Je tiens d'abord a remerier les ollegues de l'UMPA. Je suis arrive ii
en 1995, voila maintenant quatre ans. J'y aietetres bien aueilli. Je ne peux
remerier haun individuellement ; il me faudrait remerier eux qui ont gen-
tillement repondu a mes questions, eux qui ont patiemment eoute mes idees
mathematiques, euxqui s'oupentave eÆaite des problemesadministratifs
et informatiques...
Jevoudraisaussiremeriermonex-direteurdethesequim'adonneunbref
et dernieronseil "Tudevrais regarderlaL 2
-ohomologie!"m'adit S. Galloten
juin 1993.J'esperequ'ilpeut^etresatisfait desonair.
N.Berline,J.Dodziuk,J.Lottontaeptederapportersurmestravauxet
ontaompli etravailarduavediligeneetsoin.Jetiensalesremerier.
Je remerie aussi J.P. Bourguignon, T. Fak et J.P. Otal d'avoiraepte
immediatementdefairepartiedemonjury. J'ensuis treshonnore.
Je remerie aussi T. Coulhon d'avoir suivi mes premiers pas dans la
reherheaveinter^et etattention.
Pournir,jevoudraisquel'onsesouviennedeHubertPese.Jenevaispas
le remerier denous avoirquittemais son amabilite,son esprit aueillant nous
manquent.Jeluidedieememoire.
0.Introdution:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::p.3
1.LesformesharmoniquesL 2
surlesvarietesriemanniennesnon-ompates :p.4
1.a.LaohomologiededeRham::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::p.4
1.b.LaL 2
-ohomologiereduite:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::p.5
1.. L 2
-ohomologieet geometrieal'inni:::::::::::::::::::::::::::::::::::p.7
2.Desexemples :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::p.9
2.a.Leasdesformesendegre0et n:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::p.9
2.b.Casdesvarietesproduits::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::p.10
2..Leasdesvarietesderevolution:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::p.11
2.d.Leasdeladimensionmoitie:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::p.12
2.e. L 2
-ohomologieet ohomologiededeRham::::::::::::::::::::::::::::p.14
3.InegalitesdeSobolevsurlesvarietesriemanniennes non-ompates::::::p.15
3.a.Qu'est equ'uneinegalitedeSobolev::::::::::::::::::::::::::::::::::p.15
3.b.InegalitesdeHardy:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::p.16
3.. InegalitesdeSobolevdetypeeulidienne::::::::::::::::::::::::::::::p.17
3.d.CommentreollerdesinegalitesdeSobolev::::::::::::::::::::::::::::p.18
3.e. UneinegalitedeSobolev-Orliz::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::p.20
4.L 2
-ohomologieet inegalitesdeSobolev:::::::::::::::::::::::::::::::::p.21
4.a.LaformuledeBohner-Weitzenbok:::::::::::::::::::::::::::::::::::p.21
4.b.Un resultatdenitude::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::p.22
4.. TopologieetformesharmoniquesL 2
:::::::::::::::::::::::::::::::::::p.24
4.d.FormulesdeGauss-Bonnet :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::p.26
4.e.Caluld'espaesdeL 2
-ohomologie:::::::::::::::::::::::::::::::::::p.28
5.LesoperateursdetypeDiranon-paraboliquesal'inni :::::::::::::::::p.28
5.a.LesoperateursdetypeDira::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::p.28
5.b.Casdesvarietesompates::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::p.30
5.. IndiedesoperateursdetypeDirasurunevarieteompate::::::::::p.31
5.d.LesoperateursdetypeDiraFredholmsurleursdomaines:::::::::::::p.32
5.e. Lanotiondenon-paraboliite:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::p.33
5.f. Exemples:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::p.34
5.g.Varietesaboutylindriqueetindieetendu::::::::::::::::::::::::::p. 35
6.IndiedesoperateursdetypeDiranon-paraboliqueal'inni :::::::::::p.37
6.a.L'operateurdeDira-Neuman:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::p.37
6.b.Formulesdel'indie:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::p.38
7.AppliationsalaL 2
-ohomologie:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::p.42
7.a.Proprietes::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::p.42
7.b.Consequenessurlatopologie:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::p.42
7.. Appliations::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::p.43
8.Bibliographie:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::p.44
Notre but est d'etudier ertains liens entre la ohomologie L 2
(reduite),
la topologie et la geometrie des varietes riemanniennes non-ompates. Rap-
pelons que si (M n
;g) est une variete riemannienne omplete son k-ieme es-
pae de L 2
-ohomologie (reduite) peut ^etre deni omme l'espae, H k
(M), des
k-formes dierentielles L 2
qui sont fermees et ofermees i.e. H k
(M) = f 2
L 2
( k
T
M);d=0; Æ=0g.LorsquelavarieteM estompate(sansbord),le
theoremedeHodge-de Rhamditquees espaessontdedimensionnie etqu'ils
sontisomorphesauxespaesdeohomologiereelledeM ;etnousavonslaformule
deGauss-Bonnet:
(M)= Z
M =
n
X
k =0 ( 1)
k
dimH k
(M);
ouestn formed'Euler;parexempleendimension2,nousavons=KdA=2
K etant la ourbure de Gauss de (M;g) et dA la forme d'aire. Conernant les
varietes riemanniennes non-ompates, on se pose naturellement les questions
suivantes:
i) Quandpeut-onaÆrmerqueesespaesdeformesharmoniquesL 2
sontde
dimensionnie ?
ii) Danseas,quelsliensontesespaesavelatopologieetlageometriede
lavariete?
iii) Sielaestbiendeniommentpeut-onomparerlaarateristiqued'Euler
L 2
deniepar
L 2(M)=
n
X
k =0 ( 1)
k
dimH k
(M)
etl'integraledelan formed'Euler?Autrementdit,queltypedeformule
deGauss-Bonnetpeut-onesperer?
Un resultatde J. Lott nous ameneapreiserunpeu es questions.Dans [L℄, J.
Lottmontre quelareponsealapremierequestionnedependquedelageometrie
al'inni;i.e.sideuxvarietesriemanniennessontisometriqueshorsd'unompat
alorssi lesespaesde L 2
-ohomologiereduitesontdedimensionniepourl'une,
ilslesontaussipourl'autre.OnpeutalorsraÆneresquestionsenleprogramme
dereherhesuivant:
i) Quelles sont les geometries a l'inni qui imposent aux espaes de formes
harmoniquesL 2
d'^etrededimensionnie ?
Puisunfoisxeeunetellegeometrie:
ii) Quelssontlesliens entre latopologieet les espaesdeL 2
-ohomologie,et
queltypedeformuledeGauss-Bonnetpeut-onesperer?
Danslapremierepartiedeememoire,onderiralaL 2
-ohomologiereduiteeton
detailleraunpeuesquestions.Ensuite,dansunedeuxiemepartie,ondonnerades
exemplesouonsaitrepondreaesquestionsoubienoujepensequ'unereponseest
possible. Puisdans une troisieme partie, on abordera un outil d'analyse globale
es questionspourdesvarietesqui verientune inegalitedeSobolev et dontune
integrale de ourbure est nie. Par exemple, ei reouvre des resultats de N.
Borisov,W.Muller,R.ShraderetJ.Bruning([B-M-S℄,[B℄)aproposdesvarietes
(presque) eulidienne a l'inni, i.e des varietes riemanniennes dont la geometrie
hors d'un ompatest (prohe)elle de l'espae eulidien : dans [B-M-S℄et [B℄,
les auteurs obtiennent des formules de Gauss-Bonnet ; pour es varietes, notre
approhenous permettradepluslealuldesespaesdeformesharmoniquesL 2
enfontionsdelatopologie.
Puis,nousavonsherheageneraliseresresultats,pourelaonintroduira
danslainquiemepartieuneonditionanalytiquequiimpliquequelesespaesde
L 2
-ohomologiereduitesontde dimensionnie. Cette onditionest parexemple
veriee parlesvarietesriemanniennesplates al'inni,lesvarietesriemanniennes
a bouts ylindriques, abouts usps. Cette onditionsera denie et derite dans
un ontexteplus general: elui des operateursde typeDira. Dans une sixieme
partie, on donnera les outils d'analyse qui menent a une formule de l'indie
pour les operateurs qui verient ette ondition ; i.e on obtiendra une formule
de Gauss-Bonnet pour les varietes riemanniennes satisfaisant ette ondition
analytique. Enn, dans une septieme partie, on s'appliquera a trouver des liens
entrelatopologieetlesformesharmoniquesL 2
pourlesvarietesquiverientette
ondition.Ceinouspermettraparexempledetraiterpresqueentierementleas
desvarietesdontlaourbureestnulleal'inni.
1.Les formesharmoniques L 2
sur les varietes riemanniennesnon-ompates :
Jevoudraisdansettepartiederireunequestionquiamotivemestravaux
surlesformesharmoniquesL 2
;pourela,jevaisd'abordrappelerbrievementles
resultatsdedeRhametdeHodge-deRham,ensuitejedonneraiquelquesexemples
de varietesnon-ompatesou onsait aluler lesespaesdeformes harmoniques
L 2
.
1.a.LaohomologiededeRham.| SoitM n
unevarietedierentiable
dedimensionn,l'operateurdedierentiationexterieureagitde
d : C 1
( k
T
M) !C 1
( k +1
T
M)
et veriedÆd=0,ainsiondenit
i) Z k
(M)=Kerfd: C 1
( k
T
M) !C 1
( k +1
T
M)g
ii) B k
(M)=dC 1
( k 1
T
M).
AlorsonaB k
Z k
,lek iemegroupedeohomologie(dedeRham)estlequotient
deesdeuxespaes
H k
dR (M)=
Z k
(M)
B k
(M) :
Enfaitesespaes,quisontaprioridesinvariantsdierentiables,sontenfaitdes
invariantsd'homotopie,pluspreisementonaleresultatdedeRham
1.1. eme.| Les espaesde ohomologiededeRham sontisomor-
phesauxgroupesdeohomologiereelsdeM ,i.e.H k
dR
(M)'H k
(M;R).
Remarque.| OnpeutdenirlaohomologiededeRham asupportom-
pat:apartirde
d : C 1
0 (
k
T
M) !C 1
0 (
k +1
T
M);
ondenit
H k
(M)=
f2C 1
0 (
k
T
M); d=0g
dC 1
0 (
k 1
T
M) :
Etlorsquelavarieteestl'interieurd'unevarieteompateabord,esespaessont
isomorphesauxespaesdeohomologierelativereel:H k
(M)'H k
(M;M;R).
1.b.La L 2
-ohomologie reduite.|
1.b.1. denition . | Soit maintenant (M n
;g) une variete riemannienne.
La L 2
-ohomologie reduite est denie a partir de l'ation (non-bornee) de la
dierentiationexterieuredsurl'espaedeHilbertL 2
( k
T
M).Onintroduit
i) Z k
2
(M),quiestlenoyaudel'operateurdagissant,defaonnon-bornee,sur
L 2
( k
T
M),oudefaonequivalente
Z k
2
(M)=f2L 2
( k
T
M); d=0g;
ouonentendquedestunedistribution(ouunourant).Pluspreisement,
lastrutureHilbertienne induiteparlametriquenouspermetde denirÆ,
l'operateurdierentieladjointad,parlaformule
hd;i
L 2
=h;Æi
L 2
;82C 1
0 (
k
T
M); 2C 1
0 (
k +1
T
M):
Alors l'egalite au sens des ourants d = 0, signie que pour tout 2
C 1
0 (
k +1
T
M),ona
h;Æi=0:
C'estadirequeZ k
2
(M)= ÆC 1
0 (
k +1
T
M)
?
,equi montreque'estun
sous-espaefermedeL 2
.
ii) B k
2
(M),quiestl'adherenedansL 2
( k
T
M)ded
C 1
b (
k 1
T
M)
;ouon
anoteC 1
b (
k 1
T
M)l'espaedesk-formesdierentielles lissesasupport
borne;parexemplesiM estunevarieteabordompatealorsleselements
deC 1
b (
k 1
T
M)ontunsupport quipeutrenontrerlebord.
OnaB k
2
(M)Z k
2
(M)etlek ieme
espaedeL 2
-ohomologiereduiteestlequotient
H k
2
(M)=Z k
2 (M)=B
k
2
(M).C'estdonunespaedeHilbert.
1.b.2. Quelques proprietes. | Ilest lair que sig 0
est uneautre metrique
surM n
quiestquasi-isometriqueag(i.e.C 1
gg 0
Cg,pouruneonstanteC)
alorslesespaesdeL 2
-ohomologiereduitesde(M;g)et (M;g 0
)sontisomorphes.
Enfait,onm^ememieuxJ.Lott aremarquequeesespaesetaientdesinvariants
d'homotopie Lipshitz, i.e. si f
0
;f
1
: (M;g) ! (N;h) sont des appliations
Lipshitztellesqu'ilexisteuneappliationLipshitzF : ([0;1℄M;dt +g) !
(N;h)homotopantf
0 etf
1
alorslesappliationsf
0
;f
1 : H
k
2
(N) !H k
2
(M)sont
egales.
1.b.3.FormesharmoniquesetL 2
-ohomologiereduite.| LaL 2
-ohomologie
reduiteauneinterpretationentermedeformesharmoniquesL 2
.Eneet,notons
H k
(M)l'espaedesk-formesharmoniquesL 2
surM :
H k
(M)=fh2L 2
( k
T
M);dh=Æh=0g:
AlorsonaladeompositiondeHodge-deRham-Kodaira
(1:2) L
2
( k
T
M)=H k
(M)dC 1
0 (
k 1
T
M)ÆC 1
0 (
k +1
T
M);
ou l'adherene s'entend pour la topologie de L 2
( k
T
M). Et de plus on a
Z k
2
(M)=H k
(M)dC 1
0 (
k 1
T
M).Ainsilorsquelavarieteestompletealors
les fermes bornes sont les ompats et C 1
0
= C 1
b
et don on a dans e as
l'isomorphisme H k
(M) ' H k
2
(M). De plus dans as, le resultat d'Andreotti et
Visentini aÆrmequesi =dÆ+Æd estleLaplaiende Hodge-deRhamalorson
aaussi
H k
(M)=fh2L 2
( k
T
M);h=0g:
Attention, es resultats sont faux si la variete riemannienne n'est pas
omplete. Par exemple si la varieteest une varieteompate abord alors ette
derniereidentiten'estpasvalable, puisque pourk=0,l'un desespaesest elui
desfontionsloalementonstanteet l'autreeluidesfontionsharmoniques.
1.b.4. LaL 2
-ohomologie (non-reduite). | Elleest denieommelequo-
tientdeZ k
2
(M)parl'imageparddesondomainei.e.
H k
2;nr
(M)=Z k
2
(M)=fd;telque2L 2
( k 1
T
M); d2L 2
( k
T
M)g:
Enfait, laL 2
-ohomologiereduite et non-reduite oinidentuniquementlorsque
zero n'est pas dans le spetre essentiel du Laplaien de Hodge-deRham. Les
proprietesusuelles de ohomologie, omme lessuites exates de Mayer-Vietoris,
del'homomorphismeobord,sontvraiespourlaohomologieL 2
non-reduitemais
elles ne sont pas vraies en general pour la ohomologie reduite. Desormais, on
nommeraL 2
-ohomologielaL 2
-ohomologiereduitesauflorsqueelaseraambigu.
1.b.5. Le as des varietes ompates.| Supposons ii que la varieteest
ompatesansbord.Alorsdanseas, lesL 2
-ohomologiereduiteetnon-reduite
o
inident puisque le spetre du Laplaien de Hodge-deRham est disret ; en
partiulierl'espaedesformesharmoniquesestdedimensionnie.Letheoremede
Hodge-deRhamaÆrmequel'onaladeomposition
C 1
( k
T
M)=H k
(M)dC 1
( k 1
T
M)ÆC 1
( k +1
T
M);
et onaZ k
(M)= H k
(M)dC 1
( k 1
T
M). Ce qui montre que les espaesde
L 2
-ohomologie,deformesharmoniquesL 2
,deohomologiereellesontegaux.
(M)= n
X
k =0 ( 1)
k
dimH k
(M)= Z
M
g
;
ou(M)estlaarateristiqued'EulerdeM et ou g
est n formed'Euler;par
exempleendimension2,nousavons=KdA=2 K etantlaourburedeGauss
de(M;g)et dAlaformed'aire.
Unequestionnaturelle est deomprendreequi sepassepourlesvarietes
ompletesnon-ompates.SuivantJ.Roe([R℄)onpeutlassiere problemesur
lesvarietesnon-ompatesentroistypes:I;II;III,enreferenealalassiation
des algebres de Von-Neumann. Le type I est elui ou les espaes de formes
harmoniques sont de dimension nie, le type II elui ou es espaes sont de
dimension innieou nulle maisou onpeutdenirune dimension moyennee, par
exemple si la varieteest unrev^etement inni d'une varieteompate ; une tres
bonnerefereneestl'artiled'Atiyah[At℄.letypeIII esteluiouononsidereles
formesharmoniquesL 2
surlesfeuilles d'unfeuilletage.
Ii, on s'interesseuniquement au type I, et nosquestions na
ives sont les
suivantes
i) Quandpeut-onaÆrmerqueesespaesdeformesharmoniquesL 2
sontde
dimensionnie.
ii) Danseas,quelsliensontesespaesavelatopologieetlageometriede
lavariete?
iii) Sielaestbiendeniommentpeut-onomparerlaarateristiqued'Euler
L 2
deniepar
L 2
(M)= n
X
k =0 ( 1)
k
dimH k
(M)
etl'integraledelan formed'Euler?Autrementdit,queltypedeformule
deGauss-Bonnetpeut-onesperer?
1.. L 2
-ohomologie et geometrie a l'inni.| Avant dedonner des
exemples,jevoudraisdonnerleresultatsuivantdeJ.Lott([Lo℄)
1.3. Th
eor
eme.| Si deuxvarietesriemanniennes ompletes(M
1
;g
1 )et
(M
2
;g
2
) sont isometriques hors d'un ompat alors si tout les espaes de L 2
-
ohomologie reduite de l'une sont de dimension nie, alors eux de la seonde
aussi,i.e.
(dimH k
(M
1
)<1; 8k),(dimH k
(M
2
)<1; 8k):
Avantd'esquisserlapreuvedee resultat,jedoisdirequeetheoremeest
une reponse aunequestionquem'a poseH. Peseen1995et queette question
naturelleaguidemonintuition.
Preuve.| Elle neessite de denir la L 2
-ohomologie absolue et relative
d'une variete riemannienne ouverte (;g) a bord ompat. La L 2
-ohomologie
absolue est la L -ohomologiereduite omme elle aetedenie preedement. La
L 2
-ohomologierelativeestdeniepar
H k
2
(;)=
ÆC 1
b (
k
T
)
?
fd; i
=0; 2C 1
b (
k 1
T
)g
;
oul'adhereneestpourlatopologieL 2
etoui
estl'appliationnaturelleassoiee
al'inlusion !.Lorsquel'espaemetrique(
;d
g
)estomplet,esespaes
ontune interpretationentermedeformesharmoniques:
1.4. Proposition. |
H k
2
()=f2L 2
( k
T
);d=Æ=0; int
~
=0g;
H k
2
(;)=f2L 2
( k
T
);d=Æ=0; i
=0g;
ou~ est lanormaleinterieurea.
Ces egalites ont ete montrees par Du-Spener ([D-S℄) et Connor ([Cn℄)
pourlesvarietesompatesabord,ilsontaussimontrequeesespaesdeformes
harmoniques sontisomorphes augroupes de ohomologie absolue/relative de .
LesargumentsdeG.Du,D.C.Spenersegeneralisentaisementanotreadre;es
resultatssontbienonnusetilssont,parexemple,assezexpliitesdanslesartiles
deM.LeshetJ.Bruning([B-L℄)etdeJ.Lott([Lo℄).Soitmaintenant(M;g)une
varieteriemannienneompleteet KM unompatabordlissedeM,onpose
=M K,ilyadesappliationsnaturellesentreH k
2
(M); H k
2 (); H
k
2
(;):
d'abordl'appliationrestrition
j
: H k
2
(M) !H k
2 ()
et puisl'appliationextensionparzero
e : H k
2
(;) !H k
2 (M):
Cette derniere appliation est bien denie ar si 2 L 2
( k
T
) verie les
equations d = Æ = 0; i
= 0 alors pour 2 C 1
0 (
k +1
T
M), on a a la
formuledeStokes:
Z
M
<d;>
Z
M
<;Æ >=
Z
<i
;int
~
>=0:
Ainsil'extensionparzerodelaformeestfaiblementfermee.Puisnousavonsles
deuxfaitssuivants
i) Imj
estdeodimensionnie dansH k
2 ().
ii) Imeestdeodimensionnie dansH k
2 (M).
Cesfaitspermettentdeonlurelapreuvedutheoreme1.3:
D'abord,quitteapasseraurev^etementdouble,onpeutsupposerlavariete
orientee ; en eet sur le rev^etement double oriente d'une variete riemannienne
non-orientable,l'automorphisme durev^etementantiommuteave l'operateurde
dualite de Hodge, i.e si :
M ! M est un tel rev^etement et si est
l'automorphismedeerev^etementalors
+
=0.Ainsisionnote
H
(
M)=f2H (
M);
=g
ei pour 2 f+1; 1g, on a H (M) = H
+1
(M) H
1
(M) et H
+1
(M) est
isomorphe a H (M), ainsi puisque realise un isomorphisme entre H
+1 (
M) et
H
1 (
M),ona
dimH (
M)=2dimH (M):
On a alors une dualite de Hodge-Poinare entre les espaes H k
2 () et
H n k
2
(;).Ainsigr^aeaupremier fait,si H k
(M)est de dimensionnie alors
H k
2
() est dedimensionnie,ainsiqueH n k
2
(;).Puisleseondfait montre
quesiH k
2
(;)estdedimensionniealorsH k
(M)estdedimensionnie.Ainsi
ona
dimH k
(M)<1, dimH k
2
()<1; dimH n k
2
()<1
:
Le premier fait se prouve ave l'appliation obord b : H k
2
() !
H k +1
(K). Cette appliation est denie ainsi : si est un representant lisse de
[℄ 2H k
2
(), onetend enune forme lisse sur M fermee au voisinage de ,
alors b[℄ est la lasse de ohomologie de d dans H k
(K) ; ei est bien deni,
i.e. ela ne depend pas du hoix de et de l'extension. Une veriation simple
montre que l'on a kerb =Imj
. Cette egalite est un heritage de la suite exate
en ohomologie de deRham assoiee a l'operateurobord. Cette egaliteonlut
le theoreme puisque kerb est de odimension nie. Le seond fait se prouve de
m^eme,enonsiderantl'appliationderestritionaK,r : H k
(M) !H k
(K),et
dem^eme,onakerr=Im e.
Cetheoremeet sapreuvemontrentquel'onpeutespererengeneraletablir
desliensentrelatopologiedelavariete,lageometrieal'inni,etlaL 2
-ohomologie
delavariete.Cei nousameneauprogrammesuivant
i) Quelles sont les geometries a l'inni qui imposent aux espaes de formes
harmoniquesL 2
d'^etrededimensionnie ?
ii) Puisquellessontlesliens entre esgeometriesal'inni,la topologieet les
espaesdeL 2
-ohomologie?
Nousallonsmaintenantdonnerdesexemplesou onsaitqueesespaesde
L 2
-ohomologiesontdedimensionnieetdeequ'onsaitaproposdelaseonde
question. Le but de ette partie n'est pas d'^etre exhaustif sur tout les resultats
de nullite et de nitude pour les espaes de formes harmoniques L 2
, le but est
d'exposerles exemplesqui debouhent ouqui peuvent debouher,selonmoi, sur
unereponsealaseondequestion.
2.Des exemples:
2.a.Le asdes formes de degre 0etn. |
2.1. Proposition. | Si (M n
;g)estune varieteriemannienne omplete
onnexealors
H 0
(M)=R1
M
siet seulementsi volM <1;
H 0
(M)=f0gsiet seulementsi volM <1:
Ce resultat se prouve simplement en utilisant la denition de la L -
ohomologiereduite, puisqu'unefontionL 2
faiblementfermeeest enfait loale-
ment onstante. Ce resultat a deux orollaires l'un enone un resultat similaire
a propos des formes de degren lorsque lavarieteet orientable. L'autreest que
surl'espaeeulidienR n
iln'yapasdeformeharmoniqueL 2
non-nulle.Onpeut
donneruneautrepreuvedee resultat:
2.b.Casdes varietes produits.|
2.2. Proposition .| Si (M;g) est une variete riemannienne omplete
isometriqueauproduit riemannienRN alors
H k
(M)=f0g; 8k:
Preuve.| Unepremierepreuveseraitd'utiliser uneformuledeKunneth.
La seonde preuve utilise la formule de Cartan. Soit
t
le hamp de veteurs
unitairestangentaRRN et' t
legroupeaunparametred'isometriesqu'il
engendre,i.e.' t
(s;x)=(t+s;x).Siestunek-formeharmoniqueL 2
alors(' t
)
est aussiuneforme harmoniqueL 2
etonalaformuledeCartan
(' t
)
=d
Z
t
0 int
t ('
s
)
ds:
Onaevidementlamajoration
kint
t ('
s
)
k
L 2
k(' s
)
k
L 2:
Don la forme (' t
)
est L 2
-ohomologue a la forme , omme est l'unique
representantharmonique dans sa lasse on a (' t
)
= , puisomme est de
arresommable,est nulle.
Lapreuvedeettepropositions'etendaisementpourdonner
2.3.Proposition. | SoitGungroupedeLiedontlaomposanteneutre
du entre n'est pas ompat alors pour tout k, on a H k
(G) = f0g, ei pour
n'importequellemetriqueinvariante agauhe.
Preuve.| Lapreuveestlam^eme:soitZunelementdel'algebredeLiedu
entre de G,qui engendreun sous-groupenon-ompataunparametre(g s
)
s2R ,
onnote aussiL
g s
ledieomorphismedeGqui est lamultipliationagauhepar
g s
,'estdonuneisometrie.Siestunek-formeharmoniqueL 2
alors(L
g t
)
est
aussiuneformeharmoniqueL 2
etl'onalaformuledeCartan
L
g
t =d Z
t
0 int
z L
g sds:
Ouz estlahampdeveteur
z(x)= d
dt
t=0 g
t
:x:
kint
z L
g sk
L 2
max
x2G
jz(x)jkk
L 2:
Or
jz(x)j=
x
1
: d
dt
t=0 g
t
:x
=jz(e)j;
arx 1
g t
x=g t
puisquehaqueg t
estunelementduentredeG.DonL
g t
=
eipourtoutt2R,ensuitelefaitquelegroupeg t
soitnonompatassureque
ommeestdearresommablealors=0.
JeremerieiiC.Pittetavelequelj'aioralementprouveeresultat.
2.4. Corollaire.| Si G est un groupe nilpotent alors H k
(G) = f0g,
pourtout k.
NousderironsplusloinlesespaesdeformesharmoniquesL 2
desvarietes
qui sont eulidiennes a l'inni, i.e des varietesriemanniennes isometriques, hors
d'un ompat, auomplementaired'une bouledans unespae eulidien. Mais je
poselaquestionsuivantealaquellejenesaisrepondre:
Si(M n
;g)estune varieteriemannienne isometriquehorsd'unompatau
omplementaired'unompatd'ungroupenilpotent(munid'unemetriqueinvari-
antea gauhe)alors quelssontlesliens entre lesespaesdeformes harmoniques
L 2
et latopologie de M ? J'ignore m^eme la reponse a ettequestion lorsque la
geometrieal'inniest elledugroupedeHeisenbergdedimension3
Heis
3
= 8
<
: 0
1 x z
0 1 y
0 0 1 1
A
;(x;y;z)2R 3
9
=
; :
2.. Le as des varietes de revolution.| Dans [Do℄, J. Dodziuk a
aluleexpliitementlaohomologiedesvarietesderevolution.
2.5.
theor
eme.| Soit f : R ! R une fontion lisse impaire, nulle
uniquementen zerotelle que f 0
(0)=1,alors onmunit R n
ave lametriquequi
enoordonneespolairess'eritg
f
=dr 2
+f 2
(r)d 2
oud 2
estlametriqueusuelle
delasphere, alors
H k
(R n
;g
f
)=f0gsik62f0;n=2;ng;
H 0
(R n
;g
f )=H
n
(R n
;g
f
)=f0gsi Z
1
0 f
n 1
=1;
H 0
(R n
;g
f )'H
n
(R n
;g
f
)'Rsinon;
H n
2
(R n
;g
f
)=f0gsi Z
1
1 f
1
=1;
dimH n
2
(R n
;g
f
)=1si Z
1
1 f
1
<1:
Ainsisepose laquestiondu alul desespaesde formesharmoniques L
pourunevarieteriemanniennequi,horsd'unompat,estisometriquea(R n
;g
f ).
Parexemple,leresultatdeJ.Dodziukmontrequepourl'espaehyperboliquereel,
ona
si2k6=nalorsH k
(H n
)=f0g:
Si2k=nalorsdimH k
(H n
)=1.
R. Mazzeo a entierement resolu ette question du alul des espaes de L 2
-
ohomologiepourlesvarietesasymptotiquementhyperboliques([Ma℄):
2.6. th
eor
eme.| Soit(M n
;g)une varieteriemannienne qui audehors
d'un ompat est isometrique au produit tordu (℄0;1[;dr 2
+e 2r
g), ou g est
unemetriqueriemanniennesurlavarieteompatealors
si k<n=2; H k
(M)'H i
(K ;K);
si k>n=2; H k
(M)'H i
(K);
si k=n=2; dimH k
(M)=1:
Deplus,R.Mazzeodeterminelespetreessentieldel'operateurdeHodge-
deRhamdeesvarietes.
2.d. Le as de la dimension moitie.| Si (M n
;g) est une variete
riemanniennededimensionnpaire,alorslanormeL 2
surlesformesdierentielles
dedegren=2estuninvariantonforme,ainsi
2.7. Proposition.| Si (M n
;g)est unevarieteriemannienne dedimen-
sionpaireet sif 2C 1
(M)ona
H n
2
(M;g)=H n
2
(M;e 2f
g):
On peut ainsi determiner l'espae des formes harmoniquesL 2
de degre n
2
sur l'espae hyperbolique reelH n
. Nousdonnons ii unautre typed'appliation
deetteinvarianeonforme,pourelanousommenonsparleresultatsuivant:
2.8. Proposition.| Soit (M;g) une variete riemannienne ompateet
K unompatdeM deapaitenullealors
f2L 2
( k
T
(M K));d=Æ=0surM Kg
=f2L 2
( k
T
M); d=Æ=0; surMg:
Rappelons la denition de la apaite d'un ompat K d'une variete
riemannienneompate(M;g):
apK=inff Z
M jduj
2
; Z
M
u=0;u1surKg:
SelonG.Courtois([C℄),siH 1
0
(M K)leompletedeC 1
0
(M K)pourlanorme
H 1
,u7!
q
kduk 2
L 2
+kuk 2
L 2
.AlorsapK=0sietseulementsiH 1
(M)=H 1
0 (M
K).Cequi impliquequesi apK=0alorsH 1
0 (
k
T
(M K))=H 1
( k
T
M).
Eneet, H
0
( T (M K)) est le ompletede C
0
( T (M K) muni
de la norme 7!
q
R
M jrj
2
+jj 2
: Montrons que 2 C 1
( k
T
M) est dans
H 1
0 (
k
T
(M K)),e qui onlura pardensite. Si 2C 1
(M) onala formule
d'integrationparparties
Z
M
jr()j 2
= Z
M jdj
2
jj 2
+ 2
<;r
r>;
ei montre que si
k
est une suite de fontions de C 1
0
(M K) tendant en
norme H 1
verslafontion onstante 1,alors (
k )
k
est une suited'elements de
C 1
0 (
k
T
(M K))tendantennormeH 1
vers.
Preuve.| Parlaloiduqui peut leplus peutle moinsonal'inlusiondu
seondespaedanslepremier.L'autreinlusionestevidenteaveladenitionde
laapaite:soitunek-formeharmoniqueL 2
,alorsona<;Æ>=0,pourtout
2C 1
0 (
k +1
T
(M K)).Oretteexpressionestontinueparrapporta pour
lanormeH 1
,etdonelleestvalidepardensitepourtout 2H 1
0 (
k
T
(M K)),
etdonpourtoutes(k 1)-formeslissessurM.Donestfaiblementfermeesur
M. Le m^eme argumentmontre que est faiblementofermee et don queest
harmoniquesurM.
Remarques.|
i) Ceimontrequeleomplementaired'unompatdeapaitenulledansune
varieteonnexeestonnexe.Eneetlesfontionsloalementonstantessur
leomplementairesontonstantes.Enfait,onpeuttrouveraussiunepreuve
ave le mouvement Brownien, puisque presque s^urement le mouvement
Brownienevitelesensemblesdeapaitenulle.
ii) Onalem^emeresultatsurlesvarietesnon-ompatesauxquellesonenleve
unompatdeapaitenullerelativementaunouvertbornequileontient.
Ce resultataquelquesappliations:
1) Soit S une surfae riemannienne telle que R
S
jKjdA < 1 alors gr^ae au
resultatdeHuber([Hu℄)onsaitqueS est onformementequivalenteaune
surfaeriemannienne ompate
S alaquelle onaenleveunnombrenide
points,ainsiommeespointssontdeapaitenulle,sigestlegenredeS
etdonde
S ona
dimH 1
(S)=b
1 (
S)=2g:
2) Unautreexemplegeometriquementinteressantestlesuivant:ononsidere
l'espae projetif omplexe muni de la metrique de Fubini-Study ; soit
p
0 2 P
n
(C), le ut-lousde p
0
est exatementl'espae projetifP n 1
(C)
situe a l'inni par rapport a p
0
. De plus, en oordonnees exponentielles
(r;u)2℄0;[S 2n 1
,lametriquedeFubini-Studyestexatement
dr 2
+r 2
g
r
oug
l
estlametriquedeBergersurS 2n 1
dontlesbressontdelongueurl,i.e
onalabrationtotalementgeodesiquelS 1
!S 2n 1
!P n 1
(C). Orla
preedentesmontrentquesionmunitR 2n
delametriquequienoordonnees
polaires s'erit dr 2
+r 2
g
(1+r 2
)
1 alors ette metrique riemannienne est
quasi-isometrique aune metrique onformea la preedente,et donette
varieteriemannienneauneformeharmoniqueL 2
non-nulleendegren.Pour
n= 2,Esobar-Freire obtiennent, par lealul, l'existene deette forme
harmoniquedeplusilsmontrentquelaourburesetionnelledeettevariete
estpositive([E-F℄).
2.e. L 2
ohomologieetohomologiede deRham.|
2.9. Proposition.| Si (M n
;g) est une varieteriemannienne omplete
telle que Im(H k
(M) ! H k
(M)) 6= f0g alors H k
(M) 6= f0g plus preisement
Im(H k
(M) !H k
(M))s'injetedanslaohomologieL 2
.
Preuve.| Onaevidementuneappliation naturelleH k
(M) !H k
(M)
qui a une forme fermee a support ompat assoie sa lasse de ohomologie
L 2
ou sa projetion orthogonale sur l'espae des formes harmoniques L 2
. La
propositionaÆrmequesiestuneformefermeeasupportompatqui estnulle
enohomologieL 2
alorselleestexate,eideouledufaitsuivant[dR,Theoreme
24℄ : pour touteforme 2L 2
, il yaune forme harmoniqueh, et deuxourants
S; T telsque =h+dS+ÆT,de plusS etT sontlisseslaou estlisse. On
applique ei a une forme lissefermee a support ompat nul en ohomologie
L 2
, parhypothese T = 0 puisque est faiblement fermee, et h() = 0don il
existeuneformelisseT telleque=dT.
Ceresultatal'appliationsuivantedueaM.Anderson([An℄):i(M n
;g)est
unevarieteriemanniennedontlalassed'Eulerestnon-nulle,alorsdimH n
(TM)
1. En eet, la lasse de Thom du bre est non-nulle et don Im(H n
(TM) !
H n
(TM)) 6= f0g. Par exemple, le bre tangent a S 2p
, TS 2p
a une forme
harmonique L 2
non-nulle de degre2p. Prenons l'exemple dubretangent aS 2
,
onnesaitpasdeterminersesespaesdeL 2
ohomologie.Cebreaunegeometrie
interessante;eneet,lorsqu'onluienlevelasetionnulle,ebreaunrev^etement
doubleisometriquea(℄0;1[S 3
;dr 2
+g
2r
),ouonanoteg
l
lametriquedeBerger
sur S 3
dont les bres sont de longueur l. Il serait interessant de omprendre le
lien qu'ilyasures varietesentre L 2
-ohomologieet lageometrie.Parexemple,
je onjeture que sur ette variete, l'espae des formes harmoniques L 2
est de
dimensionnie.
Pour onlure ette partie et e paragraphe, je vais iter le resultat de
Atiyah-Patodi-Singer ([A-P-S℄) qui est le premier resultat liant ohomologie et
formesharmoniquesL 2
.
2.10.
Theor
eme.| Soit(M n
;g)unevarieteriemannienneaboutsylin-
driques, i.e audehors d'un ompat, elle est isometrique au produit riemannien
(℄0;1[;dr 2
+h),ouhestunemetriqueriemanniennesurlavarieteompat
H k
(M)'Im(H k
(M) !H k
(M)):
Ce resultat est fondamental pour obtenirla formulede lasignature d'une
varieteompateabord.
Nous allonsensuitemontrer ommentdes outils d'analyse sur lesvarietes
permettentd'obtenirdes resultatsaproposdes questionsque nousavonsposea
propos des liens entre la geometrie a l'inni, la topologie et les espaes de L 2
-
ohomologie.Pourela,nousommenonsparderireunpeulesoutilsd'analyse
quenousutiliserons.
3.Inegalitesde Sobolev sur lesvarietesriemanniennes non-ompates.
Danstouteettepartie(M n
;g)estunevarieteriemannienneomplete,non-
ompateonnexe.
3.a.Qu'este qu'uneinegalitedeSobolev?. | Pourela,ilfautdes
espaesdeSobolev,pratiquementonselimiteiiauxespaesL p
etal'espaeH 1
0 .
Les espaesL p
: e sont lesespaesL p
(M;dv
g
) onstruits apartir dela mesure
riemannienne dv
g
. Pourp ni,'est aussile ompletede C 1
0
(M) pour lanorme
L p
. Remarquonsquesi pourune varieteompatees espaesnedependentpas
de lametrique,pourune varietenon-ompatee n'est plusle as, parexemple
ona
12L 1
(M;dv
g
),volM<1:
EtilestfailedeonstruiresurR 2
desmetriquesompletesavolumeniouinni.
3.1. Denition .| L'espae H 1
0
(M) est le ompletede C 1
0
(M) pour la
norme
u7!
s
Z
M jduj
2
:
C'est don un espae de Hilbert. Remarquons que et espae est bien deni,
puisqu'unefontionasupportompatetdegradientnulestonstante,donnulle.
Cependantetespaen'estpastoujoursunespaedefontions;parexemple,sur
Rmunidelametriqueeulidienne, siuestune fontionlisseasupportompat
qui vaut1surunvoisinagede0alorslasuitedefontion( t7!u(t=k))
k
onverge
vers 0 dans H 1
0
mais vers la fontion onstante 1 dans L 1
lo
; 'est a dire que
l'inlusionC 1
0
(R) !L 1
lo
n'estpasontinuepourlanormeH 1
0 .
Remarque.| En fait, l'inlusion C 1
0
(R) ! L 1
lo
est ontinue si seule-
ment si l'inlusionC 1
0
(R) !H 1
lo
est ontinue. Eneet, si K est unompat
a bord lisse de M et si
1
(K) est la premiere valeur propre non-nulle pour le
problemedeNeumannalorsonal'inegalitedePoinare
1 (K)
Z
K u
2
Z
K jduj
2
+ 1
volK Z
K u
2
; 8u2C 1
(M):
kuk
L 2
(K)
C(K)
kuk
H 1
0 (M)
+kuk
L 1
(K)
; 8u2C 1
0 (M):
A. Anonaadonneplusieursaraterisationspouretteontinuite([A℄):
3.2. Th
eor
eme.| Lesproprietessuivantes sontequivalentes
a) l'inlusionC 1
0
(R) !H 1
lo
seprolongeparontinuiteaH 1
0 (M).
b) IlexisteunouvertborneU deM et une onstante stritementpositiveC
telleque
C Z
U juj
2
Z
M jduj
2
; 8u2C 1
0 (M):
) L'equation
y G
x (y)=Æ
x
adessolutionspositivespourun(oupourtout)
x2M.
d) Ilexisteunefontionstritementpositivef telleque
Z
M fjuj
2
Z
M jduj
2
; 8u2C 1
0 (M):
Pour les surfaes simplement onnexes, elles qui ne verient pas l'une
de es onditions sont onformementequivalentes a la sphere ou au plan. C'est
pourquoionnommelesvarietes,quisatisfontal'unedesproprietesdeetheoreme,
non-paraboliques. Terme que l'on prefere a hyperbolique ar si n > 2, l'espae
eulidienverielesonditionsdutheoreme.Parexemple,lafontion Cn
jx yj n 2
est
unesolutionpositivedel'equationauxderiveespartielles
y G
x (y)=Æ
x
.Onpeut
aussilevoirgr^aeal'inegalitedeHardy
n 2
2
2 Z
R n
u 2
(x) dx
kxk 2
Z
R n
jduj 2
(x)dx; 8u2C 1
0 (R
n
);
i.e.l'inegalited)est vraipourlafontionf(x)=((n 2)=(2jxj)) 2
.
C'estpourquoinousparleronsd'inegalitedeHardyahaquefois quenous
demontrerons une inegalite du type d). Ces inegalites expriment que l'espae
H 1
0
(M) s'injete ontin^ument dans un espae L 2
a poids. Ainsi pour nous une
inegalite(ouinlusion)de Sobolevest uneinjetionontinue de H 1
0 (M)
dans un "bon" espae de fontions.Le qualiatif"bon" dependde l'usage
que l'on desire avoirdes inegalites.Ilse trouveque les inegalitesde Hardy sont
tresfailesaobtenir.
3.b. Inegalites de Hardy. | Dans [C2℄, j'ai donneune methodepour
enobtenir;ettemethodefournit parexemple,l'inegalitesuivante
3.3.
theor
eme.| Si M n
!R N
estuneimmersionisometriquedontle
veteurourburemoyenneestk,alors(M n
;g)veriel'inegalitedeHardysuivante
n 2
2
2 Z
M
u
r
2
(x)dx Z
M jduj
2
(x)+ n 2
2 jkj
r u
2
dx; 8u2C 1
0 (M);
ouonanoter(x)=kx x
0 k,x
0
etantunpointquelonquedeR .
CeresultatestarapproherdeeluideHoman-Sprukquiobtenaientune
inegalitedeSobolev assezsimilaireaette inegalitedeHardy([H-S℄) :
3.4. Th
eor
eme.| Si M n
!R N
est une immersionisometriquedont
le veteur ourbure moyenne est k, alors (M n
;g) verie l'inegalite de Sobolev
suivante
n Z
M jvj
2n
n 2
(x)dx
1 2
n
Z
M jdvj
2
(x)+jkj 2
jvj 2
(x)dx; 8v2C 1
0 (M):
Ces deux resultats ontla onsequene suivante sur lessous-varietesmini-
males:
3.5. Corollaire. | Si M n
! R N
est une immersion isometrique
minimalealorspourtoutx
0 2R
N
,M n
verielesinegalitesdeSobolev
n 2
2
2 Z
M
u
r
2
(x)dx Z
M jduj
2
(x)dx; 8u2C 1
0 (M):
n Z
M jvj
2n
n 2
(x)dx
1 2
n
Z
M jdvj
2
(x); 8v2C 1
0 (M):
Laderniere inegaliteaeteobtenueparMihael-Simon [M-S℄.Remarquons
qu'onnepeutretrouverl'inegalitedeHardysimplementapartirdel'inegalitede
Sobolev et de l'inegalitede Holder. Cette derniere inegalite de Sobolev de type
eulidien, permet defairedel'analysesurleLaplaienommeonsait lefairesur
R n
.
3..Inegalitesde Sobolev de type eulidienne.| Ononnaitassez
bien les proprietesequivalentes aes inegalitesen terme de noyaudela haleur,
d'inegalite de Faber-Krahn...Nous donnons ii uniquement les outils d'analyse
qu'implique unetelleinegalitedeSobolev
3.6.
Theor
eme. | Soit (M n
;g) une variete riemannienne omplete qui
veriel'inegalitedeSobolev
(M)
Z
M juj
2
2
(x)dx
1 2
Z
M jduj
2
(x)dx; 8u2C 1
0 (M);
alorspourtout p>1; s>0telsque2sp< ona
C(
;s;p)kuk
L p
2ps
k
s
uk
L
p; 8u2C 1
0 (M):
Etsis>=palorsonalesinegalitesdeGagliardo-Nirenberg
kuk
L
1 C( ;s;r)
kuk
L r
2 kuk
1
L s
2
; 8u2C 1
0 (M);
ou=
=s
1 (=r)+(=s) .
Enn si ( P(t;x;y))
(t;x;y)2R +
MM
est le noyau de la haleur de (M ;g)
(i.e.lenoyaudel'operateure t
)alorsenoyauverie
P(t;x;y) C
t
2
1+ d
2
(x;y)
t
2
e d
2
(x;y )
4t
; 8(t;x;y)2R +
MM:
Lapremiere proprieteest due aN. Varopoulos dans [Va℄,la seondea T.
Coulhon dans [Co1℄, la majoration gaussienne du noyau de la haleur est due
a Davies-Pang [D-P℄, T. Coulhon [Co2℄, et Sikora [Si℄. Nous allons maintenant
essayerdedonnerune reponsealaquestionsuivante :
3.d. Commentreollerdes inegalites de Sobolev.| C'est adiresi
(M
1
;g
1 )et(M
2
;g
2
)sontdeuxvarietesriemanniennesquiverientuneinegalitede
Sobolev,alorsqueltyped'inegalitedeSobolevverielavariete(M
1
#M
2
;g
1
#g
2 )?
Une autrequestiontressimilaireest lasuivante :siunevarieteriemanniennequi
audehorsd'un ompatverieune inegalitedeSobolev,alors quelleinegalitede
Sobolevverie-t-elle?
Parexemple,siM n
!R N
est uneimersionisometriqueet silaourbure
moyenne k de ette imersion verie R
M jkj
n
< 1, alors d'apres l'inegalite de
Homan-Spruk (th 3.4), on sait qu'il y aun ompat K deM telque l'on ait
l'inegalitedeSobolev
n
=2 Z
M K jvj
2n
n 2
(x)dx
1 2
n
Z
M K jdvj
2
(x); 8v2C 1
0
(M K):
Cesquestionsontdeuxmotivations,lapremiereestdeomprendreomment
estlenoyaudelahaleurd'unesommeonnexedevarieteriemannienne.Eneet,
selon N. Varopoulos ([Va℄), on sait qu'une inegalite de Sobolev est l'outil qui
permetdemajorerlenoyaudelahaleur.Ainsisionomprendommentreoller
desinegalitesdeSobolev,onpourraespereromprendreommentmajorerlenoyau
delahaleurd'unesommeonnexe.
La seonde motivation provient de nos resultats a propos des formes
harmoniquesL 2
. Onverradanslaprohaine partieommentobtenirunresultat
denitudepourladimensiondel'espaedesformesharmoniquesL 2
apartird'une
inegalitesdeSobolev. Etselonle theoremede J.Lott (th 1.3),on sait quesi on
reolledeuxvarietesdontlesespaesdeformesharmoniquesL 2
sontdedimension
nie,alorsl'espae desformesharmoniquesL 2
de lavarieteobtenueest ausside
dimension nie. Il est don naturel de savoir omment les outils d'analyse qui
permettentes resultatsdenitudeseomporteparsommeonnexe.
Onherhedonunelassed'espaesfontionnelsqui sereollentbienpar
sommeonnexe:'estlalassedesespaesdeOrliz
Espae de Orliz. | Le but deeparagrapheest depresenterlesespaes
deOrliznon-uniformes,nousrenvoyonsleleteura[Mu℄pourplusdedetail.
Danstouteettepartie,(M;;)designeunespaedeBorelmesure-ni.
+ +
fontion sielle est loalementessentiellementborneeet sipourtout m 2M la
fontion t 7!(t;m) est une fontiononvexe realisantune bijetion roisssante
de R
+ surR
+
et silafontiont 7!
(t;m)
t
est roisssanteet realiseune bijetion
roisssantedeR
+ surR
+
Ondit"N-fontion"pour"nieyoungfuntion",'estadiredesfontionsonvexes
dont lafontions onjuguee est denie sur R
+
. Lafontion onjuguee d'une N-
fontionestdeniepar
'(t;m)=sup
x0
(xt (x;m)):
C'est aussi une N-fontion et si on note 0
la fontion derivee a gauhe de la
fontiont7!(t;m)alorslafontionderiveeagauhede'estdeniepar
' 0
(t;m)=inffy2R
+
= 0
(y;m)>tg;
et ona '(t;m)= Z
t
0 '
0
(s;m)ds:
On peut alors denir l'espae de Orliz (non-uniforme) L(;), 'est l'espae
vetorielsuivant
L(;)=fu : M !C mesurabletelqu 0
il existe>0ave
Z
M
ju(m)j
;m
d(m)<1g=;
ouestlarelationd'egalitepresquepartout,onnormealorsetespaeavel'une
desdeuxnormessuivantes
N
(u)=inff>0;
Z
M
ju(m)j
;m
d(m)1g
kuk
=supf Z
M uv;
Z
M
'(jv(m)j;m)d(m)1g:
Alorsesdeuxnormessontequivalentes,enfaitonalesinegalites
kuk
N
(u)kuk
=2;
et esnormesfontdeL(;)unespaedeBanahetdeplus
3.7.Proposition.| L(;)estonstituedefontionsloalementintegrable.
Exemples.|
i) Biensur,lesespaesL p
sontdesexemplessimplesd'espaesdeOrliz,plus
generalementsilafontionnedependpasdem2M,onobtientunespae
deOrlizuniforme.
ii) Sif estunefontionmesurablepositiveloalementessentiellementbornee
surM alorsl'espaeL(t p
f(m);)estisometriqueal'espaeL p
(M;f).
suivant: siM estl'uniondisjointesdesboreliensf
i g
i2I
(I ni),alorsla
fontiondeniepar
(t;m)=t pi
sim2
i
estuneN-fontionpourvuquep
i
>1; 8i;et l'espaedeOrlizobtenuest
isomorpheal'espae
i2I L
pi
(
i
;).
Ainsi les espaes de Orliz non-uniformes permettent de deouper et reoller
des espaes de fontions; onernant lesvarietesriemanniennes non-ompates,
ils seront le adre naturel pour reoller dierentes inegalites de Sobolev sur un
voisinage de l'inni et aussi pour en obtenir une assez generaleen reollant un
ertainaspetdelageometrieloaledelavarieteriemanienne.Notreresultatest
lesuivant([C3℄)
3.8.
Theor
eme.| Soit(M n
;g)unevarieteriemannienne ompletenon-
parabolique telle que pour un ompat K M, haunes des omposantes
onnexesdeM K=
`
E
i
verieuneinegalitedeSobolev-Orliznon-uniforme:
N
i
(u)kduk
L 2
(Ei)
; 8u2C 1
0 (E
i );
ou les
i
sontdesN-fontions,alors pourtout ompat regulier
~
K ontenantK
danssoninterieur,onal'inlusiondeSobolevsuivante
H 1
0
(M) ! M
i L(E
i
~
K;
i )L
2n
n 2
(
~
K):
Un orollaireest lesuivant
3.9.Corollaire.| SiM n
!R N
estuneimersionisometriquedontla
ourburemoyennejkjverie
Z
M jkj
n
<1
et silevolumedeM estinni, alors(M n
;g)veriel'inegalitedeSobolev
S Z
M jvj
2n
n 2
(x)dx
1 2
n
Z
M jdvj
2
(x); 8v2C 1
0 (M):
Remarque.| Enfait,lamethode nepermet pasd'obtenirune onstante
deSobolevexpliite.
Ils'averequ'uneinegalitedeSobolev-Orlizesttoujoursvraie.
3.e.UneinegalitedeSobolev-Orliz.| Nousavonsobtenu,dans[C3℄,
leresultatsuivant
3.10.
Theor
eme.| Soit (M n
;g) une variete riemannienne onnexe,
omplete, supposons que pour un x 2 M, le noyau de la haleur P de (M;g)
verie
Z
1
1
P(t;x;x)
t 1
2
dt<1
+ +
2
(;x)=P
1
2 02
(;x)
;x;x
(0;x)=0
alorsestune N-fontionet onal'inegalitedeSobolev-Orliz
N
2(u)
C s
Z
M jduj
2
;8u2C 1
0 (M);
eipouruneonstanteCuniverselle.
En fait, on peut aussi obtenir des inegalites a propos des normes u 7!
k s
uk
L p.
4.L 2
-ohomologieet inegalitesde Sobolev.
Lebut deettepartieestdederireommentonpeutobtenirdesresultats
denitudepourladimensiondel'espaedesformesharmoniquesL 2
gr^aeaune
inegalitedeSobolev;etdedonnerunlienentretopologie,formesharmoniquesL 2
et geometrieal'inni.TouteireposesurlaformuledeBohner-Weitzenbok:
4.a. la formule de Bohner-Weitzenbok. | Si k
=dÆ+Æd est le
Laplaien de Hodge-deRham agissant sur les formes dierentielles d'une variete
riemannienneomplete(M;g);alorsnousavons
H k
(M)=f2L 2
( k
T
M);
k
=0g;
depluseLaplaienadmetladeompositiondeBohner-Weitzenboksuivante
k
=
+R k
;
ou
est le Laplaienbrut, 'est adire'est l'operateurdierentiel d'ordredeux
symetrique onstruit a partir de la onnexion de Lei-Civita r et de la forme
quadratique 7!
R
M jrj
2
; autrement dit
= r
r, ou r
est l'operateur
adjointar.EtR k
est unendomorphismesymetriquede k
T
M, quel'onpeut
denir a l'aide de l'operateur de ourburede (M n
;g) (f [G-M℄) ; par exemple
R 1
est l'endomorphisme assoie au tenseur de Rii, et nous avons toujours la
minorationR k
k(n k),ouestlapluspetitevaleurpropredel'operateurde
ourbure;de plus,onajR k
j(x)(n)jR j(x)ou R estletenseurdeourburede
(M;g).Unorollairedeetteformuleest lesuivant:
4.1. proposition.| Si (M n
;g) est une variete riemannienne onnexe
ompletedevolumeinnitellequeR k
0alorsH k
(M)=f0g.
Preuve.| Eneet,siestuneformeharmoniqueL 2
dedegrek,onpeut
justierlaformuled'integrationparpartie
0=<; k
>=
Z
M jrj
2
+<R k
;>:
est onstante,l'hypothesesur levolumeimpliquedonqueettenormeestnulle.
Lorsqu'on suppose que (M n
;g) verie une inegalite de Sobolev, on peut
alorsraÆneretteproposition:
4.2. Proposition. | Si (M n
;g)veriel'inegalitedeSobolev
(M)
Z
M juj
2
2
(x)dx
1 2
Z
M jduj
2
(x)dx; 8u2C 1
0 (M);
et siona
kR k
k
L
2
<
1
alorsH k
(M)=f0g.
Preuve.| Cei repose sur l'inegalite de Kato i.e. si est une forme
dierentiellelissealors
jrj(x)jdjjj(x):
Si est unek-formeharmoniqueL 2
,onsesertdelaformulepreedente
Z
M jdjjj
2
Z
M jrj
2
= <R k
;>:
Onutilisealorsl'inegalitedeSobolevpourminorerlepremiertermeet l'inegalite
deHolderpourmajorerlederniertermeet onobtient
(M)kk 2
L 2
2 kR
k
k
L
2 kk
2
L 2
2
;
e quionlutlapreuvedeetteproposition.
4.b. Un resultat de nitude.| Suivantla philosophie duresultat de
J. Lott (th 1.3), l'intuition laisse supposer quesi laourbure est de normeL
=2
nie et que la variete verie la m^eme inegalite de Sobolev alors les espaes de
L 2
-ohomologiesontde dimensionnie. Onpeuten fait justier e raisonement
heuristique([C4℄):
4.3.
Theor
eme.| Si (M;g)est une varieteriemannienne ompletequi
veriel'inegalitedeSobolev
(M)
Z
M juj
2
2
(x)dx
1 2
Z
M jduj
2
(x)dx; 8u2C 1
0 (M);
et dontlaourbureverie
Z
M jR
k
j
2
<1
alorsl'espaedesk-formesharmoniquesL 2
est dedimensionnie. Deplus,ona
dimH k
(M)
C( ;k)
Z
M jR
k
j
2
:
satisfontauxhypothesesdeetheoreme:
i) Unevarieteriemannienneompleteaourburenulleaudehorsd'unompat
etdontlevolumedesboulesgeodesiquesaunomportementuniformement
equivalent a la fontion (r7!r n
) verie nos hypotheses pour = n ; en
eet, pour es varietes notre hypothese sur la ourbure est bien veriee,
de plus selon T. Coulhon et L. Salo-Coste, nous savons que pour les
varietesaourburedeRiipositiveounullesurunvoisinagedel'inni,e
omportement uniforme duvolume des boulesgeodesiquesimplique ette
inegalite de Sobolev (en fait il y am^emeune equivalene, f. [C-S℄). Une
telle variete a en fait un nombre ni de bout haqu'un isometrique a un
one R n
B n
(r)= ou B n
(r) est la boule eulidienne de rayon r et ou
estunsous-groupenideO(n)agissantsanspointxesurS n 1
.
ii) On peut raÆner et exemple, en supposant que la variete est quasi-
isometriqueaune tellevarieteetquelaourbureestdansL n
2
.
iii) Une variete onnexe, de volume inni, de dimension n isometriquement
plongee dans un espae eulidien dont la seonde forme fondamentale de
l'immersion est n integrableverie nos hypotheses pour = n. En eet
suivantla proposition (3.9), une telle variete veriel'inegalitede Sobolev
puisque sa ourbure moyenne est dans L n
; de plus omme la ourbure
estmajoreeparunmultipleuniverseldelaseondeformefondamentale,la
ourbured'unetellevarieteestn=2-integrable.Cependantremarquonsque,
appliquee ae adre,lamajoration deladimensiondeH k
(M)nedit rien,
puisquelaonstante deSobolevn'estpasalulableapartirde R
M jIIj
n
.
Les bornes sur ladimensionreprennentessentiellement l'ideede P.Berard et G.
Besson;dans[B-B℄,ilsobtenaientunemajorationd'invariantstopologiquesd'une
variete ompate en fontion de la norme L n
2
de la ourbure. Ces estimations
sontditdeCwikel-Lieb-Rosenbljum,aren1972,Rosenbljumobtientleresultat
suivant([Ro℄)
4.4. Th
eor
eme.| Soit V une fontion L n
2
sur R n
alors le nombre de
valeurs propres stritement negatives de l'operateur de Shrodinger +V est
majorepar
C
n Z
R n
V n
2
(x)dx;
ouV =(jVj V)=2estlapartienegativedeV.
Laonstante C
n
esttresimportanteenmeanniquequantique,f[L℄;elle
futsuessivementamelioreeparCwikel([Cw℄) ,E.Lieb([L℄)et P.Li-S.T.Yau
([L-Y℄).
Je vaismaintenantderirelapreuvedutheoreme4.3 : gr^ae al'inegalite
de Sobolev et l'inegalitede Kato,onmontre quel'operateur
1
2
R k
1
2
est un
operateur ontinu de L 2
dans lui-m^eme. Ou
1
2
est l'operateurde L 2
sur H 1
0
denia l'aidedelaformule R
M jr
1
2
j 2
= R
M jj
2
, ei pour tout 2L 2
. On
rappellequel'espaeH
0
( T M)estdeniommeetantleompletedel'espae
C 1
0 (
k
T
M)pourlanorme7!krk
L
2.Deplus,onalamajorationdelanorme
deetoperateur
k
1
2
R k
1
2
k
L 2
!L 2
kR k
k
L
2
=
:
Ainsisi1
R
estlafontionarateristiquedelabouledeentrex
0
xeetderayon
R alorsonalalimite ennormed'operateur
1
2
R k
1
2
= lim
R!1
1
2
1
R R
k
1
R
1
2
:
On montre ensuite que les operateurs
1
2
1
R R
k
1
R
1
2
sont ompats. Ainsi
l'operateur
1
2
R k
1
2
estompat,et donlenoyaudeId
L 2
+
1
2
R k
1
2
est
dedimensionnie.Onnit lapreuveenmontrantquel'appliationsuivante
p
: H k
(M) !kerfId
L 2
+
1
2
R k
1
2
g;
est biendenieet estinjetive.
4.. Toplogie et formes harmoniques L 2
.| Une fois e theoreme
etabli,onseposelaquestiondesavoirommentlesespaesdeformesharmoniques
L 2
sontreliesalatopologiede(M n
;g). Nousommenonsparunresultatsurle
nombredebouts([C5℄).
4.5.Proposition.| Si(M;g)estunevarieteriemannienneompletequi
veriel'inegalitedeSobolev
(M)
Z
M juj
2
2
(x)dx
1 2
Z
M jduj
2
(x)dx; 8u2C 1
0 (M);
alorsl'appliationnaturelle H 1
(M) !H 1
(M)est injetive.
Ceialeorollairesuivant
4.6. Corollaire.| Sousleshypothesespreedentes,si b est lenombre
deboutsdeM alorsona
dimH 1
(M)b 1:
Enpartiulier,si
Z
M jri j
2
<1
alorsM aunnombrenidebouts.
Lapreuvedelapropositionestpresqueevidente:siestuneformefermee
asupportompatdansDquiestnulleenohomologieL 2
,alorsilexisteunesuite
defontionsu
l 2C
1
0
(M)tellequelim
l!1
k du
l k
L
2=0,l'inegalitedeSobolev
Z
M juj
2
2
(x)dx
1 2
Z
M jduj
2
(x)dx; 8u2C 1
0 (M);
impliquequelasuiteu
l
estdeCauhydansL 2
2
etdononvergeversunefontion
u,maisettefontionudoitverierdu=.Commeestasupportompat,u
geodesiquesdelavarieteest uniformementminore([C1℄)et donhaqueboutde
M n
a un volume inni et uest asuppport ompat. Et est ohomologue a0
pourlaohomologieasupport ompat.
Remarque.| Ceiredemontreleresultatde[C-S-Z℄quiaÆrmequesiM
estunesous-varieteminimaled'unespaeeulidienetsielleaaumoinsdeuxbouts
ellepossedeune fontionharmoniqued'energiedeDirihletbornee.
Ces arguments peuvent ^etre pousses plus loin et l'on obtient ainsi le theoreme
suivant([C5℄)
4.7. Th
eor
eme.| Soit (M n
;g) unevarieteriemannienne omplete,qui
pourun >4,veriel'inegalitedeSobolev
(M)
Z
M juj
2
2
(x)dx
1 2
Z
M jduj
2
(x)dx; 8u2C 1
0 (M);
et tellequesontenseurdeourbureverie Z
M jR (x)j
2
dx<1;
alorssiD estunouvertborne(abordregulier)deM,nousavonslasuiteexate
:: !H k
(D;D) i
!H k
(M) j
!H k
(2)
(M D) b
!H k +1
(D;D) !::
Derivonsunpeuleshomomorphismesi; j
; b:iestl'appliationnaturelle
qui a une formefermee lisse asupport ompat dansD assoie sa lassede L 2
-
ohomologie,si[℄2H k
(D;D)alors
i[℄=modulo dC 1
0 (
k 1
T
M):
Puisj
estl'homomorphismedeL 2
-ohomologieinduitparl'appliation
j : M D !M:
L'homorphismeobordL 2
estplus\omplique"adenir:soit 2Z k
2
(M D)\
C 1
(
k
T
(M D),ilexistealorsunek-formelissesurM, , telleque=sur
M Dettellequed=0surunvoisinagedeM D.Alorsdestuneformefermee
asupport ompat dansD et la lassede d dansH k +1
(D;D)'H k +1
(D) ne
depend que de la lasse de L 2
ohomologie de . Ensuite si 2 Z k
2
(M D),
alors on denit b[℄ = [d℄ ou est n'importe quel representant lisse de la
lassedeL 2
-ohomologiede.Ainsib estlaomposeede l'appliationnaturelle
H k
2
(M D) ! H
k
(M D) et du morphisme de obord en ohomologie de
deRhamH k
(M K) !H k +1
(D).
Remarque.| Enfait,ettesuiteesttoujoursexatepourlaL 2
-ohomologie
non-reduite. En partiulier, lorsque 0 n'est pas dans le spetre essentiel du
Laplaien de Hodge-deRham, alors ette suiteest vrai, puisque dans e as L 2
-
ohomologiereduiteetnon-reduiteoinident.Parexemple,selonDonnelly-Xavier
([D-X℄), sur une varieteaourbure 1 horsd'un ompat, de volume niet de
deRham ; et don ette suite exate a lieu. Cependant les varietesqui satisfont
anoshypothesesont0danslespetreesssentielduLaplaiendeHodge-deRham
(pourvuquelevolumeroissepolyn^omialement).
lapreuvedeetheoremereposeessentiellementsurdeux ingredients:
Lepremierestl'existened'unnoyaudeGreeni.e. d'unoperateurontinu
G : L 2
(T
M) !H 1
0 (T
M);
telquesi2L 2
(T
M)alors
=h()+dG()+ÆG():
Leseond estle suivant siest dansl'espaede Sobolev H 1
0 (T
M),qui
verie
k
=
+R k
2C 1
0
alorsestL 2
.
C'est pourprouvere seond faitque l'hypothese surla dimensionde l'inegalite
deSobolevapparait.CetteonditionestarapproheraufaitquedansR n
,n>4,
l'equation (+V)u = 0, pour V a support ompat n'a pasde solution demi-
bornee. Autrement dit lep^ole en =0de laresolvante(+V ) 1
provient
uniquementdefontionspropresL 2
.
Le premier fait est une onsequene du fait que l'operateur (d +Æ) :
H 1
0 (T
M) ! L 2
(T
M)est Fredholm, i.e. son noyauest de dimensionnie,
son image est fermee et de odimension nie. Nous reviendronsplustardsur e
faitqui estledebutd'unegeneralisationdees travaux.
Ily aaussi un autre ingredient : sousles hypotheses dutheoreme,la L 2
-
ohomologie reduite du omplementaire de D est de dimension nie. Pour ela,
onidentie,etespaeaunsous-espaedesformesharmoniquesL 2
surlavariete
double(M D)#
D
(M D).Plusexatement,ona
H k
n
(M D)'f2H k
((M D)#
D
(M D));
=g;
ou est la symetrie par rapport a D qui ehange les deux parties. A priori,
la somme onnexe de es deux opies de (M D)est uniquement munie d'une
metrique Lipshitz, 'est suÆsant pour denir l'operateur Æ et don on peut
parlerdeformesharmoniques.Etomme,lesespaesdeL 2
-ohomologiesontdes
invariantsdequasi-isometries,sionlisselametriquedansunvoisinagedeD,la
dimensiondes espaesdeformesharmoniquesL 2
nehangepas; laourburede
lavarieteriemanniennelisseobtenueseratoujoursdansL
2
,etgr^aeauorollaire
(3.9), l'inegalite de Sobolev aura enorelieu sur ette variete, ainsi le theoreme
montrequelaL 2
-ohomologiedeette varieteest dedimensionnie.
4.d.FormulesdeGauss-Bonnet. | Cettesuiteexateadenombreuses
appliations,ellessontderitesdans[C5℄.Lapremiereestlaformulesuivantepour
laarateristiqued'EulerL 2
:
4.8.
Theor
eme. | Soit(M ;g)unevarieteriemannienne ompletequi
verielesm^emeshypothesesqu'autheoreme(4.7)alorssiD estunouvert borne
deM ona
L 2
(M;g)=(D;D)+
L 2(M
D;g):
Etunorollairedeetteformuleestuntheoremedel'indie relatif
4.9.Corollaire.| Soient(M n
1
;g
1 )et(M
n
2
;g
2
)deuxvarietesriemanni-
ennesompletesquiverientlesm^emeshypothesesqu'autheoreme(4.7)alorss'il
existeD
1
(resp.D
2
)undomaineompatdeM
1
(resp.M
2
)telque(M
1 D
1
;g
1 )
soitisometriquea(M
2 D
2
;g
2 )alors
L 2
(M
1
;g
1
)
L 2
(M
2
;g
2 )=
Z
D
1
g
1 Z
D
2
g
2
:
M. Gromov et B. Lawson avaient demontre un tel resultat pour des
operateurs deDira sur des varietes non-ompates,ompletes dont lepotentiel
ourbure,quiapparaitdanslaformuledeBohner-Weitzenbok,estuniformement
stritement positif sur un voisinage del'inni ([G-L℄); enfait omme l'a montre
H. Donnely, le fait que le bas du spetre essentiel de l'operateur de Dira
soit stritement positif suÆt pour avoir une formule de l'indie L 2
-relatif ([D℄).
Cependant, d'une part les varietes que nous onsiderons ont, generalement, un
bas du spetre essentiel nul, et d'autre part, lorsque le bas du spetre essentiel
duLaplaiendeHodge-deRhameststritementpositif,onsaitqueettesuiteest
exate. De e resultat, nous pouvons endeduirela formule de Gauss-BonnetL 2
suivante qui generalise les travaux de N. Borisov, W. Muller, R. Shrader et J.
Bruningsurlesvarietesasymptotiquementeulidiennes([B-M-S℄,[B℄):
4.10.
theor
eme.| Soit(M n
;g)une varieteriemanniennededimension
n5dontletenseurdeourbureR verie
Z
M jR (x)j
n
2
dx<1;
et s'ilexiste unompatD deM telquehaqueomposanteonnexedeM D
soientquasi-isometriqueauomplementaired'unebouleeulidiennedeR n
alors
L
2(M;g)= Z
M
g
:
Enfait, e resultat est aussivrai pour n3. Pour prouvere resultat,il
suÆtdemontrerquesigestunemetriquesurR n
quasi-isometriquealametrique
eulidienneet si R
R n
jR g
j n
2
<1alors
Z
R n
g
=0;
CeiestenfaituneonsequenedestravauxdeK.Ulhenbek;dans[U℄,ellemontre
queforementetteintegraleestunentieretquel'onpeutdeformer"ontin^ument"
