A4904 − Carrément irréductibles Problème proposé par Raymond Bloch
On considère les progressions arithmétiques de trois carrés de fractions irréductibles dont la raison est un entier r compris entre 4 et 9 (4 ≤ r ≤ 9). Pour quelle(s) valeur(s) de r de telles progressions existent-elles? Justifiez vos réponses.
Solution par Patrick Gordon
Soit (a/b)² le terme du mileu; a et b sont par hypothèse premiers entre eux donc a² et b² le sont aussi.
Les premier et troisième termes sont : (a² – rb²) / b² et (a² + rb²) / b². Puisque a² et b² sont premiers entre eux, b² est premier avec (a² – rb²) et (a² + rb²) et les premier et troisième termes sont des fractions irréductibles, donc des carrés de fractions irréductibles, pour autant que (a² – rb²) et (a² + rb²) soient des carrés parfaits.
Le problème se ramène donc à la recherche de triplets a, b, r entiers tels que :
- a et b sont premiers entre eux, - r est compris entre 4 et 9,
- (a² – rb²) et (a² + rb²) sont des carrés parfaits.
Cette recherche peut se faire au moyen d'un tableau qui, pour chaque valeur de r de 4 à 9, croise les valeurs de a et b premiers entre eux.
La démarche étant lourde, on l'arrête à a et b ≤ 200. On trouve trois solutions, pour r = 5 6 et 7 respectivement :
r a b a² – rb² a² + rb² racine (a² – rb²) racine (a² + rb²)
5 41 12 1 681 2 401 31 49
6 5 2 1 49 1 7
7 337 120 113 569 214 369 113 463
Les progressions arithmétiques trouvées sont donc :
(31/12)² (41/12)² (49/12)² r = 5 (1/2)² (5/2)² (7/2)² r = 6 (113/120)² (337/120)² (463/120)² r = 7 Tentative de généralisation
Dans son ouvrage Elementary Theory of Numbers (pages 62 et suivantes)1,W. Sierpinski appelle congruent un entier naturel h tel qu'il existe au moins un rationnel v tel que v² – h et v² + h soient les carrés de rationnels.
Dans les notations du présent problème, v correspond à a/b et h à r.
1https://leonettipaolo.files.wordpress.com/2012/07/0444866620-waclaw-sierpinski-elementary-theory-of-numbers.pdf
L'auteur démontre que toute solution de l'équation pythagoricienne x² + y² = z² détermine un nombre congruent h = 2xy et réciproquement, à la multiplication ou division près par un carré d'entier2.
En examinant les triplets pythagoriciens primitifs connus x, y, z, on trouve, en effet :
- pour x = 3, y = 4 : 2xy = 24 qui, divisé par 2², donne bien la valeur r = 6 que nous avons trouvée ci-dessus,
- pour x = 9, y = 40 : 2xy = 720 qui, divisé par 12², donne bien la valeur r = 5 que nous avons trouvée ci-dessus,
En examinant les triplets pythagoriciens non primitifs x, y, z, on trouve :
- pour x = 350, y = 576 : 2xy = 403200 qui, divisé par 240², donne bien la valeur r = 7 que nous avons trouvée ci-dessus.
En générant des triplets pythagoriciens primitifs ou non x, y, z par la méthode :
o x = u² – v² o y = 2uv o z = u² + v²,
on ne trouve pas les valeurs r = 4, 8, 9.
L'explication semble être que, à la différence de 5, 6, 7, les nombres r = 4, 8, 9 sont des carrés ou cubes.
Peut-on avoir 2xy = 4q²? En notant p le PGCD de x et y et x = px', h = py', cela reviendrait à ce que 2x'y' soit un carré, x' et y' étant cette fois les termes d'un triplet pythagoricien primitif, donc premiers entre eux. Pour que 2x'y' soit un carré, il faudrait que x' le soit et que y' = 2x' ou vice versa, ce qui est impossible, car on aurait alors z'² = 5x'² et le triplet x' y' z' ne serait pas pythagoricien primitif.
Un raisonnement de même nature peut être fait pour 2xy = 8q² et pour 2xy = 9q².
2 Bien entendu, par définition, si h est congruent, tout p²h (p entier) ou tout h/p² entier l'est aussi.
