Estimation des paramètres de loi stable dans le cône convexe

Estimation des paramètres de loi stable dans le cône convexe

Journées des Doctorants en Mathématiques, Wimereux

LIU Shuyan

Laboratoire Paul Painlevé CRNS UMR 8524 Université des Sciences et Technologies de Lille

31 Mars, 2008

Plan d'exposé

• Introduction

1. Strictementα-stable dansR^d.

2. Cône convexe IK et la condition de variation régulière.

• Estimation

1. Regroupement d'échantillon. 2. Estimateurs consistants.

3. Les résultats surSαS dans IK : la relation entre la

convergence des sommes des v.a. et les processus ponctuels. 4. Normalités asymptotiques.

• Simulation

Plan d'exposé

• Introduction

1. Strictementα-stable dansR^d.

2. Cône convexe IK et la condition de variation régulière.

• Estimation

1. Regroupement d'échantillon.

2. Estimateurs consistants.

3. Les résultats surSαS dans IK : la relation entre la

convergence des sommes des v.a. et les processus ponctuels.

4. Normalités asymptotiques.

• Simulation

Plan d'exposé

• Introduction

1. Strictementα-stable dansR^d.

2. Cône convexe IK et la condition de variation régulière.

• Estimation

1. Regroupement d'échantillon.

2. Estimateurs consistants.

3. Les résultats surSαS dans IK : la relation entre la

convergence des sommes des v.a. et les processus ponctuels.

4. Normalités asymptotiques.

• Simulation

Dénition de strictement α -stable dans R

• Une variable aléatoire (v.a.) ξ ∈R^d est strictementα-stable (SαS) si ∀a,b>0

a^1/αξ₁+b^1/αξ₂ = (^d a+b)^1/αξ,

où ξ₁, ξ₂ : copies indépendantes de ξ,=^d : égalité en loi.

Paramétrisation

• Dans R¹ : E exp iθξ=exp(f(θ, α, β, σ, µ)).

• ξ∼ Sα(β, σ, µ),α∈(0,2], β∈[−1,1], σ >0, µ∈R¹.

• ξ+a∼ Sα(β, σ, µ+a), aξ∼ Sα(sign(a)β,|a|σ,aµ),α6=1.

• Dans R^d : E exp(ihθ, ξi) =exp(R

S^d−1g(θ,s, α, µ)σ(ds)).

• α∈(0,2],σ: mesure nie sur S^d−1,µ∈R^d.

• µ=0 : strict, quandα6=1.

• µ=0 etσest symétrique : symétrique.

• Exceptions

• Gaussien :S₂(0, σ, µ) =N(µ,2σ²), p(x) =_2σ^1√_πe^{−(x−µ)4σ22}.

• Cauchy :S₁(0, σ, µ) =Cauchy(σ, µ), p(x) =_π((x−µ)^σ_2+σ2).

• Lévy :S₀.5(1, σ, µ) =Lévy(σ, µ), p(x) = ₂^σ_π1/2 1

(x−µ)^3/2exp

−_2(x^σ_−µ) .

Paramétrisation

• Dans R¹ : E exp iθξ=exp(f(θ, α, β, σ, µ)).

• ξ∼ Sα(β, σ, µ),α∈(0,2], β∈[−1,1], σ >0, µ∈R¹.

• ξ+a∼ Sα(β, σ, µ+a), aξ∼ Sα(sign(a)β,|a|σ,aµ),α6=1.

• Dans R^d : E exp(ihθ, ξi) =exp(R

S^d−1g(θ,s, α, µ)σ(ds)).

• α∈(0,2],σ: mesure nie sur S^d−1,µ∈R^d.

• µ=0 : strict, quandα6=1.

• µ=0 etσest symétrique : symétrique.

• Exceptions

• Gaussien :S₂(0, σ, µ) =N(µ,2σ²), p(x) =_2σ^1√_πe^{−(x−µ)4σ22}.

• Cauchy :S₁(0, σ, µ) =Cauchy(σ, µ), p(x) =_π((x−µ)^σ_2+σ2).

• Lévy :S₀.5(1, σ, µ) =Lévy(σ, µ), p(x) = ₂^σ_π1/2 1

(x−µ)^3/2exp

−_2(x^σ_−µ) .

Paramétrisation

• Dans R¹ : E exp iθξ=exp(f(θ, α, β, σ, µ)).

• ξ∼ Sα(β, σ, µ),α∈(0,2], β∈[−1,1], σ >0, µ∈R¹.

• ξ+a∼ Sα(β, σ, µ+a), aξ∼ Sα(sign(a)β,|a|σ,aµ),α6=1.

• Dans R^d : E exp(ihθ, ξi) =exp(R

S^d−1g(θ,s, α, µ)σ(ds)).

• α∈(0,2],σ: mesure nie sur S^d−1,µ∈R^d.

• µ=0 : strict, quandα6=1.

• µ=0 etσest symétrique : symétrique.

• Exceptions

• Gaussien :S₂(0, σ, µ) =N(µ,2σ²), p(x) =_2σ^1√_πe^{−(x4σ2−µ)2}.

• Cauchy :S₁(0, σ, µ) =Cauchy(σ, µ), p(x) =_π((x−µ)^σ_2+σ2).

• Lévy :S₀.5(1, σ, µ) =Lévy(σ, µ), p(x) = ₂^σ_π1/2 1

(x−µ)^3/2exp

−_2(x^σ_−µ) .

Fonction de la densité

• Densités stables pour α variés avecβ=0σ =1 etµ=0.

• Surface et contours de la densité stable avec α=0.9, σ(·) = ¹₄δ₀+¹₈δ^π

3 +¹₄δ2π

3 +¹₄δ_π+¹₈δ4π

3 +¹₄δ5π 3 .

Fonction de la densité

• Densités stables pour α variés avecβ=0σ =1 etµ=0.

• Surface et contours de la densité stable avec α=0.9, σ(·) = ¹₄δ₀+¹₈δ^π

3 +¹₄δ2π

3 +¹₄δ_π+¹₈δ4π

3 +¹₄δ5π 3 .

Cône convexe et la condition de variation régulière

• Un cône convexe IK est un semigroupe abélien topologique, supposé complet et séparable, avec une opération continue (x,a)→ax de multiplication par des scalaires positives pour x ∈IK et a>0.

x,y ∈IK⇒x+y ∈IK, et a>0,x ∈IK⇒ax ∈IK.

Notons IK⁰ =IK\{0,e}.

• Condition de variation régulière (VR) :

v.a. ξ∈IK⁰,∃b_n↑ ∞: suite de constantes,∃σ : mesure nie sur S tq.

nlim→∞nP{ ξ

kξk ∈B,kξk>rb_n}=σ(B)r^−α, pour tous r >0, et B ∈ B(S)avecσ(∂B) =0.

Cône convexe et la condition de variation régulière

• Un cône convexe IK est un semigroupe abélien topologique, supposé complet et séparable, avec une opération continue (x,a)→ax de multiplication par des scalaires positives pour x ∈IK et a>0.

x,y ∈IK⇒x+y ∈IK, et a>0,x ∈IK⇒ax ∈IK.

Notons IK⁰ =IK\{0,e}.

• Condition de variation régulière (VR) :

v.a. ξ∈IK⁰,∃b_n↑ ∞: suite de constantes,∃σ : mesure nie sur S tq.

nlim→∞nP{ ξ

kξk ∈B,kξk>rb_n}=σ(B)r^−α, pour tous r >0, et B ∈ B(S)avecσ(∂B) =0.

Construction d'estimateur

• Regroupement d'échantillon ξ₁, . . . , ξ_m

| {z }

,

G_m1 ,

ξ_m+1, . . . , ξ_2m

| {z }

,

G_m2 ,^...,

ξ_(n−1)m+1, . . . , ξ_nm

| {z }

G_mn .

• En pratique on choisit m et n= [N/m], alors nm= [N/m]m∼N quand N → ∞.

Supposons n,m→ ∞ quand N → ∞.

• M_mi⁽¹⁾=max{kξk:ξ∈G_mi},kξ_mik=M_mi⁽¹⁾, M_mi⁽²⁾=max{kξk:ξ∈Gmi\{ξ_mi}}, i =1, . . . ,n.

θ_mi = ξ_mi

kξ_mik, i =1, . . . ,n.

Construction d'estimateur

• Regroupement d'échantillon ξ₁, . . . , ξ_m

| {z }

,

G_m1 ,

ξ_m+1, . . . , ξ_2m

| {z }

,

G_m2 ,^...,

ξ_(n−1)m+1, . . . , ξ_nm

| {z }

G_mn .

• En pratique on choisit m et n= [N/m], alors nm= [N/m]m∼N quand N → ∞.

Supposons n,m→ ∞ quand N → ∞.

• M_mi⁽¹⁾=max{kξk:ξ∈G_mi},kξ_mik=M_mi⁽¹⁾, M_mi⁽²⁾=max{kξk:ξ∈Gmi\{ξ_mi}}, i =1, . . . ,n.

θ_mi = ξ_mi

kξ_mik, i =1, . . . ,n.

Construction d'estimateur

• Regroupement d'échantillon ξ₁, . . . , ξ_m

| {z }

,

G_m1 ,

ξ_m+1, . . . , ξ_2m

| {z }

,

G_m2 ,^...,

ξ_(n−1)m+1, . . . , ξ_nm

| {z }

G_mn .

• En pratique on choisit m et n= [N/m], alors nm= [N/m]m∼N quand N → ∞.

Supposons n,m→ ∞ quand N → ∞.

• M_mi⁽¹⁾=max{kξk:ξ∈G_mi},kξ_mik=M_mi⁽¹⁾, M_mi⁽²⁾=max{kξk:ξ∈Gmi\{ξ_mi}}, i =1, . . . ,n.

θ_mi = ξ_mi

kξ_mik, i =1, . . . ,n.

Construction d'estimateur

• Estimateur de α κ_mi = M_mi⁽²⁾

M_mi⁽¹⁾, S_n=

n

X

i=1

κ_mi, αˆ_N = S_n n−Sn.

• Estimateur de σ(S) qmi = M_mi⁽¹⁾

m^1/α, σ([S)_N = 1 nΓ(1−_α^t)

n

X

i=1

q_mi^t

!^α_t

, 0<t < α 4.

• Estimateur de σ(·) ˆ

σ_N(·) = 1 n

n

X

i=1

δ_θmi(·).

Construction d'estimateur

• Estimateur de α κ_mi = M_mi⁽²⁾

M_mi⁽¹⁾, S_n=

n

X

i=1

κ_mi, αˆ_N = S_n n−Sn.

• Estimateur de σ(S) qmi = M_mi⁽¹⁾

m^1/α, σ([S)_N = 1 nΓ(1−_α^t)

n

X

i=1

q_mi^t

!^α_t

, 0<t < α 4.

• Estimateur de σ(·) ˆ

σ_N(·) = 1 n

n

X

i=1

δ_θmi(·).

Construction d'estimateur

• Estimateur de α κ_mi = M_mi⁽²⁾

M_mi⁽¹⁾, S_n=

n

X

i=1

κ_mi, αˆ_N = S_n n−Sn.

• Estimateur de σ(S) qmi = M_mi⁽¹⁾

m^1/α, σ([S)_N = 1 nΓ(1−_α^t)

n

X

i=1

q_mi^t

!^α_t

, 0<t < α 4.

• Estimateur de σ(·) ˆ

σ_N(·) = 1 n

Xn i=1

δ_θmi(·).

Résultats principaux

• Th.1 Si ξ vérie (VR) et S_n est déni comme précédent, alors 1

n

n

X

i=1

M_mi⁽²⁾ M_mi⁽¹⁾

p.s.

−−−−→

N→∞

α 1+α.

• Th.2 Si ξ vérie (VR) avec bn=n^1/α alors pour 0<t < ^α₄ 1

n

n

X

i=1

M_mi⁽¹⁾ m^1/α

!t p.s.

−−−−→

N→∞ Γ(1− t

α)σ(S)^αt.

• Th.3 Si ξ vérie (VR) etθ_mi est déni comme précédent, alors θ_mi ⇒σ quand m→ ∞,

pour chaque i.

Résultats principaux

• Th.1 Si ξ vérie (VR) et S_n est déni comme précédent, alors 1

n

n

X

i=1

M_mi⁽²⁾ M_mi⁽¹⁾

p.s.

−−−−→

N→∞

α 1+α.

• Th.2 Si ξ vérie (VR) avec b_n=n^1/α alors pour 0<t < ^α₄ 1

n

n

X

i=1

M_mi⁽¹⁾ m^1/α

!t p.s.

−−−−→

N→∞ Γ(1− t

α)σ(S)^αt.

• Th.3 Si ξ vérie (VR) etθ_mi est déni comme précédent, alors θ_mi ⇒σ quand m→ ∞,

pour chaque i.

Résultats principaux

• Th.1 Si ξ vérie (VR) et S_n est déni comme précédent, alors 1

n

n

X

i=1

M_mi⁽²⁾ M_mi⁽¹⁾

p.s.

−−−−→

N→∞

α 1+α.

• Th.2 Si ξ vérie (VR) avec b_n=n^1/α alors pour 0<t < ^α₄ 1

n

n

X

i=1

M_mi⁽¹⁾ m^1/α

!t p.s.

−−−−→

N→∞ Γ(1− t

α)σ(S)^αt.

• Th.3 Si ξ vérie (VR) etθ_mi est déni comme précédent, alors θ_mi ⇒σ quand m→ ∞,

pour chaque i.

Convergence des processus ponctuels

Th.(Davydov et al., 2005)

Soientξ, ξ₁, ξ₂, . . . les v.a.i.i.d. à valeurs dans IK⁰.

{λ_k, k ≥1} et{_k, k≥1}: deux suites indépendantes des v.a.i.i.d., oùλ_k ∼ E₁ et_k ∼˜σ(·) =σ(·)/σ(S).

σ : une mesure nie sur S.

c =σ(S)^1/α et Γ_k =λ₁+· · ·+λ_k, k ≥1.

Alors quand n→ ∞ pourα >0 β_n=

Xn k=1

δ_ξk/bn ⇒π_α=^d

∞

X

k=1

δΓ⁻_k^1/α_kc

si et seulement siξ vérie (VR).

Exemple des processus ponctuels

σ= ¹₄δ^π

4 +¹₄δ3π

4 +¹₄δ5π

4 +¹₄δ7π

4 , α=0.5,b_n=n^1/α. supp(π₀.5) ={Γ⁻_k²_kc,k =1,2, . . .},supp(β_n) ={_b^ξ1

n, . . . ,^ξ_bⁿ

n}.

Simulation des processusπ₀.5 et deβ₁₀₀ dans un voisinage de 0, I ={x|kxk<0.0005}.

supp(π₀.5)∩I supp(β₁₀₀)∩I .

Normalités asymptotiques

• Condition asymptotique seconde-ordre 1 (C1) P{kξk>x}=c1x^−α+c2x^−β+o(x^−β), x → ∞ avec 0< α < β≤ ∞.

• Th.4 (VR)+(C1).ζ = (β−α)/α, n=ε_NN^2ζ/(1+2ζ), m=ε⁻_N¹N^1/(1+2ζ),où ε_N →0, quand N → ∞. Alors

√n 1

nS_n− α α+1

⇒ N(0,b) quand N → ∞, où b =α/(α+1)²(α+2).

• Remarque : Dans R^d,β=2α, donc n=ε_NN^2/3. La vitesse de convergence : √

n ∼N^1/3.

Normalités asymptotiques

• Condition asymptotique seconde-ordre 1 (C1) P{kξk>x}=c1x^−α+c2x^−β+o(x^−β), x → ∞ avec 0< α < β≤ ∞.

• Th.4 (VR)+(C1).ζ = (β−α)/α, n=ε_NN^2ζ/(1+2ζ), m=ε⁻_N¹N^1/(1+2ζ),où ε_N →0, quand N → ∞. Alors

√n 1

nS_n− α α+1

⇒ N(0,b) quand N→ ∞, où b =α/(α+1)²(α+2).

• Remarque : Dans R^d,β=2α, donc n=ε_NN^2/3. La vitesse de convergence : √

n ∼N^1/3.

Normalités asymptotiques

• Condition asymptotique seconde-ordre 1 (C1) P{kξk>x}=c1x^−α+c2x^−β+o(x^−β), x → ∞ avec 0< α < β≤ ∞.

• Th.4 (VR)+(C1).ζ = (β−α)/α, n=ε_NN^2ζ/(1+2ζ), m=ε⁻_N¹N^1/(1+2ζ),où ε_N →0, quand N → ∞. Alors

√n 1

nS_n− α α+1

⇒ N(0,b) quand N→ ∞, où b =α/(α+1)²(α+2).

• Remarque : Dans R^d,β=2α, donc n=ε_NN^2/3. La vitesse de convergence : √

n ∼N^1/3.

Normalités asymptotiques

• Condition asymptotique seconde-ordre 2 (C2) nP{ ξ

kξk ∈B,kξk>x}=σ(B)x^−α+O(x^−β) quand x → ∞.

pour∀B∈ B(S) tel queσ(∂B) =0, etβ > α >0.

• Th.5 Si ξ vérie (C2). ζ =min(^β−α_α ,1), n=ε_NN^2ζ/(1+2ζ), m=ε⁻_N¹N^1/(1+2ζ),où ε_N →0, quand N → ∞. Alors

√n(ˆσ_N(B)−σ(B))⇒ N(0,b) quand N → ∞, où b =σ(B)(1−σ(B)).

Normalités asymptotiques

• Condition asymptotique seconde-ordre 2 (C2) nP{ ξ

kξk ∈B,kξk>x}=σ(B)x^−α+O(x^−β) quand x → ∞.

pour∀B∈ B(S) tel queσ(∂B) =0, etβ > α >0.

• Th.5 Si ξ vérie (C2). ζ =min(^β−α_α ,1), n=ε_NN^2ζ/(1+2ζ), m=ε⁻_N¹N^1/(1+2ζ),où ε_N →0, quand N → ∞. Alors

√n(ˆσ_N(B)−σ(B))⇒ N(0,b) quand N → ∞, où b =σ(B)(1−σ(B)).

Résultats d'estimation quand m varie (avec N xé)

Plot de(t,αˆ_N) et(t,βˆ_N) où t=log_Nm, (m= [N^t]).

FIG 1. Estimation deαetβ, la loi réelle sont de haut en bas S₁.75(0.5,1,0),S₁.5(0,1,0),S₀.5(−0.5,1,0).

Un exemple dans R

Exemple :α=0.5,σ est uniforme.

Fonction de répartition : F(x) =σ({θ≤x}) =x, θ,x ∈[0,2π).

FIG 2. Fonction de répartition estimée par PPP et par FCE.

Vitesse de convergence (avec N augmenté)

On prend t =0.4, ainsi n=N^0.6, la vitesse de convergence théorique est donc√

n=N^0.3. La taille d'échantillon augmente de N1 =500 à N25=10⁶.

Vitesse de convergence (avec N augmenté)

Perturbation dans l'espace

Plots des indices estimés de la queue des perturbations dans l'espace.

FIG 5. Estimation desαpar l'échantillon de 1500 points par case.

Davydov, Y., Paulauskas, V., Ra£kauskas, A., More on P-Stable Convex Sets in Banach Spaces, J. Theoret. Probab.

(2000), vol. 13(1), 39-64

Davydov, Y., Molchanov, I., Zuyev, S., Strictly stable distributions on convex cones (2005),

www.arxiv.org/abs/math.PR/0512196

Feller, W., An Introduction to Probability Theory and its Applications, Vol. II, 2nd edn. Wiley, NY. (1971)

Fristedt, B., Expansions for the density of the absolute value of a strictly stable vector, Ann. Math. Stat. (1972), 43(2), 669-672.

LePage, R., Woodroofe, M., Zinn, J., Convergence to a stable distribution via order statistics, Ann. Prob. (1981), 9, 624-632.

Samorodnitsky, G. et Taqqu, M. S., Stable non-Gaussian random processes, Stochastic Modeling. Chapman et Hall, New York-London, (1994).