique

Public ciblé

Cette ressource est destinée aux enseignants et aux élèves des séries scientiques.

Objectifs pédagogiques

A la n de ce cours l'apprenant devra être capable de :

I Reconnaitre les angles : alternes-internes, angles alternes-externes, angles à côtés perpendicu- laires, angles inscrits, angles au centre à partir d'une construction ou d'un schéma géométrique donné ;

I Etablir la relation entre un angle au centre et un angle inscrit interceptant un même arc dans cercle ;

I Etablir la relation entre un angle inscrit et un angle formé par une tangente et une corde interceptant un même arc dans un cercle.

Pré-requis

Avant de commencer ce cours, l'apprenant devra être capable de :

I Orienter un angle soit dans le sens direct ( sens trigonométrique), soit dans le sens indirect (sens des aiguilles d'une montre ou sens rétrograde) ;

I Tracer un triangle : rectangle, équilatéral, isocèle et quelconque ; I Tracer la bissectrice d'un angle ;

I Tracer la médiatrice d'un segment ; I Tracer la médiane dans un triangle ;

I Construire le centre du cercle circonscrit et celui du cercle inscrit dans un triangle donné ; I Tracer une tangente à un cercle donné ;

I Tracer une corde dans un cercle donné ;

Chapitre 1

LES ANGLES ORIENTES

Activités préparatoires

Activité 1 Enoncé :

Dans un plan orienté, on considère un triangle quelconque ABC.

1. Ecrire les angles intérieurs de ce triangle dans le sens direct.

2. Démontrer que leur somme est égale à π [2 π ].

Solution

1. Ecrivons les angles intérieurs de ce triangle dans le sens direct Soit A=( b −→

AB, −→

AC) ; B=( b − − → BC, −→

BA) ; C=( b −→

CA, − − → CB) (Voir gure ci-dessus)

2. Démontrons que la somme de ces angles orientés est égale à π [2 π ]

4

Posons α =( −→

AB, −→

AC)+( − − → BC, −→

BA)+( −→

CA, − − → CB) [2 π ] or ( −→

AB, −→

AC)=( −→

BA, −→

CA) [2 π ] On peut écrire :

α=( − − → BC, −→

BA)+( −→

BA, −→

CA)+( −→

CA, − − → CB) [2 π ] D'après la relation de Chasles

α =( − − → BC, − − →

CB) [2 π ] α =(− − − →

CB, − − → CB) [2 π ] α = π + ( − − →

CB, − − → CB)

| {z }

0

[2 π ]

Donc α = π[2π]

Activité 2 Enoncé :

Soit ABC est un triangle rectangle en A et H le projeté orthogonal de A sur la droite (BC).

Démontrer que (CA, CB)=(AB, AH) [ π ].

Solution

Démontrons que : (CA, CB)=(AB, AH) [ π ]

La droite (CA) est perpendiculaire à la droite (AB) et la droite (CB) perpendiculaire à la droite (AH) par hypothèse, d'après la propriété des angles à cotés perpendiculaires on a :

(CA, CB)=(AB, AH ) [ π ] Deuxième méthode

Par hypothèse (CA, AB )=

[ π ] et (CB, AH)=

[ π ]

⇒ (CA, AB)=(CB, AH) [ π ]

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par permutation des moyens, d'où (CA, CB)=(AB, AH ) [ π ]

1.1 Angles orientés de demi-droites

1.1.1 Dénition

On appelle angle orienté de deux demi-droites, le couple formé par deux de demi-droite ([OA), [OB)) de même origine O, noté (OA, OB) \ .

1.1.2 Propriétés

Soient [OA), [OB), [OC) et [OD) quatre demi-droites de même origine O, on a : P

(OA, OB) = - (OB, OA) [2 π ]

P

(OA, OB) + (OB, OC) = (OA, OC) [2 π ] P

(OA, OA) = 0[2 π ]

P

(OA, OB) = (OC, OD) [2 π ] par permutation des moyens (OA, OC ) = (OB, OD) [2 π ]

1.2 Angles orientés des droites

1.2.1 Dénition

Soient (D

) et (D

) deux droites du plan de vecteur directeur respectif − → u et − → v .

On appelle angle orienté de deux droites (D

) et (D

) noté (D \

, D

) , l'angle de leur vecteur directeur − → u et − → v .

Teddy Fiacre MOBEMOUANA M 6 [email protected]

1.2.2 Propriétés

Pour toutes droites (D

) , (D

) et (D

) du plan orienté, P

. (D

, D

) + (D

, D

) = (D

, D

) [ π ]

P

. (D

, D

) = - (D

, D

) [ π ] P

. (D

, D

) = 0[π]

1.2.3 Angles égaux

Deux angles orientés (D \

, D

) et (D \

, D

) sont dits égaux, lorsqu'ils ont le même sens d'orien- tation et de même mesure.

On écrit : (D

, D

) = (D

, D

) [ π ]

1.3 Angles orientés de vecteurs

1.3.1 Dénition :

Soient − → u et − → v deux vecteurs non nuls du plan orienté.

On appelle angle orienté de vecteurs − → u et − → v , le couple ( − → u , − → v ) noté ( − → \ u , − → v ) . Notation :

Dans cette ressource, on notera ( − → \ u , − → v ) l'angle orienté et ( − → u , − → v ) sa mesure.

1.3.2 Mesures principale d'un angle orienté

On appelle mesure principale d'un angle orienté tout nombre réel appartenant à l'intervalle ]- π , π ]

1.3.3 Mesures d'un angle orienté

Soient − → u et − → v deux vecteurs non nuls du plan orienté.

Si α est une mesure en radians de l'angle orienté ( − → u , − → v ) alors tout réel β de la forme β = α +2k π (où k est un entier relatif) est une mesure en radians de l'angle orienté ( − → u , − → v ). On écrit ( − → u , − → v )= α +2k π avec k un entier relatif, ou ( − → u , − → v )= α [2 π ] .

Remarque :

Toutes les mesures de l'angle nul sont de la forme 2k π et celle de l'angle plat sont de la forme (2k+1) π où k est un entier relatif.

Exemples :

I 0, 2 π , -2 π , 4 π , -4 π ... sont des mesures de l'angle nul.

I π , - π , 3 π , -3 π , 5 π ,...sont des mesures de l'angle plat.

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1.3.4 Propriétés :

Soit − → u , − → v , − → w et − →

t quatre vecteurs non nuls, on a :

P

. ( − → u , − → u )=0[2 π ] (l'angle formé par deux vecteurs colinéaires de même sens ) P

. ( − → u , −→

−u )=( −→

−u , − → u )= π [2 π ] (angle formé par deux vecteurs opposés) P

. ( − → u , − →

−v )= π +( − → u , − → v )[2 π ] (Angles supplémentaires) P

. ( −→

−u , − → v )= π +( − → u , − → v )[2 π ]

P

. ( − → u , − → v )= -( − → v , − → u )[2 π ] (Angles opposés) P

. ( − → u , − → v )= ( −→

−u , − →

−v )[2 π ](Angles égaux)

P

. ( − → u , − → w )= ( − → u , − → v )+( − → v , − → w )[2 π ] (Relation de Chasles) P

. Si ( − → u , − → v )=( − → w , − →

t )[2 π ], alors par permutation des extrêmes et des moyens on a : ( − → u , − → w )=( − → v , − →

t )[2 π ] et ( − →

t , − → v )=( − → w , − → u )[2 π ]. Les vecteurs − → u et − →

t sont les extrêmes, et les vecteurs − → v et − → w sont les moyens.

Démonstration

Pour P

. ( − → u , −→

−u )=( −→

−u , − → u )= π [2 π ].

−

→ u et −→

−u sont deux vecteurs colinéaires de sens contraire, donc ils forment un angle plat.

Ainsi ( − → u , −→

−u )=( −→

−u , − → u )= π [2 π ].

Pour P

. ( − → u , − →

−v )=( −→

−u , − → v )= π +( − → u , − → v )[2 π ].

D'après la relation de Chasles , ( − → u , − →

−v )=( − → u , − → v )+( − → v , − →

−v )[2 π ] or ( − → v , − →

−v )= π [2 π ] d'après P

. D'où ( − → u , − →

−v )= π +( − → u , − → v )[2 π ] Pour P

. ( − → u , − → v )= -( − → v , − → u )[2 π ]

D'après la relation de Chasles, ( − → u , − → v )+( − → v , − → u )= ( − → u , − → u )[2 π ] or ( − → u , − → u )=0(2 π )

⇒ ( − → u , − → v )+( − → v , − → u )[2 π ]=0(2 π ). D'où ( − → u , − → v )= -( − → v , − → u )[2 π ] Pour P

. ( − → u , − → v )= ( −→

−u , − →

−v ) D'après la relation de Chasles, ( − → u , − → v )= ( − → u , −→

−u )+( −→

−u , − →

−v )+( − →

−v , − → v )[2 π ] = ( − → u , − → v )[2 π ]= π +( −→

−u , − →

−v )[2 π ]+ π =2 π +( −→

−u ,

− →

−v [2 π ])=( −→

−u , − →

−v )[2 π ]

car 2 π≡ 0[2 π ] d'où ( − → u , − → v )= ( −→

−u , − →

−v )[2 π ]

Théorème

Teddy Fiacre MOBEMOUANA M 8 [email protected]

Soit k et k' deux réels non nuls, − → u et − → v deux vecteurs non nuls.

a. Si k et k' sont de même signe, alors (k − → u ,k' − → v )= ( − → u , − → v )[2 π ] b. Si k et k' sont de signe contraire, alors (k − → u ,k' − → v )= π +( − → u , − → v )[2 π ]

Démonstration

a. Montrons que si k et k' sont de même signe, alors (k − → u , k' − → v )= ( − → u , − → v )[2 π ] D'après la relation Chasles, on a :

(k − → u , k' − → v )=(k − → u , − → u )+( − → u , − → v )+( − → v , k' − → v )[2 π ] Pour k > 0, k' > 0 :

Les vecteurs k − → u et − → u d'une part, et les vecteurs − → v et k' − → v d'autre part sont colinéaires de même sens, donc (k − → u , − → u )=0[2 π ] et ( − → v , k' − → v )=0[2 π ]

d'où (k − → u , k

− → v ) = ( − → u , − → v )[2π]

Pour k < 0, k' < 0 :

Les vecteurs k − → u et − → u d'une part, et les vecteurs − → v et k' − → v d'autre part sont colinéaires de sens contraires ou opposés, donc (k − → u , − → u )= π [2 π ] et ( − → v , k' − → v )= π [2 π ]

alors (k − → u , k' − → v )= π + π + ( − → u , − → v )[2 π ]

⇒ (k − → u , k' − → v )=2 π +( − → u , − → v )[2 π ] d'où (k − → u , k

− → v ) = ( − → u , − → v )[2π]

b. Montrons que Si k et k' sont de signe contraire, alors (k − → u , k' − → v )= π +( − → u , − → v )[2 π ] D'après la relation de Chasles

(k − → u , k' − → v )=(k − → u , k − → v )+(k − → v , k' − → v )[2 π ]

or d'après la propriété( P

) (k − → u , k − → v )=( − → u , − → v ) ; les vecteurs k − → v et k' − → v sont colinéaires et de sens contraires, alors (k − → v , k' − → v )= π [2 π ]

Donc (k − → u , k

− → v ) = π + ( − → u , − → v )[2π]

1.4 Angles particuliers

1.4.1 Propriétés

soient (D

) , (D

) et (D

) trois droites telles que :

(D

) parallèle à (D

) , et (D

) sécante à (D

) et à (D

) respectivement en A et B

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1.4.2 Angles alternes internes

Les angles (AC, AB) \ et (BD, BA) \ sont deux angles alternes internes, ils ont de mesure égale : (AC, AB) = (BD, BA) [ π ]

1.4.3 Angles alternes externes

Les angles (AE, AC \ ) et (BD, BG) \ sont deux angles alternes externes, ils ont de mesure égale : (AE, AC) = (BD, BG) [ π ]

Teddy Fiacre MOBEMOUANA M 10 [email protected]

1.4.4 Angles correspondants

Les angles (AC, AB) \ et (BF, BG) \ sont deux angles correspondants, ils ont de mesure égale : (AC, AB) = (BF, BG) [ π ]

1.4.5 Angles à cotés perpendiculaires

Soient (D

) , (D

) , (D

) et (D

) quatre droites du plan.

Si (D

) perpendiculaire à (D

) et (D

) perpendiculaire à (D

) alors les angles (D \

, D

) et

(D \

, D

) sont deux angles à cotés perpendiculaires, ils ont de mesure égale : (D

, D

) = (D

, D

) [ π ]

PRENUM-AC/Congo Angles Orientés

1.4.6 Angles à cotés parallèles

Soient (D

) , (D

) , (D

) et (D

) quatre droites du plan.

Si (D

) parallèle à (D

) et (D

) parallèle à (D

) telles que (D

) sécante à (D

) et à (D

) , (D

) sécante à (D

) à et (D

) alors les angles (D \

, D

) et (D \

, D

) sont deux angles à cotés perpendiculaires, ils ont de mesure égale :

(D

, D

) = (D

, D

) [ π ]

1.4.7 Angles au centre-angle inscrit

Angle inscrit : (M A, M B) \ ; Angle au centre : (OA, OB) \ ;

Teddy Fiacre MOBEMOUANA M 12 [email protected]

Théorème :

Soient M, A et B trois points distincts d'un cercle de centre O.

Un angle au centre est égal au double de son angle inscrit interceptant le même arc, c'est-à-dire : (OA, OB) = 2 (M A, M B) [ π ]

Démonstration :

D'après la relation de Chasles

(M A, M B) = (M A, M O) + (M O, M B) [ π ] (1)

En additionnant (1)+(1) membre à membre, on a :

2 ((M A, M B) = (M A, M O) + (M O, M B) + (M A, M O) + (M O, M B) [ π ] or les triangles AOM et BOM sont isocèles en O, on peut écrire : (M A, M O) = (AO, AM ) [ π ] et (M O, M B) = (BM, BO) [ π ] =(BM, OB) [ π ]

⇒ 2 (M A, M B) = (AO, AM ) + (M A, M O) + (M O, M B) + (M B, BO) [ π ]

⇒ 2 (M A, M B)=(OA, M A) + (M A, OB) [ π ]

⇒ 2 (M A, M B)=(OA, OB) [ π ]

d'où (OA, OB) = 2 (M A, M B) [ π ] ou (M A, M B) =

(OA, OB) [ π ]

1.4.8 Angles tangentes-cordes

Soient A, B et M trois points distincts d'un cercle de centre O, et (T) est tangente à ce

cercle en A, alors on a : (M A, M B) = (AT, AB) [ π ]

PRENUM-AC/Congo Angles Orientés

Théorème :

Soient A, B et M trois points distincts d'un cercle de centre O.

Si la droite (T) est tangente au cercle en A, alors on a : (M A, M B) = (AT, AB) [ π ]

Démonstration

Teddy Fiacre MOBEMOUANA M 14 [email protected]

Soit (Q) une droite passant par O et perpendiculaire à la corde AB.

La droite (OA) est perpendiculaire à la droite (AT), et la droite (OQ) perpendiculaire à la droite (AB)

D'après la propriété des angles à cotés perpendiculaires, on a : (OA, OQ) = (AT, AB) [ π ]

la droite (OQ) est la bissectrice de l'angle (OA, OB) \ alors (OA, OQ) =

(OA, OB) [ π ], on a :

1

2

(OA, OB) = (AT, AB) [ π ]

d'après le théorème sur l'angle inscrit angle au centre, on a : (M A, M B) =

(OA, OB) = (AT, AB) [ π ]

d'où (M A, M B) = (AT, AB) [ π ]

Exercices d'applications

Exercice 1 :

Soit ABC un triangle quelconque, et H sont orthocentre.

Démontrer que (AB, AC) + (HB, HC) =0[ π ] Exercice 2 :

Soit ABC un triangle de sommet M inscrit dans un cercle de centre O, ( ∆ ) et ( ∆ ') deux bis- sectrices respectives des angles (OA, OM \ ) et (OM, OB) \ .

Montrer que (OA, OM ) =2 (M A, M A) [ π ]

PRENUM-AC/Congo Angles Orientés

Exercice 3 :

Soient (C) et (C') deux cercles sécantes en A et B, et ( ∆ ) une droite passant par A coupe le cercle (C) en M et le cercle (C') en N. Les tangentes à (C) en M et à (C') en N se coupent en T.

Montrer que (M T, M B) = (N T, N B) [ π ]

Solutions des exercices d'applications

Exercice 1 : Démontrons que (AB, AC) + (HB, HC) =0[ π ]

Par hypothèse, la droite (AB) est perpendiculaire à la droite (HC ) d'une et la droite (AC) est perpendiculaire à la droite (HB) d'autre part. c'est-à-dire :







(AB) ⊥ (HC )

(AC) ⊥ (HB ) D'après la propriété des angles à côtés perpendiculaires On a :

(AB, AC) = (HC, HB) [ π ] (AB, AC) - (HC, HB) = 0 [ π ]

D'où (AB, AC) + (HB, HC) = 0 [ π ]

Exercice 2 : Démontrons que (OA, OM ) =2 (M A, M A) [ π ]

Teddy Fiacre MOBEMOUANA M 16 [email protected]

D'après la relation de Chasles, on peut écrire : (OA, OB) = (OA, OM ) + (OM, OB) [ π ]

Or (∆) et (∆

) sont les bissectrices respectives des angles (OA, OM \ ) et (OM, OB) \ on a :







(OA, OM) = 2(∆, OM )[π]

(OM, OB) = 2(OM, ∆

)[π]

⇒ (OA, OB) = 2(∆, OM ) + 2(OM, ∆

)[π]

⇒ (OA, OB) = 2(∆, ∆

)[π]

Or







(∆) ⊥ (M A) (∆

) ⊥ (M B)

⇒ (∆, ∆

) = (M A, M B)[π]

D'où (OA, OB) = 2(M A, M B)[π]