￿￿￿ DÉTERMINANT. EXEMPLES ET APPLICATIONS.

I. Définitions et propriétés générales

I. A. Formes n-linéaires alternées, déterminant d’une famille de vecteurs

SoitEunK-espace vectoriel de dimension finienoùKest un corps commutatif.

D����������. [�����������n-��������,��������]

Soitf :Eⁿ≠æKune application.

• On dit quef estn-linéaire si en tout point lesnapplications partielles sont linéaires.

L’ensemble des applicationsn-linéaires est notéL^p(E,K).

• Sif œ L^p(E,K), on dit quef est alternée sif(x1, . . . , xp) = 0dès que deux des {xi}1ÆiÆpsont égaux.

T��������. [���������� �� n(E)]

L’ensemble n(E)des formesn-linéaires alternées deEest un espace vectoriel de dimension

�. Il existe une unique formen-linéaire alternée égale à�sur une base donnée deB. D����������. [����������� ���� ��� ����]

SoitBune base deE. On appelle déterminant dans la baseB, et on notedetB, l’unique formen-linéaire alternée égale à�surB.

C����������. [���������� ��det_B]

Soientx₁, . . . , xndes vecteurs deE. En notant(xi,1, . . . , xi,n)les coordonnées dexidans une baseBdeE, on a :

det_B(x1, . . . , xn) = ÿ

‡œSn

Á(‡)x_1,‡(1)◊· · ·◊x_n,‡(n)

C����������. [���������� �� ����]

SoitBune base deE. Pourf œ ⁿ(E), on af =f(B) det_B.

En particulier, siB^Õest une autre base deE, on adet_B^Õ = det_B^Õ(B) det_B. P�����������. [��������������� �’��� ������� ����,�����]

Soientx1, . . . , xnœE. On a équivalence entre : (i) la famille{x1, . . . , xn}est liée,

(ii) pour toute baseBdeE, on adet_B(x1, . . . , xn) = 0, (iii) il existe une baseBdeEtelle quedet_B(x1, . . . , xn) = 0.

I. B. Déterminant d’une matrice carrée et d’un endomorphisme

SoitA= (ai j)1Æi,jÆnœMⁿ(K). Soitf œL(E).

D����������. [����������� �’��� �������]

On appelle déterminant deAle déterminant des vecteurs colonnes deAdans la base cano- nique deKⁿ. On le notedet(A).

P�����������. Soient⁄œKetB œMⁿ(K). On a les propriétés suivantes :

i) on ne change pas la valeur du déterminant lorsque l’on ajoute à une colonne une combi- naison linéaire des autres colonnes,

ii) det(A^€) = det(A) et det(⁄A) =⁄ⁿdet(A), iii) det(AB) = det(A) det(B).

iv) SiAetBsont semblables, alorsdet(A) = det(B).

v) AœGLⁿ(K)≈∆det(A)”= 0. Dans ce cas,det(A^≠1) = det(A)^≠1. D����������. [����������� �’�� ��������������]

On notedet(f)le déterminant de la matrice defdans une base deE.

R���������. On transpose les propriétés de la Proposition�aux endomorphismes.

II. Méthodes de calcul de déterminants

E��������. Déterminant en dimensions�et�(règle deS�����).

II. A. Mineurs et cofacteurs

D�����������. [������,���������,���������]

Soiti, jœJ1, nK. On appelle mineur d’indice(i, j)le déterminant i jde la matrice d’ordre n≠1déduite deAen supprimant la ligneiet la colonnej. On appelle cofacteur d’indice (i, j)le scalaireAi j= (≠1)^i+j i j.

On définit la comatrice deAparCom(A) = (Ai j)1Æi,jÆn.

T���������. [������������� ��� �������... ]

• [� ��� �������]Pour toutjœJ1, nK, on adet(A) =qn

i=1ai jAi j.

• [� ��� �����]Pour toutiœJ1, nK, on adet(A) =qn

j=1ai jAi j.

T���������. [������� �� �� ���������]

On aACom(A)^€= Com(A)^€A= det(A)In.

En particulier, siAest inversible, alorsA^≠1= _det(A)¹ Com(A)^€.

II. B. Matrices triangulaires par blocs

L������. SiAest une matrice triangulaire, alorsdet(A) =rn i=1ai i. A������������. [����� ��G����]

La formule du Théorème��est impraticable en réalité (trop d’opérations). Via des opérations sur les lignes et les colonnes, on transforme toute matrice en une matrice triangulaire supé- rieure dont on peut facilement calculer le déterminant.

T���������. [����������� ��� �����]

SupposonsAde la forme :

A=

Q cc ca

A₁ ı ı . . . ı

0 A2 ı . . . ı

0 0 A3 . . . ı

... ... ... ...

0 0 0 . . . Ap

R dd db

où les(Ai)1ÆiÆpsont des matrices carrées etıdes matrices quelconques de tailles adéquates.

Alorsdet(A) =rp

i=1det(Ai).

II. C. Exemples classiques

E��������. [����������� ���������]

Soienta1, . . . , anœC. Alors :

det

Q cc ca

Q cc ca

a1 a2 a3 . . . an

an a1 a2 . . . an≠1

an≠1 an a1 . . . an≠2

... ... ... ...

a2 a3 a4 . . . a1

R dd db

R dd db⁼

Ÿ

0ÆkÆn≠1

P(Ê^k) où

; P(X) =qn≠1 i=0 ai+1Xⁱ Ê= exp(2ifi/n)

P������������. [����������� �’��� ����� �� ��������� ���� �’�������������]

On définit par récurrence une suite(P^(k))_kœNparP⁽⁰⁾ = (z₁⁽⁰⁾, . . . , zn⁽⁰⁾) œ Cⁿ et P^(k+1)=!z^(k)₁ +z^(k)₂

2 , . . . ,^z

(k) n≠1+z^(k)n

2 ,^{z(k)n +z}₂ ^(k)1 "pourkœN. AlorsP^(k) _kæ+Œ≠æ (g, g, . . . , g)oùg= Isobar(z₁⁽⁰⁾, . . . , zn⁽⁰⁾).

E��������. [����������� ��V����������]

Soienta₁, . . . , anœC. Alorsdet((a^j_i)1Æi,jÆn) = Ÿ

1Æi<jÆn

(aj≠ai). [voir annexe]

E��������. [����������� ��C�����]

Soienta1, . . . , an, b1, . . . , bn œCtels queai+bi”= 0. Alors :

detA3 1 ai+bj

4

1Æi,jÆn

B

=

r1Æi<jÆn(aj≠ai)(bj≠bi) r1Æi,jÆn(ai+bj)

III. Applications des déterminants en analyse

III. A. Propriétés du déterminant

P������������. det :Mⁿ(R)≠æRestC^Œet on a :

’M, H œMⁿ(R), ddetM(H) = Tr(Com(M)^€H)

A������������. [���������]

SoientAœC⁰(R,Mⁿ(R))ety1, . . . , ynœRⁿdes solutions de l’équation di�érentielle linéaire y^Õ=A(t)y. On définit leur déterminant wronskienw(t) = det(y1(t), . . . , yn(t)). Alorsw^Õ(t) = Tr(A(t))w(t). De plus siAest constante alors on adet(exp(tA)) = exp(tTr(A)).

A������������. On se place surK=RouC.

i) GLⁿ(K)est un ouvert deMⁿ(K). De plus,GLⁿ(R)a deux composantes connexes, ii) Deux matrices réelles semblables surCsont semblables surR.

III. B. Changement de variables

T���������. [���������� �� ���������]

SoitU, Vdeux ouverts deRⁿet„unC¹-di�éomorphisme deUsurV. Alors pour toute fonction boréliennef :V ≠æR+, on a :

s

V f(v)dv=s

Uf(„(u))|J„(u)|du où J„(u) = det(d„u)

A������������. [������� �� ����������� ��������]

Pourf :R²≠æR+borélienne, on as

R²f(x, y)dxdy=s

R^ú₊◊]≠fi,fi[f(rcos(◊), rsin(◊))rdrd◊.

IV. Applications des déterminants en algèbre

IV. A. Polynôme caractéristique

[Gou��, §�.�/�.�, p���/���] [BMP��, §�.�.�/�.�, p���/���]

R���������. On étend la formule explicite du Corollaire�à une matrice à coe�icients dans un anneauAquelconque (le déterminant est un polynôme). SiAest intègre, les propriétés du déterminant restent vraies carAse plonge dansFrac(A).

D�����������. [�������� ���������������]

On définit le polynôme caractéristique deAœMⁿ(K)par‰A(X) = det(XIn≠A).

On définit le polynôme caractéristique def œ L(E)comme le polynôme caractéristique d’une matrice defdans n’importe quelle base deE.

A������������.

• Les valeurs propres deAsont les racines de‰A,

• L’ensemble des matrices nilpotentes est fermé dansMⁿ(K),

• PourA, BœMⁿ(C), on a‰AB =‰BA.

IV. B. Systèmes linéaires

Soientpetqdeux entiers etA= (ai j)1ÆiÆp,1ÆjÆq œM^{p q}(K). On s’intéresse à la résolution du système(SB) AX=B, d’inconnueXœM^q1(K)et de paramètreBœM^p1(K).

T���������. rg(A)est l’ordre du plus grand mineur extrait deAqui est non nul.

E��������. Soit la matriceM =

A _{a 2 ≠1 b} 3 0 1 ≠4 5 4 ≠1 2

B

oùaetbsont des paramètres réels.

Alorsrg(M)Ø2et on arg(M) = 2≈∆(a, b) = (1,3). [Gri��, §�, p���]

T���������. [������� ��C�����]

Lorsquep=q, alors(SB)admet une unique solution pour tout paramètreBsi et seulement sidet(A)”= 0. Dans ce cas, la solutionXBde(SB)est le vecteur de coordonnées :

’iœJ1, pK, xi= det(A1, . . . , A_i≠1, B, A_i+1, . . . , An) det(A)

V. Applications des déterminants en géométrie

V. A. Volume d’un parallélépipède

On munitRⁿde sa base canonique. Pourn= 2, on a :

T���������. [A��� �’�� ���������������] [voir annexe]

SoitA(v, w)l’aire du parallélogramme engendré parvetw. AlorsA(v, w) =|det(v, w)|. On peut généraliser en dimension quelconque :

T���������. [V����� �’�� ���������������]

Soientv1, . . . , vndes vecteurs deRⁿ. En notantV(v1, . . . , vn)le volume du parallélépipède engendré par les vecteursv1, . . . , vn. AlorsV(v1, . . . , vn) =|det(v1, . . . , vn)|.

V. B. Déterminant de G��� et inégalité de H�������

[Gou��, §�.�, p���–���] [Rom��, §��.�.�, p���]

Soit(E,È.|.Í)un espace préhilbertien (réel ou complexe).

D�����������. [������� �� ����������� ��G���]

Soientx₁, . . . , xndes vecteurs deE. On appelle matrice deG���dex₁, . . . , xnla matrice MG(x1, . . . , xn) = (Èxi|xjÍ)1Æi,jÆnet déterminant deG���dex₁, . . . , xnle déterminant de la matrice deG���, notéG(x1, . . . , xn).

T���������. [�������� � �� ����-������ ���������]

SoitFun sous-espace vectoriel de dimension finiendeE, muni d’une base(e1, . . . , en).

Alors pour toutxœE, on ad(x, F)²= ^G(e_G(e^1,...,e_1,...,eⁿ_n^,x)₎ .

T���������. [���������� ��H�������] [voir annexe]

(i) Soientx1, . . . , xndes vecteurs deE. AlorsG(x1, . . . , xn)Ærn

i=1Îxiβ. (ii) Soientx1, . . . , xndes vecteurs deCⁿ. Alors|det(x1, . . . , xn)|Ærn

i=1ÎxiÎ2, oùÎ.Î2

désigne la norme hermitienne standard surCⁿ.

Dans les deux points, on a égalité si et seulement si la famille{xi}1ÆiÆnest orthogonale ou l’un des vecteurs est nul.

A������������. Interprétation géométrique de l’inégalité deH�������dansRⁿ.

������

������

Je vais vous présenter la leçon intitulée « Déterminant. Exemples et applications. ». Pourquoi étudie-t-on les déterminants? Il y a deux motivations principales : d’un côté l’aspect pratique du déterminant (caractérisations simples de la liberté, méthodes de calculs nombreuses) et de l’autre le fait qu’il possède de nombreuses applications (on pense à l’étude de systèmes li- néaires, d’endomorphismes, etc). Cela rend donc cet outil puissant.

Avant de revenir à ses applications, commençons par le définir. Dans la première partie on se place sur un corpsKet on considère unK-espace vectorielEde dimension finien. On observe que les formesn-linéaires alternées deEforment un espace vectoriel de dimension1, ce qui permet de définir le déterminant d’une famille de vecteurs dans une baseBcomme l’unique formen-linéaire alternée qui vaut1sur cette base. On a de plus une formule explicite dépen- dant des coe�icients. On définit également le déterminant d’une matrice à coe�icients dans Ket d’un endomorphisme deL(E). Lan-linéarité et le caractère alterné donnent alors des premiers résultats (det(AB) = det(A) det(B), stabilité par ajouts d’une combinaison linéaire de colonnes et surtout condition d’inversibilité d’une matrice) qui ouvrent la voie à des mé- thodes explicites de calculs de déterminants, comme le développement d’un déterminant par rapport à une ligne ou une colonne. Ce développement est en général intéressant pour des ma- trices plutôt creuses (ou pour obtenir des relations de récurrence), mais dans la pratique ce sont les déterminants de matrices triangulaires ou triangulaires par blocs qui sont les plus simples à calculer, c’est pour cela qu’on essaye de s’y ramener via la méthode du pivot deG����qui transforme une matrice en matrice triangulaire. On peut citer des applications classiques de ces méthodes (V����������, circulant,C�����).

Donc les méthodes de calculs sont nombreuses et variées, ce qui tombe bien parce qu’il y a plein de domaines d’applications du déterminant, c’est l’objet de la suite de la leçon. Tout d’abord en analyse, on remarque que l’applicationdetest un polynôme et est doncC^Œ, l’expression de sa di�érentielle permet par exemple l’étude du wronskien d’un système de solutions d’une équation di�érentielle, ce qui constitute mon premier développement. En théorie de l’intégra- tion, le déterminant joue un rôle fondamental dans la formule du changement de variables.

Ensuite en algèbre, on peut étudier le polynôme caractéristique d’une matriceAdéfini comme det(XIn≠A). Cette définition est possible puisque le déterminant est un polynôme et ne fait pas intervenir d’inverses donc on peut le définir sur un anneau. Lorsque cet anneau est intègre, on conserve les propriétés vues précédemment. Ce polynôme caractéristique contient notam- ment des informations sur les valeurs propres deA. Toujours concernant l’étude d’une matrice, on peut s’intéresser à la résolution d’un système de typeAX = B. Les formules deC�����

donnent alors la solution explicite unique dans le cas oùdet(A)”= 0. Enfin, on peut aussi souli- gner le rôle du déterminant en géométrie. Le déterminant denvecteurs dans la base canonique deRⁿs’interprète en e�et comme le volume du parallélépipède engendré par sesnvecteurs.

Plus généralement, dans un espace pré-hilbertienE, on peut définir le déterminant deG���

qui va être relié à la distance d’un point à un sous-espace vectoriel deE. Ce déterminant per- met de démontrer l’inégalité deH�������, qui, dans le cas deRⁿ, s’interprète comme le fait que le volume d’un parallélépipède de longueurs de côtés fixés est maximisé lorsqu’il est un rectangle, ou un hyperrectangle. Cela fait l’object de mon deuxième développement.

���������

Q Quelle est l’application principale du procédé d’orthogonalisation deG���-S������? R L’existence d’une base orthonormée.

Q Calculs de déterminants dansMⁿ(Z). Liens entreMⁿ(Z),Mⁿ(Q)etMⁿ(Z/nZ).

Q Calculerdet((i·j)i j).

Q Calculer le déterminant de l’applicationM ‘≠æM^€.

�������������

[BMP��] V.B���, J.M�����et G.P����:Objectif Agrégation. H&K,�^èmeédition,����.

[Gou��] X.G������:Les maths en tête - Analyse. Ellipses,�^èmeédition,����.

[Gou��] X.G������:Les maths en tête - Algèbre. Ellipses,�^èmeédition,����.

[Gri��] J.G������:Algèbre linéaire. Cépaduès,�^èmeédition,����.

[Rom��] J.-E.R�������: Mathématiques pour l’agrégation : Algèbre et géométrie. De Boeck,

����.

[Rou��] F.R�������:Petit guide de calcul di�érentiel. Cassini,����.