Leçon 3
Droites et plans dans l’espace
Le plan est rapporté à un repère(O,−→ı ,−→ ,−→ k).
1 droites et plans de base
x=0
z=0 y=0
O
x
y z
Le plan de base(xOy)a pour équationz= 0.
Le plan vertical(yOz)a pour équationx= 0.
Le plan vertical(xOz)a pour équationy= 0.
L’axe(Ox)est caractérisé par
(y = 0 z= 0 L’axe(Oy)est caractérisé par
(x= 0 z= 0 L’axe(Oz)est caractérisé par
(x= 0 y= 0
2 rappels
2.1 vecteurs colinéaires
définition. Deux vecteurs −→u et −→v sont colinéaires si et seulement si il existe un réel ktel que −→u = k−→v ou
−
→v =k−→u
remarque . Avec cette définition le vecteur nul−→0 est colinéaire avec tous les vecteurs.
2.2 alignement
rappel . Les trois points A,B et C sont alignés si et seulement les vecteurs−−→ABet−→ACsont colinéaires.
2.3 coordonnées
rappel . Le vecteur−−→ABa pour coordonnéesxB−xA
yB−yA
zB−zA
rappel . Deux vecteurs de l’espace sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.
3 principes d’élimination
Principe : Dans un système comportant des lignes(Li), on peut remplacer une ligne(Lk)parα(Lk) +β(Lj) avecα6= 0etj6=k.
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4. REPRÉSENTATION PARAMÉTRIQUE D’UNE DROITE LEÇON 3. DROITES ET PLANS DANS L’ESPACE
En général
1. on garde la ligne(L1)et on élimine une inconnue ou un paramètre dans les lignes suivantes en remplaçant chaque ligne(Lk) (k6= 1)parα(L1) +β(Lk)avecβ 6= 0
2. on garde maintenant la ligne(L2)et on élimine une nouvelle inconnue ou un nouveau paramètre entre (L2)et les lignes suivantes.
4 représentation paramétrique d’une droite
4.1 représentation paramétrique
Théorème 3.1. SoitDune droite de l’espace contenant le pointA(xA, yA, zA)et dirigée par le vecteur−→ua
bc
; à
tout pointM(x, y, z)deDcorrespont un réélttel que
x=xA+t×a y=yA+t×b z=zA+t×c Le système est appelé représentation paramétrique de la droiteD Démonstration.
M ∈D⇔−−→AMet−→u sont colineaires
⇔ il existetréel tel que−−→AM =t−→u
⇔ il existetréel tel que x−xA
y−yA
z−zA
=ta
bc
remarque . Pourunedroite, il existe une infinité de représentations paramétriques puisqu’on peut choisir n’im- porte quel point et n’importe quel vecteur directeur.
remarque . Quand on travaille avec plusieurs droites, il est important de prendre un paramètre différent pour chaque représentation paramétrique.
5 position relative de deux droites
5.1 parallélisme
Pour mettre en évidence le parallélisme de deux droites, il suffit de montrer qu’un vecteur directeur de la première et qu’un vecteur directeur de la seconde sont colinéaires, c’est à dire que leur coordonnées sont proportionnelles.
5.2 intersection
Pour déterminer l’intersection de deux droites, il suffit de résoudre le système de trois équations dont les inconnues sont les deux paramètres des deux droites.
rappel . Deux droites sont sécantes si et seulement si leur intersection est un singleton.
5.3 droites coplanaires
rappel . Deux droites sont coplanaires si et seulement si elle sont parallèles ou sécantes.
Pour montrer que deux droites ne sont pas coplanaires, il suffit de montrer qu’elles ne sont ni parallèles ni sécantes.
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6. PLANS DANS L’ESPACE LEÇON 3. DROITES ET PLANS DANS L’ESPACE
6 plans dans l’espace
6.1 existence
rappel . Pour que le plan(ABC)existe, il faut et suffit que les trois points ne soient pas alignés c’est à dire que les vecteurs−−→ABet−→ACne soient pas colinéaires.
6.2 vecteurs coplanaires
définition. trois vecteurs−→u,−→v et−→w sont coplanaires si et seulement il existe deux réelsαetβ tels que
−
→w =α−→u +β−→v
(ou dans un autre ordre)
6.3 représentation paramérique
Un pointM(x, y, z)appartient au plan(ABC)si et seulement si il existe deux réelsαetβtels que
−−→AM=α−−→AB+β−→AC
on exprime que les vecteurs−−→AM,−−→ABetvcAC sont coplanaires ce qui conduit à la représentation paramé- trique suivante
x=xA+αu1+βv1
y=yA+αu2+βv2
z=zA+αu3+βv3
avec−−→
AB=u1
u2
u3
et−→
AC=v1
v2
v3
6.4 équation cartésienne
En éliminantαetβdans le système paramétrique, on obtient une relation de la forme ax+by+cz+d= 0 avec (a, b, c)6= (0,0,0)
On verra une autre méthode avec le produit scalaire.
7 positions relatives
7.1 intersection de deux plans non parallèles
rappel . L’intersection de deux plans non parallèles est une droite. On peut obtenir une équation paramétrique de celle ci en choisissant arbitrairement une inconnue comme paramètre.
7.2 parallélisme droite plan
SiDa pour vecteur directeurw, si~ P est dirigé par deux vecteurs~uet~vnon colinéaires, on a DkP⇔~u,−→v et−→w coplanaires
7.3 intersection d’une droite et d’un plan
rappel . Si la droiteDet le planP ne sont pas parallèles , leur intersection est un singleton.
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