Sujet ENSEIGNEMENTOBLIGATOIRE Math´ematiques-S´erieS SessionMai2019 BACCALAUR´EATBLANC

Terminale S Bac blanc de math´ematiques 24 mai 2019

BACCALAUR´ EAT BLANC

Session Mai 2019

Lyc´ ee Alexandre Dumas, Saint-Cloud

Math´ematiques - S´erie S

ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

Sujet

Dur´ee de l’´epreuve : 4 heures

L’´enonc´e comporte 7 pages.

L’usage d’une calculatrice est autoris´e.

Le candidat est invit´e `a faire figurer sur la copie toute trace de recherche, mˆeme incompl`ete ou non fructueuse, qu’il aura d´evelopp´ee.

Il est rappel´e que la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.

Le candidat s’assurera que le sujet est complet, qu’il correspond bien `a sa s´erie et `a son choix d’enseignement (obligatoire ou sp´ecialit´e).

Chaque candidat devra indiquer le num´ero de sa classe et le nom de son enseignant sur la copie.

Le sujet ne sera pas rendu `a part l’annexe qui sera agraf´e sur la copie.

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Terminale S Bac blanc de math´ematiques 24 mai 2019

Exercice 1 :

. . . (6 points) Partie A

On consid`ere la suite (un) d´efinie pour tout entier naturel npar : un=

Z n 0

e^−x2 dx.

On ne cherchera pas `a calculerun en fonction den.

1. (a) Montrer que la suite (un) est croissante.

(b) D´emontrer que pour tout r´eel x>0, on a : −x²6−2x+ 1, puis : e^−x2 6e^−2x+1.

En d´eduire que pour tout entier natureln, on a :u_n< e 2.

(c) D´emontrer que la suite (un) est convergente. On ne cherchera pas `a calculer sa limite.

2. Dans cette question, on se propose d’obtenir une valeur approch´ee de u₂. Dans le rep`ere orthonorm´e

O ; −→

ı , −→



ci-dessous, on a trac´e la courbe C_f repr´esentative de la fonctionf d´efinie sur l’intervalle [0 ; 2] parf(x) = e^−x2, et le rectangle OABC o`u A(2 ; 0), B(2 ; 1) et C(0 ; 1).

On a hachur´e le domaine D compris entre la courbe C_f, l’axe des abscisses, l’axe des ordonn´ees et la droite d’´equation x= 2.

A.P.M.E.P.

! Baccalauréat S Métropole - La Réunion "

12 septembre 2017

La page 7 est une annexe au sujet, à rendre avec la copie.

EXERCICE1 6 points

Commun à tous les candidats Partie A

On considère la suite (un) définie pour tout entier naturelnpar : un=

!_n

0 e^−x2dx.

On ne cherchera pas à calculerunen fonction den. 1. a. Montrer que la suite (un) est croissante.

b. Démontrer que pour tout réelx!^{0, on a :}−x²"−2x+1, puis : e^−x2"^e−2x+1.

En déduire que pour tout entier natureln, on a :un<e 2.

c. Démontrer que la suite (un) est convergente. On ne cherchera pas à cal- culer sa limite.

2. Dans cette question, on se propose d’obtenir une valeur approchée deu2. Dans le repère orthonormé"

O ;−→ı ,→− ȷ#

ci-dessous, on a tracé la courbeCf

représentative de la fonction f définie sur l’intervalle [0; 2] parf(x)=e^−x2, et le rectangle OABC où A(2; 0), B(2; 1) et C(0; 1).

On a hachuré le domaineDcompris entre la courbeC_f, l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équationx=2.

0 1

0 1 2

C

O C

A B

On considère l’expérience aléatoire consistant à choisir un pointMau hasard à l’intérieur du rectangle OABC.

On admet que la probabilitép que ce point appartienne au domaine est : p= aire deD

aire de OABC. a. Justifier queu2=2p.

b. On considère l’algorithme suivant :

On consid`ere l’exp´erience al´eatoire consistant `a choisir un point M au hasard `a l’int´erieur du rectangle OABC.

On admet que la probabilit´ep que ce point appartienne au domaine est : p= aire de D aire de OABC. (a) Justifier que u2 = 2p.

(b) On consid`ere l’algorithme suivant o`u la variablen est entr´ee par l’utilisateur.

L1 c←0

L2 Pour kvariant de 1 `a n

L3 x← Nombre al´eatoire entre 0 et 2 L4 y← Nombre al´eatoire entre 0 et 1 L5 Siy6e^−x2

L6 c←c+ 1

L7 Fin si

L8 Fin pour L9 Afficher c L10 f ←c/n L11 Afficher f

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Terminale S Bac blanc de math´ematiques 24 mai 2019 i. Que permet de tester la condition de la ligne L5 concernant la position du pointM(x; y) ? ii. Interpr´eter la valeur f affich´ee par cet algorithme.

iii. Que peut-on conjecturer sur la valeur def lorsquen devient tr`es grand ? (c) En faisant fonctionner cet algorithme pour N = 10⁶, on obtientC = 441 138.

On admet dans ce cas que la valeurF affich´ee par l’algorithme est une valeur approch´ee de la probabilit´e p `a 10<sup>−3</sup> pr`es.

En d´eduire une valeur approch´ee de u2 `a 10<sup>−2</sup> pr`es.

Partie B

Une entreprise sp´ecialis´ee est charg´ee par l’office de tourisme d’une station de ski de la conception d’un panneau publicitaire ayant la forme d’une piste de ski.

Afin de donner des informations sur la station, une zone rectangulaire est ins´er´ee sur le panneau comme indiqu´e sur la figure ci-dessous.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

L1 Variables:N,Cnombres entiers ;X,Y,Fnombres réels L2 Entrée: SaisirN

L3 Initialisation:Cprend la valeur 0 L4 Traitement:

L5 Pourkvariant de 1 àN

L6 Xprend la valeur d’un nombre aléatoire entre 0 et 2 L7 Y prend la valeur d’un nombre aléatoire entre 0 et 1 L8 SiY !^e−X2alors

L9 Cprend la valeurC+1 L10 Fin si

L11 Fin pour L12 AfficherC

L13 Fprend la valeurC/N L14 AfficherF

i. Que permet de tester la condition de la ligne L8 concernant la position du pointM(X;Y) ?

ii. Interpréter la valeurFaffichée par cet algorithme.

iii. Que peut-on conjecturer sur la valeur deF lorsque N devient très grand ?

c. En faisant fonctionner cet algorithme pourN=10⁶, on obtientC=441138.

On admet dans ce cas que la valeurF affichée par l’algorithme est une valeur approchée de la probabilitépà 10⁻³près.

En déduire une valeur approchée deu2à 10⁻²près.

Partie B

Une entreprise spécialisée est chargée par l’office de tourisme d’une station de ski de la conception d’un panneau publicitaire ayant la forme d’une piste de ski.

Afin de donner des informations sur la station, une zone rectangulaire est insérée sur le panneau comme indiqué sur la figure ci-dessous.

Votre station préférée 100 jours d’enneigement et 300 jours de soleil par an !

Le panneau, modélisé par le domaineDdéfini dans la partie A, est découpé dans une plaque rectangulaire de 2 mètres sur 1 mètre. Il est représenté ci-dessous dans un repère orthonormé!

O,−→ı ,−→ ȷ"

; l’unité choisie est le mètre.

Métropole - La Réunion 2 12 septembre 2017

Le panneau, mod´elis´e par le domaineDd´efini dans la partie A, est d´ecoup´e dans une plaque rectangulaire de 2 m`etres sur 1 m`etre. Il est repr´esent´e ci-dessous dans un rep`ere orthonorm´e

O ; −→ ı , −→



; l’unit´e choisie est le m`etre.

Pour x nombre r´eel appartenant `a l’intervalle [0 ; 2], on note :

• M le point de la courbeC_f de coordonn´ees

x ; e^−x2

,

• N le point de coordonn´ees (x ; 0),

• P le point de coordonn´ees

0 ; e^−x2 ,

• A(x) l’aire du rectangle ON M P.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Pour xnombre réel appartenant à l’in- tervalle [0; 2], on note :

• Mle point de la courbeCf de coor- données!

x; e^−x2"

,

• Nle point de coordonnées (x; 0),

• P le point de coordonnées!

0 ; e^−x2"

,

• A(x) l’aire du rectangle ON MP. ⁰

1

0 1 2

O N

P M

1. Justifier que pour tout nombre réelxde l’intervalle [0; 2], on a :A(x)=xe^−x2. 2. Déterminer la position du pointMsur la courbeCf pour laquelle l’aire du

rectangle ON MPest maximale.

3. Le rectangle ON MPd’aire maximale obtenu à la question 2. doit être peint en bleu, et le reste du panneau en blanc. Déterminer, en m²et à 10⁻²près, la mesure de la surface à peindre en bleu et celle de la surface à peindre en blanc.

Exercice 2 4 points

Commun à tous les candidats

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé!

O,−→u,→−v"

. À tout pointM d’affixez, on associe le pointM^′d’affixe

z^′= −z²+2z. Le pointM^′est appelé image du pointM.

1. Résoudre dans l’ensembleCdes nombres complexes l’équation :

−z²+2z−2=0.

En déduire les affixes des points dont l’image est le point d’affixe 2.

2. SoitMun point d’affixezetM^′son image d’affixez^′. On noteNle point d’affixezN=z².

Montrer queMest le milieu du segment [N M^′].

3. Dans cette question, on suppose que le pointMayant pour affixez, appar- tient au cercleC de centre O et de rayon 1. On noteθun argument dez.

a. Déterminer le module de chacun des nombres complexeszetzN, ainsi qu’un argument dezNen fonction deθ.

b. Sur la figure donnée en annexe page 7, on a représenté un pointMsur le cercleC.

Construire sur cette figure les pointsNetM^′en utilisant une règle et un compas (on laissera les traits de construction apparents).

c. Soit A le point d’affixe 1. Quelle est la nature du triangle AM M^′? La page 7 contenant l’annexe est à rendre avec la copie

Exercice 3 5 points

Commun à tous les candidats

Tous les résultats demandés seront arrondis au millième

1. Une étude effectuée sur une population d’hommes âgés de 35 à 40 ans a montré que le taux de cholestérol total dans le sang, exprimé en grammes par litre, peut être modélisé par une variable aléatoireTqui suit une loi nor- male d’espéranceµ=1,84 et d’écart typeσ=0,4.

1. Justifier que pour tout nombre r´eel x de l’intervalle [0 ; 2], on a :A(x) =xe^−x2.

2. D´eterminer la position du point M sur la courbe C_f pour laquelle l’aire du rectangle ON M P est maximale.

3. Le rectangle ON M P d’aire maximale obtenu `a la question 2. doit ˆetre peint en bleu, et le reste du panneau en blanc. D´eterminer, en m<sup>2</sup> et `a 10⁻² pr`es, la mesure de la surface `a peindre en bleu et celle de la surface `a peindre en blanc.

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Terminale S Bac blanc de math´ematiques 24 mai 2019

Exercice 2 :

. . . (4 points) Le plan complexe est rapport´e `a un rep`ere orthonorm´e

O ; −→

u , −→ v

. `A tout point M d’affixe z, on associe le pointM⁰ d’affixe

z⁰ =−z²+ 2z.

Le pointM⁰ est appel´e image du pointM.

1. R´esoudre dans l’ensembleCdes nombres complexes l’´equation : −z²+ 2z−2 = 0.

En d´eduire les affixes des points dont l’image est le point d’affixe 2.

2. SoitM un point d’affixe zetM⁰ son image d’affixez⁰. On noteN le point d’affixez_N =z².

Montrer queM est le milieu du segment [N M⁰].

3. Dans cette question, on suppose que le pointM ayant pour affixez, appartient au cercleCde centre O et de rayon 1. On note θun argument de z.

(a) D´eterminer le module de chacun des nombres complexes z etzN, ainsi qu’un argument de zN

en fonction de θ.

(b) Sur la figure donn´ee en annexe page 7, on a repr´esent´e un pointM sur le cercleC.

Construire sur cette figure les points N etM⁰ en utilisant une r`egle et un compas (on laissera les traits de construction apparents).

(c) Soit A le point d’affixe 1. Quelle est la nature du triangle AM M⁰? La page 7 contenant l’annexe est `a rendre avec la copie

Exercice 3 :

. . . (3 points) Tous les r´esultats demand´es seront arrondis au milli`eme

1. Une ´etude effectu´ee sur une population d’hommes ˆag´es de 35 `a 40 ans a montr´e que le taux de cholest´erol total dans le sang, exprim´e en grammes par litre, peut ˆetre mod´elis´e par une variable al´eatoire T qui suit une loi normale d’esp´erance µ= 1,84 et d’´ecart typeσ = 0,4.

(a) D´eterminer selon cette mod´elisation la probabilit´e qu’un sujet tir´e au hasard dans cette popu- lation ait un taux de cholest´erol compris entre 1,04g /L et 2,64 g/L.

(b) D´eterminer selon cette mod´elisation la probabilit´e qu’un sujet tir´e au hasard dans cette popu- lation ait un taux de cholest´erol sup´erieur `a 1,2 g/L.

2. Afin de tester l’efficacit´e d’un m´edicament contre le cholest´erol, des patients n´ecessitant d’ˆetre trait´es ont accept´e de participer `a un essai clinique organis´e par un laboratoire.

Dans cet essai, 60 % des patients ont pris le m´edicament pendant un mois, les autres ayant pris un placebo (comprim´e neutre).

On ´etudie la baisse du taux de cholest´erol apr`es l’exp´erimentation.

On constate une baisse de ce taux chez 80 % des patients ayant pris le m´edicament.

On ne constate aucune baisse pour 90 % des personnes ayant pris le placebo.

On choisit au hasard un patient ayant particip´e `a l’exp´erimentation et on note :

• M l’´ev`enementle patient a pris le m´edicament;

• B l’´ev`enementle taux de cholest´erol a baiss´e chez le patient. (a) Traduire les donn´ees de l’´enonc´e `a l’aide d’un arbre pond´er´e.

(b) Calculer la probabilit´e de l’´ev`enementB.

(c) Calculer la probabilit´e qu’un patient ait pris le m´edicament sachant que son taux de cholest´erol a baiss´e.

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Terminale S Bac blanc de math´ematiques 24 mai 2019 3. Le laboratoire qui produit ce m´edicament annonce que 30 % des patients qui l’utilisent pr´esentent

des effets secondaires.

Afin de tester cette hypoth`ese, un cardiologue s´electionne de mani`ere al´eatoire 100 patients trait´es avec ce m´edicament.

(a) D´eterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de patients suivant ce traitement et pr´esentant des effets secondaires.

(b) L’´etude r´ealis´ee aupr`es des 100 patients a d´enombr´e 37 personnes pr´esentant des effets secon- daires.

Que peut-on en conclure ?

(c) Pour estimer la proportion d’utilisateurs de ce m´edicament pr´esentant des effets secondaires, un organisme ind´ependant r´ealise une ´etude bas´ee sur un intervalle de confiance au niveau de confiance 95 %.

Cette ´etude aboutit `a une fr´equence observ´ee de 37 % de patients pr´esentant des effets secon- daires, et `a un intervalle de confiance qui ne contient pas la fr´equence 30 %.

Quel est l’effectif minimal de l’´echantillon de cette ´etude ?

Exercice 4 :

. . . (5 points)

Dans l’espace, on consid`ere le cube ABCDEFGH repr´esent´e ci-contre.

On note I et J les milieux respectifs des segments [EH] et [FB].

On munit l’espace du rep`ere orthonorm´e

A ; −−→

AB,−−→

AD,−−→

AE

.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Exercice 4 5 points

Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Dans l’espace, on considère le cube ABCDEFGH représenté ci-contre.

On note I et J les milieux respectifs des segments [EH] et [FB].

On munit l’espace du repère ortho- normé!

A ;−−→AB ,−−→AD ,−→AE"

.

A B

C D

E F

H G I

J

1. Donner les coordonnées des points I et J.

2. a. Montrer que le vecteur−→n

⎛

⎝ 1

−2 2

⎞

⎠est un vecteur normal au plan (BGI).

b. En déduire une équation cartésienne du plan (BGI).

c. On note K le milieu du segment [HJ]. Le point K appartient-il au plan (BGI) ?

3. Le but de cette question est de calculer l’aire du triangle BGI.

a. En utilisant par exemple le triangle FIG pour base, démontrer que le vo- lume du tétraèdre FBIG est égal à1

6.

On rappelle que le volume V d’un tétraèdre est donné par la formule V=1

3B×h où B désigne l’aire d’une base et h la hauteur correspondante.

b. Déterminer une représentation paramétrique de la droite∆passant par F et orthogonale au plan (BGI).

c. La droite∆coupe le plan (BGI) en F^′. Montrer que le point F^′a pour coor- données'₇

9; ⁴₉; ⁵₉( .

d. Calculer la longueur FF^′. En déduire l’aire du triangle BGI.

Exercice 4 5 points

Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité Partie A

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé!

O,→−ı ,−→ ȷ ,→−

k"

, on considère les points A(1 ; 5 ;−2), B(7 ;−1 ; 3) et C(−2 ; 7 ;−2) et on noteP le plan (ABC).

On cherche une équation cartésienne du planP sous la forme :ax+by+cz=73, oùa,betcsont des nombres réels.

On noteXetY les matrices colonnes :X=

⎛

⎝a b c

⎞

⎠etY=

⎛

⎝1 1 1

⎞

⎠.

1. Montrer queXvérifie la relation :M X=73Y, oùMest la matrice M=

⎛

⎝1 5 −2

7 −1 3

−2 7 −2

⎞

⎠.

Métropole - La Réunion 5 12 septembre 2017

1. Donner les coordonn´ees des points I et J.

2. (a) Montrer que le vecteur−→ n



 1

−2 2



 est un vecteur normal au plan (BGI).

(b) En d´eduire une ´equation cart´esienne du plan (BGI).

(c) On note K le milieu du segment [Hl]. Le point K appartient-il au plan (BGI) ? 3. Le but de cette question est de calculer l’aire du triangle BGI.

(a) En utilisant par exemple le triangle FIG pour base, d´emontrer que le volume du t´etra`edre FBIG est ´egal `a 1

6.

On rappelle que le volume V d’un t´etra`edre est donn´e par la formule V = 1

3B×h o`uB d´esigne l’aire d’une base et h la hauteur correspondante.

(b) D´eterminer une repr´esentation param´etrique de la droite ∆ passant par F et orthogonale au plan (BGI).

(c) La droite ∆ coupe le plan (BGI) en F⁰. Montrer que le point F⁰ a pour coordonn´ees ⁷₉ ; ⁴₉ ; ⁵₉ . (d) Calculer la longueur FF⁰. En d´eduire l’aire du triangle BGI.

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ANNEXE ` A RENDRE AVEC LA COPIE

Exercice 2

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE

Exercice 2

−1 1

−1 O 1A

C

M

Métropole - La Réunion 7 12 septembre 2017

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