A409. Triplets au coude à coude
Neuf nombres premiers distincts sont répartis en trois
triplets (a,b,c), (d,e,f) et (g,h,i) tels que a < b < c, d < e
< f et g < h < i.
Les nombres a et d sont
jumeauxtandis que b et e sont
cousinset que h est
sexyavec b comme avec f.
Les trois produits abc,def et ghi, pas nécessairement pris dans cet ordre, constituent un ensemble de trois entiers consécutifs < 2016.
Déterminer ces neuf nombres premiers.
Solution
1) Les produits abc, def, et ghi sont consécutifs, on a donc soit deux produits pairs et un impair ce qui n’est pas possible puisque le produit de trois nombres premiers est nécessairement impair sauf si un des facteurs est 2 lequel ne peut être utilisé qu’une fois. Il y a donc un produit pair et deux impairs. Le nombre pair (2) qui est le plus petit nombre premier ne peut être que le a, le d ou le g. Mais le a et le d sont jumeaux, donc si l’un de ceux-ci vaut 2, l’autre serait 0 ou 4. On a donc :
1b) Les deux produits impairs sont abc et def. Il y a donc deux possibilités pour les produits :
2) h est sexy avec b et avec f, il en résulte que les trois nombres premiers : b, h et f forment un triplet de nombres premiers sexys dont h occupe la position centrale. Remarquons que les trois plus petits triplets sont : (7, 13, 19) ; (17, 23, 29) et (31, 37, 43). Les valeurs possibles pour h sont donc : 13 ou 23. La valeur 37 a été « oubliée » en effet, si h vaut 37, alors i qui est supérieur à h vaut au minimum 41 et alors le produit ghi est bien supérieur à 2016.
2b) On a donc quatre combinaisons possibles pour b, h et f : (7, 13, 19) ; (19, 13, 7) ; (17, 23, 29) et (29, 23, 17). Avec les deux solutions obtenues en 1b) nous avons donc 8 possibilités :
g = 2
abc +2 = 2hi +1 = def
def +2 = 2hi + 1 = abc
A409. Triplets au coude à coude
1 a*7*c 2*13*i d*e*19 2 a*19*c 2*13*i d*e*7 3 d*e*7 2*13*i a*19*c 4 d*e*19 2*13*i a*7*c 5 a*17*c 2*23*i d*e*29 6 a*29*c 2*23*i d*e*17 7 d*e*17 2*23*i a*29*c 8 d*e*29 2*23*i a*17*c
3) Les lignes 6 et 7 ont été supprimées, en effet, le produit abc {avec : a>=3 (le plus petit nombre premier encore disponible) et c>=31(le plus petit nombre premier plus grand que 29)} est plus grand que 2016.
4) Le nombre b a trois valeurs possibles : 7, 17 et 19 (le 29 a été supprimé avec lignes 6 et7) possède un cousin. Celui-ci est soit 3, soit 13 lorsque b vaut 7 ; est 13 (21 n’est pas premier) lorsque b vaut 17 et 23 lorsque b vaut 19 (15 n’est pas premier).
1a a*7*c 2*13*i d*3*19 1b a*7*c 2*13*i d*11*19 2 a*19*c 2*13*i d*23*7 3 d*23*7 2*13*i a*19*c 4a d*3*19 2*13*i a*7*c 4b d*11*19 2*13*i a*7*c 5 a*17*c 2*23*i d*13*29 8 d*13*29 2*23*i a*17*c
5) Encore une fois plusieurs lignes doivent être supprimées : les lignes 2 et 3 où la valeur de e est 23 et celle de f est 7 or nous savons que e<f ; les lignes 1a et 4a doivent aussi être supprimées car d doit être premier et inférieur à 3 (et ne peut être égal à 2 qui est déjà utilisé). Nous devons encore remarquer que les lignes 1b et 4b sont les mêmes (à l’ordre des éléments près) et qu’il en est de même des lignes 5 et 8.
A409. Triplets au coude à coude
6) Enfin, il nous est dit que a et d sont jumeaux.
a. Dans les lignes 1b et 4b a doit être plus petit que 7, c’est-à-dire qu’il n’y a qu’une seule valeur pour les nombres jumeaux, et donc : (a=3 et d=5) ou (a=5 et d=3).
Puisque d*11*19 diffère d’une seule unité de 2*13*i, calculons i en espérant que sa valeur soit un nombre premier :
= ∗ ∗ ±
Pourquoi plus ou moins 1 ? Parce que dans la ligne 1b 2*11*i est supérieur d’une∗ unité à d*11*19 ; tandis que dans la ligne 4b la différence est dans l’autre sens. Les résultats des 2*2 calculs sont tous des nombres non-entiers…
b. Dans les lignes 5 et 6 d doit être plus petit que 13, il y a donc deux valeurs possibles pour les nombres jumeaux : (a=3 et d=5) ou (a=5 et d=3) mais aussi (a=5 et d=7) ou (d=5 et a=7). De même que ci-dessus, calculons i :
= ∗ ∗ ±
∗
Il y a 3 valeurs possibles pour d et deux signes pour le coefficient 1. Un nombre premier (i=41) est trouvé pour d=5 et +1. La ligne 8 est la ligne ad hoc puisque le signe de 1 y est positif. Quant au nombre c, il est égal à :
= ∗ ∗ +
∗ =
37 qui est bien lui aussi un nombre premier. Le tableau complet est :
